MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uniioombllem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uniioombllem6 25337
Description: Lemma for uniioombl 25338. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1 (๐œ‘ โ†’ ๐น:โ„•โŸถ( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)))
uniioombl.2 (๐œ‘ โ†’ Disj ๐‘ฅ โˆˆ โ„• ((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ฅ)))
uniioombl.3 ๐‘† = seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐น))
uniioombl.a ๐ด = โˆช ran ((,) โˆ˜ ๐น)
uniioombl.e (๐œ‘ โ†’ (vol*โ€˜๐ธ) โˆˆ โ„)
uniioombl.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
uniioombl.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ:โ„•โŸถ( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)))
uniioombl.s (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โІ โˆช ran ((,) โˆ˜ ๐บ))
uniioombl.t ๐‘‡ = seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ))
uniioombl.v (๐œ‘ โ†’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ธ) + ๐ถ))
Assertion
Ref Expression
uniioombllem6 (๐œ‘ โ†’ ((vol*โ€˜(๐ธ โˆฉ ๐ด)) + (vol*โ€˜(๐ธ โˆ– ๐ด))) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ธ) + (4 ยท ๐ถ)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐น   ๐‘ฅ,๐บ   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ถ   ๐œ‘,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘‡
Allowed substitution hints:   ๐‘†(๐‘ฅ)   ๐ธ(๐‘ฅ)

Proof of Theorem uniioombllem6
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘– ๐‘— ๐‘˜ ๐‘› ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12869 . . . 4 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
2 1zzd 12597 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
3 uniioombl.c . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
4 eqidd 2731 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘š) = (๐‘‡โ€˜๐‘š))
5 uniioombl.t . . . . . 6 ๐‘‡ = seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ))
6 eqidd 2731 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โ†’ (((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ)โ€˜๐‘Ž) = (((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ)โ€˜๐‘Ž))
7 uniioombl.g . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐บ:โ„•โŸถ( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)))
8 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ) = ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ)
98ovolfsf 25220 . . . . . . . . . 10 (๐บ:โ„•โŸถ( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)) โ†’ ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ):โ„•โŸถ(0[,)+โˆž))
107, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ):โ„•โŸถ(0[,)+โˆž))
1110ffvelcdmda 7085 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โ†’ (((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ)โ€˜๐‘Ž) โˆˆ (0[,)+โˆž))
12 elrege0 13435 . . . . . . . 8 ((((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ)โ€˜๐‘Ž) โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” ((((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ)โ€˜๐‘Ž) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ)โ€˜๐‘Ž)))
1311, 12sylib 217 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โ†’ ((((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ)โ€˜๐‘Ž) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ)โ€˜๐‘Ž)))
1413simpld 493 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โ†’ (((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ)โ€˜๐‘Ž) โˆˆ โ„)
1513simprd 494 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค (((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ)โ€˜๐‘Ž))
16 uniioombl.1 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐น:โ„•โŸถ( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)))
17 uniioombl.2 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ Disj ๐‘ฅ โˆˆ โ„• ((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ฅ)))
18 uniioombl.3 . . . . . . . 8 ๐‘† = seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐น))
19 uniioombl.a . . . . . . . 8 ๐ด = โˆช ran ((,) โˆ˜ ๐น)
20 uniioombl.e . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (vol*โ€˜๐ธ) โˆˆ โ„)
21 uniioombl.s . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โІ โˆช ran ((,) โˆ˜ ๐บ))
22 uniioombl.v . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ธ) + ๐ถ))
2316, 17, 18, 19, 20, 3, 7, 21, 5, 22uniioombllem1 25330 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ) โˆˆ โ„)
248, 5ovolsf 25221 . . . . . . . . . . . . 13 (๐บ:โ„•โŸถ( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)) โ†’ ๐‘‡:โ„•โŸถ(0[,)+โˆž))
257, 24syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡:โ„•โŸถ(0[,)+โˆž))
2625frnd 6724 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ran ๐‘‡ โІ (0[,)+โˆž))
27 icossxr 13413 . . . . . . . . . . 11 (0[,)+โˆž) โІ โ„*
2826, 27sstrdi 3993 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ran ๐‘‡ โІ โ„*)
29 supxrub 13307 . . . . . . . . . 10 ((ran ๐‘‡ โІ โ„* โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ran ๐‘‡) โ†’ ๐‘ฅ โ‰ค sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))
3028, 29sylan 578 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ran ๐‘‡) โ†’ ๐‘ฅ โ‰ค sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))
3130ralrimiva 3144 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ran ๐‘‡ ๐‘ฅ โ‰ค sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))
3225ffnd 6717 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ Fn โ„•)
33 breq1 5150 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = (๐‘‡โ€˜๐‘š) โ†’ (๐‘ฅ โ‰ค sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ) โ†” (๐‘‡โ€˜๐‘š) โ‰ค sup(ran ๐‘‡, โ„*, < )))
3433ralrn 7088 . . . . . . . . 9 (๐‘‡ Fn โ„• โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ran ๐‘‡ ๐‘ฅ โ‰ค sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ) โ†” โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘‡โ€˜๐‘š) โ‰ค sup(ran ๐‘‡, โ„*, < )))
3532, 34syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ran ๐‘‡ ๐‘ฅ โ‰ค sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ) โ†” โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘‡โ€˜๐‘š) โ‰ค sup(ran ๐‘‡, โ„*, < )))
3631, 35mpbid 231 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘‡โ€˜๐‘š) โ‰ค sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))
