MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domnsymfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domnsymfi 9240
Description: If a set dominates a finite set, it cannot also be strictly dominated by the finite set. This theorem is proved without using the Axiom of Power Sets (unlike domnsym 9139). (Contributed by BTernaryTau, 22-Nov-2024.)
Assertion
Ref Expression
domnsymfi ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐵𝐴)

Proof of Theorem domnsymfi
StepHypRef Expression
1 brdom2 9022 . 2 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴𝐵))
2 sdomnen 9021 . . . . 5 (𝐴𝐵 → ¬ 𝐴𝐵)
32adantl 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐴𝐵)
4 sdomdom 9020 . . . . . . 7 (𝐴𝐵𝐴𝐵)
5 sdomdom 9020 . . . . . . . 8 (𝐵𝐴𝐵𝐴)
6 sbthfi 9239 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴𝐴𝐵) → 𝐵𝐴)
7 ensymfib 9224 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
873ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴𝐴𝐵) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
96, 8mpbird 257 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
105, 9syl3an2 1165 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
114, 10syl3an3 1166 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
12113com23 1127 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐴) → 𝐴𝐵)
13123expa 1119 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴𝐵)
143, 13mtand 816 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐵𝐴)
15 sdomnen 9021 . . . 4 (𝐵𝐴 → ¬ 𝐵𝐴)
167biimpa 476 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵𝐴)
1715, 16nsyl3 138 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐵𝐴)
1814, 17jaodan 960 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐴𝐵)) → ¬ 𝐵𝐴)
191, 18sylan2b 594 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐵𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087  wcel 2108   class class class wbr 5143  cen 8982  cdom 8983  csdm 8984  Fincfn 8985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-om 7888  df-1o 8506  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989
This theorem is referenced by:  sdomdomtrfi  9241  domsdomtrfi  9242  nndomog  9253  onomeneq  9265
  Copyright terms: Public domain W3C validator