Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | nnuz 12811 |
. . . 4
โข โ =
(โคโฅโ1) |
2 | | 1zzd 12539 |
. . . 4
โข (๐ โ 1 โ
โค) |
3 | | uniioombl.c |
. . . 4
โข (๐ โ ๐ถ โ
โ+) |
4 | | eqidd 2734 |
. . . 4
โข ((๐ โง ๐ โ โ) โ (๐โ๐) = (๐โ๐)) |
5 | | uniioombl.t |
. . . . . 6
โข ๐ = seq1( + , ((abs โ
โ ) โ ๐บ)) |
6 | | eqidd 2734 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง ๐ โ โ) โ (((abs โ
โ ) โ ๐บ)โ๐) = (((abs โ โ ) โ ๐บ)โ๐)) |
7 | | uniioombl.g |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ ๐บ:โโถ( โค โฉ (โ
ร โ))) |
8 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((abs
โ โ ) โ ๐บ) = ((abs โ โ ) โ ๐บ) |
9 | 8 | ovolfsf 24851 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐บ:โโถ( โค โฉ
(โ ร โ)) โ ((abs โ โ ) โ ๐บ):โโถ(0[,)+โ)) |
10 | 7, 9 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ ((abs โ โ )
โ ๐บ):โโถ(0[,)+โ)) |
11 | 10 | ffvelcdmda 7036 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ โ โ) โ (((abs โ
โ ) โ ๐บ)โ๐) โ (0[,)+โ)) |
12 | | elrege0 13377 |
. . . . . . . 8
โข ((((abs
โ โ ) โ ๐บ)โ๐) โ (0[,)+โ) โ ((((abs
โ โ ) โ ๐บ)โ๐) โ โ โง 0 โค (((abs โ
โ ) โ ๐บ)โ๐))) |
13 | 11, 12 | sylib 217 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ โ โ) โ ((((abs โ
โ ) โ ๐บ)โ๐) โ โ โง 0 โค (((abs โ
โ ) โ ๐บ)โ๐))) |
14 | 13 | simpld 496 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง ๐ โ โ) โ (((abs โ
โ ) โ ๐บ)โ๐) โ โ) |
15 | 13 | simprd 497 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง ๐ โ โ) โ 0 โค (((abs โ
โ ) โ ๐บ)โ๐)) |
16 | | uniioombl.1 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ ๐น:โโถ( โค โฉ (โ
ร โ))) |
17 | | uniioombl.2 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ Disj ๐ฅ โ โ
((,)โ(๐นโ๐ฅ))) |
18 | | uniioombl.3 |
. . . . . . . 8
โข ๐ = seq1( + , ((abs โ
โ ) โ ๐น)) |
19 | | uniioombl.a |
. . . . . . . 8
โข ๐ด = โช
ran ((,) โ ๐น) |
20 | | uniioombl.e |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ (vol*โ๐ธ) โ
โ) |
21 | | uniioombl.s |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ ๐ธ โ โช ran
((,) โ ๐บ)) |
22 | | uniioombl.v |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ sup(ran ๐, โ*, < ) โค
((vol*โ๐ธ) + ๐ถ)) |
23 | 16, 17, 18, 19, 20, 3, 7, 21, 5,
22 | uniioombllem1 24961 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ sup(ran ๐, โ*, < ) โ
โ) |
24 | 8, 5 | ovolsf 24852 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐บ:โโถ( โค โฉ
(โ ร โ)) โ ๐:โโถ(0[,)+โ)) |
25 | 7, 24 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ ๐:โโถ(0[,)+โ)) |
26 | 25 | frnd 6677 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ ran ๐ โ (0[,)+โ)) |
27 | | icossxr 13355 |
. . . . . . . . . . 11
โข
(0[,)+โ) โ โ* |
28 | 26, 27 | sstrdi 3957 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ ran ๐ โ
โ*) |
29 | | supxrub 13249 |
. . . . . . . . . 10
โข ((ran
๐ โ
โ* โง ๐ฅ
โ ran ๐) โ ๐ฅ โค sup(ran ๐, โ*, <
)) |
30 | 28, 29 | sylan 581 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ฅ โ ran ๐) โ ๐ฅ โค sup(ran ๐, โ*, <
)) |
31 | 30 | ralrimiva 3140 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ โ๐ฅ โ ran ๐ ๐ฅ โค sup(ran ๐, โ*, <
)) |
32 | 25 | ffnd 6670 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ ๐ Fn โ) |
33 | | breq1 5109 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ฅ = (๐โ๐) โ (๐ฅ โค sup(ran ๐, โ*, < ) โ (๐โ๐) โค sup(ran ๐, โ*, <
))) |
34 | 33 | ralrn 7039 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ Fn โ โ
(โ๐ฅ โ ran ๐ ๐ฅ โค sup(ran ๐, โ*, < ) โ
โ๐ โ โ
(๐โ๐) โค sup(ran ๐, โ*, <
))) |
35 | 32, 34 | syl 17 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ (โ๐ฅ โ ran ๐ ๐ฅ โค sup(ran ๐, โ*, < ) โ
โ๐ โ โ
(๐โ๐) โค sup(ran ๐, โ*, <
))) |
36 | 31, 35 | mpbid 231 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ โ๐ โ โ (๐โ๐) โค sup(ran ๐, โ*, <
)) |
37 | | brralrspcev 5166 |
. . . . . . 7
โข ((sup(ran
๐, โ*,
< ) โ โ โง โ๐ โ โ (๐โ๐) โค sup(ran ๐, โ*, < )) โ
โ๐ฅ โ โ
โ๐ โ โ
(๐โ๐) โค ๐ฅ) |
38 | 23, 36, 37 | syl2anc 585 |
. . . . . 6
โข (๐ โ โ๐ฅ โ โ โ๐ โ โ (๐โ๐) โค ๐ฅ) |
39 | 1, 5, 2, 6, 14, 15, 38 | isumsup2 15736 |
. . . . 5
โข (๐ โ ๐ โ sup(ran ๐, โ, < )) |
40 | | rge0ssre 13379 |
. . . . . . 7
โข
(0[,)+โ) โ โ |
41 | 26, 40 | sstrdi 3957 |
. . . . . 6
โข (๐ โ ran ๐ โ โ) |
42 | | 1nn 12169 |
. . . . . . . . 9
โข 1 โ
โ |
43 | 25 | fdmd 6680 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ dom ๐ = โ) |
44 | 42, 43 | eleqtrrid 2841 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ 1 โ dom ๐) |
