Theorem cusgredg 29189

Description: In a complete simple graph, the edges are all the pairs of different vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jan-2018.) (Revised by AV, 1-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscusgrvtx.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
iscusgredg.v	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cusgredg	⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem cusgredg

Dummy variables 𝑣 𝑛 𝑝 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscusgrvtx.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		iscusgredg.v	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	iscusgredg 29188	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸))
4		usgredgss 28927	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (Edg‘𝐺) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
5	1	pweqi 4613	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 𝑉 = 𝒫 (Vtx‘𝐺)
6	5	rabeqi 3439	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
7	4, 2, 6	3sstr4g 4022	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐸 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸) → 𝐸 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
9		elss2prb 14454	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑉 ∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ 𝑝 = {𝑦, 𝑧}))
10		sneq 4633	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → {𝑣} = {𝑦})
11	10	difeq2d 4117	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (𝑉 ∖ {𝑣}) = (𝑉 ∖ {𝑦}))
12		preq2 4733	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → {𝑛, 𝑣} = {𝑛, 𝑦})
13	12	eleq1d 2812	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → ({𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ {𝑛, 𝑦} ∈ 𝐸))
14	11, 13	raleqbidv 3336	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑦}){𝑛, 𝑦} ∈ 𝐸))
15	14	rspcv 3602	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑉 → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸 → ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑦}){𝑛, 𝑦} ∈ 𝐸))
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸 → ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑦}){𝑛, 𝑦} ∈ 𝐸))
17	16	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ 𝑝 = {𝑦, 𝑧})) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸 → ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑦}){𝑛, 𝑦} ∈ 𝐸))
18		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → 𝑧 ∈ 𝑉)
19		necom 2988	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ≠ 𝑧 ↔ 𝑧 ≠ 𝑦)
20	19	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ≠ 𝑧 → 𝑧 ≠ 𝑦)
21	20	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ≠ 𝑧 ∧ 𝑝 = {𝑦, 𝑧}) → 𝑧 ≠ 𝑦)
22	18, 21	anim12i 612	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ 𝑝 = {𝑦, 𝑧})) → (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦))
23		eldifsn 4785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑦}) ↔ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦))
24	22, 23	sylibr 233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ 𝑝 = {𝑦, 𝑧})) → 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑦}))
25		preq1 4732	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → {𝑛, 𝑦} = {𝑧, 𝑦})
26	25	eleq1d 2812	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → ({𝑛, 𝑦} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸))
27	26	rspcv 3602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑦}) → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑦}){𝑛, 𝑦} ∈ 𝐸 → {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸))
28	24, 27	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ 𝑝 = {𝑦, 𝑧})) → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑦}){𝑛, 𝑦} ∈ 𝐸 → {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸))
29		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 = {𝑦, 𝑧} → 𝑝 = {𝑦, 𝑧})
30		prcom 4731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {𝑦, 𝑧} = {𝑧, 𝑦}
31	29, 30	eqtr2di 2783	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = {𝑦, 𝑧} → {𝑧, 𝑦} = 𝑝)
32	31	eleq1d 2812	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 = {𝑦, 𝑧} → ({𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 ↔ 𝑝 ∈ 𝐸))
33	32	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = {𝑦, 𝑧} → ({𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 → 𝑝 ∈ 𝐸))
34	33	a1d 25	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 = {𝑦, 𝑧} → (𝐺 ∈ USGraph → ({𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 → 𝑝 ∈ 𝐸)))
35	34	ad2antll 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ 𝑝 = {𝑦, 𝑧})) → (𝐺 ∈ USGraph → ({𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 → 𝑝 ∈ 𝐸)))
36	35	com23 86	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ 𝑝 = {𝑦, 𝑧})) → ({𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 → (𝐺 ∈ USGraph → 𝑝 ∈ 𝐸)))
37	17, 28, 36	3syld 60	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ 𝑝 = {𝑦, 𝑧})) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸 → (𝐺 ∈ USGraph → 𝑝 ∈ 𝐸)))
38	37	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → ((𝑦 ≠ 𝑧 ∧ 𝑝 = {𝑦, 𝑧}) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸 → (𝐺 ∈ USGraph → 𝑝 ∈ 𝐸))))
39	38	rexlimivv 3193	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑉 ∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ 𝑝 = {𝑦, 𝑧}) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸 → (𝐺 ∈ USGraph → 𝑝 ∈ 𝐸)))
40	39	com13 88	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸 → (∃𝑦 ∈ 𝑉 ∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ 𝑝 = {𝑦, 𝑧}) → 𝑝 ∈ 𝐸)))
41	40	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸) → (∃𝑦 ∈ 𝑉 ∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ 𝑝 = {𝑦, 𝑧}) → 𝑝 ∈ 𝐸))
42	9, 41	biimtrid 241	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸) → (𝑝 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} → 𝑝 ∈ 𝐸))
43	42	ssrdv 3983	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} ⊆ 𝐸)
44	8, 43	eqssd 3994	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸) → 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
45	3, 44	sylbi 216	1 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  ∀wral 3055  ∃wrex 3064  {crab 3426   ∖ cdif 3940   ⊆ wss 3943  𝒫 cpw 4597  {csn 4623  {cpr 4625  ‘cfv 6537  2c2 12271  ♯chash 14295  Vtxcvtx 28764  Edgcedg 28815  USGraphcusgr 28917  ComplUSGraphccusgr 29175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-hash 14296  df-edg 28816  df-upgr 28850  df-umgr 28851  df-usgr 28919  df-nbgr 29098  df-uvtx 29151  df-cplgr 29176  df-cusgr 29177

This theorem is referenced by:  cusgrfilem1  29221