Theorem dfacfin7 10449

Description: Axiom of Choice equivalent: the VII-finite sets are the same as I-finite sets. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfacfin7	⊢ (CHOICE ↔ FinVII = Fin)

Proof of Theorem dfacfin7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssequn2 4134	. 2 ⊢ ((V ∖ dom card) ⊆ Fin ↔ (Fin ∪ (V ∖ dom card)) = Fin)
2		dfac10 10188	. . . 4 ⊢ (CHOICE ↔ dom card = V)
3		finnum 10001	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → 𝑥 ∈ dom card)
4	3	ssriv 3934	. . . . . 6 ⊢ Fin ⊆ dom card
5		ssequn2 4134	. . . . . 6 ⊢ (Fin ⊆ dom card ↔ (dom card ∪ Fin) = dom card)
6	4, 5	mpbi 233	. . . . 5 ⊢ (dom card ∪ Fin) = dom card
7	6	eqeq1i 2765	. . . 4 ⊢ ((dom card ∪ Fin) = V ↔ dom card = V)
8	2, 7	bitr4i 281	. . 3 ⊢ (CHOICE ↔ (dom card ∪ Fin) = V)
9		ssv 3954	. . . 4 ⊢ (dom card ∪ Fin) ⊆ V
10		eqss 3945	. . . 4 ⊢ ((dom card ∪ Fin) = V ↔ ((dom card ∪ Fin) ⊆ V ∧ V ⊆ (dom card ∪ Fin)))
11	9, 10	mpbiran 722	. . 3 ⊢ ((dom card ∪ Fin) = V ↔ V ⊆ (dom card ∪ Fin))
12		ssundif 4442	. . 3 ⊢ (V ⊆ (dom card ∪ Fin) ↔ (V ∖ dom card) ⊆ Fin)
13	8, 11, 12	3bitri 300	. 2 ⊢ (CHOICE ↔ (V ∖ dom card) ⊆ Fin)
14		dffin7-2 10448	. . 3 ⊢ FinVII = (Fin ∪ (V ∖ dom card))
15	14	eqeq1i 2765	. 2 ⊢ (FinVII = Fin ↔ (Fin ∪ (V ∖ dom card)) = Fin)
16	1, 13, 15	3bitr4i 306	1 ⊢ (CHOICE ↔ FinVII = Fin)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570  Vcvv 3450   ∖ cdif 3895   ∪ cun 3896   ⊆ wss 3898  dom cdm 5647  Fincfn 8951  cardccrd 9988  CHOICEwac 10166  Fin^VIIcfin7 10334

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-1o 8454  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-card 9992  df-ac 10167  df-fin7 10341

This theorem is used by:  fin71ac  10584