MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reparphti Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reparphti 24878
Description: Lemma for reparpht 24880. (Contributed by NM, 15-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.) Avoid ax-mulf 11192. (Revised by GG, 16-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
reparpht.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
reparpht.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (II Cn II))
reparpht.3 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜0) = 0)
reparpht.4 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜1) = 1)
reparphti.5 𝐻 = (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (πΉβ€˜(((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (𝑦 Β· π‘₯))))
Assertion
Ref Expression
reparphti (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ ((𝐹 ∘ 𝐺)(PHtpyβ€˜π½)𝐹))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐹   π‘₯,𝐺,𝑦   π‘₯,𝐽,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐻(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem reparphti
Dummy variables 𝑠 𝑒 𝑣 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reparpht.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (II Cn II))
2 reparpht.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
3 cnco 23125 . . 3 ((𝐺 ∈ (II Cn II) ∧ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽)) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (II Cn 𝐽))
41, 2, 3syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (II Cn 𝐽))
5 reparphti.5 . . 3 𝐻 = (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (πΉβ€˜(((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (𝑦 Β· π‘₯))))
6 iitopon 24754 . . . . 5 II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1))
76a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1)))
8 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
98cnfldtop 24655 . . . . . . . . . 10 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top
10 cnrest2r 23146 . . . . . . . . . 10 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top β†’ ((II Γ—t II) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,]1))) βŠ† ((II Γ—t II) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
119, 10mp1i 13 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((II Γ—t II) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,]1))) βŠ† ((II Γ—t II) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
127, 7cnmpt2nd 23528 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((II Γ—t II) Cn II))
13 iirevcn 24806 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (1 βˆ’ 𝑧)) ∈ (II Cn II)
1413a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (1 βˆ’ 𝑧)) ∈ (II Cn II))
15 oveq2 7413 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 β†’ (1 βˆ’ 𝑧) = (1 βˆ’ 𝑦))
167, 7, 12, 7, 14, 15cnmpt21 23530 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (1 βˆ’ 𝑦)) ∈ ((II Γ—t II) Cn II))
178dfii3 24758 . . . . . . . . . . 11 II = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,]1))
1817oveq2i 7416 . . . . . . . . . 10 ((II Γ—t II) Cn II) = ((II Γ—t II) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,]1)))
1916, 18eleqtrdi 2837 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (1 βˆ’ 𝑦)) ∈ ((II Γ—t II) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,]1))))
2011, 19sseldd 3978 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (1 βˆ’ 𝑦)) ∈ ((II Γ—t II) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
217, 7cnmpt1st 23527 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ π‘₯) ∈ ((II Γ—t II) Cn II))
227, 7, 21, 1cnmpt21f 23531 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ ((II Γ—t II) Cn II))
2322, 18eleqtrdi 2837 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ ((II Γ—t II) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,]1))))
2411, 23sseldd 3978 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ ((II Γ—t II) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
258cnfldtopon 24654 . . . . . . . . 9 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
2625a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
278mpomulcn 24740 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
2827a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
29 oveq12 7414 . . . . . . . 8 ((𝑒 = (1 βˆ’ 𝑦) ∧ 𝑣 = (πΊβ€˜π‘₯)) β†’ (𝑒 Β· 𝑣) = ((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)))
