MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reparphti Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reparphti 23075
Description: Lemma for reparpht 23076. (Contributed by NM, 15-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
reparpht.2 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
reparpht.3 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn II))
reparpht.4 (𝜑 → (𝐺‘0) = 0)
reparpht.5 (𝜑 → (𝐺‘1) = 1)
reparphti.6 𝐻 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))))
Assertion
Ref Expression
reparphti (𝜑𝐻 ∈ ((𝐹𝐺)(PHtpy‘𝐽)𝐹))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem reparphti
Dummy variables 𝑠 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reparpht.3 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn II))
2 reparpht.2 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
3 cnco 21350 . . 3 ((𝐺 ∈ (II Cn II) ∧ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽)) → (𝐹𝐺) ∈ (II Cn 𝐽))
41, 2, 3syl2anc 579 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐺) ∈ (II Cn 𝐽))
5 reparphti.6 . . 3 𝐻 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))))
6 iitopon 22961 . . . . 5 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
76a1i 11 . . . 4 (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
8 eqid 2765 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
98cnfldtop 22866 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
10 cnrest2r 21371 . . . . . . . . . 10 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1))) ⊆ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
119, 10mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1))) ⊆ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
127, 7cnmpt2nd 21752 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((II ×t II) Cn II))
13 iirevcn 23008 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑧)) ∈ (II Cn II)
1413a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑧)) ∈ (II Cn II))
15 oveq2 6850 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 → (1 − 𝑧) = (1 − 𝑦))
167, 7, 12, 7, 14, 15cnmpt21 21754 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑦)) ∈ ((II ×t II) Cn II))
178dfii3 22965 . . . . . . . . . . 11 II = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1))
1817oveq2i 6853 . . . . . . . . . 10 ((II ×t II) Cn II) = ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1)))
1916, 18syl6eleq 2854 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑦)) ∈ ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1))))
2011, 19sseldd 3762 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑦)) ∈ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
217, 7cnmpt1st 21751 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑥) ∈ ((II ×t II) Cn II))
227, 7, 21, 1cnmpt21f 21755 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺𝑥)) ∈ ((II ×t II) Cn II))
2322, 18syl6eleq 2854 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺𝑥)) ∈ ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1))))
2411, 23sseldd 3762 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺𝑥)) ∈ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
258mulcn 22949 . . . . . . . . 9 · ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
2625a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → · ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
277, 7, 20, 24, 26cnmpt22f 21758 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥))) ∈ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
2812, 18syl6eleq 2854 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1))))
2911, 28sseldd 3762 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
3021, 18syl6eleq 2854 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑥) ∈ ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1))))
3111, 30sseldd 3762 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑥) ∈ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
327, 7, 29, 31, 26cnmpt22f 21758 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑦 · 𝑥)) ∈ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
338addcn 22947 . . . . . . . 8 + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
3433a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
357, 7, 27, 32, 34cnmpt22f 21758 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) ∈ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
368cnfldtopon 22865 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
3736a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
38 iiuni 22963 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0[,]1) = II
3938, 38cnf 21330 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ (II Cn II) → 𝐺:(0[,]1)⟶(0[,]1))
401, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐺:(0[,]1)⟶(0[,]1))
