MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reparphti Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reparphti 23600
Description: Lemma for reparpht 23601. (Contributed by NM, 15-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
reparpht.2 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
reparpht.3 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn II))
reparpht.4 (𝜑 → (𝐺‘0) = 0)
reparpht.5 (𝜑 → (𝐺‘1) = 1)
reparphti.6 𝐻 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))))
Assertion
Ref Expression
reparphti (𝜑𝐻 ∈ ((𝐹𝐺)(PHtpy‘𝐽)𝐹))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem reparphti
Dummy variables 𝑠 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reparpht.3 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn II))
2 reparpht.2 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
3 cnco 21869 . . 3 ((𝐺 ∈ (II Cn II) ∧ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽)) → (𝐹𝐺) ∈ (II Cn 𝐽))
41, 2, 3syl2anc 587 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐺) ∈ (II Cn 𝐽))
5 reparphti.6 . . 3 𝐻 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))))
6 iitopon 23482 . . . . 5 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
76a1i 11 . . . 4 (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
8 eqid 2822 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
98cnfldtop 23387 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
10 cnrest2r 21890 . . . . . . . . . 10 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1))) ⊆ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
119, 10mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1))) ⊆ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
127, 7cnmpt2nd 22272 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((II ×t II) Cn II))
13 iirevcn 23533 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑧)) ∈ (II Cn II)
1413a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑧)) ∈ (II Cn II))
15 oveq2 7148 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 → (1 − 𝑧) = (1 − 𝑦))
167, 7, 12, 7, 14, 15cnmpt21 22274 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑦)) ∈ ((II ×t II) Cn II))
178dfii3 23486 . . . . . . . . . . 11 II = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1))
1817oveq2i 7151 . . . . . . . . . 10 ((II ×t II) Cn II) = ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1)))
1916, 18eleqtrdi 2924 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑦)) ∈ ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1))))
2011, 19sseldd 3943 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑦)) ∈ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
217, 7cnmpt1st 22271 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑥) ∈ ((II ×t II) Cn II))
227, 7, 21, 1cnmpt21f 22275 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺𝑥)) ∈ ((II ×t II) Cn II))
2322, 18eleqtrdi 2924 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺𝑥)) ∈ ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1))))
2411, 23sseldd 3943 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺𝑥)) ∈ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
258mulcn 23470 . . . . . . . . 9 · ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
2625a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → · ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
277, 7, 20, 24, 26cnmpt22f 22278 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥))) ∈ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
2812, 18eleqtrdi 2924 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1))))
2911, 28sseldd 3943 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
3021, 18eleqtrdi 2924 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑥) ∈ ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1))))
3111, 30sseldd 3943 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑥) ∈ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
327, 7, 29, 31, 26cnmpt22f 22278 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑦 · 𝑥)) ∈ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
338addcn 23468 . . . . . . . 8 + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
3433a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
357, 7, 27, 32, 34cnmpt22f 22278 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) ∈ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
368cnfldtopon 23386 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
3736a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
38 iiuni 23484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0[,]1) = II
3938, 38cnf 21849 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ (II Cn II) → 𝐺:(0[,]1)⟶(0[,]1))
401, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐺:(0[,]1)⟶(0[,]1))