45 | 44 | ne0d 4296 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ dom ๐ โ โ
) |
46 | | dm0rn0 5881 |
. . . . . . . 8
โข (dom
๐ = โ
โ ran
๐ =
โ
) |
47 | 46 | necon3bii 2993 |
. . . . . . 7
โข (dom
๐ โ โ
โ ran
๐ โ
โ
) |
48 | 45, 47 | sylib 217 |
. . . . . 6
โข (๐ โ ran ๐ โ โ
) |
49 | | brralrspcev 5166 |
. . . . . . 7
โข ((sup(ran
๐, โ*,
< ) โ โ โง โ๐ฅ โ ran ๐ ๐ฅ โค sup(ran ๐, โ*, < )) โ
โ๐ฆ โ โ
โ๐ฅ โ ran ๐ ๐ฅ โค ๐ฆ) |
50 | 23, 31, 49 | syl2anc 585 |
. . . . . 6
โข (๐ โ โ๐ฆ โ โ โ๐ฅ โ ran ๐ ๐ฅ โค ๐ฆ) |
51 | | supxrre 13252 |
. . . . . 6
โข ((ran
๐ โ โ โง ran
๐ โ โ
โง
โ๐ฆ โ โ
โ๐ฅ โ ran ๐ ๐ฅ โค ๐ฆ) โ sup(ran ๐, โ*, < ) = sup(ran
๐, โ, <
)) |
52 | 41, 48, 50, 51 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
โข (๐ โ sup(ran ๐, โ*, < ) = sup(ran
๐, โ, <
)) |
53 | 39, 52 | breqtrrd 5134 |
. . . 4
โข (๐ โ ๐ โ sup(ran ๐, โ*, <
)) |
54 | 1, 2, 3, 4, 53 | climi2 15399 |
. . 3
โข (๐ โ โ๐ โ โ โ๐ โ (โคโฅโ๐)(absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < ))) < ๐ถ) |
55 | 1 | r19.2uz 15242 |
. . 3
โข
(โ๐ โ
โ โ๐ โ
(โคโฅโ๐)(absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < ))) < ๐ถ โ โ๐ โ โ
(absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < )))
< ๐ถ) |
56 | 54, 55 | syl 17 |
. 2
โข (๐ โ โ๐ โ โ (absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < ))) < ๐ถ) |
57 | | 1zzd 12539 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ โง (๐ โ โ โง (absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < ))) < ๐ถ)) โง ๐ โ (1...๐)) โ 1 โ โค) |
58 | 3 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ โง (๐ โ โ โง (absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < ))) < ๐ถ)) โง ๐ โ (1...๐)) โ ๐ถ โ
โ+) |
59 | | simplrl 776 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ โง (๐ โ โ โง (absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < ))) < ๐ถ)) โง ๐ โ (1...๐)) โ ๐ โ โ) |
60 | 59 | nnrpd 12960 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ โง (๐ โ โ โง (absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < ))) < ๐ถ)) โง ๐ โ (1...๐)) โ ๐ โ โ+) |
61 | 58, 60 | rpdivcld 12979 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ โง (๐ โ โ โง (absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < ))) < ๐ถ)) โง ๐ โ (1...๐)) โ (๐ถ / ๐) โ
โ+) |
62 | | fvex 6856 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข
((,)โ(๐นโ๐ง)) โ V |
63 | 62 | inex1 5275 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข
(((,)โ(๐นโ๐ง)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐))) โ V |
64 | 63 | rgenw 3065 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข
โ๐ง โ
โ (((,)โ(๐นโ๐ง)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐))) โ V |
65 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ง โ โ โฆ
(((,)โ(๐นโ๐ง)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) = (๐ง โ โ โฆ (((,)โ(๐นโ๐ง)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) |
66 | 65 | fnmpt 6642 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข
(โ๐ง โ
โ (((,)โ(๐นโ๐ง)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐))) โ V โ (๐ง โ โ โฆ (((,)โ(๐นโ๐ง)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) Fn โ) |
67 | 64, 66 | mp1i 13 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((((๐ โง (๐ โ โ โง (absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < ))) < ๐ถ)) โง ๐ โ (1...๐)) โง ๐ โ โ) โ (๐ง โ โ โฆ (((,)โ(๐นโ๐ง)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) Fn โ) |
68 | | elfznn 13476 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ (1...๐) โ ๐ โ โ) |
69 | | fvco2 6939 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (((๐ง โ โ โฆ
(((,)โ(๐นโ๐ง)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) Fn โ โง ๐ โ โ) โ ((vol* โ (๐ง โ โ โฆ
(((,)โ(๐นโ๐ง)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))))โ๐) = (vol*โ((๐ง โ โ โฆ (((,)โ(๐นโ๐ง)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐))))โ๐))) |
70 | 67, 68, 69 | syl2an 597 |
. . . . . . . . . . . 12
โข
(((((๐ โง (๐ โ โ โง
(absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < )))
< ๐ถ)) โง ๐ โ (1...๐)) โง ๐ โ โ) โง ๐ โ (1...๐)) โ ((vol* โ (๐ง โ โ โฆ (((,)โ(๐นโ๐ง)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))))โ๐) = (vol*โ((๐ง โ โ โฆ (((,)โ(๐นโ๐ง)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐))))โ๐))) |
71 | 68 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข
(((((๐ โง (๐ โ โ โง
(absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < )))
< ๐ถ)) โง ๐ โ (1...๐)) โง ๐ โ โ) โง ๐ โ (1...๐)) โ ๐ โ โ) |
