MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reparphti Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reparphti 25009
Description: Lemma for reparpht 25011. (Contributed by NM, 15-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.) Avoid ax-mulf 11227. (Revised by GG, 16-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
reparpht.1 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
reparpht.2 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn II))
reparpht.3 (𝜑 → (𝐺‘0) = 0)
reparpht.4 (𝜑 → (𝐺‘1) = 1)
reparphti.5 𝐻 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))))
Assertion
Ref Expression
reparphti (𝜑𝐻 ∈ ((𝐹𝐺)(PHtpy‘𝐽)𝐹))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem reparphti
Dummy variables 𝑠 𝑢 𝑣 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reparpht.2 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn II))
2 reparpht.1 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
3 cnco 23256 . . 3 ((𝐺 ∈ (II Cn II) ∧ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽)) → (𝐹𝐺) ∈ (II Cn 𝐽))
41, 2, 3syl2anc 582 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐺) ∈ (II Cn 𝐽))
5 reparphti.5 . . 3 𝐻 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))))
6 iitopon 24885 . . . . 5 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
76a1i 11 . . . 4 (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
8 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
98cnfldtop 24786 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
10 cnrest2r 23277 . . . . . . . . . 10 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1))) ⊆ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
119, 10mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1))) ⊆ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
127, 7cnmpt2nd 23659 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((II ×t II) Cn II))
13 iirevcn 24937 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑧)) ∈ (II Cn II)
1413a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑧)) ∈ (II Cn II))
15 oveq2 7422 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 → (1 − 𝑧) = (1 − 𝑦))
167, 7, 12, 7, 14, 15cnmpt21 23661 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑦)) ∈ ((II ×t II) Cn II))
178dfii3 24889 . . . . . . . . . . 11 II = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1))
1817oveq2i 7425 . . . . . . . . . 10 ((II ×t II) Cn II) = ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1)))
1916, 18eleqtrdi 2836 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑦)) ∈ ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1))))
2011, 19sseldd 3980 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑦)) ∈ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
217, 7cnmpt1st 23658 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑥) ∈ ((II ×t II) Cn II))
227, 7, 21, 1cnmpt21f 23662 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺𝑥)) ∈ ((II ×t II) Cn II))
2322, 18eleqtrdi 2836 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺𝑥)) ∈ ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1))))
2411, 23sseldd 3980 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺𝑥)) ∈ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
258cnfldtopon 24785 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
2625a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
278mpomulcn 24871 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
2827a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
29 oveq12 7423 . . . . . . . 8 ((𝑢 = (1 − 𝑦) ∧ 𝑣 = (𝐺𝑥)) → (𝑢 · 𝑣) = ((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)))
307, 7, 20, 24, 26, 26, 28, 29cnmpt22 23664 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥))) ∈ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
319, 10ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1))) ⊆ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld))
3218, 31eqsstri 4014 . . . . . . . . 9 ((II ×t II) Cn II) ⊆ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld))
