Theorem cusgredg 29892

Description: In a complete simple graph, the edges are all the pairs of different vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jan-2018.) (Revised by AV, 1-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscusgrvtx.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
iscusgredg.v	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cusgredg	⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem cusgredg

Dummy variables 𝑣 𝑛 𝑝 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscusgrvtx.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		iscusgredg.v	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	iscusgredg 29891	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸))
4		usgredgss 29627	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (Edg‘𝐺) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
5	1	pweqi 4576	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 𝑉 = 𝒫 (Vtx‘𝐺)
6	5	rabeqi 3427	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
7	4, 2, 6	3sstr4g 3987	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐸 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
8	7	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸) → 𝐸 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
9		elss2prb 14557	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑉 ∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ 𝑝 = {𝑦, 𝑧}))
10		sneq 4597	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → {𝑣} = {𝑦})
11	10	difeq2d 4077	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (𝑉 ∖ {𝑣}) = (𝑉 ∖ {𝑦}))
12		preq2 4698	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → {𝑛, 𝑣} = {𝑛, 𝑦})
13	12	eleq1d 2847	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → ({𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ {𝑛, 𝑦} ∈ 𝐸))
14	11, 13	raleqbidv 3336	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑦}){𝑛, 𝑦} ∈ 𝐸))
15	14	rspcv 3575	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑉 → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸 → ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑦}){𝑛, 𝑦} ∈ 𝐸))
16	15	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸 → ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑦}){𝑛, 𝑦} ∈ 𝐸))
17	16	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ 𝑝 = {𝑦, 𝑧})) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸 → ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑦}){𝑛, 𝑦} ∈ 𝐸))
18		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → 𝑧 ∈ 𝑉)
19		necom 3010	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ≠ 𝑧 ↔ 𝑧 ≠ 𝑦)
20	19	birani 509	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ≠ 𝑧 ∧ 𝑝 = {𝑦, 𝑧}) → 𝑧 ≠ 𝑦)
21	18, 20	anim12i 625	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ 𝑝 = {𝑦, 𝑧})) → (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦))
22		eldifsn 4751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑦}) ↔ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦))
23	21, 22	sylibr 237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ 𝑝 = {𝑦, 𝑧})) → 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑦}))
24		preq1 4697	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → {𝑛, 𝑦} = {𝑧, 𝑦})
25	24	eleq1d 2847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → ({𝑛, 𝑦} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸))
26	25	rspcv 3575	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑦}) → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑦}){𝑛, 𝑦} ∈ 𝐸 → {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸))
27	23, 26	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ 𝑝 = {𝑦, 𝑧})) → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑦}){𝑛, 𝑦} ∈ 𝐸 → {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸))
28		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 = {𝑦, 𝑧} → 𝑝 = {𝑦, 𝑧})
29		prcom 4696	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {𝑦, 𝑧} = {𝑧, 𝑦}
30	28, 29	eqtr2di 2814	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = {𝑦, 𝑧} → {𝑧, 𝑦} = 𝑝)
31	30	eleq1d 2847	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 = {𝑦, 𝑧} → ({𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 ↔ 𝑝 ∈ 𝐸))
32	31	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = {𝑦, 𝑧} → ({𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 → 𝑝 ∈ 𝐸))
33	32	a1d 26	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 = {𝑦, 𝑧} → (𝐺 ∈ USGraph → ({𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 → 𝑝 ∈ 𝐸)))
34	33	ad2antll 742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ 𝑝 = {𝑦, 𝑧})) → (𝐺 ∈ USGraph → ({𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 → 𝑝 ∈ 𝐸)))
35	34	com23 87	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ 𝑝 = {𝑦, 𝑧})) → ({𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 → (𝐺 ∈ USGraph → 𝑝 ∈ 𝐸)))
36	17, 27, 35	3syld 61	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ 𝑝 = {𝑦, 𝑧})) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸 → (𝐺 ∈ USGraph → 𝑝 ∈ 𝐸)))
37	36	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → ((𝑦 ≠ 𝑧 ∧ 𝑝 = {𝑦, 𝑧}) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸 → (𝐺 ∈ USGraph → 𝑝 ∈ 𝐸))))
38	37	rexlimivv 3206	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑉 ∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ 𝑝 = {𝑦, 𝑧}) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸 → (𝐺 ∈ USGraph → 𝑝 ∈ 𝐸)))
39	38	com13 89	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸 → (∃𝑦 ∈ 𝑉 ∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ 𝑝 = {𝑦, 𝑧}) → 𝑝 ∈ 𝐸)))
40	39	imp 412	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸) → (∃𝑦 ∈ 𝑉 ∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ 𝑝 = {𝑦, 𝑧}) → 𝑝 ∈ 𝐸))
41	9, 40	biimtrid 245	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸) → (𝑝 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} → 𝑝 ∈ 𝐸))
42	41	ssrdv 3940	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} ⊆ 𝐸)
43	8, 42	eqssd 3951	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸) → 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
44	3, 43	sylbi 220	1 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  {crab 3414   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  𝒫 cpw 4560  {csn 4587  {cpr 4589  ‘cfv 6537  2c2 12323  ♯chash 14398  Vtxcvtx 29461  Edgcedg 29512  USGraphcusgr 29617  ComplUSGraphccusgr 29878

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-dju 9910  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-n0 12533  df-xnn0 12606  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-hash 14399  df-edg 29513  df-upgr 29547  df-umgr 29548  df-usgr 29619  df-nbgr 29801  df-uvtx 29854  df-cplgr 29879  df-cusgr 29880

This theorem is used by:  cusgrfilem1  29923