4140ffvelrnda 6549 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝐺𝑥) ∈ (0[,]1))
4241adantrr 708 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → (𝐺𝑥) ∈ (0[,]1))
43 simprl 787 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → 𝑥 ∈ (0[,]1))
44 simprr 789 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → 𝑦 ∈ (0[,]1))
45 0re 10295 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
46 1re 10293 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
47 icccvx 23028 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((𝐺𝑥) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥)) ∈ (0[,]1)))
4845, 46, 47mp2an 683 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺𝑥) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥)) ∈ (0[,]1))
4942, 43, 44, 48syl3anc 1490 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥)) ∈ (0[,]1))
5049ralrimivva 3118 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (0[,]1)∀𝑦 ∈ (0[,]1)(((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥)) ∈ (0[,]1))
51 eqid 2765 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥)))
5251fmpt2 7438 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ (0[,]1)∀𝑦 ∈ (0[,]1)(((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥)) ∈ (0[,]1) ↔ (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))):((0[,]1) × (0[,]1))⟶(0[,]1))
5350, 52sylib 209 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))):((0[,]1) × (0[,]1))⟶(0[,]1))
5453frnd 6230 . . . . . . 7 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) ⊆ (0[,]1))
55 unitssre 12526 . . . . . . . . 9 (0[,]1) ⊆ ℝ
56 ax-resscn 10246 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℂ
5755, 56sstri 3770 . . . . . . . 8 (0[,]1) ⊆ ℂ
5857a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (0[,]1) ⊆ ℂ)
59 cnrest2 21370 . . . . . . 7 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) ⊆ (0[,]1) ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ) → ((𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) ∈ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) ∈ ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1)))))
6037, 54, 58, 59syl3anc 1490 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) ∈ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) ∈ ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1)))))
6135, 60mpbid 223 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) ∈ ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1))))
6261, 18syl6eleqr 2855 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) ∈ ((II ×t II) Cn II))
637, 7, 62, 2cnmpt21f 21755 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥)))) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
645, 63syl5eqel 2848 . 2 (𝜑𝐻 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
6540ffvelrnda 6549 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝐺𝑠) ∈ (0[,]1))
6657, 65sseldi 3759 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝐺𝑠) ∈ ℂ)
6766mulid2d 10312 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1 · (𝐺𝑠)) = (𝐺𝑠))
6857sseli 3757 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (0[,]1) → 𝑠 ∈ ℂ)
6968adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑠 ∈ ℂ)
7069mul02d 10488 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0 · 𝑠) = 0)
7167, 70oveq12d 6860 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 · (𝐺𝑠)) + (0 · 𝑠)) = ((𝐺𝑠) + 0))
7266addid1d 10490 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝐺𝑠) + 0) = (𝐺𝑠))
7371, 72eqtrd 2799 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 · (𝐺𝑠)) + (0 · 𝑠)) = (𝐺𝑠))
7473fveq2d 6379 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘((1 · (𝐺𝑠)) + (0 · 𝑠))) = (𝐹‘(𝐺𝑠)))
75 simpr 477 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑠 ∈ (0[,]1))
76 0elunit 12495 . . . 4 0 ∈ (0[,]1)
77 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → 𝑦 = 0)
7877oveq2d 6858 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → (1 − 𝑦) = (1 − 0))
79 1m0e1 11400 . . . . . . . . 9 (1 − 0) = 1
8078, 79syl6eq 2815 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → (1 − 𝑦) = 1)
81 simpl 474 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → 𝑥 = 𝑠)
8281fveq2d 6379 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑠))
8380, 82oveq12d 6860 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → ((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) = (1 · (𝐺𝑠)))
8477, 81oveq12d 6860 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → (𝑦 · 𝑥) = (0 · 𝑠))
8583, 84oveq12d 6860 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥)) = ((1 · (𝐺𝑠)) + (0 · 𝑠)))
8685fveq2d 6379 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → (𝐹‘(((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) = (𝐹‘((1 · (𝐺𝑠)) + (0 · 𝑠))))
