Theorem connsub 23364

Description: Two equivalent ways of saying that a subspace topology is connected. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
connsub	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Conn ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (((𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)) → ¬ 𝑆 ⊆ (𝑥 ∪ 𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Proof of Theorem connsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		connsuba 23363	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Conn ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (((𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ ((𝑥 ∩ 𝑦) ∩ 𝑆) = ∅) → ((𝑥 ∪ 𝑦) ∩ 𝑆) ≠ 𝑆)))
2		inss1 4217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ 𝑥
3		toponss 22870	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
4	3	ad2ant2r 747	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
5	2, 4	sstrid 3975	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ 𝑋)
6		reldisj 4433	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ 𝑋 → (((𝑥 ∩ 𝑦) ∩ 𝑆) = ∅ ↔ (𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)))
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (((𝑥 ∩ 𝑦) ∩ 𝑆) = ∅ ↔ (𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)))
8	7	3anbi3d 1444	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (((𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ ((𝑥 ∩ 𝑦) ∩ 𝑆) = ∅) ↔ ((𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆))))
9		sseqin2 4203	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ⊆ (𝑥 ∪ 𝑦) ↔ ((𝑥 ∪ 𝑦) ∩ 𝑆) = 𝑆)
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝑆 ⊆ (𝑥 ∪ 𝑦) ↔ ((𝑥 ∪ 𝑦) ∩ 𝑆) = 𝑆))
11	10	bicomd 223	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (((𝑥 ∪ 𝑦) ∩ 𝑆) = 𝑆 ↔ 𝑆 ⊆ (𝑥 ∪ 𝑦)))
12	11	necon3abid 2969	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (((𝑥 ∪ 𝑦) ∩ 𝑆) ≠ 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ⊆ (𝑥 ∪ 𝑦)))
13	8, 12	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → ((((𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ ((𝑥 ∩ 𝑦) ∩ 𝑆) = ∅) → ((𝑥 ∪ 𝑦) ∩ 𝑆) ≠ 𝑆) ↔ (((𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)) → ¬ 𝑆 ⊆ (𝑥 ∪ 𝑦))))
14	13	2ralbidva 3207	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (((𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ ((𝑥 ∩ 𝑦) ∩ 𝑆) = ∅) → ((𝑥 ∪ 𝑦) ∩ 𝑆) ≠ 𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (((𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)) → ¬ 𝑆 ⊆ (𝑥 ∪ 𝑦))))
15	1, 14	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Conn ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (((𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)) → ¬ 𝑆 ⊆ (𝑥 ∪ 𝑦))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  ∀wral 3052   ∖ cdif 3928   ∪ cun 3929   ∩ cin 3930   ⊆ wss 3931  ∅c0 4313  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↾_t crest 17439  TopOnctopon 22853  Conncconn 23354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-en 8965  df-fin 8968  df-fi 9428  df-rest 17441  df-topgen 17462  df-top 22837  df-topon 22854  df-bases 22889  df-cld 22962  df-conn 23355

This theorem is referenced by:  iunconn  23371  clsconn  23373  reconn  24773  iunconnlem2  44934