72 | | 2fveq3 6848 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ง = ๐ โ ((,)โ(๐นโ๐ง)) = ((,)โ(๐นโ๐))) |
73 | 72 | ineq1d 4172 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ง = ๐ โ (((,)โ(๐นโ๐ง)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐))) = (((,)โ(๐นโ๐)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) |
74 | | fvex 6856 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข
((,)โ(๐นโ๐)) โ V |
75 | 74 | inex1 5275 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข
(((,)โ(๐นโ๐)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐))) โ V |
76 | 73, 65, 75 | fvmpt 6949 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ โ โ ((๐ง โ โ โฆ
(((,)โ(๐นโ๐ง)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐))))โ๐) = (((,)โ(๐นโ๐)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) |
77 | 71, 76 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข
(((((๐ โง (๐ โ โ โง
(absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < )))
< ๐ถ)) โง ๐ โ (1...๐)) โง ๐ โ โ) โง ๐ โ (1...๐)) โ ((๐ง โ โ โฆ (((,)โ(๐นโ๐ง)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐))))โ๐) = (((,)โ(๐นโ๐)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) |
78 | 77 | fveq2d 6847 |
. . . . . . . . . . . 12
โข
(((((๐ โง (๐ โ โ โง
(absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < )))
< ๐ถ)) โง ๐ โ (1...๐)) โง ๐ โ โ) โง ๐ โ (1...๐)) โ (vol*โ((๐ง โ โ โฆ (((,)โ(๐นโ๐ง)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐))))โ๐)) = (vol*โ(((,)โ(๐นโ๐)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐))))) |
79 | 70, 78 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . . 11
โข
(((((๐ โง (๐ โ โ โง
(absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < )))
< ๐ถ)) โง ๐ โ (1...๐)) โง ๐ โ โ) โง ๐ โ (1...๐)) โ ((vol* โ (๐ง โ โ โฆ (((,)โ(๐นโ๐ง)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))))โ๐) = (vol*โ(((,)โ(๐นโ๐)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐))))) |
80 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((((๐ โง (๐ โ โ โง (absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < ))) < ๐ถ)) โง ๐ โ (1...๐)) โง ๐ โ โ) โ ๐ โ โ) |
81 | 80, 1 | eleqtrdi 2844 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((((๐ โง (๐ โ โ โง (absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < ))) < ๐ถ)) โง ๐ โ (1...๐)) โง ๐ โ โ) โ ๐ โ
(โคโฅโ1)) |
82 | | inss2 4190 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข
(((,)โ(๐นโ๐)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐))) โ ((,)โ(๐บโ๐)) |
83 | 7 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข ((๐ โง (๐ โ โ โง (absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < ))) < ๐ถ)) โ ๐บ:โโถ( โค โฉ (โ
ร โ))) |
84 | | elfznn 13476 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข (๐ โ (1...๐) โ ๐ โ โ) |
85 | | ffvelcdm 7033 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข ((๐บ:โโถ( โค โฉ
(โ ร โ)) โง ๐ โ โ) โ (๐บโ๐) โ ( โค โฉ (โ ร
โ))) |
86 | 83, 84, 85 | syl2an 597 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (((๐ โง (๐ โ โ โง (absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < ))) < ๐ถ)) โง ๐ โ (1...๐)) โ (๐บโ๐) โ ( โค โฉ (โ ร
โ))) |
87 | 86 | elin2d 4160 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (((๐ โง (๐ โ โ โง (absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < ))) < ๐ถ)) โง ๐ โ (1...๐)) โ (๐บโ๐) โ (โ ร
โ)) |
88 | | 1st2nd2 7961 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข ((๐บโ๐) โ (โ ร โ) โ
(๐บโ๐) = โจ(1st โ(๐บโ๐)), (2nd โ(๐บโ๐))โฉ) |
89 | 87, 88 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (((๐ โง (๐ โ โ โง (absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < ))) < ๐ถ)) โง ๐ โ (1...๐)) โ (๐บโ๐) = โจ(1st โ(๐บโ๐)), (2nd โ(๐บโ๐))โฉ) |
90 | 89 | fveq2d 6847 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (((๐ โง (๐ โ โ โง (absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < ))) < ๐ถ)) โง ๐ โ (1...๐)) โ ((,)โ(๐บโ๐)) = ((,)โโจ(1st
โ(๐บโ๐)), (2nd
โ(๐บโ๐))โฉ)) |
91 | | df-ov 7361 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข
((1st โ(๐บโ๐))(,)(2nd โ(๐บโ๐))) = ((,)โโจ(1st
โ(๐บโ๐)), (2nd
โ(๐บโ๐))โฉ) |
92 | 90, 91 | eqtr4di 2791 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (((๐ โง (๐ โ โ โง (absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < ))) < ๐ถ)) โง ๐ โ (1...๐)) โ ((,)โ(๐บโ๐)) = ((1st โ(๐บโ๐))(,)(2nd โ(๐บโ๐)))) |
93 | | ioossre 13331 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข
((1st โ(๐บโ๐))(,)(2nd โ(๐บโ๐))) โ โ |
