MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uniioombllem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uniioombllem6 25105
Description: Lemma for uniioombl 25106. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1 (๐œ‘ โ†’ ๐น:โ„•โŸถ( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)))
uniioombl.2 (๐œ‘ โ†’ Disj ๐‘ฅ โˆˆ โ„• ((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ฅ)))
uniioombl.3 ๐‘† = seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐น))
uniioombl.a ๐ด = โˆช ran ((,) โˆ˜ ๐น)
uniioombl.e (๐œ‘ โ†’ (vol*โ€˜๐ธ) โˆˆ โ„)
uniioombl.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
uniioombl.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ:โ„•โŸถ( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)))
uniioombl.s (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โŠ† โˆช ran ((,) โˆ˜ ๐บ))
uniioombl.t ๐‘‡ = seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ))
uniioombl.v (๐œ‘ โ†’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ธ) + ๐ถ))
Assertion
Ref Expression
uniioombllem6 (๐œ‘ โ†’ ((vol*โ€˜(๐ธ โˆฉ ๐ด)) + (vol*โ€˜(๐ธ โˆ– ๐ด))) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ธ) + (4 ยท ๐ถ)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐น   ๐‘ฅ,๐บ   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ถ   ๐œ‘,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘‡
Allowed substitution hints:   ๐‘†(๐‘ฅ)   ๐ธ(๐‘ฅ)

Proof of Theorem uniioombllem6
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘– ๐‘— ๐‘˜ ๐‘› ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12865 . . . 4 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
2 1zzd 12593 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
3 uniioombl.c . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
4 eqidd 2734 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘š) = (๐‘‡โ€˜๐‘š))
5 uniioombl.t . . . . . 6 ๐‘‡ = seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ))
6 eqidd 2734 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โ†’ (((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ)โ€˜๐‘Ž) = (((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ)โ€˜๐‘Ž))
7 uniioombl.g . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐บ:โ„•โŸถ( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)))
8 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ) = ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ)
98ovolfsf 24988 . . . . . . . . . 10 (๐บ:โ„•โŸถ( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)) โ†’ ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ):โ„•โŸถ(0[,)+โˆž))
107, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ):โ„•โŸถ(0[,)+โˆž))
1110ffvelcdmda 7087 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โ†’ (((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ)โ€˜๐‘Ž) โˆˆ (0[,)+โˆž))
12 elrege0 13431 . . . . . . . 8 ((((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ)โ€˜๐‘Ž) โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” ((((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ)โ€˜๐‘Ž) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ)โ€˜๐‘Ž)))
1311, 12sylib 217 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โ†’ ((((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ)โ€˜๐‘Ž) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ)โ€˜๐‘Ž)))
1413simpld 496 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โ†’ (((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ)โ€˜๐‘Ž) โˆˆ โ„)
1513simprd 497 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค (((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐บ)โ€˜๐‘Ž))
16 uniioombl.1 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐น:โ„•โŸถ( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)))
17 uniioombl.2 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ Disj ๐‘ฅ โˆˆ โ„• ((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ฅ)))
18 uniioombl.3 . . . . . . . 8 ๐‘† = seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐น))
19 uniioombl.a . . . . . . . 8 ๐ด = โˆช ran ((,) โˆ˜ ๐น)
20 uniioombl.e . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (vol*โ€˜๐ธ) โˆˆ โ„)
21 uniioombl.s . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โŠ† โˆช ran ((,) โˆ˜ ๐บ))
22 uniioombl.v . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ธ) + ๐ถ))
2316, 17, 18, 19, 20, 3, 7, 21, 5, 22uniioombllem1 25098 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ) โˆˆ โ„)
248, 5ovolsf 24989 . . . . . . . . . . . . 13 (๐บ:โ„•โŸถ( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)) โ†’ ๐‘‡:โ„•โŸถ(0[,)+โˆž))
257, 24syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡:โ„•โŸถ(0[,)+โˆž))
2625frnd 6726 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ran ๐‘‡ โŠ† (0[,)+โˆž))
27 icossxr 13409 . . . . . . . . . . 11 (0[,)+โˆž) โŠ† โ„*
2826, 27sstrdi 3995 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ran ๐‘‡ โŠ† โ„*)
29 supxrub 13303 . . . . . . . . . 10 ((ran ๐‘‡ โŠ† โ„* โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ran ๐‘‡) โ†’ ๐‘ฅ โ‰ค sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))
3028, 29sylan 581 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ran ๐‘‡) โ†’ ๐‘ฅ โ‰ค sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))
3130ralrimiva 3147 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ran ๐‘‡ ๐‘ฅ โ‰ค sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))
3225ffnd 6719 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ Fn โ„•)
33 breq1 5152 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = (๐‘‡โ€˜๐‘š) โ†’ (๐‘ฅ โ‰ค sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ) โ†” (๐‘‡โ€˜๐‘š) โ‰ค sup(ran ๐‘‡, โ„*, < )))
3433ralrn 7090 . . . . . . . . 9 (๐‘‡ Fn โ„• โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ran ๐‘‡ ๐‘ฅ โ‰ค sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ) โ†” โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘‡โ€˜๐‘š) โ‰ค sup(ran ๐‘‡, โ„*, < )))
3532, 34syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ran ๐‘‡ ๐‘ฅ โ‰ค sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ) โ†” โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘‡โ€˜๐‘š) โ‰ค sup(ran ๐‘‡, โ„*, < )))
3631, 35mpbid 231 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘‡โ€˜๐‘š) โ‰ค sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))