37 brralrspcev 5207 . . . . . . 7 ((sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ) โˆˆ โ„ โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘‡โ€˜๐‘š) โ‰ค sup(ran ๐‘‡, โ„*, < )) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘‡โ€˜๐‘š) โ‰ค ๐‘ฅ)
3823, 36, 37syl2anc 582 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘‡โ€˜๐‘š) โ‰ค ๐‘ฅ)
391, 5, 2, 6, 14, 15, 38isumsup2 15796 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โ‡ sup(ran ๐‘‡, โ„, < ))
40 rge0ssre 13437 . . . . . . 7 (0[,)+โˆž) โІ โ„
4126, 40sstrdi 3993 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ran ๐‘‡ โІ โ„)
42 1nn 12227 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„•
4325fdmd 6727 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ dom ๐‘‡ = โ„•)
4442, 43eleqtrrid 2838 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ dom ๐‘‡)
4544ne0d 4334 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ dom ๐‘‡ โ‰  โˆ…)
46 dm0rn0 5923 . . . . . . . 8 (dom ๐‘‡ = โˆ… โ†” ran ๐‘‡ = โˆ…)
4746necon3bii 2991 . . . . . . 7 (dom ๐‘‡ โ‰  โˆ… โ†” ran ๐‘‡ โ‰  โˆ…)
4845, 47sylib 217 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ran ๐‘‡ โ‰  โˆ…)
49 brralrspcev 5207 . . . . . . 7 ((sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ) โˆˆ โ„ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ran ๐‘‡ ๐‘ฅ โ‰ค sup(ran ๐‘‡, โ„*, < )) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ran ๐‘‡ ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ฆ)
5023, 31, 49syl2anc 582 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ran ๐‘‡ ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ฆ)
51 supxrre 13310 . . . . . 6 ((ran ๐‘‡ โІ โ„ โˆง ran ๐‘‡ โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ran ๐‘‡ ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ฆ) โ†’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ) = sup(ran ๐‘‡, โ„, < ))
5241, 48, 50, 51syl3anc 1369 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ) = sup(ran ๐‘‡, โ„, < ))
5339, 52breqtrrd 5175 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โ‡ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))
541, 2, 3, 4, 53climi2 15459 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘—)(absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)
551r19.2uz 15302 . . 3 (โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘—)(absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)
5654, 55syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)
57 1zzd 12597 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
583ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
59 simplrl 773 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
6059nnrpd 13018 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„+)
6158, 60rpdivcld 13037 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ (๐ถ / ๐‘š) โˆˆ โ„+)
62 fvex 6903 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆˆ V
6362inex1 5316 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))) โˆˆ V
6463rgenw 3063 . . . . . . . . . . . . . 14 โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„• (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))) โˆˆ V
65 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†ฆ (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) = (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†ฆ (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))))
6665fnmpt 6689 . . . . . . . . . . . . . 14 (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„• (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))) โˆˆ V โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†ฆ (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) Fn โ„•)
6764, 66mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†ฆ (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) Fn โ„•)
68 elfznn 13534 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘– โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•)
69 fvco2 6987 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ง โˆˆ โ„• โ†ฆ (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) Fn โ„• โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โ†’ ((vol* โˆ˜ (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†ฆ (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))))โ€˜๐‘–) = (vol*โ€˜((๐‘ง โˆˆ โ„• โ†ฆ (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))))โ€˜๐‘–)))
7067, 68, 69syl2an 594 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)) โ†’ ((vol* โˆ˜ (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†ฆ (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))))โ€˜๐‘–) = (vol*โ€˜((๐‘ง โˆˆ โ„• โ†ฆ (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))))โ€˜๐‘–)))
7168adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•)
72 2fveq3 6895 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ง = ๐‘– โ†’ ((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) = ((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)))
7372ineq1d 4210 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ง = ๐‘– โ†’ (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))) = (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))))
74 fvex 6903 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆˆ V
7574inex1 5316 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))) โˆˆ V
7673, 65, 75fvmpt 6997 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘– โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ง โˆˆ โ„• โ†ฆ (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))))โ€˜๐‘–) = (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))))
7771, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)) โ†’ ((๐‘ง โˆˆ โ„• โ†ฆ (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))))โ€˜๐‘–) = (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))))
7877fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)) โ†’ (vol*โ€˜((๐‘ง โˆˆ โ„• โ†ฆ (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))))โ€˜๐‘–)) = (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))))
7970, 78eqtrd 2770 . . . . . . . . . . 11 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)) โ†’ ((vol* โˆ˜ (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†ฆ (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))))โ€˜๐‘–) = (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))))