94 | 92, 93 | eqsstrdi 3999 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (((๐ โง (๐ โ โ โง (absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < ))) < ๐ถ)) โง ๐ โ (1...๐)) โ ((,)โ(๐บโ๐)) โ โ) |
95 | 94 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข
(((((๐ โง (๐ โ โ โง
(absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < )))
< ๐ถ)) โง ๐ โ (1...๐)) โง ๐ โ โ) โง ๐ โ (1...๐)) โ ((,)โ(๐บโ๐)) โ โ) |
96 | 92 | fveq2d 6847 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (((๐ โง (๐ โ โ โง (absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < ))) < ๐ถ)) โง ๐ โ (1...๐)) โ (vol*โ((,)โ(๐บโ๐))) = (vol*โ((1st
โ(๐บโ๐))(,)(2nd
โ(๐บโ๐))))) |
97 | | ovolfcl 24846 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข ((๐บ:โโถ( โค โฉ
(โ ร โ)) โง ๐ โ โ) โ ((1st
โ(๐บโ๐)) โ โ โง
(2nd โ(๐บโ๐)) โ โ โง (1st
โ(๐บโ๐)) โค (2nd
โ(๐บโ๐)))) |
98 | 83, 84, 97 | syl2an 597 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (((๐ โง (๐ โ โ โง (absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < ))) < ๐ถ)) โง ๐ โ (1...๐)) โ ((1st โ(๐บโ๐)) โ โ โง (2nd
โ(๐บโ๐)) โ โ โง
(1st โ(๐บโ๐)) โค (2nd โ(๐บโ๐)))) |
99 | | ovolioo 24948 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข
(((1st โ(๐บโ๐)) โ โ โง (2nd
โ(๐บโ๐)) โ โ โง
(1st โ(๐บโ๐)) โค (2nd โ(๐บโ๐))) โ (vol*โ((1st
โ(๐บโ๐))(,)(2nd
โ(๐บโ๐)))) = ((2nd
โ(๐บโ๐)) โ (1st
โ(๐บโ๐)))) |
100 | 98, 99 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (((๐ โง (๐ โ โ โง (absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < ))) < ๐ถ)) โง ๐ โ (1...๐)) โ (vol*โ((1st
โ(๐บโ๐))(,)(2nd
โ(๐บโ๐)))) = ((2nd
โ(๐บโ๐)) โ (1st
โ(๐บโ๐)))) |
101 | 96, 100 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (((๐ โง (๐ โ โ โง (absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < ))) < ๐ถ)) โง ๐ โ (1...๐)) โ (vol*โ((,)โ(๐บโ๐))) = ((2nd โ(๐บโ๐)) โ (1st โ(๐บโ๐)))) |
102 | 98 | simp2d 1144 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (((๐ โง (๐ โ โ โง (absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < ))) < ๐ถ)) โง ๐ โ (1...๐)) โ (2nd โ(๐บโ๐)) โ โ) |
103 | 98 | simp1d 1143 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (((๐ โง (๐ โ โ โง (absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < ))) < ๐ถ)) โง ๐ โ (1...๐)) โ (1st โ(๐บโ๐)) โ โ) |
104 | 102, 103 | resubcld 11588 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (((๐ โง (๐ โ โ โง (absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < ))) < ๐ถ)) โง ๐ โ (1...๐)) โ ((2nd โ(๐บโ๐)) โ (1st โ(๐บโ๐))) โ โ) |
105 | 101, 104 | eqeltrd 2834 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (((๐ โง (๐ โ โ โง (absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < ))) < ๐ถ)) โง ๐ โ (1...๐)) โ (vol*โ((,)โ(๐บโ๐))) โ โ) |
106 | 105 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข
(((((๐ โง (๐ โ โ โง
(absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < )))
< ๐ถ)) โง ๐ โ (1...๐)) โง ๐ โ โ) โง ๐ โ (1...๐)) โ (vol*โ((,)โ(๐บโ๐))) โ โ) |
107 | | ovolsscl 24866 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข
(((((,)โ(๐นโ๐)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐))) โ ((,)โ(๐บโ๐)) โง ((,)โ(๐บโ๐)) โ โ โง
(vol*โ((,)โ(๐บโ๐))) โ โ) โ
(vol*โ(((,)โ(๐นโ๐)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) โ โ) |
108 | 82, 95, 106, 107 | mp3an2i 1467 |
. . . . . . . . . . . 12
โข
(((((๐ โง (๐ โ โ โง
(absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < )))
< ๐ถ)) โง ๐ โ (1...๐)) โง ๐ โ โ) โง ๐ โ (1...๐)) โ (vol*โ(((,)โ(๐นโ๐)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) โ โ) |
109 | 108 | recnd 11188 |
. . . . . . . . . . 11
โข
(((((๐ โง (๐ โ โ โง
(absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < )))
< ๐ถ)) โง ๐ โ (1...๐)) โง ๐ โ โ) โง ๐ โ (1...๐)) โ (vol*โ(((,)โ(๐นโ๐)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) โ โ) |
110 | 79, 81, 109 | fsumser 15620 |
. . . . . . . . . 10
โข ((((๐ โง (๐ โ โ โง (absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < ))) < ๐ถ)) โง ๐ โ (1...๐)) โง ๐ โ โ) โ ฮฃ๐ โ (1...๐)(vol*โ(((,)โ(๐นโ๐)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) = (seq1( + , (vol* โ (๐ง โ โ โฆ
(((,)โ(๐นโ๐ง)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐))))))โ๐)) |
111 | 110 | eqcomd 2739 |
. . . . . . . . 9
โข ((((๐ โง (๐ โ โ โง (absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < ))) < ๐ถ)) โง ๐ โ (1...๐)) โง ๐ โ โ) โ (seq1( + , (vol*
โ (๐ง โ โ
โฆ (((,)โ(๐นโ๐ง)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐))))))โ๐) = ฮฃ๐ โ (1...๐)(vol*โ(((,)โ(๐นโ๐)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐))))) |
