MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  connsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem connsub 22924
Description: Two equivalent ways of saying that a subspace topology is connected. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
connsub ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ ((𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Conn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (((π‘₯ ∩ 𝑆) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ 𝑆) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– 𝑆)) β†’ Β¬ 𝑆 βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐽   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦

Proof of Theorem connsub
StepHypRef Expression
1 connsuba 22923 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ ((𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Conn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (((π‘₯ ∩ 𝑆) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ 𝑆) β‰  βˆ… ∧ ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∩ 𝑆) = βˆ…) β†’ ((π‘₯ βˆͺ 𝑦) ∩ 𝑆) β‰  𝑆)))
2 inss1 4228 . . . . . . 7 (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† π‘₯
3 toponss 22428 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ π‘₯ βŠ† 𝑋)
43ad2ant2r 745 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ π‘₯ βŠ† 𝑋)
52, 4sstrid 3993 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† 𝑋)
6 reldisj 4451 . . . . . 6 ((π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† 𝑋 β†’ (((π‘₯ ∩ 𝑦) ∩ 𝑆) = βˆ… ↔ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– 𝑆)))
75, 6syl 17 . . . . 5 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (((π‘₯ ∩ 𝑦) ∩ 𝑆) = βˆ… ↔ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– 𝑆)))
873anbi3d 1442 . . . 4 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (((π‘₯ ∩ 𝑆) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ 𝑆) β‰  βˆ… ∧ ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∩ 𝑆) = βˆ…) ↔ ((π‘₯ ∩ 𝑆) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ 𝑆) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– 𝑆))))
9 sseqin2 4215 . . . . . . 7 (𝑆 βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦) ↔ ((π‘₯ βˆͺ 𝑦) ∩ 𝑆) = 𝑆)
109a1i 11 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (𝑆 βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦) ↔ ((π‘₯ βˆͺ 𝑦) ∩ 𝑆) = 𝑆))
1110bicomd 222 . . . . 5 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (((π‘₯ βˆͺ 𝑦) ∩ 𝑆) = 𝑆 ↔ 𝑆 βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦)))
1211necon3abid 2977 . . . 4 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (((π‘₯ βˆͺ 𝑦) ∩ 𝑆) β‰  𝑆 ↔ Β¬ 𝑆 βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦)))
138, 12imbi12d 344 . . 3 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ ((((π‘₯ ∩ 𝑆) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ 𝑆) β‰  βˆ… ∧ ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∩ 𝑆) = βˆ…) β†’ ((π‘₯ βˆͺ 𝑦) ∩ 𝑆) β‰  𝑆) ↔ (((π‘₯ ∩ 𝑆) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ 𝑆) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– 𝑆)) β†’ Β¬ 𝑆 βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))))
14132ralbidva 3216 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (((π‘₯ ∩ 𝑆) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ 𝑆) β‰  βˆ… ∧ ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∩ 𝑆) = βˆ…) β†’ ((π‘₯ βˆͺ 𝑦) ∩ 𝑆) β‰  𝑆) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (((π‘₯ ∩ 𝑆) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ 𝑆) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– 𝑆)) β†’ Β¬ 𝑆 βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))))
151, 14bitrd 278 1 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ ((𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Conn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (((π‘₯ ∩ 𝑆) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ 𝑆) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– 𝑆)) β†’ Β¬ 𝑆 βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   β†Ύt crest 17365  TopOnctopon 22411  Conncconn 22914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-en 8939  df-fin 8942  df-fi 9405  df-rest 17367  df-topgen 17388  df-top 22395  df-topon 22412  df-bases 22448  df-cld 22522  df-conn 22915
This theorem is referenced by:  iunconn  22931  clsconn  22933  reconn  24343  iunconnlem2  43686
  Copyright terms: Public domain W3C validator