80 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
8180, 1eleqtrdi 2841 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
82 inss2 4228 . . . . . . . . . . . . 13 (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))) โІ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))
837adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โ†’ ๐บ:โ„•โŸถ( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)))
84 elfznn 13534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘— โˆˆ (1...๐‘š) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•)
85 ffvelcdm 7082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐บ:โ„•โŸถ( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (๐บโ€˜๐‘—) โˆˆ ( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)))
8683, 84, 85syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘—) โˆˆ ( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)))
8786elin2d 4198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘—) โˆˆ (โ„ ร— โ„))
88 1st2nd2 8016 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐บโ€˜๐‘—) โˆˆ (โ„ ร— โ„) โ†’ (๐บโ€˜๐‘—) = โŸจ(1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)), (2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))โŸฉ)
8987, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘—) = โŸจ(1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)), (2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))โŸฉ)
9089fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) = ((,)โ€˜โŸจ(1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)), (2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))โŸฉ))
91 df-ov 7414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))(,)(2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))) = ((,)โ€˜โŸจ(1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)), (2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))โŸฉ)
9290, 91eqtr4di 2788 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) = ((1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))(,)(2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))))
93 ioossre 13389 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))(,)(2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))) โІ โ„
9492, 93eqsstrdi 4035 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โІ โ„)
9594ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)) โ†’ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โІ โ„)
9692fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ (vol*โ€˜((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))) = (vol*โ€˜((1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))(,)(2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))))
97 ovolfcl 25215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐บ:โ„•โŸถ( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ((1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„ โˆง (2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„ โˆง (1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โ‰ค (2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))))
9883, 84, 97syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ ((1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„ โˆง (2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„ โˆง (1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โ‰ค (2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))))
99 ovolioo 25317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„ โˆง (2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„ โˆง (1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โ‰ค (2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))) โ†’ (vol*โ€˜((1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))(,)(2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) = ((2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆ’ (1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))))
10098, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ (vol*โ€˜((1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))(,)(2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) = ((2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆ’ (1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))))
10196, 100eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ (vol*โ€˜((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))) = ((2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆ’ (1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))))
10298simp2d 1141 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ (2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„)
10398simp1d 1140 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ (1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„)
104102, 103resubcld 11646 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ ((2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆ’ (1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))) โˆˆ โ„)
105101, 104eqeltrd 2831 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ (vol*โ€˜((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))) โˆˆ โ„)
106105ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)) โ†’ (vol*โ€˜((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))) โˆˆ โ„)
107 ovolsscl 25235 . . . . . . . . . . . . 13 (((((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))) โІ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆง ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โІ โ„ โˆง (vol*โ€˜((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))) โˆˆ โ„) โ†’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆˆ โ„)
10882, 95, 106, 107mp3an2i 1464 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)) โ†’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆˆ โ„)
109108recnd 11246 . . . . . . . . . . 11 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)) โ†’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆˆ โ„‚)
11079, 81, 109fsumser 15680 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) = (seq1( + , (vol* โˆ˜ (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†ฆ (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))))))โ€˜๐‘›))
