MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reparphti Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reparphti 25043
Description: Lemma for reparpht 25045. (Contributed by NM, 15-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.) Avoid ax-mulf 11233. (Revised by GG, 16-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
reparpht.1 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
reparpht.2 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn II))
reparpht.3 (𝜑 → (𝐺‘0) = 0)
reparpht.4 (𝜑 → (𝐺‘1) = 1)
reparphti.5 𝐻 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))))
Assertion
Ref Expression
reparphti (𝜑𝐻 ∈ ((𝐹𝐺)(PHtpy‘𝐽)𝐹))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem reparphti
Dummy variables 𝑠 𝑢 𝑣 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reparpht.2 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn II))
2 reparpht.1 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
3 cnco 23290 . . 3 ((𝐺 ∈ (II Cn II) ∧ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽)) → (𝐹𝐺) ∈ (II Cn 𝐽))
41, 2, 3syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐺) ∈ (II Cn 𝐽))
5 reparphti.5 . . 3 𝐻 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))))
6 iitopon 24919 . . . . 5 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
76a1i 11 . . . 4 (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
8 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
98cnfldtop 24820 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
10 cnrest2r 23311 . . . . . . . . . 10 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1))) ⊆ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
119, 10mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1))) ⊆ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
127, 7cnmpt2nd 23693 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((II ×t II) Cn II))
13 iirevcn 24971 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑧)) ∈ (II Cn II)
1413a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑧)) ∈ (II Cn II))
15 oveq2 7439 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 → (1 − 𝑧) = (1 − 𝑦))
167, 7, 12, 7, 14, 15cnmpt21 23695 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑦)) ∈ ((II ×t II) Cn II))
178dfii3 24923 . . . . . . . . . . 11 II = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1))
1817oveq2i 7442 . . . . . . . . . 10 ((II ×t II) Cn II) = ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1)))
1916, 18eleqtrdi 2849 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑦)) ∈ ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1))))
2011, 19sseldd 3996 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑦)) ∈ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
217, 7cnmpt1st 23692 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑥) ∈ ((II ×t II) Cn II))
227, 7, 21, 1cnmpt21f 23696 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺𝑥)) ∈ ((II ×t II) Cn II))
2322, 18eleqtrdi 2849 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺𝑥)) ∈ ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1))))
2411, 23sseldd 3996 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺𝑥)) ∈ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
258cnfldtopon 24819 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
2625a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
278mpomulcn 24905 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
2827a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
29 oveq12 7440 . . . . . . . 8 ((𝑢 = (1 − 𝑦) ∧ 𝑣 = (𝐺𝑥)) → (𝑢 · 𝑣) = ((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)))
307, 7, 20, 24, 26, 26, 28, 29cnmpt22 23698 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥))) ∈ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
319, 10ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1))) ⊆ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld))
3218, 31eqsstri 4030 . . . . . . . . 9 ((II ×t II) Cn II) ⊆ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld))
3332, 12sselid 3993 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
3432, 21sselid 3993 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑥) ∈ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
35 oveq12 7440 . . . . . . . 8 ((𝑢 = 𝑦𝑣 = 𝑥) → (𝑢 · 𝑣) = (𝑦 · 𝑥))
367, 7, 33, 34, 26, 26, 28, 35cnmpt22 23698 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑦 · 𝑥)) ∈ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
378addcn 24901 . . . . . . . 8 + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
3837a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