3332, 12sselid 3977 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
3432, 21sselid 3977 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑥) ∈ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
35 oveq12 7423 . . . . . . . 8 ((𝑢 = 𝑦𝑣 = 𝑥) → (𝑢 · 𝑣) = (𝑦 · 𝑥))
367, 7, 33, 34, 26, 26, 28, 35cnmpt22 23664 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑦 · 𝑥)) ∈ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
378addcn 24867 . . . . . . . 8 + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
3837a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
397, 7, 30, 36, 38cnmpt22f 23665 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) ∈ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
40 iiuni 24887 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0[,]1) = II
4140, 40cnf 23236 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ (II Cn II) → 𝐺:(0[,]1)⟶(0[,]1))
421, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐺:(0[,]1)⟶(0[,]1))
4342ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝐺𝑥) ∈ (0[,]1))
4443adantrr 715 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → (𝐺𝑥) ∈ (0[,]1))
45 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → 𝑥 ∈ (0[,]1))
46 simprr 771 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → 𝑦 ∈ (0[,]1))
47 0re 11255 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
48 1re 11253 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
49 icccvx 24961 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((𝐺𝑥) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥)) ∈ (0[,]1)))
5047, 48, 49mp2an 690 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺𝑥) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥)) ∈ (0[,]1))
5144, 45, 46, 50syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥)) ∈ (0[,]1))
5251ralrimivva 3191 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (0[,]1)∀𝑦 ∈ (0[,]1)(((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥)) ∈ (0[,]1))
53 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥)))
5453fmpo 8072 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ (0[,]1)∀𝑦 ∈ (0[,]1)(((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥)) ∈ (0[,]1) ↔ (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))):((0[,]1) × (0[,]1))⟶(0[,]1))
5552, 54sylib 217 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))):((0[,]1) × (0[,]1))⟶(0[,]1))
5655frnd 6726 . . . . . . 7 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) ⊆ (0[,]1))
57 unitsscn 13523 . . . . . . . 8 (0[,]1) ⊆ ℂ
5857a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (0[,]1) ⊆ ℂ)
59 cnrest2 23276 . . . . . . 7 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) ⊆ (0[,]1) ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ) → ((𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) ∈ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) ∈ ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1)))))
6026, 56, 58, 59syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) ∈ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) ∈ ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1)))))
6139, 60mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) ∈ ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1))))
6261, 18eleqtrrdi 2837 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) ∈ ((II ×t II) Cn II))
637, 7, 62, 2cnmpt21f 23662 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥)))) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
645, 63eqeltrid 2830 . 2 (𝜑𝐻 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
6542ffvelcdmda 7088 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝐺𝑠) ∈ (0[,]1))
6657, 65sselid 3977 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝐺𝑠) ∈ ℂ)
6766mullidd 11271 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1 · (𝐺𝑠)) = (𝐺𝑠))
68 elunitcn 13491 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (0[,]1) → 𝑠 ∈ ℂ)
6968adantl 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑠 ∈ ℂ)
7069mul02d 11451 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0 · 𝑠) = 0)