112 | | 2fveq3 6848 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ง = ๐ โ ((,)โ(๐นโ๐ง)) = ((,)โ(๐นโ๐))) |
113 | 112 | ineq1d 4172 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ง = ๐ โ (((,)โ(๐นโ๐ง)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐))) = (((,)โ(๐นโ๐)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) |
114 | 113 | cbvmptv 5219 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ง โ โ โฆ
(((,)โ(๐นโ๐ง)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) = (๐ โ โ โฆ (((,)โ(๐นโ๐)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) |
115 | | eqeq1 2737 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ง = ๐ฅ โ (๐ง = โ
โ ๐ฅ = โ
)) |
116 | | infeq1 9417 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ง = ๐ฅ โ inf(๐ง, โ*, < ) = inf(๐ฅ, โ*, <
)) |
117 | | supeq1 9386 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ง = ๐ฅ โ sup(๐ง, โ*, < ) = sup(๐ฅ, โ*, <
)) |
118 | 116, 117 | opeq12d 4839 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ง = ๐ฅ โ โจinf(๐ง, โ*, < ), sup(๐ง, โ*, <
)โฉ = โจinf(๐ฅ,
โ*, < ), sup(๐ฅ, โ*, <
)โฉ) |
119 | 115, 118 | ifbieq2d 4513 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ง = ๐ฅ โ if(๐ง = โ
, โจ0, 0โฉ, โจinf(๐ง, โ*, < ),
sup(๐ง, โ*,
< )โฉ) = if(๐ฅ =
โ
, โจ0, 0โฉ, โจinf(๐ฅ, โ*, < ), sup(๐ฅ, โ*, <
)โฉ)) |
120 | 119 | cbvmptv 5219 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ง โ ran (,) โฆ if(๐ง = โ
, โจ0, 0โฉ,
โจinf(๐ง,
โ*, < ), sup(๐ง, โ*, < )โฉ)) =
(๐ฅ โ ran (,) โฆ
if(๐ฅ = โ
, โจ0,
0โฉ, โจinf(๐ฅ,
โ*, < ), sup(๐ฅ, โ*, <
)โฉ)) |
121 | 16, 17, 18, 19, 20, 3, 7, 21, 5,
22, 114, 120 | uniioombllem2 24963 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โง ๐ โ โ) โ seq1( + , (vol*
โ (๐ง โ โ
โฆ (((,)โ(๐นโ๐ง)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))))) โ (vol*โ(((,)โ(๐บโ๐)) โฉ ๐ด))) |
122 | 84, 121 | sylan2 594 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง ๐ โ (1...๐)) โ seq1( + , (vol* โ (๐ง โ โ โฆ
(((,)โ(๐นโ๐ง)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))))) โ (vol*โ(((,)โ(๐บโ๐)) โฉ ๐ด))) |
123 | 122 | adantlr 714 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ โง (๐ โ โ โง (absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < ))) < ๐ถ)) โง ๐ โ (1...๐)) โ seq1( + , (vol* โ (๐ง โ โ โฆ
(((,)โ(๐นโ๐ง)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))))) โ (vol*โ(((,)โ(๐บโ๐)) โฉ ๐ด))) |
124 | 1, 57, 61, 111, 123 | climi2 15399 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ โง (๐ โ โ โง (absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < ))) < ๐ถ)) โง ๐ โ (1...๐)) โ โ๐ โ โ โ๐ โ (โคโฅโ๐)(absโ(ฮฃ๐ โ (1...๐)(vol*โ(((,)โ(๐นโ๐)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) โ (vol*โ(((,)โ(๐บโ๐)) โฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐)) |
125 | | 1z 12538 |
. . . . . . . . 9
โข 1 โ
โค |
126 | 1 | rexuz3 15239 |
. . . . . . . . 9
โข (1 โ
โค โ (โ๐
โ โ โ๐
โ (โคโฅโ๐)(absโ(ฮฃ๐ โ (1...๐)(vol*โ(((,)โ(๐นโ๐)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) โ (vol*โ(((,)โ(๐บโ๐)) โฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐) โ โ๐ โ โค โ๐ โ (โคโฅโ๐)(absโ(ฮฃ๐ โ (1...๐)(vol*โ(((,)โ(๐นโ๐)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) โ (vol*โ(((,)โ(๐บโ๐)) โฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐))) |
127 | 125, 126 | ax-mp 5 |
. . . . . . . 8
โข
(โ๐ โ
โ โ๐ โ
(โคโฅโ๐)(absโ(ฮฃ๐ โ (1...๐)(vol*โ(((,)โ(๐นโ๐)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) โ (vol*โ(((,)โ(๐บโ๐)) โฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐) โ โ๐ โ โค โ๐ โ (โคโฅโ๐)(absโ(ฮฃ๐ โ (1...๐)(vol*โ(((,)โ(๐นโ๐)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) โ (vol*โ(((,)โ(๐บโ๐)) โฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐)) |
128 | 124, 127 | sylib 217 |
. . . . . . 7
โข (((๐ โง (๐ โ โ โง (absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < ))) < ๐ถ)) โง ๐ โ (1...๐)) โ โ๐ โ โค โ๐ โ (โคโฅโ๐)(absโ(ฮฃ๐ โ (1...๐)(vol*โ(((,)โ(๐นโ๐)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) โ (vol*โ(((,)โ(๐บโ๐)) โฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐)) |
129 | 128 | ralrimiva 3140 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง (๐ โ โ โง (absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < ))) < ๐ถ)) โ โ๐ โ (1...๐)โ๐ โ โค โ๐ โ (โคโฅโ๐)(absโ(ฮฃ๐ โ (1...๐)(vol*โ(((,)โ(๐นโ๐)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) โ (vol*โ(((,)โ(๐บโ๐)) โฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐)) |
