MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reparphti Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reparphti 24941
Description: Lemma for reparpht 24943. (Contributed by NM, 15-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.) Avoid ax-mulf 11218. (Revised by GG, 16-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
reparpht.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
reparpht.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (II Cn II))
reparpht.3 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜0) = 0)
reparpht.4 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜1) = 1)
reparphti.5 𝐻 = (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (πΉβ€˜(((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (𝑦 Β· π‘₯))))
Assertion
Ref Expression
reparphti (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ ((𝐹 ∘ 𝐺)(PHtpyβ€˜π½)𝐹))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐹   π‘₯,𝐺,𝑦   π‘₯,𝐽,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐻(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem reparphti
Dummy variables 𝑠 𝑒 𝑣 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reparpht.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (II Cn II))
2 reparpht.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
3 cnco 23188 . . 3 ((𝐺 ∈ (II Cn II) ∧ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽)) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (II Cn 𝐽))
41, 2, 3syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (II Cn 𝐽))
5 reparphti.5 . . 3 𝐻 = (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (πΉβ€˜(((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (𝑦 Β· π‘₯))))
6 iitopon 24817 . . . . 5 II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1))
76a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1)))
8 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
98cnfldtop 24718 . . . . . . . . . 10 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top
10 cnrest2r 23209 . . . . . . . . . 10 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top β†’ ((II Γ—t II) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,]1))) βŠ† ((II Γ—t II) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
119, 10mp1i 13 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((II Γ—t II) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,]1))) βŠ† ((II Γ—t II) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
127, 7cnmpt2nd 23591 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((II Γ—t II) Cn II))
13 iirevcn 24869 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (1 βˆ’ 𝑧)) ∈ (II Cn II)
1413a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (1 βˆ’ 𝑧)) ∈ (II Cn II))
15 oveq2 7424 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 β†’ (1 βˆ’ 𝑧) = (1 βˆ’ 𝑦))
167, 7, 12, 7, 14, 15cnmpt21 23593 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (1 βˆ’ 𝑦)) ∈ ((II Γ—t II) Cn II))
178dfii3 24821 . . . . . . . . . . 11 II = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,]1))
1817oveq2i 7427 . . . . . . . . . 10 ((II Γ—t II) Cn II) = ((II Γ—t II) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,]1)))
1916, 18eleqtrdi 2835 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (1 βˆ’ 𝑦)) ∈ ((II Γ—t II) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,]1))))
2011, 19sseldd 3973 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (1 βˆ’ 𝑦)) ∈ ((II Γ—t II) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
217, 7cnmpt1st 23590 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ π‘₯) ∈ ((II Γ—t II) Cn II))
227, 7, 21, 1cnmpt21f 23594 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ ((II Γ—t II) Cn II))
2322, 18eleqtrdi 2835 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ ((II Γ—t II) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,]1))))
2411, 23sseldd 3973 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ ((II Γ—t II) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
258cnfldtopon 24717 . . . . . . . . 9 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
2625a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
278mpomulcn 24803 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
2827a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
29 oveq12 7425 . . . . . . . 8 ((𝑒 = (1 βˆ’ 𝑦) ∧ 𝑣 = (πΊβ€˜π‘₯)) β†’ (𝑒 Β· 𝑣) = ((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)))
