Theorem connsub 23356

Description: Two equivalent ways of saying that a subspace topology is connected. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
connsub	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Conn ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (((𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)) → ¬ 𝑆 ⊆ (𝑥 ∪ 𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Proof of Theorem connsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		connsuba 23355	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Conn ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (((𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ ((𝑥 ∩ 𝑦) ∩ 𝑆) = ∅) → ((𝑥 ∪ 𝑦) ∩ 𝑆) ≠ 𝑆)))
2		inss1 4186	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ 𝑥
3		toponss 22862	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
4	3	ad2ant2r 747	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
5	2, 4	sstrid 3942	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ 𝑋)
6		reldisj 4402	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ 𝑋 → (((𝑥 ∩ 𝑦) ∩ 𝑆) = ∅ ↔ (𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)))
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (((𝑥 ∩ 𝑦) ∩ 𝑆) = ∅ ↔ (𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)))
8	7	3anbi3d 1444	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (((𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ ((𝑥 ∩ 𝑦) ∩ 𝑆) = ∅) ↔ ((𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆))))
9		sseqin2 4172	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ⊆ (𝑥 ∪ 𝑦) ↔ ((𝑥 ∪ 𝑦) ∩ 𝑆) = 𝑆)
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝑆 ⊆ (𝑥 ∪ 𝑦) ↔ ((𝑥 ∪ 𝑦) ∩ 𝑆) = 𝑆))
11	10	bicomd 223	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (((𝑥 ∪ 𝑦) ∩ 𝑆) = 𝑆 ↔ 𝑆 ⊆ (𝑥 ∪ 𝑦)))
12	11	necon3abid 2965	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (((𝑥 ∪ 𝑦) ∩ 𝑆) ≠ 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ⊆ (𝑥 ∪ 𝑦)))
13	8, 12	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → ((((𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ ((𝑥 ∩ 𝑦) ∩ 𝑆) = ∅) → ((𝑥 ∪ 𝑦) ∩ 𝑆) ≠ 𝑆) ↔ (((𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)) → ¬ 𝑆 ⊆ (𝑥 ∪ 𝑦))))
14	13	2ralbidva 3195	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (((𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ ((𝑥 ∩ 𝑦) ∩ 𝑆) = ∅) → ((𝑥 ∪ 𝑦) ∩ 𝑆) ≠ 𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (((𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)) → ¬ 𝑆 ⊆ (𝑥 ∪ 𝑦))))
15	1, 14	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Conn ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (((𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)) → ¬ 𝑆 ⊆ (𝑥 ∪ 𝑦))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∀wral 3048   ∖ cdif 3895   ∪ cun 3896   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898  ∅c0 4282  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355   ↾_t crest 17331  TopOnctopon 22845  Conncconn 23346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-en 8880  df-fin 8883  df-fi 9306  df-rest 17333  df-topgen 17354  df-top 22829  df-topon 22846  df-bases 22881  df-cld 22954  df-conn 23347

This theorem is referenced by:  iunconn  23363  clsconn  23365  reconn  24764  iunconnlem2  45091