130 | | fzfi 13883 |
. . . . . . 7
โข
(1...๐) โ
Fin |
131 | | rexfiuz 15238 |
. . . . . . 7
โข
((1...๐) โ Fin
โ (โ๐ โ
โค โ๐ โ
(โคโฅโ๐)โ๐ โ (1...๐)(absโ(ฮฃ๐ โ (1...๐)(vol*โ(((,)โ(๐นโ๐)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) โ (vol*โ(((,)โ(๐บโ๐)) โฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐) โ โ๐ โ (1...๐)โ๐ โ โค โ๐ โ (โคโฅโ๐)(absโ(ฮฃ๐ โ (1...๐)(vol*โ(((,)โ(๐นโ๐)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) โ (vol*โ(((,)โ(๐บโ๐)) โฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐))) |
132 | 130, 131 | ax-mp 5 |
. . . . . 6
โข
(โ๐ โ
โค โ๐ โ
(โคโฅโ๐)โ๐ โ (1...๐)(absโ(ฮฃ๐ โ (1...๐)(vol*โ(((,)โ(๐นโ๐)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) โ (vol*โ(((,)โ(๐บโ๐)) โฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐) โ โ๐ โ (1...๐)โ๐ โ โค โ๐ โ (โคโฅโ๐)(absโ(ฮฃ๐ โ (1...๐)(vol*โ(((,)โ(๐นโ๐)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) โ (vol*โ(((,)โ(๐บโ๐)) โฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐)) |
133 | 129, 132 | sylibr 233 |
. . . . 5
โข ((๐ โง (๐ โ โ โง (absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < ))) < ๐ถ)) โ โ๐ โ โค โ๐ โ
(โคโฅโ๐)โ๐ โ (1...๐)(absโ(ฮฃ๐ โ (1...๐)(vol*โ(((,)โ(๐นโ๐)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) โ (vol*โ(((,)โ(๐บโ๐)) โฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐)) |
134 | 1 | rexuz3 15239 |
. . . . . 6
โข (1 โ
โค โ (โ๐
โ โ โ๐
โ (โคโฅโ๐)โ๐ โ (1...๐)(absโ(ฮฃ๐ โ (1...๐)(vol*โ(((,)โ(๐นโ๐)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) โ (vol*โ(((,)โ(๐บโ๐)) โฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐) โ โ๐ โ โค โ๐ โ (โคโฅโ๐)โ๐ โ (1...๐)(absโ(ฮฃ๐ โ (1...๐)(vol*โ(((,)โ(๐นโ๐)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) โ (vol*โ(((,)โ(๐บโ๐)) โฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐))) |
135 | 125, 134 | ax-mp 5 |
. . . . 5
โข
(โ๐ โ
โ โ๐ โ
(โคโฅโ๐)โ๐ โ (1...๐)(absโ(ฮฃ๐ โ (1...๐)(vol*โ(((,)โ(๐นโ๐)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) โ (vol*โ(((,)โ(๐บโ๐)) โฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐) โ โ๐ โ โค โ๐ โ (โคโฅโ๐)โ๐ โ (1...๐)(absโ(ฮฃ๐ โ (1...๐)(vol*โ(((,)โ(๐นโ๐)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) โ (vol*โ(((,)โ(๐บโ๐)) โฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐)) |
136 | 133, 135 | sylibr 233 |
. . . 4
โข ((๐ โง (๐ โ โ โง (absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < ))) < ๐ถ)) โ โ๐ โ โ โ๐ โ
(โคโฅโ๐)โ๐ โ (1...๐)(absโ(ฮฃ๐ โ (1...๐)(vol*โ(((,)โ(๐นโ๐)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) โ (vol*โ(((,)โ(๐บโ๐)) โฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐)) |
137 | 1 | r19.2uz 15242 |
. . . 4
โข
(โ๐ โ
โ โ๐ โ
(โคโฅโ๐)โ๐ โ (1...๐)(absโ(ฮฃ๐ โ (1...๐)(vol*โ(((,)โ(๐นโ๐)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) โ (vol*โ(((,)โ(๐บโ๐)) โฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐) โ โ๐ โ โ โ๐ โ (1...๐)(absโ(ฮฃ๐ โ (1...๐)(vol*โ(((,)โ(๐นโ๐)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) โ (vol*โ(((,)โ(๐บโ๐)) โฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐)) |
138 | 136, 137 | syl 17 |
. . 3
โข ((๐ โง (๐ โ โ โง (absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < ))) < ๐ถ)) โ โ๐ โ โ โ๐ โ (1...๐)(absโ(ฮฃ๐ โ (1...๐)(vol*โ(((,)โ(๐นโ๐)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) โ (vol*โ(((,)โ(๐บโ๐)) โฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐)) |
139 | 16 | adantr 482 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ((๐ โ โ โง (absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < ))) < ๐ถ) โง (๐ โ โ โง โ๐ โ (1...๐)(absโ(ฮฃ๐ โ (1...๐)(vol*โ(((,)โ(๐นโ๐)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) โ (vol*โ(((,)โ(๐บโ๐)) โฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐)))) โ ๐น:โโถ( โค โฉ (โ
ร โ))) |
140 | 17 | adantr 482 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ((๐ โ โ โง (absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < ))) < ๐ถ) โง (๐ โ โ โง โ๐ โ (1...๐)(absโ(ฮฃ๐ โ (1...๐)(vol*โ(((,)โ(๐นโ๐)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) โ (vol*โ(((,)โ(๐บโ๐)) โฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐)))) โ Disj ๐ฅ โ โ ((,)โ(๐นโ๐ฅ))) |
141 | 20 | adantr 482 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ((๐ โ โ โง (absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < ))) < ๐ถ) โง (๐ โ โ โง โ๐ โ (1...๐)(absโ(ฮฃ๐ โ (1...๐)(vol*โ(((,)โ(๐นโ๐)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) โ (vol*โ(((,)โ(๐บโ๐)) โฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐)))) โ (vol*โ๐ธ) โ โ) |