397, 7, 30, 36, 38cnmpt22f 23699 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) ∈ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
40 iiuni 24921 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0[,]1) = II
4140, 40cnf 23270 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ (II Cn II) → 𝐺:(0[,]1)⟶(0[,]1))
421, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐺:(0[,]1)⟶(0[,]1))
4342ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝐺𝑥) ∈ (0[,]1))
4443adantrr 717 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → (𝐺𝑥) ∈ (0[,]1))
45 simprl 771 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → 𝑥 ∈ (0[,]1))
46 simprr 773 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → 𝑦 ∈ (0[,]1))
47 0re 11261 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
48 1re 11259 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
49 icccvx 24995 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((𝐺𝑥) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥)) ∈ (0[,]1)))
5047, 48, 49mp2an 692 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺𝑥) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥)) ∈ (0[,]1))
5144, 45, 46, 50syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥)) ∈ (0[,]1))
5251ralrimivva 3200 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (0[,]1)∀𝑦 ∈ (0[,]1)(((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥)) ∈ (0[,]1))
53 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥)))
5453fmpo 8092 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ (0[,]1)∀𝑦 ∈ (0[,]1)(((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥)) ∈ (0[,]1) ↔ (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))):((0[,]1) × (0[,]1))⟶(0[,]1))
5552, 54sylib 218 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))):((0[,]1) × (0[,]1))⟶(0[,]1))
5655frnd 6745 . . . . . . 7 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) ⊆ (0[,]1))
57 unitsscn 13537 . . . . . . . 8 (0[,]1) ⊆ ℂ
5857a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (0[,]1) ⊆ ℂ)
59 cnrest2 23310 . . . . . . 7 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) ⊆ (0[,]1) ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ) → ((𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) ∈ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) ∈ ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1)))))
6026, 56, 58, 59syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) ∈ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) ∈ ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1)))))
6139, 60mpbid 232 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) ∈ ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1))))
6261, 18eleqtrrdi 2850 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) ∈ ((II ×t II) Cn II))
637, 7, 62, 2cnmpt21f 23696 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥)))) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
645, 63eqeltrid 2843 . 2 (𝜑𝐻 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
6542ffvelcdmda 7104 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝐺𝑠) ∈ (0[,]1))
6657, 65sselid 3993 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝐺𝑠) ∈ ℂ)
6766mullidd 11277 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1 · (𝐺𝑠)) = (𝐺𝑠))
68 elunitcn 13505 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (0[,]1) → 𝑠 ∈ ℂ)
6968adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑠 ∈ ℂ)
7069mul02d 11457 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0 · 𝑠) = 0)
7167, 70oveq12d 7449 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 · (𝐺𝑠)) + (0 · 𝑠)) = ((𝐺𝑠) + 0))
7266addridd 11459 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝐺𝑠) + 0) = (𝐺𝑠))
7371, 72eqtrd 2775 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 · (𝐺𝑠)) + (0 · 𝑠)) = (𝐺𝑠))
7473fveq2d 6911 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘((1 · (𝐺𝑠)) + (0 · 𝑠))) = (𝐹‘(𝐺𝑠)))
75 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑠 ∈ (0[,]1))
76 0elunit 13506 . . . 4 0 ∈ (0[,]1)
77 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → 𝑦 = 0)
7877oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → (1 − 𝑦) = (1 − 0))
79 1m0e1 12385 . . . . . . . . 9 (1 − 0) = 1
8078, 79eqtrdi 2791 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → (1 − 𝑦) = 1)
81 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → 𝑥 = 𝑠)
8281fveq2d 6911 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑠))
8380, 82oveq12d 7449 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → ((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) = (1 · (𝐺𝑠)))
