Theorem cusgredg 29358

Description: In a complete simple graph, the edges are all the pairs of different vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jan-2018.) (Revised by AV, 1-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscusgrvtx.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
iscusgredg.v	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cusgredg	⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem cusgredg

Dummy variables 𝑣 𝑛 𝑝 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscusgrvtx.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		iscusgredg.v	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	iscusgredg 29357	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸))
4		usgredgss 29093	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (Edg‘𝐺) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
5	1	pweqi 4582	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 𝑉 = 𝒫 (Vtx‘𝐺)
6	5	rabeqi 3422	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
7	4, 2, 6	3sstr4g 4003	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐸 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸) → 𝐸 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
9		elss2prb 14460	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑉 ∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ 𝑝 = {𝑦, 𝑧}))
10		sneq 4602	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → {𝑣} = {𝑦})
11	10	difeq2d 4092	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (𝑉 ∖ {𝑣}) = (𝑉 ∖ {𝑦}))
12		preq2 4701	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → {𝑛, 𝑣} = {𝑛, 𝑦})
13	12	eleq1d 2814	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → ({𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ {𝑛, 𝑦} ∈ 𝐸))
14	11, 13	raleqbidv 3321	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑦}){𝑛, 𝑦} ∈ 𝐸))
15	14	rspcv 3587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑉 → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸 → ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑦}){𝑛, 𝑦} ∈ 𝐸))
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸 → ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑦}){𝑛, 𝑦} ∈ 𝐸))
17	16	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ 𝑝 = {𝑦, 𝑧})) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸 → ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑦}){𝑛, 𝑦} ∈ 𝐸))
18		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → 𝑧 ∈ 𝑉)
19		necom 2979	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ≠ 𝑧 ↔ 𝑧 ≠ 𝑦)
20	19	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ≠ 𝑧 → 𝑧 ≠ 𝑦)
21	20	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ≠ 𝑧 ∧ 𝑝 = {𝑦, 𝑧}) → 𝑧 ≠ 𝑦)
22	18, 21	anim12i 613	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ 𝑝 = {𝑦, 𝑧})) → (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦))
23		eldifsn 4753	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑦}) ↔ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦))
24	22, 23	sylibr 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ 𝑝 = {𝑦, 𝑧})) → 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑦}))
25		preq1 4700	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → {𝑛, 𝑦} = {𝑧, 𝑦})
26	25	eleq1d 2814	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → ({𝑛, 𝑦} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸))
27	26	rspcv 3587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑦}) → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑦}){𝑛, 𝑦} ∈ 𝐸 → {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸))
28	24, 27	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ 𝑝 = {𝑦, 𝑧})) → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑦}){𝑛, 𝑦} ∈ 𝐸 → {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸))
29		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 = {𝑦, 𝑧} → 𝑝 = {𝑦, 𝑧})
30		prcom 4699	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {𝑦, 𝑧} = {𝑧, 𝑦}
31	29, 30	eqtr2di 2782	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = {𝑦, 𝑧} → {𝑧, 𝑦} = 𝑝)
32	31	eleq1d 2814	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 = {𝑦, 𝑧} → ({𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 ↔ 𝑝 ∈ 𝐸))
33	32	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = {𝑦, 𝑧} → ({𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 → 𝑝 ∈ 𝐸))
34	33	a1d 25	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 = {𝑦, 𝑧} → (𝐺 ∈ USGraph → ({𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 → 𝑝 ∈ 𝐸)))
35	34	ad2antll 729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ 𝑝 = {𝑦, 𝑧})) → (𝐺 ∈ USGraph → ({𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 → 𝑝 ∈ 𝐸)))
36	35	com23 86	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ 𝑝 = {𝑦, 𝑧})) → ({𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 → (𝐺 ∈ USGraph → 𝑝 ∈ 𝐸)))
37	17, 28, 36	3syld 60	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ 𝑝 = {𝑦, 𝑧})) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸 → (𝐺 ∈ USGraph → 𝑝 ∈ 𝐸)))
38	37	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → ((𝑦 ≠ 𝑧 ∧ 𝑝 = {𝑦, 𝑧}) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸 → (𝐺 ∈ USGraph → 𝑝 ∈ 𝐸))))
39	38	rexlimivv 3180	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑉 ∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ 𝑝 = {𝑦, 𝑧}) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸 → (𝐺 ∈ USGraph → 𝑝 ∈ 𝐸)))
40	39	com13 88	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸 → (∃𝑦 ∈ 𝑉 ∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ 𝑝 = {𝑦, 𝑧}) → 𝑝 ∈ 𝐸)))
41	40	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸) → (∃𝑦 ∈ 𝑉 ∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ 𝑝 = {𝑦, 𝑧}) → 𝑝 ∈ 𝐸))
42	9, 41	biimtrid 242	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸) → (𝑝 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} → 𝑝 ∈ 𝐸))
43	42	ssrdv 3955	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} ⊆ 𝐸)
44	8, 43	eqssd 3967	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑛, 𝑣} ∈ 𝐸) → 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
45	3, 44	sylbi 217	1 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  ∃wrex 3054  {crab 3408   ∖ cdif 3914   ⊆ wss 3917  𝒫 cpw 4566  {csn 4592  {cpr 4594  ‘cfv 6514  2c2 12248  ♯chash 14302  Vtxcvtx 28930  Edgcedg 28981  USGraphcusgr 29083  ComplUSGraphccusgr 29344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-hash 14303  df-edg 28982  df-upgr 29016  df-umgr 29017  df-usgr 29085  df-nbgr 29267  df-uvtx 29320  df-cplgr 29345  df-cusgr 29346

This theorem is referenced by:  cusgrfilem1  29390