142 | 3 | adantr 482 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ((๐ โ โ โง (absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < ))) < ๐ถ) โง (๐ โ โ โง โ๐ โ (1...๐)(absโ(ฮฃ๐ โ (1...๐)(vol*โ(((,)โ(๐นโ๐)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) โ (vol*โ(((,)โ(๐บโ๐)) โฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐)))) โ ๐ถ โ
โ+) |
143 | 7 | adantr 482 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ((๐ โ โ โง (absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < ))) < ๐ถ) โง (๐ โ โ โง โ๐ โ (1...๐)(absโ(ฮฃ๐ โ (1...๐)(vol*โ(((,)โ(๐นโ๐)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) โ (vol*โ(((,)โ(๐บโ๐)) โฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐)))) โ ๐บ:โโถ( โค โฉ (โ
ร โ))) |
144 | 21 | adantr 482 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ((๐ โ โ โง (absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < ))) < ๐ถ) โง (๐ โ โ โง โ๐ โ (1...๐)(absโ(ฮฃ๐ โ (1...๐)(vol*โ(((,)โ(๐นโ๐)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) โ (vol*โ(((,)โ(๐บโ๐)) โฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐)))) โ ๐ธ โ โช ran
((,) โ ๐บ)) |
145 | 22 | adantr 482 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ((๐ โ โ โง (absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < ))) < ๐ถ) โง (๐ โ โ โง โ๐ โ (1...๐)(absโ(ฮฃ๐ โ (1...๐)(vol*โ(((,)โ(๐นโ๐)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) โ (vol*โ(((,)โ(๐บโ๐)) โฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐)))) โ sup(ran ๐, โ*, < ) โค
((vol*โ๐ธ) + ๐ถ)) |
146 | | simprll 778 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ((๐ โ โ โง (absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < ))) < ๐ถ) โง (๐ โ โ โง โ๐ โ (1...๐)(absโ(ฮฃ๐ โ (1...๐)(vol*โ(((,)โ(๐นโ๐)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) โ (vol*โ(((,)โ(๐บโ๐)) โฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐)))) โ ๐ โ โ) |
147 | | simprlr 779 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ((๐ โ โ โง (absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < ))) < ๐ถ) โง (๐ โ โ โง โ๐ โ (1...๐)(absโ(ฮฃ๐ โ (1...๐)(vol*โ(((,)โ(๐นโ๐)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) โ (vol*โ(((,)โ(๐บโ๐)) โฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐)))) โ (absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < ))) < ๐ถ) |
148 | | eqid 2733 |
. . . . 5
โข โช (((,) โ ๐บ) โ (1...๐)) = โช (((,)
โ ๐บ) โ
(1...๐)) |
149 | | simprrl 780 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ((๐ โ โ โง (absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < ))) < ๐ถ) โง (๐ โ โ โง โ๐ โ (1...๐)(absโ(ฮฃ๐ โ (1...๐)(vol*โ(((,)โ(๐นโ๐)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) โ (vol*โ(((,)โ(๐บโ๐)) โฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐)))) โ ๐ โ โ) |
150 | | simprrr 781 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง ((๐ โ โ โง (absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < ))) < ๐ถ) โง (๐ โ โ โง โ๐ โ (1...๐)(absโ(ฮฃ๐ โ (1...๐)(vol*โ(((,)โ(๐นโ๐)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) โ (vol*โ(((,)โ(๐บโ๐)) โฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐)))) โ โ๐ โ (1...๐)(absโ(ฮฃ๐ โ (1...๐)(vol*โ(((,)โ(๐นโ๐)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) โ (vol*โ(((,)โ(๐บโ๐)) โฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐)) |
151 | | 2fveq3 6848 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ = ๐ง โ ((,)โ(๐นโ๐)) = ((,)โ(๐นโ๐ง))) |
152 | 151 | ineq1d 4172 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ = ๐ง โ (((,)โ(๐นโ๐)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐))) = (((,)โ(๐นโ๐ง)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) |
153 | 152 | fveq2d 6847 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ = ๐ง โ (vol*โ(((,)โ(๐นโ๐)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) = (vol*โ(((,)โ(๐นโ๐ง)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐))))) |
154 | 153 | cbvsumv 15586 |
. . . . . . . . . . 11
โข
ฮฃ๐ โ
(1...๐)(vol*โ(((,)โ(๐นโ๐)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) = ฮฃ๐ง โ (1...๐)(vol*โ(((,)โ(๐นโ๐ง)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) |
155 | | 2fveq3 6848 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ = ๐ โ ((,)โ(๐บโ๐)) = ((,)โ(๐บโ๐))) |
