Theorem connsub 23249

Description: Two equivalent ways of saying that a subspace topology is connected. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
connsub	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Conn ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (((𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)) → ¬ 𝑆 ⊆ (𝑥 ∪ 𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Proof of Theorem connsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		connsuba 23248	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Conn ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (((𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ ((𝑥 ∩ 𝑦) ∩ 𝑆) = ∅) → ((𝑥 ∪ 𝑦) ∩ 𝑆) ≠ 𝑆)))
2		inss1 4221	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ 𝑥
3		toponss 22753	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
4	3	ad2ant2r 744	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
5	2, 4	sstrid 3986	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ 𝑋)
6		reldisj 4444	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ 𝑋 → (((𝑥 ∩ 𝑦) ∩ 𝑆) = ∅ ↔ (𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)))
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (((𝑥 ∩ 𝑦) ∩ 𝑆) = ∅ ↔ (𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)))
8	7	3anbi3d 1438	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (((𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ ((𝑥 ∩ 𝑦) ∩ 𝑆) = ∅) ↔ ((𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆))))
9		sseqin2 4208	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ⊆ (𝑥 ∪ 𝑦) ↔ ((𝑥 ∪ 𝑦) ∩ 𝑆) = 𝑆)
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝑆 ⊆ (𝑥 ∪ 𝑦) ↔ ((𝑥 ∪ 𝑦) ∩ 𝑆) = 𝑆))
11	10	bicomd 222	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (((𝑥 ∪ 𝑦) ∩ 𝑆) = 𝑆 ↔ 𝑆 ⊆ (𝑥 ∪ 𝑦)))
12	11	necon3abid 2969	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (((𝑥 ∪ 𝑦) ∩ 𝑆) ≠ 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ⊆ (𝑥 ∪ 𝑦)))
13	8, 12	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → ((((𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ ((𝑥 ∩ 𝑦) ∩ 𝑆) = ∅) → ((𝑥 ∪ 𝑦) ∩ 𝑆) ≠ 𝑆) ↔ (((𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)) → ¬ 𝑆 ⊆ (𝑥 ∪ 𝑦))))
14	13	2ralbidva 3208	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (((𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ ((𝑥 ∩ 𝑦) ∩ 𝑆) = ∅) → ((𝑥 ∪ 𝑦) ∩ 𝑆) ≠ 𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (((𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)) → ¬ 𝑆 ⊆ (𝑥 ∪ 𝑦))))
15	1, 14	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Conn ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (((𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)) → ¬ 𝑆 ⊆ (𝑥 ∪ 𝑦))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  ∀wral 3053   ∖ cdif 3938   ∪ cun 3939   ∩ cin 3940   ⊆ wss 3941  ∅c0 4315  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402   ↾_t crest 17367  TopOnctopon 22736  Conncconn 23239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-en 8937  df-fin 8940  df-fi 9403  df-rest 17369  df-topgen 17390  df-top 22720  df-topon 22737  df-bases 22773  df-cld 22847  df-conn 23240

This theorem is referenced by:  iunconn  23256  clsconn  23258  reconn  24668  iunconnlem2  44210