7167, 70oveq12d 7432 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 · (𝐺𝑠)) + (0 · 𝑠)) = ((𝐺𝑠) + 0))
7266addridd 11453 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝐺𝑠) + 0) = (𝐺𝑠))
7371, 72eqtrd 2766 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 · (𝐺𝑠)) + (0 · 𝑠)) = (𝐺𝑠))
7473fveq2d 6895 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘((1 · (𝐺𝑠)) + (0 · 𝑠))) = (𝐹‘(𝐺𝑠)))
75 simpr 483 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑠 ∈ (0[,]1))
76 0elunit 13492 . . . 4 0 ∈ (0[,]1)
77 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → 𝑦 = 0)
7877oveq2d 7430 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → (1 − 𝑦) = (1 − 0))
79 1m0e1 12377 . . . . . . . . 9 (1 − 0) = 1
8078, 79eqtrdi 2782 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → (1 − 𝑦) = 1)
81 simpl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → 𝑥 = 𝑠)
8281fveq2d 6895 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑠))
8380, 82oveq12d 7432 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → ((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) = (1 · (𝐺𝑠)))
8477, 81oveq12d 7432 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → (𝑦 · 𝑥) = (0 · 𝑠))
8583, 84oveq12d 7432 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥)) = ((1 · (𝐺𝑠)) + (0 · 𝑠)))
8685fveq2d 6895 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → (𝐹‘(((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) = (𝐹‘((1 · (𝐺𝑠)) + (0 · 𝑠))))
87 fvex 6904 . . . . 5 (𝐹‘((1 · (𝐺𝑠)) + (0 · 𝑠))) ∈ V
8886, 5, 87ovmpoa 7571 . . . 4 ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝐻0) = (𝐹‘((1 · (𝐺𝑠)) + (0 · 𝑠))))
8975, 76, 88sylancl 584 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝐻0) = (𝐹‘((1 · (𝐺𝑠)) + (0 · 𝑠))))
90 fvco3 6991 . . . 4 ((𝐺:(0[,]1)⟶(0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝐺)‘𝑠) = (𝐹‘(𝐺𝑠)))
9142, 90sylan 578 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝐺)‘𝑠) = (𝐹‘(𝐺𝑠)))
9274, 89, 913eqtr4d 2776 . 2 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝐻0) = ((𝐹𝐺)‘𝑠))
93 1elunit 13493 . . . 4 1 ∈ (0[,]1)
94 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → 𝑦 = 1)
9594oveq2d 7430 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → (1 − 𝑦) = (1 − 1))
96 1m1e0 12328 . . . . . . . . 9 (1 − 1) = 0
9795, 96eqtrdi 2782 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → (1 − 𝑦) = 0)
98 simpl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → 𝑥 = 𝑠)
9998fveq2d 6895 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑠))
10097, 99oveq12d 7432 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → ((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) = (0 · (𝐺𝑠)))
10194, 98oveq12d 7432 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → (𝑦 · 𝑥) = (1 · 𝑠))
102100, 101oveq12d 7432 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥)) = ((0 · (𝐺𝑠)) + (1 · 𝑠)))
103102fveq2d 6895 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → (𝐹‘(((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) = (𝐹‘((0 · (𝐺𝑠)) + (1 · 𝑠))))
104 fvex 6904 . . . . 5 (𝐹‘((0 · (𝐺𝑠)) + (1 · 𝑠))) ∈ V
105103, 5, 104ovmpoa 7571 . . . 4 ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝐻1) = (𝐹‘((0 · (𝐺𝑠)) + (1 · 𝑠))))
10675, 93, 105sylancl 584 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝐻1) = (𝐹‘((0 · (𝐺𝑠)) + (1 · 𝑠))))
10766mul02d 11451 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0 · (𝐺𝑠)) = 0)
10869mullidd 11271 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1 · 𝑠) = 𝑠)
109107, 108oveq12d 7432 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((0 · (𝐺𝑠)) + (1 · 𝑠)) = (0 + 𝑠))
11069addlidd 11454 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0 + 𝑠) = 𝑠)
111109, 110eqtrd 2766 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((0 · (𝐺𝑠)) + (1 · 𝑠)) = 𝑠)
112111fveq2d 6895 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘((0 · (𝐺𝑠)) + (1 · 𝑠))) = (𝐹𝑠))
113106, 112eqtrd 2766 . 2 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝐻1) = (𝐹𝑠))
