Theorem cnmpt21f 23838

Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmpt21.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
cnmpt21.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
cnmpt21.a	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐿))
cnmpt21f.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐿 Cn 𝑀))

Assertion

Ref	Expression
cnmpt21f	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝐹‘𝐴)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝑀))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥, 𝑦)   𝐽(𝑥, 𝑦)   𝐾(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem cnmpt21f

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmpt21.j	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2		cnmpt21.k	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
3		cnmpt21.a	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐿))
4		cnmpt21f.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐿 Cn 𝑀))
5		cntop1 23406	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐿 Cn 𝑀) → 𝐿 ∈ Top)
6	4, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ Top)
7		toptopon2 23084	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ Top ↔ 𝐿 ∈ (TopOn‘∪ 𝐿))
8	6, 7	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (TopOn‘∪ 𝐿))
9		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐿 = ∪ 𝐿
10		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑀 = ∪ 𝑀
11	9, 10	cnf 23412	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐿 Cn 𝑀) → 𝐹:∪ 𝐿⟶∪ 𝑀)
12	4, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ 𝐿⟶∪ 𝑀)
13	12	feqmptd 6949	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ∪ 𝐿 ↦ (𝐹‘𝑧)))
14	13, 4	eqeltrrd 2864	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ∪ 𝐿 ↦ (𝐹‘𝑧)) ∈ (𝐿 Cn 𝑀))
15		fveq2 6881	. 2 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝐴))
16	1, 2, 3, 8, 14, 15	cnmpt21 23837	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝐹‘𝐴)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2143  ∪ cuni 4872   ↦ cmpt 5192  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412  Topctop 23059  TopOnctopon 23076   Cn ccn 23390   ×_t ctx 23726

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-map 8822  df-topgen 17500  df-top 23060  df-topon 23077  df-bases 23112  df-cn 23393  df-tx 23728

This theorem is used by:  cnmpt22  23840  cnmptk2  23852  txhmeo  23969  tgpsubcn  24256  istgp2  24257  dvrcn  24350  htpyid  25145  htpyco1  25146  reparphti  25165  pcocn  25185  pcorevlem  25194  cxpcn  26919  dipcn  31081  mndpluscn  34325  cvxsconn  35743  cvmlift2lem6  35808  cvmlift2lem12  35814