37 brralrspcev 5209 . . . . . . 7 ((sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ) โˆˆ โ„ โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘‡โ€˜๐‘š) โ‰ค sup(ran ๐‘‡, โ„*, < )) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘‡โ€˜๐‘š) โ‰ค ๐‘ฅ)
3823, 36, 37syl2anc 585 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘‡โ€˜๐‘š) โ‰ค ๐‘ฅ)
391, 5, 2, 6, 14, 15, 38isumsup2 15792 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โ‡ sup(ran ๐‘‡, โ„, < ))
40 rge0ssre 13433 . . . . . . 7 (0[,)+โˆž) โŠ† โ„
4126, 40sstrdi 3995 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ran ๐‘‡ โŠ† โ„)
42 1nn 12223 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„•
4325fdmd 6729 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ dom ๐‘‡ = โ„•)
4442, 43eleqtrrid 2841 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ dom ๐‘‡)
4544ne0d 4336 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ dom ๐‘‡ โ‰  โˆ…)
46 dm0rn0 5925 . . . . . . . 8 (dom ๐‘‡ = โˆ… โ†” ran ๐‘‡ = โˆ…)
4746necon3bii 2994 . . . . . . 7 (dom ๐‘‡ โ‰  โˆ… โ†” ran ๐‘‡ โ‰  โˆ…)
4845, 47sylib 217 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ran ๐‘‡ โ‰  โˆ…)
49 brralrspcev 5209 . . . . . . 7 ((sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ) โˆˆ โ„ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ran ๐‘‡ ๐‘ฅ โ‰ค sup(ran ๐‘‡, โ„*, < )) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ran ๐‘‡ ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ฆ)
5023, 31, 49syl2anc 585 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ran ๐‘‡ ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ฆ)
51 supxrre 13306 . . . . . 6 ((ran ๐‘‡ โŠ† โ„ โˆง ran ๐‘‡ โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ran ๐‘‡ ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ฆ) โ†’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ) = sup(ran ๐‘‡, โ„, < ))
5241, 48, 50, 51syl3anc 1372 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ) = sup(ran ๐‘‡, โ„, < ))
5339, 52breqtrrd 5177 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โ‡ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))
541, 2, 3, 4, 53climi2 15455 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘—)(absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)
551r19.2uz 15298 . . 3 (โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„• โˆ€๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘—)(absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)
5654, 55syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)
57 1zzd 12593 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
583ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
59 simplrl 776 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
6059nnrpd 13014 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„+)
6158, 60rpdivcld 13033 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ (๐ถ / ๐‘š) โˆˆ โ„+)
62 fvex 6905 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆˆ V
6362inex1 5318 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))) โˆˆ V
6463rgenw 3066 . . . . . . . . . . . . . 14 โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„• (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))) โˆˆ V
65 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†ฆ (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) = (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†ฆ (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))))
6665fnmpt 6691 . . . . . . . . . . . . . 14 (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„• (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))) โˆˆ V โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†ฆ (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) Fn โ„•)
6764, 66mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†ฆ (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) Fn โ„•)
68 elfznn 13530 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘– โˆˆ (1...๐‘›) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•)
69 fvco2 6989 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ง โˆˆ โ„• โ†ฆ (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) Fn โ„• โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•) โ†’ ((vol* โˆ˜ (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†ฆ (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))))โ€˜๐‘–) = (vol*โ€˜((๐‘ง โˆˆ โ„• โ†ฆ (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))))โ€˜๐‘–)))
7067, 68, 69syl2an 597 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)) โ†’ ((vol* โˆ˜ (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†ฆ (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))))โ€˜๐‘–) = (vol*โ€˜((๐‘ง โˆˆ โ„• โ†ฆ (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))))โ€˜๐‘–)))
7168adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•)
72 2fveq3 6897 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ง = ๐‘– โ†’ ((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) = ((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)))
7372ineq1d 4212 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ง = ๐‘– โ†’ (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))) = (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))))
74 fvex 6905 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆˆ V
7574inex1 5318 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))) โˆˆ V
7673, 65, 75fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘– โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ง โˆˆ โ„• โ†ฆ (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))))โ€˜๐‘–) = (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))))
7771, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)) โ†’ ((๐‘ง โˆˆ โ„• โ†ฆ (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))))โ€˜๐‘–) = (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))))
7877fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)) โ†’ (vol*โ€˜((๐‘ง โˆˆ โ„• โ†ฆ (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))))โ€˜๐‘–)) = (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))))
7970, 78eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)) โ†’ ((vol* โˆ˜ (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†ฆ (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))))โ€˜๐‘–) = (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))))