87 fvex 6388 . . . . 5 (𝐹‘((1 · (𝐺𝑠)) + (0 · 𝑠))) ∈ V
8886, 5, 87ovmpt2a 6989 . . . 4 ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝐻0) = (𝐹‘((1 · (𝐺𝑠)) + (0 · 𝑠))))
8975, 76, 88sylancl 580 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝐻0) = (𝐹‘((1 · (𝐺𝑠)) + (0 · 𝑠))))
90 fvco3 6464 . . . 4 ((𝐺:(0[,]1)⟶(0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝐺)‘𝑠) = (𝐹‘(𝐺𝑠)))
9140, 90sylan 575 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝐺)‘𝑠) = (𝐹‘(𝐺𝑠)))
9274, 89, 913eqtr4d 2809 . 2 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝐻0) = ((𝐹𝐺)‘𝑠))
93 1elunit 12496 . . . 4 1 ∈ (0[,]1)
94 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → 𝑦 = 1)
9594oveq2d 6858 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → (1 − 𝑦) = (1 − 1))
96 1m1e0 11344 . . . . . . . . 9 (1 − 1) = 0
9795, 96syl6eq 2815 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → (1 − 𝑦) = 0)
98 simpl 474 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → 𝑥 = 𝑠)
9998fveq2d 6379 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑠))
10097, 99oveq12d 6860 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → ((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) = (0 · (𝐺𝑠)))
10194, 98oveq12d 6860 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → (𝑦 · 𝑥) = (1 · 𝑠))
102100, 101oveq12d 6860 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥)) = ((0 · (𝐺𝑠)) + (1 · 𝑠)))
103102fveq2d 6379 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → (𝐹‘(((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) = (𝐹‘((0 · (𝐺𝑠)) + (1 · 𝑠))))
104 fvex 6388 . . . . 5 (𝐹‘((0 · (𝐺𝑠)) + (1 · 𝑠))) ∈ V
105103, 5, 104ovmpt2a 6989 . . . 4 ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝐻1) = (𝐹‘((0 · (𝐺𝑠)) + (1 · 𝑠))))
10675, 93, 105sylancl 580 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝐻1) = (𝐹‘((0 · (𝐺𝑠)) + (1 · 𝑠))))
10766mul02d 10488 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0 · (𝐺𝑠)) = 0)
10869mulid2d 10312 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1 · 𝑠) = 𝑠)
109107, 108oveq12d 6860 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((0 · (𝐺𝑠)) + (1 · 𝑠)) = (0 + 𝑠))
11069addid2d 10491 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0 + 𝑠) = 𝑠)
111109, 110eqtrd 2799 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((0 · (𝐺𝑠)) + (1 · 𝑠)) = 𝑠)
112111fveq2d 6379 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘((0 · (𝐺𝑠)) + (1 · 𝑠))) = (𝐹𝑠))
113106, 112eqtrd 2799 . 2 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝐻1) = (𝐹𝑠))
114 reparpht.4 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺‘0) = 0)
115114adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝐺‘0) = 0)
116115oveq2d 6858 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑠) · (𝐺‘0)) = ((1 − 𝑠) · 0))
117 ax-1cn 10247 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
118 subcl 10534 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → (1 − 𝑠) ∈ ℂ)
119117, 69, 118sylancr 581 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑠) ∈ ℂ)
120119mul01d 10489 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑠) · 0) = 0)
121116, 120eqtrd 2799 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑠) · (𝐺‘0)) = 0)
12269mul01d 10489 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠 · 0) = 0)
123121, 122oveq12d 6860 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑠) · (𝐺‘0)) + (𝑠 · 0)) = (0 + 0))
124 00id 10465 . . . . 5 (0 + 0) = 0
125123, 124syl6eq 2815 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑠) · (𝐺‘0)) + (𝑠 · 0)) = 0)
126125fveq2d 6379 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘(((1 − 𝑠) · (𝐺‘0)) + (𝑠 · 0))) = (𝐹‘0))
127 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → 𝑦 = 𝑠)
128127oveq2d 6858 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (1 − 𝑦) = (1 − 𝑠))
129 simpl 474 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → 𝑥 = 0)
130129fveq2d 6379 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (𝐺𝑥) = (𝐺‘0))
131128, 130oveq12d 6860 . . . . . . 7 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → ((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) = ((1 − 𝑠) · (𝐺‘0)))
132127, 129oveq12d 6860 . . . . . . 7 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (𝑦 · 𝑥) = (𝑠 · 0))
133131, 132oveq12d 6860 . . . . . 6 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥)) = (((1 − 𝑠) · (𝐺‘0)) + (𝑠 · 0)))
134133fveq2d 6379 . . . . 5 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (𝐹‘(((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) = (𝐹‘(((1 − 𝑠) · (𝐺‘0)) + (𝑠 · 0))))
135 fvex 6388 . . . . 5 (𝐹‘(((1 − 𝑠) · (𝐺‘0)) + (𝑠 · 0))) ∈ V
136134, 5, 135ovmpt2a 6989 . . . 4 ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝐻𝑠) = (𝐹‘(((1 − 𝑠) · (𝐺‘0)) + (𝑠 · 0))))