307, 7, 20, 24, 26, 26, 28, 29cnmpt22 23533 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) ∈ ((II Γ—t II) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
319, 10ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((II Γ—t II) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,]1))) βŠ† ((II Γ—t II) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
3218, 31eqsstri 4011 . . . . . . . . 9 ((II Γ—t II) Cn II) βŠ† ((II Γ—t II) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
3332, 12sselid 3975 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((II Γ—t II) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
3432, 21sselid 3975 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ π‘₯) ∈ ((II Γ—t II) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
35 oveq12 7414 . . . . . . . 8 ((𝑒 = 𝑦 ∧ 𝑣 = π‘₯) β†’ (𝑒 Β· 𝑣) = (𝑦 Β· π‘₯))
367, 7, 33, 34, 26, 26, 28, 35cnmpt22 23533 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑦 Β· π‘₯)) ∈ ((II Γ—t II) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
378addcn 24736 . . . . . . . 8 + ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
3837a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ + ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
397, 7, 30, 36, 38cnmpt22f 23534 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (𝑦 Β· π‘₯))) ∈ ((II Γ—t II) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
40 iiuni 24756 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0[,]1) = βˆͺ II
4140, 40cnf 23105 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ (II Cn II) β†’ 𝐺:(0[,]1)⟢(0[,]1))
421, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐺:(0[,]1)⟢(0[,]1))
4342ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]1)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]1))
4443adantrr 714 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]1))
45 simprl 768 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) β†’ π‘₯ ∈ (0[,]1))
46 simprr 770 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) β†’ 𝑦 ∈ (0[,]1))
47 0re 11220 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
48 1re 11218 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
49 icccvx 24830 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (((πΊβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]1) ∧ π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) β†’ (((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∈ (0[,]1)))
5047, 48, 49mp2an 689 . . . . . . . . . . 11 (((πΊβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]1) ∧ π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) β†’ (((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∈ (0[,]1))
5144, 45, 46, 50syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) β†’ (((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∈ (0[,]1))
5251ralrimivva 3194 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]1)(((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∈ (0[,]1))
53 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (𝑦 Β· π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (𝑦 Β· π‘₯)))
5453fmpo 8053 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]1)(((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∈ (0[,]1) ↔ (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (𝑦 Β· π‘₯))):((0[,]1) Γ— (0[,]1))⟢(0[,]1))
5552, 54sylib 217 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (𝑦 Β· π‘₯))):((0[,]1) Γ— (0[,]1))⟢(0[,]1))
5655frnd 6719 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (𝑦 Β· π‘₯))) βŠ† (0[,]1))
57 unitsscn 13483 . . . . . . . 8 (0[,]1) βŠ† β„‚
5857a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0[,]1) βŠ† β„‚)
59 cnrest2 23145 . . . . . . 7 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ ran (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (𝑦 Β· π‘₯))) βŠ† (0[,]1) ∧ (0[,]1) βŠ† β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (𝑦 Β· π‘₯))) ∈ ((II Γ—t II) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)) ↔ (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (𝑦 Β· π‘₯))) ∈ ((II Γ—t II) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,]1)))))
6026, 56, 58, 59syl3anc 1368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (𝑦 Β· π‘₯))) ∈ ((II Γ—t II) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)) ↔ (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (𝑦 Β· π‘₯))) ∈ ((II Γ—t II) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,]1)))))