8477, 81oveq12d 7449 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → (𝑦 · 𝑥) = (0 · 𝑠))
8583, 84oveq12d 7449 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥)) = ((1 · (𝐺𝑠)) + (0 · 𝑠)))
8685fveq2d 6911 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → (𝐹‘(((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) = (𝐹‘((1 · (𝐺𝑠)) + (0 · 𝑠))))
87 fvex 6920 . . . . 5 (𝐹‘((1 · (𝐺𝑠)) + (0 · 𝑠))) ∈ V
8886, 5, 87ovmpoa 7588 . . . 4 ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝐻0) = (𝐹‘((1 · (𝐺𝑠)) + (0 · 𝑠))))
8975, 76, 88sylancl 586 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝐻0) = (𝐹‘((1 · (𝐺𝑠)) + (0 · 𝑠))))
90 fvco3 7008 . . . 4 ((𝐺:(0[,]1)⟶(0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝐺)‘𝑠) = (𝐹‘(𝐺𝑠)))
9142, 90sylan 580 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝐺)‘𝑠) = (𝐹‘(𝐺𝑠)))
9274, 89, 913eqtr4d 2785 . 2 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝐻0) = ((𝐹𝐺)‘𝑠))
93 1elunit 13507 . . . 4 1 ∈ (0[,]1)
94 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → 𝑦 = 1)
9594oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → (1 − 𝑦) = (1 − 1))
96 1m1e0 12336 . . . . . . . . 9 (1 − 1) = 0
9795, 96eqtrdi 2791 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → (1 − 𝑦) = 0)
98 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → 𝑥 = 𝑠)
9998fveq2d 6911 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑠))
10097, 99oveq12d 7449 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → ((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) = (0 · (𝐺𝑠)))
10194, 98oveq12d 7449 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → (𝑦 · 𝑥) = (1 · 𝑠))
102100, 101oveq12d 7449 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥)) = ((0 · (𝐺𝑠)) + (1 · 𝑠)))
103102fveq2d 6911 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → (𝐹‘(((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) = (𝐹‘((0 · (𝐺𝑠)) + (1 · 𝑠))))
104 fvex 6920 . . . . 5 (𝐹‘((0 · (𝐺𝑠)) + (1 · 𝑠))) ∈ V
105103, 5, 104ovmpoa 7588 . . . 4 ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝐻1) = (𝐹‘((0 · (𝐺𝑠)) + (1 · 𝑠))))
10675, 93, 105sylancl 586 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝐻1) = (𝐹‘((0 · (𝐺𝑠)) + (1 · 𝑠))))
10766mul02d 11457 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0 · (𝐺𝑠)) = 0)
10869mullidd 11277 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1 · 𝑠) = 𝑠)
109107, 108oveq12d 7449 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((0 · (𝐺𝑠)) + (1 · 𝑠)) = (0 + 𝑠))
11069addlidd 11460 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0 + 𝑠) = 𝑠)
111109, 110eqtrd 2775 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((0 · (𝐺𝑠)) + (1 · 𝑠)) = 𝑠)
112111fveq2d 6911 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘((0 · (𝐺𝑠)) + (1 · 𝑠))) = (𝐹𝑠))
113106, 112eqtrd 2775 . 2 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝐻1) = (𝐹𝑠))
114 reparpht.3 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺‘0) = 0)
115114adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝐺‘0) = 0)
116115oveq2d 7447 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑠) · (𝐺‘0)) = ((1 − 𝑠) · 0))
117 ax-1cn 11211 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
118 subcl 11505 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → (1 − 𝑠) ∈ ℂ)
119117, 69, 118sylancr 587 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑠) ∈ ℂ)
120119mul01d 11458 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑠) · 0) = 0)
121116, 120eqtrd 2775 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑠) · (𝐺‘0)) = 0)
12269mul01d 11458 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠 · 0) = 0)
123121, 122oveq12d 7449 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑠) · (𝐺‘0)) + (𝑠 · 0)) = (0 + 0))
124 00id 11434 . . . . 5 (0 + 0) = 0
125123, 124eqtrdi 2791 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑠) · (𝐺‘0)) + (𝑠 · 0)) = 0)
126125fveq2d 6911 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘(((1 − 𝑠) · (𝐺‘0)) + (𝑠 · 0))) = (𝐹‘0))
127 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → 𝑦 = 𝑠)
128127oveq2d 7447 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (1 − 𝑦) = (1 − 𝑠))
129 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → 𝑥 = 0)
130129fveq2d 6911 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (𝐺𝑥) = (𝐺‘0))
131128, 130oveq12d 7449 . . . . . . 7 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → ((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) = ((1 − 𝑠) · (𝐺‘0)))
132127, 129oveq12d 7449 . . . . . . 7 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (𝑦 · 𝑥) = (𝑠 · 0))