307, 7, 20, 24, 26, 26, 28, 29cnmpt22 23596 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) ∈ ((II Γ—t II) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
319, 10ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((II Γ—t II) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,]1))) βŠ† ((II Γ—t II) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
3218, 31eqsstri 4007 . . . . . . . . 9 ((II Γ—t II) Cn II) βŠ† ((II Γ—t II) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
3332, 12sselid 3970 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((II Γ—t II) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
3432, 21sselid 3970 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ π‘₯) ∈ ((II Γ—t II) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
35 oveq12 7425 . . . . . . . 8 ((𝑒 = 𝑦 ∧ 𝑣 = π‘₯) β†’ (𝑒 Β· 𝑣) = (𝑦 Β· π‘₯))
367, 7, 33, 34, 26, 26, 28, 35cnmpt22 23596 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑦 Β· π‘₯)) ∈ ((II Γ—t II) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
378addcn 24799 . . . . . . . 8 + ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
3837a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ + ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
397, 7, 30, 36, 38cnmpt22f 23597 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (𝑦 Β· π‘₯))) ∈ ((II Γ—t II) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
40 iiuni 24819 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0[,]1) = βˆͺ II
4140, 40cnf 23168 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ (II Cn II) β†’ 𝐺:(0[,]1)⟢(0[,]1))
421, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐺:(0[,]1)⟢(0[,]1))
4342ffvelcdmda 7089 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]1)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]1))
4443adantrr 715 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]1))
45 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) β†’ π‘₯ ∈ (0[,]1))
46 simprr 771 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) β†’ 𝑦 ∈ (0[,]1))
47 0re 11246 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
48 1re 11244 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
49 icccvx 24893 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (((πΊβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]1) ∧ π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) β†’ (((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∈ (0[,]1)))
5047, 48, 49mp2an 690 . . . . . . . . . . 11 (((πΊβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]1) ∧ π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) β†’ (((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∈ (0[,]1))
5144, 45, 46, 50syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) β†’ (((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∈ (0[,]1))
5251ralrimivva 3191 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]1)(((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∈ (0[,]1))
53 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (𝑦 Β· π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (𝑦 Β· π‘₯)))
5453fmpo 8070 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]1)(((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∈ (0[,]1) ↔ (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (𝑦 Β· π‘₯))):((0[,]1) Γ— (0[,]1))⟢(0[,]1))
5552, 54sylib 217 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (𝑦 Β· π‘₯))):((0[,]1) Γ— (0[,]1))⟢(0[,]1))
5655frnd 6725 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (𝑦 Β· π‘₯))) βŠ† (0[,]1))
57 unitsscn 13509 . . . . . . . 8 (0[,]1) βŠ† β„‚
5857a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0[,]1) βŠ† β„‚)
59 cnrest2 23208 . . . . . . 7 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ ran (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (𝑦 Β· π‘₯))) βŠ† (0[,]1) ∧ (0[,]1) βŠ† β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (𝑦 Β· π‘₯))) ∈ ((II Γ—t II) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)) ↔ (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (𝑦 Β· π‘₯))) ∈ ((II Γ—t II) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,]1)))))
6026, 56, 58, 59syl3anc 1368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (𝑦 Β· π‘₯))) ∈ ((II Γ—t II) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)) ↔ (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (𝑦 Β· π‘₯))) ∈ ((II Γ—t II) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,]1)))))
6139, 60mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (𝑦 Β· π‘₯))) ∈ ((II Γ—t II) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,]1))))