114 reparpht.3 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺‘0) = 0)
115114adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝐺‘0) = 0)
116115oveq2d 7430 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑠) · (𝐺‘0)) = ((1 − 𝑠) · 0))
117 ax-1cn 11205 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
118 subcl 11498 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → (1 − 𝑠) ∈ ℂ)
119117, 69, 118sylancr 585 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑠) ∈ ℂ)
120119mul01d 11452 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑠) · 0) = 0)
121116, 120eqtrd 2766 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑠) · (𝐺‘0)) = 0)
12269mul01d 11452 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠 · 0) = 0)
123121, 122oveq12d 7432 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑠) · (𝐺‘0)) + (𝑠 · 0)) = (0 + 0))
124 00id 11428 . . . . 5 (0 + 0) = 0
125123, 124eqtrdi 2782 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑠) · (𝐺‘0)) + (𝑠 · 0)) = 0)
126125fveq2d 6895 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘(((1 − 𝑠) · (𝐺‘0)) + (𝑠 · 0))) = (𝐹‘0))
127 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → 𝑦 = 𝑠)
128127oveq2d 7430 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (1 − 𝑦) = (1 − 𝑠))
129 simpl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → 𝑥 = 0)
130129fveq2d 6895 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (𝐺𝑥) = (𝐺‘0))
131128, 130oveq12d 7432 . . . . . . 7 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → ((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) = ((1 − 𝑠) · (𝐺‘0)))
132127, 129oveq12d 7432 . . . . . . 7 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (𝑦 · 𝑥) = (𝑠 · 0))
133131, 132oveq12d 7432 . . . . . 6 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥)) = (((1 − 𝑠) · (𝐺‘0)) + (𝑠 · 0)))
134133fveq2d 6895 . . . . 5 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (𝐹‘(((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) = (𝐹‘(((1 − 𝑠) · (𝐺‘0)) + (𝑠 · 0))))
135 fvex 6904 . . . . 5 (𝐹‘(((1 − 𝑠) · (𝐺‘0)) + (𝑠 · 0))) ∈ V
136134, 5, 135ovmpoa 7571 . . . 4 ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝐻𝑠) = (𝐹‘(((1 − 𝑠) · (𝐺‘0)) + (𝑠 · 0))))
13776, 75, 136sylancr 585 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝐻𝑠) = (𝐹‘(((1 − 𝑠) · (𝐺‘0)) + (𝑠 · 0))))
138 fvco3 6991 . . . . . 6 ((𝐺:(0[,]1)⟶(0[,]1) ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝐺)‘0) = (𝐹‘(𝐺‘0)))
13942, 76, 138sylancl 584 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝐺)‘0) = (𝐹‘(𝐺‘0)))
140114fveq2d 6895 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹‘(𝐺‘0)) = (𝐹‘0))
141139, 140eqtrd 2766 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝐺)‘0) = (𝐹‘0))
142141adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝐺)‘0) = (𝐹‘0))
143126, 137, 1423eqtr4d 2776 . 2 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝐻𝑠) = ((𝐹𝐺)‘0))
144 reparpht.4 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺‘1) = 1)
145144adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝐺‘1) = 1)
146145oveq2d 7430 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑠) · (𝐺‘1)) = ((1 − 𝑠) · 1))
147119mulridd 11270 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑠) · 1) = (1 − 𝑠))
148146, 147eqtrd 2766 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑠) · (𝐺‘1)) = (1 − 𝑠))
14969mulridd 11270 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠 · 1) = 𝑠)
150148, 149oveq12d 7432 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑠) · (𝐺‘1)) + (𝑠 · 1)) = ((1 − 𝑠) + 𝑠))
151 npcan 11508 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑠) + 𝑠) = 1)
152117, 69, 151sylancr 585 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑠) + 𝑠) = 1)
153150, 152eqtrd 2766 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑠) · (𝐺‘1)) + (𝑠 · 1)) = 1)
154153fveq2d 6895 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘(((1 − 𝑠) · (𝐺‘1)) + (𝑠 · 1))) = (𝐹‘1))
155 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → 𝑦 = 𝑠)
