Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalem28 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dalem28 38153
Description: Lemma for dath 38189. Lemma dalem27 38152 expressed differently. (Contributed by NM, 4-Aug-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalem.ph (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (𝑌𝑂𝑍𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 (𝑅 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 (𝑇 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 (𝑈 𝑆)) ∧ (𝐶 (𝑃 𝑆) ∧ 𝐶 (𝑄 𝑇) ∧ 𝐶 (𝑅 𝑈)))))
dalem.l = (le‘𝐾)
dalem.j = (join‘𝐾)
dalem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dalem.ps (𝜓 ↔ ((𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ ¬ 𝑐 𝑌 ∧ (𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 𝑌𝐶 (𝑐 𝑑))))
dalem23.m = (meet‘𝐾)
dalem23.o 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
dalem23.y 𝑌 = ((𝑃 𝑄) 𝑅)
dalem23.z 𝑍 = ((𝑆 𝑇) 𝑈)
dalem23.g 𝐺 = ((𝑐 𝑃) (𝑑 𝑆))
Assertion
Ref Expression
dalem28 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → 𝑃 (𝐺 𝑐))

Proof of Theorem dalem28
StepHypRef Expression
1 dalem.ph . . 3 (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (𝑌𝑂𝑍𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 (𝑅 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 (𝑇 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 (𝑈 𝑆)) ∧ (𝐶 (𝑃 𝑆) ∧ 𝐶 (𝑄 𝑇) ∧ 𝐶 (𝑅 𝑈)))))
2 dalem.l . . 3 = (le‘𝐾)
3 dalem.j . . 3 = (join‘𝐾)
4 dalem.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 dalem.ps . . 3 (𝜓 ↔ ((𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ ¬ 𝑐 𝑌 ∧ (𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 𝑌𝐶 (𝑐 𝑑))))
6 dalem23.m . . 3 = (meet‘𝐾)
7 dalem23.o . . 3 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
8 dalem23.y . . 3 𝑌 = ((𝑃 𝑄) 𝑅)
9 dalem23.z . . 3 𝑍 = ((𝑆 𝑇) 𝑈)
10 dalem23.g . . 3 𝐺 = ((𝑐 𝑃) (𝑑 𝑆))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10dalem27 38152 . 2 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → 𝑐 (𝐺 𝑃))
121dalemkehl 38076 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ HL)
13123ad2ant1 1133 . . 3 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → 𝐾 ∈ HL)
145dalemccea 38136 . . . 4 (𝜓𝑐𝐴)
15143ad2ant3 1135 . . 3 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → 𝑐𝐴)
161dalempea 38079 . . . 4 (𝜑𝑃𝐴)
17163ad2ant1 1133 . . 3 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → 𝑃𝐴)
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10dalem23 38149 . . 3 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → 𝐺𝐴)
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10dalem25 38151 . . 3 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → 𝑐𝐺)
202, 3, 4hlatexch1 37848 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑐𝐴𝑃𝐴𝐺𝐴) ∧ 𝑐𝐺) → (𝑐 (𝐺 𝑃) → 𝑃 (𝐺 𝑐)))
2113, 15, 17, 18, 19, 20syl131anc 1383 . 2 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → (𝑐 (𝐺 𝑃) → 𝑃 (𝐺 𝑐)))
2211, 21mpd 15 1 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → 𝑃 (𝐺 𝑐))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7356  Basecbs 17082  lecple 17139  joincjn 18199  meetcmee 18200  Atomscatm 37715  HLchlt 37802  LPlanesclpl 37945
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-proset 18183  df-poset 18201  df-plt 18218  df-lub 18234  df-glb 18235  df-join 18236  df-meet 18237  df-p0 18313  df-lat 18320  df-clat 18387  df-oposet 37628  df-ol 37630  df-oml 37631  df-covers 37718  df-ats 37719  df-atl 37750  df-cvlat 37774  df-hlat 37803  df-llines 37951  df-lplanes 37952
This theorem is referenced by:  dalem33  38158  dalem38  38163  dalem44  38169
  Copyright terms: Public domain W3C validator