111110eqcomd 2736 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (seq1( + , (vol* โˆ˜ (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†ฆ (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))))))โ€˜๐‘›) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))))
112 2fveq3 6895 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ง = ๐‘˜ โ†’ ((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) = ((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)))
113112ineq1d 4210 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ง = ๐‘˜ โ†’ (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))) = (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))))
114113cbvmptv 5260 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†ฆ (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) = (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))))
115 eqeq1 2734 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ง = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ง = โˆ… โ†” ๐‘ฅ = โˆ…))
116 infeq1 9473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ง = ๐‘ฅ โ†’ inf(๐‘ง, โ„*, < ) = inf(๐‘ฅ, โ„*, < ))
117 supeq1 9442 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ง = ๐‘ฅ โ†’ sup(๐‘ง, โ„*, < ) = sup(๐‘ฅ, โ„*, < ))
118116, 117opeq12d 4880 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ง = ๐‘ฅ โ†’ โŸจinf(๐‘ง, โ„*, < ), sup(๐‘ง, โ„*, < )โŸฉ = โŸจinf(๐‘ฅ, โ„*, < ), sup(๐‘ฅ, โ„*, < )โŸฉ)
119115, 118ifbieq2d 4553 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ง = ๐‘ฅ โ†’ if(๐‘ง = โˆ…, โŸจ0, 0โŸฉ, โŸจinf(๐‘ง, โ„*, < ), sup(๐‘ง, โ„*, < )โŸฉ) = if(๐‘ฅ = โˆ…, โŸจ0, 0โŸฉ, โŸจinf(๐‘ฅ, โ„*, < ), sup(๐‘ฅ, โ„*, < )โŸฉ))
120119cbvmptv 5260 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง โˆˆ ran (,) โ†ฆ if(๐‘ง = โˆ…, โŸจ0, 0โŸฉ, โŸจinf(๐‘ง, โ„*, < ), sup(๐‘ง, โ„*, < )โŸฉ)) = (๐‘ฅ โˆˆ ran (,) โ†ฆ if(๐‘ฅ = โˆ…, โŸจ0, 0โŸฉ, โŸจinf(๐‘ฅ, โ„*, < ), sup(๐‘ฅ, โ„*, < )โŸฉ))
12116, 17, 18, 19, 20, 3, 7, 21, 5, 22, 114, 120uniioombllem2 25332 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ seq1( + , (vol* โˆ˜ (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†ฆ (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))))) โ‡ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))
12284, 121sylan2 591 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ seq1( + , (vol* โˆ˜ (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†ฆ (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))))) โ‡ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))
123122adantlr 711 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ seq1( + , (vol* โˆ˜ (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†ฆ (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))))) โ‡ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))
1241, 57, 61, 111, 123climi2 15459 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆ€๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘Ž)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š))
125 1z 12596 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„ค
1261rexuz3 15299 . . . . . . . . 9 (1 โˆˆ โ„ค โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆ€๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘Ž)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š) โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘Ž)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š)))
127125, 126ax-mp 5 . . . . . . . 8 (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆ€๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘Ž)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š) โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘Ž)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š))
128124, 127sylib 217 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘Ž)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š))
129128ralrimiva 3144 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โ†’ โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘Ž)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š))
130 fzfi 13941 . . . . . . 7 (1...๐‘š) โˆˆ Fin
131 rexfiuz 15298 . . . . . . 7 ((1...๐‘š) โˆˆ Fin โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘Ž)โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š) โ†” โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘Ž)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š)))
132130, 131ax-mp 5 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘Ž)โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š) โ†” โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘Ž)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š))
133129, 132sylibr 233 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘Ž)โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š))
1341rexuz3 15299 . . . . . 6 (1 โˆˆ โ„ค โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆ€๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘Ž)โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š) โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘Ž)โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š)))
135125, 134ax-mp 5 . . . . 5 (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆ€๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘Ž)โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š) โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘Ž)โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š))
136133, 135sylibr 233 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆ€๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘Ž)โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š))
1371r19.2uz 15302 . . . 4 (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆ€๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘Ž)โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š))
138136, 137syl 17 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š))
13916adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š)))) โ†’ ๐น:โ„•โŸถ( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)))
14017adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š)))) โ†’ Disj ๐‘ฅ โˆˆ โ„• ((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ฅ)))
14120adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š)))) โ†’ (vol*โ€˜๐ธ) โˆˆ โ„)
1423adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š)))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