6261, 18eleqtrrdi 2836 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (𝑦 Β· π‘₯))) ∈ ((II Γ—t II) Cn II))
637, 7, 62, 2cnmpt21f 23594 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (πΉβ€˜(((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (𝑦 Β· π‘₯)))) ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐽))
645, 63eqeltrid 2829 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐽))
6542ffvelcdmda 7089 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (πΊβ€˜π‘ ) ∈ (0[,]1))
6657, 65sselid 3970 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (πΊβ€˜π‘ ) ∈ β„‚)
6766mullidd 11262 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (1 Β· (πΊβ€˜π‘ )) = (πΊβ€˜π‘ ))
68 elunitcn 13477 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (0[,]1) β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
6968adantl 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
7069mul02d 11442 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (0 Β· 𝑠) = 0)
7167, 70oveq12d 7434 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((1 Β· (πΊβ€˜π‘ )) + (0 Β· 𝑠)) = ((πΊβ€˜π‘ ) + 0))
7266addridd 11444 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((πΊβ€˜π‘ ) + 0) = (πΊβ€˜π‘ ))
7371, 72eqtrd 2765 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((1 Β· (πΊβ€˜π‘ )) + (0 Β· 𝑠)) = (πΊβ€˜π‘ ))
7473fveq2d 6896 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (πΉβ€˜((1 Β· (πΊβ€˜π‘ )) + (0 Β· 𝑠))) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ )))
75 simpr 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ 𝑠 ∈ (0[,]1))
76 0elunit 13478 . . . 4 0 ∈ (0[,]1)
77 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 0) β†’ 𝑦 = 0)
7877oveq2d 7432 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 0) β†’ (1 βˆ’ 𝑦) = (1 βˆ’ 0))
79 1m0e1 12363 . . . . . . . . 9 (1 βˆ’ 0) = 1
8078, 79eqtrdi 2781 . . . . . . . 8 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 0) β†’ (1 βˆ’ 𝑦) = 1)
81 simpl 481 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 0) β†’ π‘₯ = 𝑠)
8281fveq2d 6896 . . . . . . . 8 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 0) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘ ))
8380, 82oveq12d 7434 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 0) β†’ ((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) = (1 Β· (πΊβ€˜π‘ )))
8477, 81oveq12d 7434 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 0) β†’ (𝑦 Β· π‘₯) = (0 Β· 𝑠))
8583, 84oveq12d 7434 . . . . . 6 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 0) β†’ (((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (𝑦 Β· π‘₯)) = ((1 Β· (πΊβ€˜π‘ )) + (0 Β· 𝑠)))
8685fveq2d 6896 . . . . 5 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 0) β†’ (πΉβ€˜(((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (𝑦 Β· π‘₯))) = (πΉβ€˜((1 Β· (πΊβ€˜π‘ )) + (0 Β· 𝑠))))
87 fvex 6905 . . . . 5 (πΉβ€˜((1 Β· (πΊβ€˜π‘ )) + (0 Β· 𝑠))) ∈ V
8886, 5, 87ovmpoa 7573 . . . 4 ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ 0 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑠𝐻0) = (πΉβ€˜((1 Β· (πΊβ€˜π‘ )) + (0 Β· 𝑠))))
8975, 76, 88sylancl 584 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑠𝐻0) = (πΉβ€˜((1 Β· (πΊβ€˜π‘ )) + (0 Β· 𝑠))))
90 fvco3 6992 . . . 4 ((𝐺:(0[,]1)⟢(0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ )))
9142, 90sylan 578 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ )))
9274, 89, 913eqtr4d 2775 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑠𝐻0) = ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘ ))
93 1elunit 13479 . . . 4 1 ∈ (0[,]1)
94 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 1) β†’ 𝑦 = 1)
9594oveq2d 7432 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 1) β†’ (1 βˆ’ 𝑦) = (1 βˆ’ 1))
96 1m1e0 12314 . . . . . . . . 9 (1 βˆ’ 1) = 0
9795, 96eqtrdi 2781 . . . . . . . 8 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 1) β†’ (1 βˆ’ 𝑦) = 0)
98 simpl 481 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 1) β†’ π‘₯ = 𝑠)
9998fveq2d 6896 . . . . . . . 8 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 1) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘ ))
10097, 99oveq12d 7434 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 1) β†’ ((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) = (0 Β· (πΊβ€˜π‘ )))
10194, 98oveq12d 7434 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 1) β†’ (𝑦 Β· π‘₯) = (1 Β· 𝑠))