6139, 60mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (𝑦 Β· π‘₯))) ∈ ((II Γ—t II) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,]1))))
6261, 18eleqtrrdi 2838 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (𝑦 Β· π‘₯))) ∈ ((II Γ—t II) Cn II))
637, 7, 62, 2cnmpt21f 23531 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (πΉβ€˜(((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (𝑦 Β· π‘₯)))) ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐽))
645, 63eqeltrid 2831 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐽))
6542ffvelcdmda 7080 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (πΊβ€˜π‘ ) ∈ (0[,]1))
6657, 65sselid 3975 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (πΊβ€˜π‘ ) ∈ β„‚)
6766mullidd 11236 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (1 Β· (πΊβ€˜π‘ )) = (πΊβ€˜π‘ ))
68 elunitcn 13451 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (0[,]1) β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
6968adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
7069mul02d 11416 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (0 Β· 𝑠) = 0)
7167, 70oveq12d 7423 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((1 Β· (πΊβ€˜π‘ )) + (0 Β· 𝑠)) = ((πΊβ€˜π‘ ) + 0))
7266addridd 11418 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((πΊβ€˜π‘ ) + 0) = (πΊβ€˜π‘ ))
7371, 72eqtrd 2766 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((1 Β· (πΊβ€˜π‘ )) + (0 Β· 𝑠)) = (πΊβ€˜π‘ ))
7473fveq2d 6889 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (πΉβ€˜((1 Β· (πΊβ€˜π‘ )) + (0 Β· 𝑠))) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ )))
75 simpr 484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ 𝑠 ∈ (0[,]1))
76 0elunit 13452 . . . 4 0 ∈ (0[,]1)
77 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 0) β†’ 𝑦 = 0)
7877oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 0) β†’ (1 βˆ’ 𝑦) = (1 βˆ’ 0))
79 1m0e1 12337 . . . . . . . . 9 (1 βˆ’ 0) = 1
8078, 79eqtrdi 2782 . . . . . . . 8 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 0) β†’ (1 βˆ’ 𝑦) = 1)
81 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 0) β†’ π‘₯ = 𝑠)
8281fveq2d 6889 . . . . . . . 8 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 0) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘ ))
8380, 82oveq12d 7423 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 0) β†’ ((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) = (1 Β· (πΊβ€˜π‘ )))
8477, 81oveq12d 7423 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 0) β†’ (𝑦 Β· π‘₯) = (0 Β· 𝑠))
8583, 84oveq12d 7423 . . . . . 6 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 0) β†’ (((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (𝑦 Β· π‘₯)) = ((1 Β· (πΊβ€˜π‘ )) + (0 Β· 𝑠)))
8685fveq2d 6889 . . . . 5 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 0) β†’ (πΉβ€˜(((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (𝑦 Β· π‘₯))) = (πΉβ€˜((1 Β· (πΊβ€˜π‘ )) + (0 Β· 𝑠))))
87 fvex 6898 . . . . 5 (πΉβ€˜((1 Β· (πΊβ€˜π‘ )) + (0 Β· 𝑠))) ∈ V
8886, 5, 87ovmpoa 7559 . . . 4 ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ 0 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑠𝐻0) = (πΉβ€˜((1 Β· (πΊβ€˜π‘ )) + (0 Β· 𝑠))))
8975, 76, 88sylancl 585 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑠𝐻0) = (πΉβ€˜((1 Β· (πΊβ€˜π‘ )) + (0 Β· 𝑠))))
90 fvco3 6984 . . . 4 ((𝐺:(0[,]1)⟢(0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ )))
9142, 90sylan 579 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ )))
9274, 89, 913eqtr4d 2776 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑠𝐻0) = ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘ ))
93 1elunit 13453 . . . 4 1 ∈ (0[,]1)
94 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 1) β†’ 𝑦 = 1)
9594oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 1) β†’ (1 βˆ’ 𝑦) = (1 βˆ’ 1))
96 1m1e0 12288 . . . . . . . . 9 (1 βˆ’ 1) = 0
9795, 96eqtrdi 2782 . . . . . . . 8 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 1) β†’ (1 βˆ’ 𝑦) = 0)
98 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 1) β†’ π‘₯ = 𝑠)
9998fveq2d 6889 . . . . . . . 8 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 1) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘ ))
10097, 99oveq12d 7423 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 1) β†’ ((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) = (0 Β· (πΊβ€˜π‘ )))
