Theorem cusgredg 29509

Description: In a complete simple graph, the edges are all the pairs of different vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jan-2018.) (Revised by AV, 1-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscusgrvtx.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
iscusgredg.v	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cusgredg	⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem cusgredg

Dummy variables 𝑣 𝑛 𝑝 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscusgrvtx.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		iscusgredg.v	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	iscusgredg 29508	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸))
4		usgredgss 29244	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (Edg‘𝐺) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
5	1	pweqi 4572	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 𝑉 = 𝒫 (Vtx‘𝐺)
6	5	rabeqi 3414	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
7	4, 2, 6	3sstr4g 3989	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐸 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸) → 𝐸 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
9		elss2prb 14423	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑉 ∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ 𝑝 = {𝑦, 𝑧}))
10		sneq 4592	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → {𝑣} = {𝑦})
11	10	difeq2d 4080	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (𝑉 ∖ {𝑣}) = (𝑉 ∖ {𝑦}))
12		preq2 4693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → {𝑛, 𝑣} = {𝑛, 𝑦})
13	12	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → ({𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ {𝑛, 𝑦} ∈ 𝐸))
14	11, 13	raleqbidv 3318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑦}){𝑛, 𝑦} ∈ 𝐸))
15	14	rspcv 3574	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑉 → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸 → ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑦}){𝑛, 𝑦} ∈ 𝐸))
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸 → ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑦}){𝑛, 𝑦} ∈ 𝐸))
17	16	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ 𝑝 = {𝑦, 𝑧})) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸 → ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑦}){𝑛, 𝑦} ∈ 𝐸))
18		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → 𝑧 ∈ 𝑉)
19		necom 2986	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ≠ 𝑧 ↔ 𝑧 ≠ 𝑦)
20	19	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ≠ 𝑧 → 𝑧 ≠ 𝑦)
21	20	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ≠ 𝑧 ∧ 𝑝 = {𝑦, 𝑧}) → 𝑧 ≠ 𝑦)
22	18, 21	anim12i 614	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ 𝑝 = {𝑦, 𝑧})) → (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦))
23		eldifsn 4744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑦}) ↔ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦))
24	22, 23	sylibr 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ 𝑝 = {𝑦, 𝑧})) → 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑦}))
25		preq1 4692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → {𝑛, 𝑦} = {𝑧, 𝑦})
26	25	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → ({𝑛, 𝑦} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸))
27	26	rspcv 3574	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑦}) → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑦}){𝑛, 𝑦} ∈ 𝐸 → {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸))
28	24, 27	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ 𝑝 = {𝑦, 𝑧})) → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑦}){𝑛, 𝑦} ∈ 𝐸 → {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸))
29		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 = {𝑦, 𝑧} → 𝑝 = {𝑦, 𝑧})
30		prcom 4691	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {𝑦, 𝑧} = {𝑧, 𝑦}
31	29, 30	eqtr2di 2789	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = {𝑦, 𝑧} → {𝑧, 𝑦} = 𝑝)
32	31	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 = {𝑦, 𝑧} → ({𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 ↔ 𝑝 ∈ 𝐸))
33	32	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = {𝑦, 𝑧} → ({𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 → 𝑝 ∈ 𝐸))
34	33	a1d 25	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 = {𝑦, 𝑧} → (𝐺 ∈ USGraph → ({𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 → 𝑝 ∈ 𝐸)))
35	34	ad2antll 730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ 𝑝 = {𝑦, 𝑧})) → (𝐺 ∈ USGraph → ({𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 → 𝑝 ∈ 𝐸)))
36	35	com23 86	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ 𝑝 = {𝑦, 𝑧})) → ({𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 → (𝐺 ∈ USGraph → 𝑝 ∈ 𝐸)))
37	17, 28, 36	3syld 60	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ 𝑝 = {𝑦, 𝑧})) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸 → (𝐺 ∈ USGraph → 𝑝 ∈ 𝐸)))
38	37	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → ((𝑦 ≠ 𝑧 ∧ 𝑝 = {𝑦, 𝑧}) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸 → (𝐺 ∈ USGraph → 𝑝 ∈ 𝐸))))
39	38	rexlimivv 3180	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑉 ∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ 𝑝 = {𝑦, 𝑧}) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸 → (𝐺 ∈ USGraph → 𝑝 ∈ 𝐸)))
40	39	com13 88	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸 → (∃𝑦 ∈ 𝑉 ∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ 𝑝 = {𝑦, 𝑧}) → 𝑝 ∈ 𝐸)))
41	40	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸) → (∃𝑦 ∈ 𝑉 ∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ 𝑝 = {𝑦, 𝑧}) → 𝑝 ∈ 𝐸))
42	9, 41	biimtrid 242	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸) → (𝑝 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} → 𝑝 ∈ 𝐸))
43	42	ssrdv 3941	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} ⊆ 𝐸)
44	8, 43	eqssd 3953	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸) → 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
45	3, 44	sylbi 217	1 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  {crab 3401   ∖ cdif 3900   ⊆ wss 3903  𝒫 cpw 4556  {csn 4582  {cpr 4584  ‘cfv 6500  2c2 12212  ♯chash 14265  Vtxcvtx 29081  Edgcedg 29132  USGraphcusgr 29234  ComplUSGraphccusgr 29495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-oadd 8411  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-hash 14266  df-edg 29133  df-upgr 29167  df-umgr 29168  df-usgr 29236  df-nbgr 29418  df-uvtx 29471  df-cplgr 29496  df-cusgr 29497

This theorem is referenced by:  cusgrfilem1  29541