156 | 155 | ineq2d 4173 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ = ๐ โ (((,)โ(๐นโ๐ง)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐))) = (((,)โ(๐นโ๐ง)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) |
157 | 156 | fveq2d 6847 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ = ๐ โ (vol*โ(((,)โ(๐นโ๐ง)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) = (vol*โ(((,)โ(๐นโ๐ง)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐))))) |
158 | 157 | sumeq2sdv 15594 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ = ๐ โ ฮฃ๐ง โ (1...๐)(vol*โ(((,)โ(๐นโ๐ง)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) = ฮฃ๐ง โ (1...๐)(vol*โ(((,)โ(๐นโ๐ง)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐))))) |
159 | 154, 158 | eqtrid 2785 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ = ๐ โ ฮฃ๐ โ (1...๐)(vol*โ(((,)โ(๐นโ๐)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) = ฮฃ๐ง โ (1...๐)(vol*โ(((,)โ(๐นโ๐ง)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐))))) |
160 | 155 | ineq1d 4172 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ = ๐ โ (((,)โ(๐บโ๐)) โฉ ๐ด) = (((,)โ(๐บโ๐)) โฉ ๐ด)) |
161 | 160 | fveq2d 6847 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ = ๐ โ (vol*โ(((,)โ(๐บโ๐)) โฉ ๐ด)) = (vol*โ(((,)โ(๐บโ๐)) โฉ ๐ด))) |
162 | 159, 161 | oveq12d 7376 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ = ๐ โ (ฮฃ๐ โ (1...๐)(vol*โ(((,)โ(๐นโ๐)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) โ (vol*โ(((,)โ(๐บโ๐)) โฉ ๐ด))) = (ฮฃ๐ง โ (1...๐)(vol*โ(((,)โ(๐นโ๐ง)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) โ (vol*โ(((,)โ(๐บโ๐)) โฉ ๐ด)))) |
163 | 162 | fveq2d 6847 |
. . . . . . . 8
โข (๐ = ๐ โ (absโ(ฮฃ๐ โ (1...๐)(vol*โ(((,)โ(๐นโ๐)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) โ (vol*โ(((,)โ(๐บโ๐)) โฉ ๐ด)))) = (absโ(ฮฃ๐ง โ (1...๐)(vol*โ(((,)โ(๐นโ๐ง)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) โ (vol*โ(((,)โ(๐บโ๐)) โฉ ๐ด))))) |
164 | 163 | breq1d 5116 |
. . . . . . 7
โข (๐ = ๐ โ ((absโ(ฮฃ๐ โ (1...๐)(vol*โ(((,)โ(๐นโ๐)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) โ (vol*โ(((,)โ(๐บโ๐)) โฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐) โ (absโ(ฮฃ๐ง โ (1...๐)(vol*โ(((,)โ(๐นโ๐ง)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) โ (vol*โ(((,)โ(๐บโ๐)) โฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐))) |
165 | 164 | cbvralvw 3224 |
. . . . . 6
โข
(โ๐ โ
(1...๐)(absโ(ฮฃ๐ โ (1...๐)(vol*โ(((,)โ(๐นโ๐)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) โ (vol*โ(((,)โ(๐บโ๐)) โฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐) โ โ๐ โ (1...๐)(absโ(ฮฃ๐ง โ (1...๐)(vol*โ(((,)โ(๐นโ๐ง)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) โ (vol*โ(((,)โ(๐บโ๐)) โฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐)) |
166 | 150, 165 | sylib 217 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ((๐ โ โ โง (absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < ))) < ๐ถ) โง (๐ โ โ โง โ๐ โ (1...๐)(absโ(ฮฃ๐ โ (1...๐)(vol*โ(((,)โ(๐นโ๐)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) โ (vol*โ(((,)โ(๐บโ๐)) โฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐)))) โ โ๐ โ (1...๐)(absโ(ฮฃ๐ง โ (1...๐)(vol*โ(((,)โ(๐นโ๐ง)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) โ (vol*โ(((,)โ(๐บโ๐)) โฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐)) |
167 | | eqid 2733 |
. . . . 5
โข โช (((,) โ ๐น) โ (1...๐)) = โช (((,)
โ ๐น) โ
(1...๐)) |
168 | 139, 140,
18, 19, 141, 142, 143, 144, 5, 145, 146, 147, 148, 149, 166, 167 | uniioombllem5 24967 |
. . . 4
โข ((๐ โง ((๐ โ โ โง (absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < ))) < ๐ถ) โง (๐ โ โ โง โ๐ โ (1...๐)(absโ(ฮฃ๐ โ (1...๐)(vol*โ(((,)โ(๐นโ๐)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) โ (vol*โ(((,)โ(๐บโ๐)) โฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐)))) โ ((vol*โ(๐ธ โฉ ๐ด)) + (vol*โ(๐ธ โ ๐ด))) โค ((vol*โ๐ธ) + (4 ยท ๐ถ))) |
169 | 168 | anassrs 469 |
. . 3
โข (((๐ โง (๐ โ โ โง (absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < ))) < ๐ถ)) โง (๐ โ โ โง โ๐ โ (1...๐)(absโ(ฮฃ๐ โ (1...๐)(vol*โ(((,)โ(๐นโ๐)) โฉ ((,)โ(๐บโ๐)))) โ (vol*โ(((,)โ(๐บโ๐)) โฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐))) โ ((vol*โ(๐ธ โฉ ๐ด)) + (vol*โ(๐ธ โ ๐ด))) โค ((vol*โ๐ธ) + (4 ยท ๐ถ))) |
170 | 138, 169 | rexlimddv 3155 |
. 2
โข ((๐ โง (๐ โ โ โง (absโ((๐โ๐) โ sup(ran ๐, โ*, < ))) < ๐ถ)) โ ((vol*โ(๐ธ โฉ ๐ด)) + (vol*โ(๐ธ โ ๐ด))) โค ((vol*โ๐ธ) + (4 ยท ๐ถ))) |
171 | 56, 170 | rexlimddv 3155 |
1
โข (๐ โ ((vol*โ(๐ธ โฉ ๐ด)) + (vol*โ(๐ธ โ ๐ด))) โค ((vol*โ๐ธ) + (4 ยท ๐ถ))) |