Theorem connsub 23331

Description: Two equivalent ways of saying that a subspace topology is connected. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
connsub	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Conn ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (((𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)) → ¬ 𝑆 ⊆ (𝑥 ∪ 𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Proof of Theorem connsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		connsuba 23330	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Conn ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (((𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ ((𝑥 ∩ 𝑦) ∩ 𝑆) = ∅) → ((𝑥 ∪ 𝑦) ∩ 𝑆) ≠ 𝑆)))
2		inss1 4182	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ 𝑥
3		toponss 22837	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
4	3	ad2ant2r 747	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
5	2, 4	sstrid 3941	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ 𝑋)
6		reldisj 4398	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ 𝑋 → (((𝑥 ∩ 𝑦) ∩ 𝑆) = ∅ ↔ (𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)))
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (((𝑥 ∩ 𝑦) ∩ 𝑆) = ∅ ↔ (𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)))
8	7	3anbi3d 1444	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (((𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ ((𝑥 ∩ 𝑦) ∩ 𝑆) = ∅) ↔ ((𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆))))
9		sseqin2 4168	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ⊆ (𝑥 ∪ 𝑦) ↔ ((𝑥 ∪ 𝑦) ∩ 𝑆) = 𝑆)
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝑆 ⊆ (𝑥 ∪ 𝑦) ↔ ((𝑥 ∪ 𝑦) ∩ 𝑆) = 𝑆))
11	10	bicomd 223	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (((𝑥 ∪ 𝑦) ∩ 𝑆) = 𝑆 ↔ 𝑆 ⊆ (𝑥 ∪ 𝑦)))
12	11	necon3abid 2964	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (((𝑥 ∪ 𝑦) ∩ 𝑆) ≠ 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ⊆ (𝑥 ∪ 𝑦)))
13	8, 12	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → ((((𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ ((𝑥 ∩ 𝑦) ∩ 𝑆) = ∅) → ((𝑥 ∪ 𝑦) ∩ 𝑆) ≠ 𝑆) ↔ (((𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)) → ¬ 𝑆 ⊆ (𝑥 ∪ 𝑦))))
14	13	2ralbidva 3194	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (((𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ ((𝑥 ∩ 𝑦) ∩ 𝑆) = ∅) → ((𝑥 ∪ 𝑦) ∩ 𝑆) ≠ 𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (((𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)) → ¬ 𝑆 ⊆ (𝑥 ∪ 𝑦))))
15	1, 14	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Conn ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (((𝑥 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦 ∩ 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)) → ¬ 𝑆 ⊆ (𝑥 ∪ 𝑦))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047   ∖ cdif 3894   ∪ cun 3895   ∩ cin 3896   ⊆ wss 3897  ∅c0 4278  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341   ↾_t crest 17319  TopOnctopon 22820  Conncconn 23321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-en 8865  df-fin 8868  df-fi 9290  df-rest 17321  df-topgen 17342  df-top 22804  df-topon 22821  df-bases 22856  df-cld 22929  df-conn 23322

This theorem is referenced by:  iunconn  23338  clsconn  23340  reconn  24739  iunconnlem2  44967