80 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
8180, 1eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
82 inss2 4230 . . . . . . . . . . . . 13 (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))) โŠ† ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))
837adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โ†’ ๐บ:โ„•โŸถ( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)))
84 elfznn 13530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘— โˆˆ (1...๐‘š) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•)
85 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐บ:โ„•โŸถ( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (๐บโ€˜๐‘—) โˆˆ ( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)))
8683, 84, 85syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘—) โˆˆ ( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)))
8786elin2d 4200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘—) โˆˆ (โ„ ร— โ„))
88 1st2nd2 8014 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐บโ€˜๐‘—) โˆˆ (โ„ ร— โ„) โ†’ (๐บโ€˜๐‘—) = โŸจ(1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)), (2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))โŸฉ)
8987, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘—) = โŸจ(1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)), (2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))โŸฉ)
9089fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) = ((,)โ€˜โŸจ(1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)), (2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))โŸฉ))
91 df-ov 7412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))(,)(2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))) = ((,)โ€˜โŸจ(1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)), (2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))โŸฉ)
9290, 91eqtr4di 2791 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) = ((1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))(,)(2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))))
93 ioossre 13385 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))(,)(2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))) โŠ† โ„
9492, 93eqsstrdi 4037 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โŠ† โ„)
9594ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)) โ†’ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โŠ† โ„)
9692fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ (vol*โ€˜((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))) = (vol*โ€˜((1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))(,)(2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))))
97 ovolfcl 24983 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐บ:โ„•โŸถ( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)) โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ((1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„ โˆง (2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„ โˆง (1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โ‰ค (2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))))
9883, 84, 97syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ ((1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„ โˆง (2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„ โˆง (1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โ‰ค (2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))))
99 ovolioo 25085 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„ โˆง (2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„ โˆง (1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โ‰ค (2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))) โ†’ (vol*โ€˜((1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))(,)(2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) = ((2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆ’ (1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))))
10098, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ (vol*โ€˜((1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))(,)(2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) = ((2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆ’ (1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))))
10196, 100eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ (vol*โ€˜((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))) = ((2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆ’ (1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))))
10298simp2d 1144 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ (2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„)
10398simp1d 1143 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ (1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆˆ โ„)
104102, 103resubcld 11642 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ ((2nd โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆ’ (1st โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))) โˆˆ โ„)
105101, 104eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ (vol*โ€˜((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))) โˆˆ โ„)
106105ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)) โ†’ (vol*โ€˜((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))) โˆˆ โ„)
107 ovolsscl 25003 . . . . . . . . . . . . 13 (((((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))) โŠ† ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆง ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))) โˆˆ โ„) โ†’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆˆ โ„)
10882, 95, 106, 107mp3an2i 1467 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)) โ†’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆˆ โ„)
109108recnd 11242 . . . . . . . . . . 11 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)) โ†’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆˆ โ„‚)
11079, 81, 109fsumser 15676 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) = (seq1( + , (vol* โˆ˜ (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†ฆ (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))))))โ€˜๐‘›))
111110eqcomd 2739 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (seq1( + , (vol* โˆ˜ (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†ฆ (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))))))โ€˜๐‘›) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))))