133131, 132oveq12d 7449 . . . . . 6 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥)) = (((1 − 𝑠) · (𝐺‘0)) + (𝑠 · 0)))
134133fveq2d 6911 . . . . 5 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (𝐹‘(((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) = (𝐹‘(((1 − 𝑠) · (𝐺‘0)) + (𝑠 · 0))))
135 fvex 6920 . . . . 5 (𝐹‘(((1 − 𝑠) · (𝐺‘0)) + (𝑠 · 0))) ∈ V
136134, 5, 135ovmpoa 7588 . . . 4 ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝐻𝑠) = (𝐹‘(((1 − 𝑠) · (𝐺‘0)) + (𝑠 · 0))))
13776, 75, 136sylancr 587 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝐻𝑠) = (𝐹‘(((1 − 𝑠) · (𝐺‘0)) + (𝑠 · 0))))
138 fvco3 7008 . . . . . 6 ((𝐺:(0[,]1)⟶(0[,]1) ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝐺)‘0) = (𝐹‘(𝐺‘0)))
13942, 76, 138sylancl 586 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝐺)‘0) = (𝐹‘(𝐺‘0)))
140114fveq2d 6911 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹‘(𝐺‘0)) = (𝐹‘0))
141139, 140eqtrd 2775 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝐺)‘0) = (𝐹‘0))
142141adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝐺)‘0) = (𝐹‘0))
143126, 137, 1423eqtr4d 2785 . 2 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝐻𝑠) = ((𝐹𝐺)‘0))
144 reparpht.4 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺‘1) = 1)
145144adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝐺‘1) = 1)
146145oveq2d 7447 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑠) · (𝐺‘1)) = ((1 − 𝑠) · 1))
147119mulridd 11276 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑠) · 1) = (1 − 𝑠))
148146, 147eqtrd 2775 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑠) · (𝐺‘1)) = (1 − 𝑠))
14969mulridd 11276 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠 · 1) = 𝑠)
150148, 149oveq12d 7449 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑠) · (𝐺‘1)) + (𝑠 · 1)) = ((1 − 𝑠) + 𝑠))
151 npcan 11515 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑠) + 𝑠) = 1)
152117, 69, 151sylancr 587 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑠) + 𝑠) = 1)
153150, 152eqtrd 2775 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑠) · (𝐺‘1)) + (𝑠 · 1)) = 1)
154153fveq2d 6911 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘(((1 − 𝑠) · (𝐺‘1)) + (𝑠 · 1))) = (𝐹‘1))
155 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → 𝑦 = 𝑠)
156155oveq2d 7447 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (1 − 𝑦) = (1 − 𝑠))
157 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → 𝑥 = 1)
158157fveq2d 6911 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (𝐺𝑥) = (𝐺‘1))
159156, 158oveq12d 7449 . . . . . . 7 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → ((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) = ((1 − 𝑠) · (𝐺‘1)))
160155, 157oveq12d 7449 . . . . . . 7 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (𝑦 · 𝑥) = (𝑠 · 1))
161159, 160oveq12d 7449 . . . . . 6 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥)) = (((1 − 𝑠) · (𝐺‘1)) + (𝑠 · 1)))
162161fveq2d 6911 . . . . 5 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (𝐹‘(((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) = (𝐹‘(((1 − 𝑠) · (𝐺‘1)) + (𝑠 · 1))))
163 fvex 6920 . . . . 5 (𝐹‘(((1 − 𝑠) · (𝐺‘1)) + (𝑠 · 1))) ∈ V
164162, 5, 163ovmpoa 7588 . . . 4 ((1 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝐻𝑠) = (𝐹‘(((1 − 𝑠) · (𝐺‘1)) + (𝑠 · 1))))
16593, 75, 164sylancr 587 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝐻𝑠) = (𝐹‘(((1 − 𝑠) · (𝐺‘1)) + (𝑠 · 1))))
166 fvco3 7008 . . . . . 6 ((𝐺:(0[,]1)⟶(0[,]1) ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝐺)‘1) = (𝐹‘(𝐺‘1)))
16742, 93, 166sylancl 586 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝐺)‘1) = (𝐹‘(𝐺‘1)))
168144fveq2d 6911 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹‘(𝐺‘1)) = (𝐹‘1))
169167, 168eqtrd 2775 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝐺)‘1) = (𝐹‘1))
170169adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝐺)‘1) = (𝐹‘1))
171154, 165, 1703eqtr4d 2785 . 2 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝐻𝑠) = ((𝐹𝐺)‘1))
1724, 2, 64, 92, 113, 143, 171isphtpy2d 25033 1 (𝜑𝐻 ∈ ((𝐹𝐺)(PHtpy‘𝐽)𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wss 3963  cmpt 5231   × cxp 5687  ran crn 5690  ccom 5693  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cmin 11490  [,]cicc 13387  t crest 17467  TopOpenctopn 17468  fldccnfld 21382  Topctop 22915  TopOnctopon 22932   Cn ccn 23248   ×t ctx 23584  IIcii 24915  PHtpycphtpy 25014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-ii 24917  df-htpy 25016  df-phtpy 25017
This theorem is referenced by:  reparpht  25045
  Copyright terms: Public domain W3C validator