MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt22 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmpt22 23177
Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt21.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
cnmpt21.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
cnmpt21.a (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿))
cnmpt2t.b (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐡) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝑀))
cnmpt22.l (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘))
cnmpt22.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (TopOnβ€˜π‘Š))
cnmpt22.c (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ 𝑍, 𝑀 ∈ π‘Š ↦ 𝐢) ∈ ((𝐿 Γ—t 𝑀) Cn 𝑁))
cnmpt22.d ((𝑧 = 𝐴 ∧ 𝑀 = 𝐡) β†’ 𝐢 = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
cnmpt22 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐷) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑀,𝐴   𝑀,𝐡   𝑀,𝐷,𝑧   𝑧,𝐽   π‘₯,𝑀,𝑦,𝑧,𝐿   πœ‘,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑀,𝑋,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑀,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑀,𝑁,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑀,π‘Œ,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑧,𝐾   𝑀,π‘Š,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑀,𝑍,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑧,𝐡   π‘₯,𝐢,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑀)   𝐴(π‘₯,𝑦)   𝐡(π‘₯,𝑦)   𝐢(𝑧,𝑀)   𝐷(π‘₯,𝑦)   𝐽(π‘₯,𝑦,𝑀)   𝐾(π‘₯,𝑦,𝑀)

Proof of Theorem cnmpt22
StepHypRef Expression
1 df-ov 7411 . . . 4 (𝐴(𝑧 ∈ 𝑍, 𝑀 ∈ π‘Š ↦ 𝐢)𝐡) = ((𝑧 ∈ 𝑍, 𝑀 ∈ π‘Š ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)
2 cnmpt21.j . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
3 cnmpt21.k . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
4 txtopon 23094 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
52, 3, 4syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
6 cnmpt22.l . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘))
7 cnmpt21.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿))
8 cnf2 22752 . . . . . . . . 9 (((𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)) ∧ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐿)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴):(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘)
95, 6, 7, 8syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴):(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘)
10 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)
1110fmpo 8053 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐴 ∈ 𝑍 ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴):(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘)
129, 11sylibr 233 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐴 ∈ 𝑍)
13 rsp2 3274 . . . . . . 7 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐴 ∈ 𝑍 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐴 ∈ 𝑍))
1412, 13syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐴 ∈ 𝑍))
15143impib 1116 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐴 ∈ 𝑍)
16 cnmpt22.m . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (TopOnβ€˜π‘Š))
17 cnmpt2t.b . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐡) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝑀))
18 cnf2 22752 . . . . . . . . 9 (((𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ (TopOnβ€˜π‘Š) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐡) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐡):(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘Š)
195, 16, 17, 18syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐡):(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘Š)
20 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐡)
2120fmpo 8053 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐡 ∈ π‘Š ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐡):(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘Š)
2219, 21sylibr 233 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐡 ∈ π‘Š)
23 rsp2 3274 . . . . . . 7 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐡 ∈ π‘Š β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐡 ∈ π‘Š))
2422, 23syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐡 ∈ π‘Š))
25243impib 1116 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐡 ∈ π‘Š)
2615, 25jca 512 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴 ∈ 𝑍 ∧ 𝐡 ∈ π‘Š))
27 txtopon 23094 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘) ∧ 𝑀 ∈ (TopOnβ€˜π‘Š)) β†’ (𝐿 Γ—t 𝑀) ∈ (TopOnβ€˜(𝑍 Γ— π‘Š)))