1437adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š)))) โ†’ ๐บ:โ„•โŸถ( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)))
14421adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š)))) โ†’ ๐ธ โІ โˆช ran ((,) โˆ˜ ๐บ))
14522adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š)))) โ†’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ธ) + ๐ถ))
146 simprll 775 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š)))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
147 simprlr 776 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š)))) โ†’ (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)
148 eqid 2730 . . . . 5 โˆช (((,) โˆ˜ ๐บ) โ€œ (1...๐‘š)) = โˆช (((,) โˆ˜ ๐บ) โ€œ (1...๐‘š))
149 simprrl 777 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š)))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
150 simprrr 778 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š)))) โ†’ โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š))
151 2fveq3 6895 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘– = ๐‘ง โ†’ ((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) = ((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)))
152151ineq1d 4210 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘– = ๐‘ง โ†’ (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))) = (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))))
153152fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘– = ๐‘ง โ†’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) = (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))))
154153cbvsumv 15646 . . . . . . . . . . 11 ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) = ฮฃ๐‘ง โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))))
155 2fveq3 6895 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) = ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘˜)))
156155ineq2d 4211 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))) = (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘˜))))
157156fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) = (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘˜)))))
158157sumeq2sdv 15654 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ฮฃ๐‘ง โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) = ฮฃ๐‘ง โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘˜)))))
159154, 158eqtrid 2782 . . . . . . . . . 10 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) = ฮฃ๐‘ง โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘˜)))))
160155ineq1d 4210 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด) = (((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘˜)) โˆฉ ๐ด))
161160fveq2d 6894 . . . . . . . . . 10 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)) = (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘˜)) โˆฉ ๐ด)))
162159, 161oveq12d 7429 . . . . . . . . 9 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด))) = (ฮฃ๐‘ง โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘˜)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘˜)) โˆฉ ๐ด))))
163162fveq2d 6894 . . . . . . . 8 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) = (absโ€˜(ฮฃ๐‘ง โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘˜)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘˜)) โˆฉ ๐ด)))))
164163breq1d 5157 . . . . . . 7 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š) โ†” (absโ€˜(ฮฃ๐‘ง โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘˜)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘˜)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š)))
165164cbvralvw 3232 . . . . . 6 (โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š) โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(absโ€˜(ฮฃ๐‘ง โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘˜)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘˜)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š))
166150, 165sylib 217 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š)))) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(absโ€˜(ฮฃ๐‘ง โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘˜)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘˜)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š))
167 eqid 2730 . . . . 5 โˆช (((,) โˆ˜ ๐น) โ€œ (1...๐‘›)) = โˆช (((,) โˆ˜ ๐น) โ€œ (1...๐‘›))
168139, 140, 18, 19, 141, 142, 143, 144, 5, 145, 146, 147, 148, 149, 166, 167uniioombllem5 25336 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š)))) โ†’ ((vol*โ€˜(๐ธ โˆฉ ๐ด)) + (vol*โ€˜(๐ธ โˆ– ๐ด))) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ธ) + (4 ยท ๐ถ)))
169168anassrs 466 . . 3 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š))) โ†’ ((vol*โ€˜(๐ธ โˆฉ ๐ด)) + (vol*โ€˜(๐ธ โˆ– ๐ด))) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ธ) + (4 ยท ๐ถ)))
170138, 169rexlimddv 3159 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โ†’ ((vol*โ€˜(๐ธ โˆฉ ๐ด)) + (vol*โ€˜(๐ธ โˆ– ๐ด))) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ธ) + (4 ยท ๐ถ)))
17156, 170rexlimddv 3159 1 (๐œ‘ โ†’ ((vol*โ€˜(๐ธ โˆฉ ๐ด)) + (vol*โ€˜(๐ธ โˆ– ๐ด))) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ธ) + (4 ยท ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938  โˆ€wral 3059  โˆƒwrex 3068  Vcvv 3472   โˆ– cdif 3944   โˆฉ cin 3946   โІ wss 3947  โˆ…c0 4321  ifcif 4527  โŸจcop 4633  โˆช cuni 4907  Disj wdisj 5112   class class class wbr 5147   โ†ฆ cmpt 5230   ร— cxp 5673  dom cdm 5675  ran crn 5676   โ€œ cima 5678   โˆ˜ ccom 5679   Fn wfn 6537  โŸถwf 6538  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  1st c1st 7975  2nd c2nd 7976  Fincfn 8941  supcsup 9437  infcinf 9438  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117  +โˆžcpnf 11249  โ„*cxr 11251   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  4c4 12273  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  โ„+crp 12978  (,)cioo 13328  [,)cico 13330  ...cfz 13488  seqcseq 13970  abscabs 15185   โ‡ cli 15432  ฮฃcsu 15636  vol*covol 25211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-rest 17372  df-topgen 17393  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669  df-cmp 23111  df-ovol 25213  df-vol 25214
This theorem is referenced by:  uniioombl  25338
  Copyright terms: Public domain W3C validator