13776, 75, 136sylancr 581 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝐻𝑠) = (𝐹‘(((1 − 𝑠) · (𝐺‘0)) + (𝑠 · 0))))
138 fvco3 6464 . . . . . 6 ((𝐺:(0[,]1)⟶(0[,]1) ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝐺)‘0) = (𝐹‘(𝐺‘0)))
13940, 76, 138sylancl 580 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝐺)‘0) = (𝐹‘(𝐺‘0)))
140114fveq2d 6379 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹‘(𝐺‘0)) = (𝐹‘0))
141139, 140eqtrd 2799 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝐺)‘0) = (𝐹‘0))
142141adantr 472 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝐺)‘0) = (𝐹‘0))
143126, 137, 1423eqtr4d 2809 . 2 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝐻𝑠) = ((𝐹𝐺)‘0))
144 reparpht.5 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺‘1) = 1)
145144adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝐺‘1) = 1)
146145oveq2d 6858 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑠) · (𝐺‘1)) = ((1 − 𝑠) · 1))
147119mulid1d 10311 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑠) · 1) = (1 − 𝑠))
148146, 147eqtrd 2799 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑠) · (𝐺‘1)) = (1 − 𝑠))
14969mulid1d 10311 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠 · 1) = 𝑠)
150148, 149oveq12d 6860 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑠) · (𝐺‘1)) + (𝑠 · 1)) = ((1 − 𝑠) + 𝑠))
151 npcan 10544 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑠) + 𝑠) = 1)
152117, 69, 151sylancr 581 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑠) + 𝑠) = 1)
153150, 152eqtrd 2799 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑠) · (𝐺‘1)) + (𝑠 · 1)) = 1)
154153fveq2d 6379 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘(((1 − 𝑠) · (𝐺‘1)) + (𝑠 · 1))) = (𝐹‘1))
155 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → 𝑦 = 𝑠)
156155oveq2d 6858 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (1 − 𝑦) = (1 − 𝑠))
157 simpl 474 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → 𝑥 = 1)
158157fveq2d 6379 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (𝐺𝑥) = (𝐺‘1))
159156, 158oveq12d 6860 . . . . . . 7 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → ((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) = ((1 − 𝑠) · (𝐺‘1)))
160155, 157oveq12d 6860 . . . . . . 7 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (𝑦 · 𝑥) = (𝑠 · 1))
161159, 160oveq12d 6860 . . . . . 6 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥)) = (((1 − 𝑠) · (𝐺‘1)) + (𝑠 · 1)))
162161fveq2d 6379 . . . . 5 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (𝐹‘(((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) = (𝐹‘(((1 − 𝑠) · (𝐺‘1)) + (𝑠 · 1))))
163 fvex 6388 . . . . 5 (𝐹‘(((1 − 𝑠) · (𝐺‘1)) + (𝑠 · 1))) ∈ V
164162, 5, 163ovmpt2a 6989 . . . 4 ((1 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝐻𝑠) = (𝐹‘(((1 − 𝑠) · (𝐺‘1)) + (𝑠 · 1))))
16593, 75, 164sylancr 581 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝐻𝑠) = (𝐹‘(((1 − 𝑠) · (𝐺‘1)) + (𝑠 · 1))))
166 fvco3 6464 . . . . . 6 ((𝐺:(0[,]1)⟶(0[,]1) ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝐺)‘1) = (𝐹‘(𝐺‘1)))
16740, 93, 166sylancl 580 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝐺)‘1) = (𝐹‘(𝐺‘1)))
168144fveq2d 6379 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹‘(𝐺‘1)) = (𝐹‘1))
169167, 168eqtrd 2799 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝐺)‘1) = (𝐹‘1))
170169adantr 472 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝐺)‘1) = (𝐹‘1))
171154, 165, 1703eqtr4d 2809 . 2 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝐻𝑠) = ((𝐹𝐺)‘1))
1724, 2, 64, 92, 113, 143, 171isphtpy2d 23065 1 (𝜑𝐻 ∈ ((𝐹𝐺)(PHtpy‘𝐽)𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  wss 3732  cmpt 4888   × cxp 5275  ran crn 5278  ccom 5281  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  cmpt2 6844  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194  cmin 10520  [,]cicc 12380  t crest 16347  TopOpenctopn 16348  fldccnfld 20019  Topctop 20977  TopOnctopon 20994   Cn ccn 21308   ×t ctx 21643  IIcii 22957  PHtpycphtpy 23046
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-starv 16229  df-sca 16230  df-vsca 16231  df-ip 16232  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-unif 16237  df-hom 16238  df-cco 16239  df-rest 16349  df-topn 16350  df-0g 16368  df-gsum 16369  df-topgen 16370  df-pt 16371  df-prds 16374  df-xrs 16428  df-qtop 16433  df-imas 16434  df-xps 16436  df-mre 16512  df-mrc 16513  df-acs 16515  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-submnd 17602  df-mulg 17808  df-cntz 18013  df-cmn 18461  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-ii 22959  df-htpy 23048  df-phtpy 23049
This theorem is referenced by:  reparpht  23076
  Copyright terms: Public domain W3C validator