MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  connsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem connsub 22907
Description: Two equivalent ways of saying that a subspace topology is connected. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
connsub ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → ((𝐽t 𝑆) ∈ Conn ↔ ∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (((𝑥𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑥𝑦) ⊆ (𝑋𝑆)) → ¬ 𝑆 ⊆ (𝑥𝑦))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Proof of Theorem connsub
StepHypRef Expression
1 connsuba 22906 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → ((𝐽t 𝑆) ∈ Conn ↔ ∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (((𝑥𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝑆) ≠ ∅ ∧ ((𝑥𝑦) ∩ 𝑆) = ∅) → ((𝑥𝑦) ∩ 𝑆) ≠ 𝑆)))
2 inss1 4227 . . . . . . 7 (𝑥𝑦) ⊆ 𝑥
3 toponss 22411 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑥𝐽) → 𝑥𝑋)
43ad2ant2r 746 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝑥𝑋)
52, 4sstrid 3992 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑥𝑦) ⊆ 𝑋)
6 reldisj 4450 . . . . . 6 ((𝑥𝑦) ⊆ 𝑋 → (((𝑥𝑦) ∩ 𝑆) = ∅ ↔ (𝑥𝑦) ⊆ (𝑋𝑆)))
75, 6syl 17 . . . . 5 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (((𝑥𝑦) ∩ 𝑆) = ∅ ↔ (𝑥𝑦) ⊆ (𝑋𝑆)))
873anbi3d 1443 . . . 4 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (((𝑥𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝑆) ≠ ∅ ∧ ((𝑥𝑦) ∩ 𝑆) = ∅) ↔ ((𝑥𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑥𝑦) ⊆ (𝑋𝑆))))
9 sseqin2 4214 . . . . . . 7 (𝑆 ⊆ (𝑥𝑦) ↔ ((𝑥𝑦) ∩ 𝑆) = 𝑆)
109a1i 11 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑆 ⊆ (𝑥𝑦) ↔ ((𝑥𝑦) ∩ 𝑆) = 𝑆))
1110bicomd 222 . . . . 5 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (((𝑥𝑦) ∩ 𝑆) = 𝑆𝑆 ⊆ (𝑥𝑦)))
1211necon3abid 2978 . . . 4 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (((𝑥𝑦) ∩ 𝑆) ≠ 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ⊆ (𝑥𝑦)))
138, 12imbi12d 345 . . 3 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → ((((𝑥𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝑆) ≠ ∅ ∧ ((𝑥𝑦) ∩ 𝑆) = ∅) → ((𝑥𝑦) ∩ 𝑆) ≠ 𝑆) ↔ (((𝑥𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑥𝑦) ⊆ (𝑋𝑆)) → ¬ 𝑆 ⊆ (𝑥𝑦))))
14132ralbidva 3217 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (((𝑥𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝑆) ≠ ∅ ∧ ((𝑥𝑦) ∩ 𝑆) = ∅) → ((𝑥𝑦) ∩ 𝑆) ≠ 𝑆) ↔ ∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (((𝑥𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑥𝑦) ⊆ (𝑋𝑆)) → ¬ 𝑆 ⊆ (𝑥𝑦))))
151, 14bitrd 279 1 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → ((𝐽t 𝑆) ∈ Conn ↔ ∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (((𝑥𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑥𝑦) ⊆ (𝑋𝑆)) → ¬ 𝑆 ⊆ (𝑥𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wral 3062  cdif 3944  cun 3945  cin 3946  wss 3947  c0 4321  cfv 6540  (class class class)co 7404  t crest 17362  TopOnctopon 22394  Conncconn 22897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-en 8936  df-fin 8939  df-fi 9402  df-rest 17364  df-topgen 17385  df-top 22378  df-topon 22395  df-bases 22431  df-cld 22505  df-conn 22898
This theorem is referenced by:  iunconn  22914  clsconn  22916  reconn  24326  iunconnlem2  43629
  Copyright terms: Public domain W3C validator