4140ffvelrnda 6833 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝐺𝑥) ∈ (0[,]1))
4241adantrr 716 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → (𝐺𝑥) ∈ (0[,]1))
43 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → 𝑥 ∈ (0[,]1))
44 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → 𝑦 ∈ (0[,]1))
45 0re 10632 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
46 1re 10630 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
47 icccvx 23553 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((𝐺𝑥) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥)) ∈ (0[,]1)))
4845, 46, 47mp2an 691 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺𝑥) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥)) ∈ (0[,]1))
4942, 43, 44, 48syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥)) ∈ (0[,]1))
5049ralrimivva 3181 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (0[,]1)∀𝑦 ∈ (0[,]1)(((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥)) ∈ (0[,]1))
51 eqid 2822 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥)))
5251fmpo 7752 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ (0[,]1)∀𝑦 ∈ (0[,]1)(((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥)) ∈ (0[,]1) ↔ (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))):((0[,]1) × (0[,]1))⟶(0[,]1))
5350, 52sylib 221 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))):((0[,]1) × (0[,]1))⟶(0[,]1))
5453frnd 6501 . . . . . . 7 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) ⊆ (0[,]1))
55 unitssre 12877 . . . . . . . . 9 (0[,]1) ⊆ ℝ
56 ax-resscn 10583 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℂ
5755, 56sstri 3951 . . . . . . . 8 (0[,]1) ⊆ ℂ
5857a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (0[,]1) ⊆ ℂ)
59 cnrest2 21889 . . . . . . 7 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) ⊆ (0[,]1) ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ) → ((𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) ∈ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) ∈ ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1)))))
6037, 54, 58, 59syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) ∈ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) ∈ ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1)))))
6135, 60mpbid 235 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) ∈ ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1))))
6261, 18eleqtrrdi 2925 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) ∈ ((II ×t II) Cn II))
637, 7, 62, 2cnmpt21f 22275 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥)))) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
645, 63eqeltrid 2918 . 2 (𝜑𝐻 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
6540ffvelrnda 6833 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝐺𝑠) ∈ (0[,]1))
6657, 65sseldi 3940 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝐺𝑠) ∈ ℂ)
6766mulid2d 10648 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1 · (𝐺𝑠)) = (𝐺𝑠))
6857sseli 3938 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (0[,]1) → 𝑠 ∈ ℂ)
6968adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑠 ∈ ℂ)
7069mul02d 10827 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0 · 𝑠) = 0)
7167, 70oveq12d 7158 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 · (𝐺𝑠)) + (0 · 𝑠)) = ((𝐺𝑠) + 0))
7266addid1d 10829 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝐺𝑠) + 0) = (𝐺𝑠))
7371, 72eqtrd 2857 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 · (𝐺𝑠)) + (0 · 𝑠)) = (𝐺𝑠))
7473fveq2d 6656 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘((1 · (𝐺𝑠)) + (0 · 𝑠))) = (𝐹‘(𝐺𝑠)))
75 simpr 488 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑠 ∈ (0[,]1))
76 0elunit 12847 . . . 4 0 ∈ (0[,]1)
77 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → 𝑦 = 0)
7877oveq2d 7156 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → (1 − 𝑦) = (1 − 0))
79 1m0e1 11746 . . . . . . . . 9 (1 − 0) = 1
8078, 79syl6eq 2873 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → (1 − 𝑦) = 1)
81 simpl 486 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → 𝑥 = 𝑠)
8281fveq2d 6656 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑠))
8380, 82oveq12d 7158 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → ((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) = (1 · (𝐺𝑠)))
8477, 81oveq12d 7158 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → (𝑦 · 𝑥) = (0 · 𝑠))
8583, 84oveq12d 7158 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥)) = ((1 · (𝐺𝑠)) + (0 · 𝑠)))
8685fveq2d 6656 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → (𝐹‘(((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) = (𝐹‘((1 · (𝐺𝑠)) + (0 · 𝑠))))
87 fvex 6665 . . . . 5 (𝐹‘((1 · (𝐺𝑠)) + (0 · 𝑠))) ∈ V
8886, 5, 87ovmpoa 7289 . . . 4 ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝐻0) = (𝐹‘((1 · (𝐺𝑠)) + (0 · 𝑠))))