156155oveq2d 7430 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (1 − 𝑦) = (1 − 𝑠))
157 simpl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → 𝑥 = 1)
158157fveq2d 6895 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (𝐺𝑥) = (𝐺‘1))
159156, 158oveq12d 7432 . . . . . . 7 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → ((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) = ((1 − 𝑠) · (𝐺‘1)))
160155, 157oveq12d 7432 . . . . . . 7 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (𝑦 · 𝑥) = (𝑠 · 1))
161159, 160oveq12d 7432 . . . . . 6 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥)) = (((1 − 𝑠) · (𝐺‘1)) + (𝑠 · 1)))
162161fveq2d 6895 . . . . 5 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (𝐹‘(((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) = (𝐹‘(((1 − 𝑠) · (𝐺‘1)) + (𝑠 · 1))))
163 fvex 6904 . . . . 5 (𝐹‘(((1 − 𝑠) · (𝐺‘1)) + (𝑠 · 1))) ∈ V
164162, 5, 163ovmpoa 7571 . . . 4 ((1 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝐻𝑠) = (𝐹‘(((1 − 𝑠) · (𝐺‘1)) + (𝑠 · 1))))
16593, 75, 164sylancr 585 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝐻𝑠) = (𝐹‘(((1 − 𝑠) · (𝐺‘1)) + (𝑠 · 1))))
166 fvco3 6991 . . . . . 6 ((𝐺:(0[,]1)⟶(0[,]1) ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝐺)‘1) = (𝐹‘(𝐺‘1)))
16742, 93, 166sylancl 584 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝐺)‘1) = (𝐹‘(𝐺‘1)))
168144fveq2d 6895 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹‘(𝐺‘1)) = (𝐹‘1))
169167, 168eqtrd 2766 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝐺)‘1) = (𝐹‘1))
170169adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝐺)‘1) = (𝐹‘1))
171154, 165, 1703eqtr4d 2776 . 2 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝐻𝑠) = ((𝐹𝐺)‘1))
1724, 2, 64, 92, 113, 143, 171isphtpy2d 24999 1 (𝜑𝐻 ∈ ((𝐹𝐺)(PHtpy‘𝐽)𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  wss 3947  cmpt 5227   × cxp 5671  ran crn 5674  ccom 5677  wf 6540  cfv 6544  (class class class)co 7414  cmpo 7416  cc 11145  cr 11146  0cc0 11147  1c1 11148   + caddc 11150   · cmul 11152  cmin 11483  [,]cicc 13373  t crest 17428  TopOpenctopn 17429  fldccnfld 21337  Topctop 22881  TopOnctopon 22898   Cn ccn 23214   ×t ctx 23550  IIcii 24881  PHtpycphtpy 24980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224  ax-pre-sup 11225  ax-addf 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4907  df-int 4948  df-iun 4996  df-iin 4997  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7680  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-er 8724  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9397  df-fi 9445  df-sup 9476  df-inf 9477  df-oi 9544  df-card 9973  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-div 11911  df-nn 12257  df-2 12319  df-3 12320  df-4 12321  df-5 12322  df-6 12323  df-7 12324  df-8 12325  df-9 12326  df-n0 12517  df-z 12603  df-dec 12722  df-uz 12867  df-q 12977  df-rp 13021  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-ioo 13374  df-icc 13377  df-fz 13531  df-fzo 13674  df-seq 14014  df-exp 14074  df-hash 14341  df-cj 15097  df-re 15098  df-im 15099  df-sqrt 15233  df-abs 15234  df-struct 17142  df-sets 17159  df-slot 17177  df-ndx 17189  df-base 17207  df-ress 17236  df-plusg 17272  df-mulr 17273  df-starv 17274  df-sca 17275  df-vsca 17276  df-ip 17277  df-tset 17278  df-ple 17279  df-ds 17281  df-unif 17282  df-hom 17283  df-cco 17284  df-rest 17430  df-topn 17431  df-0g 17449  df-gsum 17450  df-topgen 17451  df-pt 17452  df-prds 17455  df-xrs 17510  df-qtop 17515  df-imas 17516  df-xps 17518  df-mre 17592  df-mrc 17593  df-acs 17595  df-mgm 18626  df-sgrp 18705  df-mnd 18721  df-submnd 18767  df-mulg 19056  df-cntz 19305  df-cmn 19774  df-psmet 21329  df-xmet 21330  df-met 21331  df-bl 21332  df-mopn 21333  df-cnfld 21338  df-top 22882  df-topon 22899  df-topsp 22921  df-bases 22935  df-cn 23217  df-cnp 23218  df-tx 23552  df-hmeo 23745  df-xms 24312  df-ms 24313  df-tms 24314  df-ii 24883  df-htpy 24982  df-phtpy 24983
This theorem is referenced by:  reparpht  25011
  Copyright terms: Public domain W3C validator