10194, 98oveq12d 7423 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 1) β†’ (𝑦 Β· π‘₯) = (1 Β· 𝑠))
102100, 101oveq12d 7423 . . . . . 6 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 1) β†’ (((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (𝑦 Β· π‘₯)) = ((0 Β· (πΊβ€˜π‘ )) + (1 Β· 𝑠)))
103102fveq2d 6889 . . . . 5 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 1) β†’ (πΉβ€˜(((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (𝑦 Β· π‘₯))) = (πΉβ€˜((0 Β· (πΊβ€˜π‘ )) + (1 Β· 𝑠))))
104 fvex 6898 . . . . 5 (πΉβ€˜((0 Β· (πΊβ€˜π‘ )) + (1 Β· 𝑠))) ∈ V
105103, 5, 104ovmpoa 7559 . . . 4 ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ 1 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑠𝐻1) = (πΉβ€˜((0 Β· (πΊβ€˜π‘ )) + (1 Β· 𝑠))))
10675, 93, 105sylancl 585 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑠𝐻1) = (πΉβ€˜((0 Β· (πΊβ€˜π‘ )) + (1 Β· 𝑠))))
10766mul02d 11416 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (0 Β· (πΊβ€˜π‘ )) = 0)
10869mullidd 11236 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (1 Β· 𝑠) = 𝑠)
109107, 108oveq12d 7423 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((0 Β· (πΊβ€˜π‘ )) + (1 Β· 𝑠)) = (0 + 𝑠))
11069addlidd 11419 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (0 + 𝑠) = 𝑠)
111109, 110eqtrd 2766 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((0 Β· (πΊβ€˜π‘ )) + (1 Β· 𝑠)) = 𝑠)
112111fveq2d 6889 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (πΉβ€˜((0 Β· (πΊβ€˜π‘ )) + (1 Β· 𝑠))) = (πΉβ€˜π‘ ))
113106, 112eqtrd 2766 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑠𝐻1) = (πΉβ€˜π‘ ))
114 reparpht.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜0) = 0)
115114adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (πΊβ€˜0) = 0)
116115oveq2d 7421 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑠) Β· (πΊβ€˜0)) = ((1 βˆ’ 𝑠) Β· 0))
117 ax-1cn 11170 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„‚
118 subcl 11463 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ β„‚ ∧ 𝑠 ∈ β„‚) β†’ (1 βˆ’ 𝑠) ∈ β„‚)
119117, 69, 118sylancr 586 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (1 βˆ’ 𝑠) ∈ β„‚)
120119mul01d 11417 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑠) Β· 0) = 0)
121116, 120eqtrd 2766 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑠) Β· (πΊβ€˜0)) = 0)
12269mul01d 11417 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑠 Β· 0) = 0)
123121, 122oveq12d 7423 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (((1 βˆ’ 𝑠) Β· (πΊβ€˜0)) + (𝑠 Β· 0)) = (0 + 0))
124 00id 11393 . . . . 5 (0 + 0) = 0
125123, 124eqtrdi 2782 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (((1 βˆ’ 𝑠) Β· (πΊβ€˜0)) + (𝑠 Β· 0)) = 0)
126125fveq2d 6889 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (πΉβ€˜(((1 βˆ’ 𝑠) Β· (πΊβ€˜0)) + (𝑠 Β· 0))) = (πΉβ€˜0))
127 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ 𝑦 = 𝑠)
128127oveq2d 7421 . . . . . . . 8 ((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ (1 βˆ’ 𝑦) = (1 βˆ’ 𝑠))
129 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ π‘₯ = 0)
130129fveq2d 6889 . . . . . . . 8 ((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜0))
131128, 130oveq12d 7423 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ ((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) = ((1 βˆ’ 𝑠) Β· (πΊβ€˜0)))
132127, 129oveq12d 7423 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ (𝑦 Β· π‘₯) = (𝑠 Β· 0))
133131, 132oveq12d 7423 . . . . . 6 ((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ (((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (𝑦 Β· π‘₯)) = (((1 βˆ’ 𝑠) Β· (πΊβ€˜0)) + (𝑠 Β· 0)))
134133fveq2d 6889 . . . . 5 ((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ (πΉβ€˜(((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (𝑦 Β· π‘₯))) = (πΉβ€˜(((1 βˆ’ 𝑠) Β· (πΊβ€˜0)) + (𝑠 Β· 0))))
135 fvex 6898 . . . . 5 (πΉβ€˜(((1 βˆ’ 𝑠) Β· (πΊβ€˜0)) + (𝑠 Β· 0))) ∈ V
136134, 5, 135ovmpoa 7559 . . . 4 ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (0𝐻𝑠) = (πΉβ€˜(((1 βˆ’ 𝑠) Β· (πΊβ€˜0)) + (𝑠 Β· 0))))
13776, 75, 136sylancr 586 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (0𝐻𝑠) = (πΉβ€˜(((1 βˆ’ 𝑠) Β· (πΊβ€˜0)) + (𝑠 Β· 0))))
138 fvco3 6984 . . . . . 6 ((𝐺:(0[,]1)⟢(0[,]1) ∧ 0 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜0) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜0)))