112 2fveq3 6897 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ง = ๐‘˜ โ†’ ((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) = ((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)))
113112ineq1d 4212 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ง = ๐‘˜ โ†’ (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))) = (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))))
114113cbvmptv 5262 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†ฆ (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) = (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))))
115 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ง = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ง = โˆ… โ†” ๐‘ฅ = โˆ…))
116 infeq1 9471 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ง = ๐‘ฅ โ†’ inf(๐‘ง, โ„*, < ) = inf(๐‘ฅ, โ„*, < ))
117 supeq1 9440 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ง = ๐‘ฅ โ†’ sup(๐‘ง, โ„*, < ) = sup(๐‘ฅ, โ„*, < ))
118116, 117opeq12d 4882 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ง = ๐‘ฅ โ†’ โŸจinf(๐‘ง, โ„*, < ), sup(๐‘ง, โ„*, < )โŸฉ = โŸจinf(๐‘ฅ, โ„*, < ), sup(๐‘ฅ, โ„*, < )โŸฉ)
119115, 118ifbieq2d 4555 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ง = ๐‘ฅ โ†’ if(๐‘ง = โˆ…, โŸจ0, 0โŸฉ, โŸจinf(๐‘ง, โ„*, < ), sup(๐‘ง, โ„*, < )โŸฉ) = if(๐‘ฅ = โˆ…, โŸจ0, 0โŸฉ, โŸจinf(๐‘ฅ, โ„*, < ), sup(๐‘ฅ, โ„*, < )โŸฉ))
120119cbvmptv 5262 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง โˆˆ ran (,) โ†ฆ if(๐‘ง = โˆ…, โŸจ0, 0โŸฉ, โŸจinf(๐‘ง, โ„*, < ), sup(๐‘ง, โ„*, < )โŸฉ)) = (๐‘ฅ โˆˆ ran (,) โ†ฆ if(๐‘ฅ = โˆ…, โŸจ0, 0โŸฉ, โŸจinf(๐‘ฅ, โ„*, < ), sup(๐‘ฅ, โ„*, < )โŸฉ))
12116, 17, 18, 19, 20, 3, 7, 21, 5, 22, 114, 120uniioombllem2 25100 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ seq1( + , (vol* โˆ˜ (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†ฆ (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))))) โ‡ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))
12284, 121sylan2 594 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ seq1( + , (vol* โˆ˜ (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†ฆ (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))))) โ‡ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))
123122adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ seq1( + , (vol* โˆ˜ (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†ฆ (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))))) โ‡ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))
1241, 57, 61, 111, 123climi2 15455 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆ€๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘Ž)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š))
125 1z 12592 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„ค
1261rexuz3 15295 . . . . . . . . 9 (1 โˆˆ โ„ค โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆ€๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘Ž)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š) โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘Ž)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š)))
127125, 126ax-mp 5 . . . . . . . 8 (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆ€๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘Ž)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š) โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘Ž)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š))
128124, 127sylib 217 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘Ž)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š))
129128ralrimiva 3147 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โ†’ โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘Ž)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š))
130 fzfi 13937 . . . . . . 7 (1...๐‘š) โˆˆ Fin
131 rexfiuz 15294 . . . . . . 7 ((1...๐‘š) โˆˆ Fin โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘Ž)โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š) โ†” โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘Ž)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š)))
132130, 131ax-mp 5 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘Ž)โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š) โ†” โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘Ž)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š))
133129, 132sylibr 233 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘Ž)โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š))
1341rexuz3 15295 . . . . . 6 (1 โˆˆ โ„ค โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆ€๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘Ž)โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š) โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘Ž)โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š)))
135125, 134ax-mp 5 . . . . 5 (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆ€๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘Ž)โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š) โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘Ž)โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š))
136133, 135sylibr 233 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆ€๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘Ž)โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š))
1371r19.2uz 15298 . . . 4 (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆ€๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘Ž)โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š))
138136, 137syl 17 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š))
13916adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š)))) โ†’ ๐น:โ„•โŸถ( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)))
14017adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š)))) โ†’ Disj ๐‘ฅ โˆˆ โ„• ((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ฅ)))
14120adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š)))) โ†’ (vol*โ€˜๐ธ) โˆˆ โ„)
1423adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š)))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
1437adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š)))) โ†’ ๐บ:โ„•โŸถ( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)))