8975, 76, 88sylancl 589 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝐻0) = (𝐹‘((1 · (𝐺𝑠)) + (0 · 𝑠))))
90 fvco3 6742 . . . 4 ((𝐺:(0[,]1)⟶(0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝐺)‘𝑠) = (𝐹‘(𝐺𝑠)))
9140, 90sylan 583 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝐺)‘𝑠) = (𝐹‘(𝐺𝑠)))
9274, 89, 913eqtr4d 2867 . 2 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝐻0) = ((𝐹𝐺)‘𝑠))
93 1elunit 12848 . . . 4 1 ∈ (0[,]1)
94 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → 𝑦 = 1)
9594oveq2d 7156 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → (1 − 𝑦) = (1 − 1))
96 1m1e0 11697 . . . . . . . . 9 (1 − 1) = 0
9795, 96syl6eq 2873 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → (1 − 𝑦) = 0)
98 simpl 486 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → 𝑥 = 𝑠)
9998fveq2d 6656 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑠))
10097, 99oveq12d 7158 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → ((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) = (0 · (𝐺𝑠)))
10194, 98oveq12d 7158 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → (𝑦 · 𝑥) = (1 · 𝑠))
102100, 101oveq12d 7158 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥)) = ((0 · (𝐺𝑠)) + (1 · 𝑠)))
103102fveq2d 6656 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → (𝐹‘(((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) = (𝐹‘((0 · (𝐺𝑠)) + (1 · 𝑠))))
104 fvex 6665 . . . . 5 (𝐹‘((0 · (𝐺𝑠)) + (1 · 𝑠))) ∈ V
105103, 5, 104ovmpoa 7289 . . . 4 ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝐻1) = (𝐹‘((0 · (𝐺𝑠)) + (1 · 𝑠))))
10675, 93, 105sylancl 589 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝐻1) = (𝐹‘((0 · (𝐺𝑠)) + (1 · 𝑠))))
10766mul02d 10827 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0 · (𝐺𝑠)) = 0)
10869mulid2d 10648 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1 · 𝑠) = 𝑠)
109107, 108oveq12d 7158 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((0 · (𝐺𝑠)) + (1 · 𝑠)) = (0 + 𝑠))
11069addid2d 10830 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0 + 𝑠) = 𝑠)
111109, 110eqtrd 2857 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((0 · (𝐺𝑠)) + (1 · 𝑠)) = 𝑠)
112111fveq2d 6656 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘((0 · (𝐺𝑠)) + (1 · 𝑠))) = (𝐹𝑠))
113106, 112eqtrd 2857 . 2 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝐻1) = (𝐹𝑠))
114 reparpht.4 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺‘0) = 0)
115114adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝐺‘0) = 0)
116115oveq2d 7156 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑠) · (𝐺‘0)) = ((1 − 𝑠) · 0))
117 ax-1cn 10584 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
118 subcl 10874 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → (1 − 𝑠) ∈ ℂ)
119117, 69, 118sylancr 590 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑠) ∈ ℂ)
120119mul01d 10828 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑠) · 0) = 0)
121116, 120eqtrd 2857 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑠) · (𝐺‘0)) = 0)
12269mul01d 10828 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠 · 0) = 0)
123121, 122oveq12d 7158 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑠) · (𝐺‘0)) + (𝑠 · 0)) = (0 + 0))
124 00id 10804 . . . . 5 (0 + 0) = 0
125123, 124syl6eq 2873 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑠) · (𝐺‘0)) + (𝑠 · 0)) = 0)
126125fveq2d 6656 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘(((1 − 𝑠) · (𝐺‘0)) + (𝑠 · 0))) = (𝐹‘0))
127 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → 𝑦 = 𝑠)
128127oveq2d 7156 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (1 − 𝑦) = (1 − 𝑠))
129 simpl 486 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → 𝑥 = 0)
130129fveq2d 6656 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (𝐺𝑥) = (𝐺‘0))
131128, 130oveq12d 7158 . . . . . . 7 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → ((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) = ((1 − 𝑠) · (𝐺‘0)))
132127, 129oveq12d 7158 . . . . . . 7 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (𝑦 · 𝑥) = (𝑠 · 0))
133131, 132oveq12d 7158 . . . . . 6 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥)) = (((1 − 𝑠) · (𝐺‘0)) + (𝑠 · 0)))
134133fveq2d 6656 . . . . 5 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (𝐹‘(((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) = (𝐹‘(((1 − 𝑠) · (𝐺‘0)) + (𝑠 · 0))))
135 fvex 6665 . . . . 5 (𝐹‘(((1 − 𝑠) · (𝐺‘0)) + (𝑠 · 0))) ∈ V
136134, 5, 135ovmpoa 7289 . . . 4 ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝐻𝑠) = (𝐹‘(((1 − 𝑠) · (𝐺‘0)) + (𝑠 · 0))))
13776, 75, 136sylancr 590 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝐻𝑠) = (𝐹‘(((1 − 𝑠) · (𝐺‘0)) + (𝑠 · 0))))