286, 16, 27syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐿 Γ—t 𝑀) ∈ (TopOnβ€˜(𝑍 Γ— π‘Š)))
29 cnmpt22.c . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ 𝑍, 𝑀 ∈ π‘Š ↦ 𝐢) ∈ ((𝐿 Γ—t 𝑀) Cn 𝑁))
30 cntop2 22744 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ 𝑍, 𝑀 ∈ π‘Š ↦ 𝐢) ∈ ((𝐿 Γ—t 𝑀) Cn 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ Top)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ Top)
32 toptopon2 22419 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ Top ↔ 𝑁 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑁))
3331, 32sylib 217 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑁))
34 cnf2 22752 . . . . . . . . . 10 (((𝐿 Γ—t 𝑀) ∈ (TopOnβ€˜(𝑍 Γ— π‘Š)) ∧ 𝑁 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑁) ∧ (𝑧 ∈ 𝑍, 𝑀 ∈ π‘Š ↦ 𝐢) ∈ ((𝐿 Γ—t 𝑀) Cn 𝑁)) β†’ (𝑧 ∈ 𝑍, 𝑀 ∈ π‘Š ↦ 𝐢):(𝑍 Γ— π‘Š)⟢βˆͺ 𝑁)
3528, 33, 29, 34syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ 𝑍, 𝑀 ∈ π‘Š ↦ 𝐢):(𝑍 Γ— π‘Š)⟢βˆͺ 𝑁)
36 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ 𝑍, 𝑀 ∈ π‘Š ↦ 𝐢) = (𝑧 ∈ 𝑍, 𝑀 ∈ π‘Š ↦ 𝐢)
3736fmpo 8053 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘§ ∈ 𝑍 βˆ€π‘€ ∈ π‘Š 𝐢 ∈ βˆͺ 𝑁 ↔ (𝑧 ∈ 𝑍, 𝑀 ∈ π‘Š ↦ 𝐢):(𝑍 Γ— π‘Š)⟢βˆͺ 𝑁)
3835, 37sylibr 233 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑍 βˆ€π‘€ ∈ π‘Š 𝐢 ∈ βˆͺ 𝑁)
39 r2al 3194 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘§ ∈ 𝑍 βˆ€π‘€ ∈ π‘Š 𝐢 ∈ βˆͺ 𝑁 ↔ βˆ€π‘§βˆ€π‘€((𝑧 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) β†’ 𝐢 ∈ βˆͺ 𝑁))
4038, 39sylib 217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§βˆ€π‘€((𝑧 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) β†’ 𝐢 ∈ βˆͺ 𝑁))
41403ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ βˆ€π‘§βˆ€π‘€((𝑧 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) β†’ 𝐢 ∈ βˆͺ 𝑁))
42 eleq1 2821 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝐴 β†’ (𝑧 ∈ 𝑍 ↔ 𝐴 ∈ 𝑍))
43 eleq1 2821 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 𝐡 β†’ (𝑀 ∈ π‘Š ↔ 𝐡 ∈ π‘Š))
4442, 43bi2anan9 637 . . . . . . . 8 ((𝑧 = 𝐴 ∧ 𝑀 = 𝐡) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) ↔ (𝐴 ∈ 𝑍 ∧ 𝐡 ∈ π‘Š)))
45 cnmpt22.d . . . . . . . . 9 ((𝑧 = 𝐴 ∧ 𝑀 = 𝐡) β†’ 𝐢 = 𝐷)
4645eleq1d 2818 . . . . . . . 8 ((𝑧 = 𝐴 ∧ 𝑀 = 𝐡) β†’ (𝐢 ∈ βˆͺ 𝑁 ↔ 𝐷 ∈ βˆͺ 𝑁))
4744, 46imbi12d 344 . . . . . . 7 ((𝑧 = 𝐴 ∧ 𝑀 = 𝐡) β†’ (((𝑧 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) β†’ 𝐢 ∈ βˆͺ 𝑁) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑍 ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ 𝐷 ∈ βˆͺ 𝑁)))
4847spc2gv 3590 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑍 ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ (βˆ€π‘§βˆ€π‘€((𝑧 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) β†’ 𝐢 ∈ βˆͺ 𝑁) β†’ ((𝐴 ∈ 𝑍 ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ 𝐷 ∈ βˆͺ 𝑁)))
4926, 41, 26, 48syl3c 66 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐷 ∈ βˆͺ 𝑁)
5045, 36ovmpoga 7561 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑍 ∧ 𝐡 ∈ π‘Š ∧ 𝐷 ∈ βˆͺ 𝑁) β†’ (𝐴(𝑧 ∈ 𝑍, 𝑀 ∈ π‘Š ↦ 𝐢)𝐡) = 𝐷)
5115, 25, 49, 50syl3anc 1371 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴(𝑧 ∈ 𝑍, 𝑀 ∈ π‘Š ↦ 𝐢)𝐡) = 𝐷)
521, 51eqtr3id 2786 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑍, 𝑀 ∈ π‘Š ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) = 𝐷)
5352mpoeq3dva 7485 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ((𝑧 ∈ 𝑍, 𝑀 ∈ π‘Š ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)) = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐷))
542, 3, 7, 17cnmpt2t 23176 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ⟨𝐴, 𝐡⟩) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn (𝐿 Γ—t 𝑀)))
552, 3, 54, 29cnmpt21f 23175 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ((𝑧 ∈ 𝑍, 𝑀 ∈ π‘Š ↦ 𝐢)β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝑁))
5653, 55eqeltrrd 2834 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐷) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087  βˆ€wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βŸ¨cop 4634  βˆͺ cuni 4908   Γ— cxp 5674  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410  Topctop 22394  TopOnctopon 22411   Cn ccn 22727   Γ—t ctx 23063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-map 8821  df-topgen 17388  df-top 22395  df-topon 22412  df-bases 22448  df-cn 22730  df-tx 23065
This theorem is referenced by:  cnmpt22f  23178  xkofvcn  23187  cnmptk2  23189  pcorevlem  24541  gg-divcn  35158  gg-cnrehmeo  35166  gg-reparphti  35167  gg-cxpcn  35179
  Copyright terms: Public domain W3C validator