13942, 76, 138sylancl 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜0) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜0)))
140114fveq2d 6889 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜0)) = (πΉβ€˜0))
141139, 140eqtrd 2766 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜0) = (πΉβ€˜0))
142141adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜0) = (πΉβ€˜0))
143126, 137, 1423eqtr4d 2776 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (0𝐻𝑠) = ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜0))
144 reparpht.4 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜1) = 1)
145144adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (πΊβ€˜1) = 1)
146145oveq2d 7421 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑠) Β· (πΊβ€˜1)) = ((1 βˆ’ 𝑠) Β· 1))
147119mulridd 11235 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑠) Β· 1) = (1 βˆ’ 𝑠))
148146, 147eqtrd 2766 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑠) Β· (πΊβ€˜1)) = (1 βˆ’ 𝑠))
14969mulridd 11235 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑠 Β· 1) = 𝑠)
150148, 149oveq12d 7423 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (((1 βˆ’ 𝑠) Β· (πΊβ€˜1)) + (𝑠 Β· 1)) = ((1 βˆ’ 𝑠) + 𝑠))
151 npcan 11473 . . . . . 6 ((1 ∈ β„‚ ∧ 𝑠 ∈ β„‚) β†’ ((1 βˆ’ 𝑠) + 𝑠) = 1)
152117, 69, 151sylancr 586 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑠) + 𝑠) = 1)
153150, 152eqtrd 2766 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (((1 βˆ’ 𝑠) Β· (πΊβ€˜1)) + (𝑠 Β· 1)) = 1)
154153fveq2d 6889 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (πΉβ€˜(((1 βˆ’ 𝑠) Β· (πΊβ€˜1)) + (𝑠 Β· 1))) = (πΉβ€˜1))
155 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ 𝑦 = 𝑠)
156155oveq2d 7421 . . . . . . . 8 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ (1 βˆ’ 𝑦) = (1 βˆ’ 𝑠))
157 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ π‘₯ = 1)
158157fveq2d 6889 . . . . . . . 8 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜1))
159156, 158oveq12d 7423 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ ((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) = ((1 βˆ’ 𝑠) Β· (πΊβ€˜1)))
160155, 157oveq12d 7423 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ (𝑦 Β· π‘₯) = (𝑠 Β· 1))
161159, 160oveq12d 7423 . . . . . 6 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ (((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (𝑦 Β· π‘₯)) = (((1 βˆ’ 𝑠) Β· (πΊβ€˜1)) + (𝑠 Β· 1)))
162161fveq2d 6889 . . . . 5 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ (πΉβ€˜(((1 βˆ’ 𝑦) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (𝑦 Β· π‘₯))) = (πΉβ€˜(((1 βˆ’ 𝑠) Β· (πΊβ€˜1)) + (𝑠 Β· 1))))
163 fvex 6898 . . . . 5 (πΉβ€˜(((1 βˆ’ 𝑠) Β· (πΊβ€˜1)) + (𝑠 Β· 1))) ∈ V
164162, 5, 163ovmpoa 7559 . . . 4 ((1 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (1𝐻𝑠) = (πΉβ€˜(((1 βˆ’ 𝑠) Β· (πΊβ€˜1)) + (𝑠 Β· 1))))
16593, 75, 164sylancr 586 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (1𝐻𝑠) = (πΉβ€˜(((1 βˆ’ 𝑠) Β· (πΊβ€˜1)) + (𝑠 Β· 1))))
166 fvco3 6984 . . . . . 6 ((𝐺:(0[,]1)⟢(0[,]1) ∧ 1 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜1) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜1)))
16742, 93, 166sylancl 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜1) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜1)))
168144fveq2d 6889 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜1)) = (πΉβ€˜1))
169167, 168eqtrd 2766 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜1) = (πΉβ€˜1))
170169adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜1) = (πΉβ€˜1))
171154, 165, 1703eqtr4d 2776 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (1𝐻𝑠) = ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜1))
1724, 2, 64, 92, 113, 143, 171isphtpy2d 24868 1 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ ((𝐹 ∘ 𝐺)(PHtpyβ€˜π½)𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055   βŠ† wss 3943   ↦ cmpt 5224   Γ— cxp 5667  ran crn 5670   ∘ ccom 5673  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   βˆ’ cmin 11448  [,]cicc 13333   β†Ύt crest 17375  TopOpenctopn 17376  β„‚fldccnfld 21240  Topctop 22750  TopOnctopon 22767   Cn ccn 23083   Γ—t ctx 23419  IIcii 24750  PHtpycphtpy 24849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-ii 24752  df-htpy 24851  df-phtpy 24852
This theorem is referenced by:  reparpht  24880
  Copyright terms: Public domain W3C validator