14421adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š)))) โ†’ ๐ธ โŠ† โˆช ran ((,) โˆ˜ ๐บ))
14522adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š)))) โ†’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ธ) + ๐ถ))
146 simprll 778 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š)))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
147 simprlr 779 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š)))) โ†’ (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)
148 eqid 2733 . . . . 5 โˆช (((,) โˆ˜ ๐บ) โ€œ (1...๐‘š)) = โˆช (((,) โˆ˜ ๐บ) โ€œ (1...๐‘š))
149 simprrl 780 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š)))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
150 simprrr 781 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š)))) โ†’ โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š))
151 2fveq3 6897 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘– = ๐‘ง โ†’ ((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) = ((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)))
152151ineq1d 4212 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘– = ๐‘ง โ†’ (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))) = (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))))
153152fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘– = ๐‘ง โ†’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) = (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))))
154153cbvsumv 15642 . . . . . . . . . . 11 ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) = ฮฃ๐‘ง โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))))
155 2fveq3 6897 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) = ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘˜)))
156155ineq2d 4213 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—))) = (((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘˜))))
157156fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) = (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘˜)))))
158157sumeq2sdv 15650 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ฮฃ๐‘ง โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) = ฮฃ๐‘ง โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘˜)))))
159154, 158eqtrid 2785 . . . . . . . . . 10 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) = ฮฃ๐‘ง โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘˜)))))
160155ineq1d 4212 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด) = (((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘˜)) โˆฉ ๐ด))
161160fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)) = (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘˜)) โˆฉ ๐ด)))
162159, 161oveq12d 7427 . . . . . . . . 9 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด))) = (ฮฃ๐‘ง โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘˜)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘˜)) โˆฉ ๐ด))))
163162fveq2d 6896 . . . . . . . 8 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) = (absโ€˜(ฮฃ๐‘ง โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘˜)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘˜)) โˆฉ ๐ด)))))
164163breq1d 5159 . . . . . . 7 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š) โ†” (absโ€˜(ฮฃ๐‘ง โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘˜)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘˜)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š)))
165164cbvralvw 3235 . . . . . 6 (โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š) โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(absโ€˜(ฮฃ๐‘ง โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘˜)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘˜)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š))
166150, 165sylib 217 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š)))) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(absโ€˜(ฮฃ๐‘ง โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘˜)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘˜)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š))
167 eqid 2733 . . . . 5 โˆช (((,) โˆ˜ ๐น) โ€œ (1...๐‘›)) = โˆช (((,) โˆ˜ ๐น) โ€œ (1...๐‘›))
168139, 140, 18, 19, 141, 142, 143, 144, 5, 145, 146, 147, 148, 149, 166, 167uniioombllem5 25104 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š)))) โ†’ ((vol*โ€˜(๐ธ โˆฉ ๐ด)) + (vol*โ€˜(๐ธ โˆ– ๐ด))) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ธ) + (4 ยท ๐ถ)))
169168anassrs 469 . . 3 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘š)(absโ€˜(ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐นโ€˜๐‘–)) โˆฉ ((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)))) โˆ’ (vol*โ€˜(((,)โ€˜(๐บโ€˜๐‘—)) โˆฉ ๐ด)))) < (๐ถ / ๐‘š))) โ†’ ((vol*โ€˜(๐ธ โˆฉ ๐ด)) + (vol*โ€˜(๐ธ โˆ– ๐ด))) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ธ) + (4 ยท ๐ถ)))
170138, 169rexlimddv 3162 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘‡โ€˜๐‘š) โˆ’ sup(ran ๐‘‡, โ„*, < ))) < ๐ถ)) โ†’ ((vol*โ€˜(๐ธ โˆฉ ๐ด)) + (vol*โ€˜(๐ธ โˆ– ๐ด))) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ธ) + (4 ยท ๐ถ)))
17156, 170rexlimddv 3162 1 (๐œ‘ โ†’ ((vol*โ€˜(๐ธ โˆฉ ๐ด)) + (vol*โ€˜(๐ธ โˆ– ๐ด))) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ธ) + (4 ยท ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  โˆ€wral 3062  โˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   โˆ– cdif 3946   โˆฉ cin 3948   โŠ† wss 3949  โˆ…c0 4323  ifcif 4529  โŸจcop 4635  โˆช cuni 4909  Disj wdisj 5114   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232   ร— cxp 5675  dom cdm 5677  ran crn 5678   โ€œ cima 5680   โˆ˜ ccom 5681   Fn wfn 6539  โŸถwf 6540  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  1st c1st 7973  2nd c2nd 7974  Fincfn 8939  supcsup 9435  infcinf 9436  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115  +โˆžcpnf 11245  โ„*cxr 11247   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  4c4 12269  โ„คcz 12558  โ„คโ‰ฅcuz 12822  โ„+crp 12974  (,)cioo 13324  [,)cico 13326  ...cfz 13484  seqcseq 13966  abscabs 15181   โ‡ cli 15428  ฮฃcsu 15632  vol*covol 24979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-rest 17368  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cmp 22891  df-ovol 24981  df-vol 24982
This theorem is referenced by:  uniioombl  25106
  Copyright terms: Public domain W3C validator