138 fvco3 6742 . . . . . 6 ((𝐺:(0[,]1)⟶(0[,]1) ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝐺)‘0) = (𝐹‘(𝐺‘0)))
13940, 76, 138sylancl 589 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝐺)‘0) = (𝐹‘(𝐺‘0)))
140114fveq2d 6656 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹‘(𝐺‘0)) = (𝐹‘0))
141139, 140eqtrd 2857 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝐺)‘0) = (𝐹‘0))
142141adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝐺)‘0) = (𝐹‘0))
143126, 137, 1423eqtr4d 2867 . 2 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝐻𝑠) = ((𝐹𝐺)‘0))
144 reparpht.5 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺‘1) = 1)
145144adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝐺‘1) = 1)
146145oveq2d 7156 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑠) · (𝐺‘1)) = ((1 − 𝑠) · 1))
147119mulid1d 10647 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑠) · 1) = (1 − 𝑠))
148146, 147eqtrd 2857 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑠) · (𝐺‘1)) = (1 − 𝑠))
14969mulid1d 10647 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠 · 1) = 𝑠)
150148, 149oveq12d 7158 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑠) · (𝐺‘1)) + (𝑠 · 1)) = ((1 − 𝑠) + 𝑠))
151 npcan 10884 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑠) + 𝑠) = 1)
152117, 69, 151sylancr 590 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑠) + 𝑠) = 1)
153150, 152eqtrd 2857 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑠) · (𝐺‘1)) + (𝑠 · 1)) = 1)
154153fveq2d 6656 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘(((1 − 𝑠) · (𝐺‘1)) + (𝑠 · 1))) = (𝐹‘1))
155 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → 𝑦 = 𝑠)
156155oveq2d 7156 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (1 − 𝑦) = (1 − 𝑠))
157 simpl 486 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → 𝑥 = 1)
158157fveq2d 6656 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (𝐺𝑥) = (𝐺‘1))
159156, 158oveq12d 7158 . . . . . . 7 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → ((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) = ((1 − 𝑠) · (𝐺‘1)))
160155, 157oveq12d 7158 . . . . . . 7 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (𝑦 · 𝑥) = (𝑠 · 1))
161159, 160oveq12d 7158 . . . . . 6 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥)) = (((1 − 𝑠) · (𝐺‘1)) + (𝑠 · 1)))
162161fveq2d 6656 . . . . 5 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (𝐹‘(((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) = (𝐹‘(((1 − 𝑠) · (𝐺‘1)) + (𝑠 · 1))))
163 fvex 6665 . . . . 5 (𝐹‘(((1 − 𝑠) · (𝐺‘1)) + (𝑠 · 1))) ∈ V
164162, 5, 163ovmpoa 7289 . . . 4 ((1 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝐻𝑠) = (𝐹‘(((1 − 𝑠) · (𝐺‘1)) + (𝑠 · 1))))
16593, 75, 164sylancr 590 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝐻𝑠) = (𝐹‘(((1 − 𝑠) · (𝐺‘1)) + (𝑠 · 1))))
166 fvco3 6742 . . . . . 6 ((𝐺:(0[,]1)⟶(0[,]1) ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝐺)‘1) = (𝐹‘(𝐺‘1)))
16740, 93, 166sylancl 589 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝐺)‘1) = (𝐹‘(𝐺‘1)))
168144fveq2d 6656 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹‘(𝐺‘1)) = (𝐹‘1))
169167, 168eqtrd 2857 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝐺)‘1) = (𝐹‘1))
170169adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝐺)‘1) = (𝐹‘1))
171154, 165, 1703eqtr4d 2867 . 2 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝐻𝑠) = ((𝐹𝐺)‘1))
1724, 2, 64, 92, 113, 143, 171isphtpy2d 23590 1 (𝜑𝐻 ∈ ((𝐹𝐺)(PHtpy‘𝐽)𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114  wral 3130  wss 3908  cmpt 5122   × cxp 5530  ran crn 5533  ccom 5536  wf 6330  cfv 6334  (class class class)co 7140  cmpo 7142  cc 10524  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  cmin 10859  [,]cicc 12729  t crest 16685  TopOpenctopn 16686  fldccnfld 20089  Topctop 21496  TopOnctopon 21513   Cn ccn 21827   ×t ctx 22163  IIcii 23478  PHtpycphtpy 23571
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-starv 16571  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-unif 16579  df-hom 16580  df-cco 16581  df-rest 16687  df-topn 16688  df-0g 16706  df-gsum 16707  df-topgen 16708  df-pt 16709  df-prds 16712  df-xrs 16766  df-qtop 16771  df-imas 16772  df-xps 16774  df-mre 16848  df-mrc 16849  df-acs 16851  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17948  df-mulg 18216  df-cntz 18438  df-cmn 18899  df-psmet 20081  df-xmet 20082  df-met 20083  df-bl 20084  df-mopn 20085  df-cnfld 20090  df-top 21497  df-topon 21514  df-topsp 21536  df-bases 21549  df-cn 21830  df-cnp 21831  df-tx 22165  df-hmeo 22358  df-xms 22925  df-ms 22926  df-tms 22927  df-ii 23480  df-htpy 23573  df-phtpy 23574
This theorem is referenced by:  reparpht  23601
  Copyright terms: Public domain W3C validator