102100, 101oveq12d 7434 . . . . . 6 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 1) β†’ (((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (𝑦 Β· π‘₯)) = ((0 Β· (πΊβ€˜π‘ )) + (1 Β· 𝑠)))
103102fveq2d 6896 . . . . 5 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 1) β†’ (πΉβ€˜(((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (𝑦 Β· π‘₯))) = (πΉβ€˜((0 Β· (πΊβ€˜π‘ )) + (1 Β· 𝑠))))
104 fvex 6905 . . . . 5 (πΉβ€˜((0 Β· (πΊβ€˜π‘ )) + (1 Β· 𝑠))) ∈ V
105103, 5, 104ovmpoa 7573 . . . 4 ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ 1 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑠𝐻1) = (πΉβ€˜((0 Β· (πΊβ€˜π‘ )) + (1 Β· 𝑠))))
10675, 93, 105sylancl 584 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑠𝐻1) = (πΉβ€˜((0 Β· (πΊβ€˜π‘ )) + (1 Β· 𝑠))))
10766mul02d 11442 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (0 Β· (πΊβ€˜π‘ )) = 0)
10869mullidd 11262 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (1 Β· 𝑠) = 𝑠)
109107, 108oveq12d 7434 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((0 Β· (πΊβ€˜π‘ )) + (1 Β· 𝑠)) = (0 + 𝑠))
11069addlidd 11445 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (0 + 𝑠) = 𝑠)
111109, 110eqtrd 2765 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((0 Β· (πΊβ€˜π‘ )) + (1 Β· 𝑠)) = 𝑠)
112111fveq2d 6896 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (πΉβ€˜((0 Β· (πΊβ€˜π‘ )) + (1 Β· 𝑠))) = (πΉβ€˜π‘ ))
113106, 112eqtrd 2765 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑠𝐻1) = (πΉβ€˜π‘ ))
114 reparpht.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜0) = 0)
115114adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (πΊβ€˜0) = 0)
116115oveq2d 7432 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑠) Β· (πΊβ€˜0)) = ((1 βˆ’ 𝑠) Β· 0))
117 ax-1cn 11196 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„‚
118 subcl 11489 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ β„‚ ∧ 𝑠 ∈ β„‚) β†’ (1 βˆ’ 𝑠) ∈ β„‚)
119117, 69, 118sylancr 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (1 βˆ’ 𝑠) ∈ β„‚)
120119mul01d 11443 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑠) Β· 0) = 0)
121116, 120eqtrd 2765 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑠) Β· (πΊβ€˜0)) = 0)
12269mul01d 11443 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑠 Β· 0) = 0)
123121, 122oveq12d 7434 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (((1 βˆ’ 𝑠) Β· (πΊβ€˜0)) + (𝑠 Β· 0)) = (0 + 0))
124 00id 11419 . . . . 5 (0 + 0) = 0
125123, 124eqtrdi 2781 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (((1 βˆ’ 𝑠) Β· (πΊβ€˜0)) + (𝑠 Β· 0)) = 0)
126125fveq2d 6896 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (πΉβ€˜(((1 βˆ’ 𝑠) Β· (πΊβ€˜0)) + (𝑠 Β· 0))) = (πΉβ€˜0))
127 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ 𝑦 = 𝑠)
128127oveq2d 7432 . . . . . . . 8 ((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ (1 βˆ’ 𝑦) = (1 βˆ’ 𝑠))
129 simpl 481 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ π‘₯ = 0)
130129fveq2d 6896 . . . . . . . 8 ((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜0))
131128, 130oveq12d 7434 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ ((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) = ((1 βˆ’ 𝑠) Β· (πΊβ€˜0)))
132127, 129oveq12d 7434 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ (𝑦 Β· π‘₯) = (𝑠 Β· 0))
133131, 132oveq12d 7434 . . . . . 6 ((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ (((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (𝑦 Β· π‘₯)) = (((1 βˆ’ 𝑠) Β· (πΊβ€˜0)) + (𝑠 Β· 0)))
134133fveq2d 6896 . . . . 5 ((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ (πΉβ€˜(((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (𝑦 Β· π‘₯))) = (πΉβ€˜(((1 βˆ’ 𝑠) Β· (πΊβ€˜0)) + (𝑠 Β· 0))))
135 fvex 6905 . . . . 5 (πΉβ€˜(((1 βˆ’ 𝑠) Β· (πΊβ€˜0)) + (𝑠 Β· 0))) ∈ V
136134, 5, 135ovmpoa 7573 . . . 4 ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (0𝐻𝑠) = (πΉβ€˜(((1 βˆ’ 𝑠) Β· (πΊβ€˜0)) + (𝑠 Β· 0))))
13776, 75, 136sylancr 585 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (0𝐻𝑠) = (πΉβ€˜(((1 βˆ’ 𝑠) Β· (πΊβ€˜0)) + (𝑠 Β· 0))))
138 fvco3 6992 . . . . . 6 ((𝐺:(0[,]1)⟢(0[,]1) ∧ 0 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜0) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜0)))
13942, 76, 138sylancl 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜0) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜0)))
140114fveq2d 6896 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜0)) = (πΉβ€˜0))
