MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  connsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem connsub 23318
Description: Two equivalent ways of saying that a subspace topology is connected. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
connsub ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ ((𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Conn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (((π‘₯ ∩ 𝑆) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ 𝑆) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– 𝑆)) β†’ Β¬ 𝑆 βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐽   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦

Proof of Theorem connsub
StepHypRef Expression
1 connsuba 23317 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ ((𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Conn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (((π‘₯ ∩ 𝑆) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ 𝑆) β‰  βˆ… ∧ ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∩ 𝑆) = βˆ…) β†’ ((π‘₯ βˆͺ 𝑦) ∩ 𝑆) β‰  𝑆)))
2 inss1 4224 . . . . . . 7 (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† π‘₯
3 toponss 22822 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ π‘₯ βŠ† 𝑋)
43ad2ant2r 746 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ π‘₯ βŠ† 𝑋)
52, 4sstrid 3989 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† 𝑋)
6 reldisj 4447 . . . . . 6 ((π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† 𝑋 β†’ (((π‘₯ ∩ 𝑦) ∩ 𝑆) = βˆ… ↔ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– 𝑆)))
75, 6syl 17 . . . . 5 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (((π‘₯ ∩ 𝑦) ∩ 𝑆) = βˆ… ↔ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– 𝑆)))
873anbi3d 1439 . . . 4 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (((π‘₯ ∩ 𝑆) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ 𝑆) β‰  βˆ… ∧ ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∩ 𝑆) = βˆ…) ↔ ((π‘₯ ∩ 𝑆) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ 𝑆) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– 𝑆))))
9 sseqin2 4211 . . . . . . 7 (𝑆 βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦) ↔ ((π‘₯ βˆͺ 𝑦) ∩ 𝑆) = 𝑆)
109a1i 11 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (𝑆 βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦) ↔ ((π‘₯ βˆͺ 𝑦) ∩ 𝑆) = 𝑆))
1110bicomd 222 . . . . 5 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (((π‘₯ βˆͺ 𝑦) ∩ 𝑆) = 𝑆 ↔ 𝑆 βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦)))
1211necon3abid 2973 . . . 4 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (((π‘₯ βˆͺ 𝑦) ∩ 𝑆) β‰  𝑆 ↔ Β¬ 𝑆 βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦)))
138, 12imbi12d 344 . . 3 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ ((((π‘₯ ∩ 𝑆) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ 𝑆) β‰  βˆ… ∧ ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∩ 𝑆) = βˆ…) β†’ ((π‘₯ βˆͺ 𝑦) ∩ 𝑆) β‰  𝑆) ↔ (((π‘₯ ∩ 𝑆) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ 𝑆) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– 𝑆)) β†’ Β¬ 𝑆 βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))))
14132ralbidva 3212 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (((π‘₯ ∩ 𝑆) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ 𝑆) β‰  βˆ… ∧ ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∩ 𝑆) = βˆ…) β†’ ((π‘₯ βˆͺ 𝑦) ∩ 𝑆) β‰  𝑆) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (((π‘₯ ∩ 𝑆) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ 𝑆) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– 𝑆)) β†’ Β¬ 𝑆 βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))))
151, 14bitrd 279 1 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ ((𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Conn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (((π‘₯ ∩ 𝑆) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ 𝑆) β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) βŠ† (𝑋 βˆ– 𝑆)) β†’ Β¬ 𝑆 βŠ† (π‘₯ βˆͺ 𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2936  βˆ€wral 3057   βˆ– cdif 3942   βˆͺ cun 3943   ∩ cin 3944   βŠ† wss 3945  βˆ…c0 4318  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   β†Ύt crest 17395  TopOnctopon 22805  Conncconn 23308
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-en 8958  df-fin 8961  df-fi 9428  df-rest 17397  df-topgen 17418  df-top 22789  df-topon 22806  df-bases 22842  df-cld 22916  df-conn 23309
This theorem is referenced by:  iunconn  23325  clsconn  23327  reconn  24737  iunconnlem2  44368
  Copyright terms: Public domain W3C validator