Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  connsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem connsub 22040
 Description: Two equivalent ways of saying that a subspace topology is connected. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
connsub ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → ((𝐽t 𝑆) ∈ Conn ↔ ∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (((𝑥𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑥𝑦) ⊆ (𝑋𝑆)) → ¬ 𝑆 ⊆ (𝑥𝑦))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Proof of Theorem connsub
StepHypRef Expression
1 connsuba 22039 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → ((𝐽t 𝑆) ∈ Conn ↔ ∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (((𝑥𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝑆) ≠ ∅ ∧ ((𝑥𝑦) ∩ 𝑆) = ∅) → ((𝑥𝑦) ∩ 𝑆) ≠ 𝑆)))
2 inss1 4155 . . . . . . 7 (𝑥𝑦) ⊆ 𝑥
3 toponss 21546 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑥𝐽) → 𝑥𝑋)
43ad2ant2r 746 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝑥𝑋)
52, 4sstrid 3926 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑥𝑦) ⊆ 𝑋)
6 reldisj 4359 . . . . . 6 ((𝑥𝑦) ⊆ 𝑋 → (((𝑥𝑦) ∩ 𝑆) = ∅ ↔ (𝑥𝑦) ⊆ (𝑋𝑆)))
75, 6syl 17 . . . . 5 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (((𝑥𝑦) ∩ 𝑆) = ∅ ↔ (𝑥𝑦) ⊆ (𝑋𝑆)))
873anbi3d 1439 . . . 4 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (((𝑥𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝑆) ≠ ∅ ∧ ((𝑥𝑦) ∩ 𝑆) = ∅) ↔ ((𝑥𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑥𝑦) ⊆ (𝑋𝑆))))
9 sseqin2 4142 . . . . . . 7 (𝑆 ⊆ (𝑥𝑦) ↔ ((𝑥𝑦) ∩ 𝑆) = 𝑆)
109a1i 11 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑆 ⊆ (𝑥𝑦) ↔ ((𝑥𝑦) ∩ 𝑆) = 𝑆))
1110bicomd 226 . . . . 5 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (((𝑥𝑦) ∩ 𝑆) = 𝑆𝑆 ⊆ (𝑥𝑦)))
1211necon3abid 3023 . . . 4 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (((𝑥𝑦) ∩ 𝑆) ≠ 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ⊆ (𝑥𝑦)))
138, 12imbi12d 348 . . 3 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → ((((𝑥𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝑆) ≠ ∅ ∧ ((𝑥𝑦) ∩ 𝑆) = ∅) → ((𝑥𝑦) ∩ 𝑆) ≠ 𝑆) ↔ (((𝑥𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑥𝑦) ⊆ (𝑋𝑆)) → ¬ 𝑆 ⊆ (𝑥𝑦))))
14132ralbidva 3163 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (((𝑥𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝑆) ≠ ∅ ∧ ((𝑥𝑦) ∩ 𝑆) = ∅) → ((𝑥𝑦) ∩ 𝑆) ≠ 𝑆) ↔ ∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (((𝑥𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑥𝑦) ⊆ (𝑋𝑆)) → ¬ 𝑆 ⊆ (𝑥𝑦))))
151, 14bitrd 282 1 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → ((𝐽t 𝑆) ∈ Conn ↔ ∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (((𝑥𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑥𝑦) ⊆ (𝑋𝑆)) → ¬ 𝑆 ⊆ (𝑥𝑦))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106   ∖ cdif 3878   ∪ cun 3879   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  ‘cfv 6327  (class class class)co 7140   ↾t crest 16693  TopOnctopon 21529  Conncconn 22030 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7448 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7568  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-oadd 8096  df-er 8279  df-en 8500  df-fin 8503  df-fi 8866  df-rest 16695  df-topgen 16716  df-top 21513  df-topon 21530  df-bases 21565  df-cld 21638  df-conn 22031 This theorem is referenced by:  iunconn  22047  clsconn  22049  reconn  23447  iunconnlem2  41705
 Copyright terms: Public domain W3C validator