141139, 140eqtrd 2765 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜0) = (πΉβ€˜0))
142141adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜0) = (πΉβ€˜0))
143126, 137, 1423eqtr4d 2775 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (0𝐻𝑠) = ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜0))
144 reparpht.4 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜1) = 1)
145144adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (πΊβ€˜1) = 1)
146145oveq2d 7432 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑠) Β· (πΊβ€˜1)) = ((1 βˆ’ 𝑠) Β· 1))
147119mulridd 11261 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑠) Β· 1) = (1 βˆ’ 𝑠))
148146, 147eqtrd 2765 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑠) Β· (πΊβ€˜1)) = (1 βˆ’ 𝑠))
14969mulridd 11261 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑠 Β· 1) = 𝑠)
150148, 149oveq12d 7434 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (((1 βˆ’ 𝑠) Β· (πΊβ€˜1)) + (𝑠 Β· 1)) = ((1 βˆ’ 𝑠) + 𝑠))
151 npcan 11499 . . . . . 6 ((1 ∈ β„‚ ∧ 𝑠 ∈ β„‚) β†’ ((1 βˆ’ 𝑠) + 𝑠) = 1)
152117, 69, 151sylancr 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑠) + 𝑠) = 1)
153150, 152eqtrd 2765 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (((1 βˆ’ 𝑠) Β· (πΊβ€˜1)) + (𝑠 Β· 1)) = 1)
154153fveq2d 6896 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (πΉβ€˜(((1 βˆ’ 𝑠) Β· (πΊβ€˜1)) + (𝑠 Β· 1))) = (πΉβ€˜1))
155 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ 𝑦 = 𝑠)
156155oveq2d 7432 . . . . . . . 8 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ (1 βˆ’ 𝑦) = (1 βˆ’ 𝑠))
157 simpl 481 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ π‘₯ = 1)
158157fveq2d 6896 . . . . . . . 8 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜1))
159156, 158oveq12d 7434 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ ((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) = ((1 βˆ’ 𝑠) Β· (πΊβ€˜1)))
160155, 157oveq12d 7434 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ (𝑦 Β· π‘₯) = (𝑠 Β· 1))
161159, 160oveq12d 7434 . . . . . 6 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ (((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (𝑦 Β· π‘₯)) = (((1 βˆ’ 𝑠) Β· (πΊβ€˜1)) + (𝑠 Β· 1)))
162161fveq2d 6896 . . . . 5 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ (πΉβ€˜(((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (𝑦 Β· π‘₯))) = (πΉβ€˜(((1 βˆ’ 𝑠) Β· (πΊβ€˜1)) + (𝑠 Β· 1))))
163 fvex 6905 . . . . 5 (πΉβ€˜(((1 βˆ’ 𝑠) Β· (πΊβ€˜1)) + (𝑠 Β· 1))) ∈ V
164162, 5, 163ovmpoa 7573 . . . 4 ((1 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (1𝐻𝑠) = (πΉβ€˜(((1 βˆ’ 𝑠) Β· (πΊβ€˜1)) + (𝑠 Β· 1))))
16593, 75, 164sylancr 585 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (1𝐻𝑠) = (πΉβ€˜(((1 βˆ’ 𝑠) Β· (πΊβ€˜1)) + (𝑠 Β· 1))))
166 fvco3 6992 . . . . . 6 ((𝐺:(0[,]1)⟢(0[,]1) ∧ 1 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜1) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜1)))
16742, 93, 166sylancl 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜1) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜1)))
168144fveq2d 6896 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜1)) = (πΉβ€˜1))
169167, 168eqtrd 2765 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜1) = (πΉβ€˜1))
170169adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜1) = (πΉβ€˜1))
171154, 165, 1703eqtr4d 2775 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (1𝐻𝑠) = ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜1))
1724, 2, 64, 92, 113, 143, 171isphtpy2d 24931 1 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ ((𝐹 ∘ 𝐺)(PHtpyβ€˜π½)𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051   βŠ† wss 3939   ↦ cmpt 5226   Γ— cxp 5670  ran crn 5673   ∘ ccom 5676  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418  β„‚cc 11136  β„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   Β· cmul 11143   βˆ’ cmin 11474  [,]cicc 13359   β†Ύt crest 17401  TopOpenctopn 17402  β„‚fldccnfld 21283  Topctop 22813  TopOnctopon 22830   Cn ccn 23146   Γ—t ctx 23482  IIcii 24813  PHtpycphtpy 24912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-map 8845  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19028  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-cnfld 21284  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-ii 24815  df-htpy 24914  df-phtpy 24915
This theorem is referenced by:  reparpht  24943
  Copyright terms: Public domain W3C validator