MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domnsymfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domnsymfi 8977
Description: If a set dominates a finite set, it cannot also be strictly dominated by the finite set. This theorem is proved without using the Axiom of Power Sets (unlike domnsym 8877). (Contributed by BTernaryTau, 22-Nov-2024.)
Assertion
Ref Expression
domnsymfi ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐵𝐴)

Proof of Theorem domnsymfi
StepHypRef Expression
1 brdom2 8762 . 2 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴𝐵))
2 sdomnen 8761 . . . . 5 (𝐴𝐵 → ¬ 𝐴𝐵)
32adantl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐴𝐵)
4 sdomdom 8760 . . . . . . 7 (𝐴𝐵𝐴𝐵)
5 sdomdom 8760 . . . . . . . 8 (𝐵𝐴𝐵𝐴)
6 sbthfi 8976 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴𝐴𝐵) → 𝐵𝐴)
7 ensymfib 8961 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
873ad2ant1 1132 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴𝐴𝐵) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
96, 8mpbird 256 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
105, 9syl3an2 1163 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
114, 10syl3an3 1164 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
12113com23 1125 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐴) → 𝐴𝐵)
13123expa 1117 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴𝐵)
143, 13mtand 813 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐵𝐴)
15 sdomnen 8761 . . . 4 (𝐵𝐴 → ¬ 𝐵𝐴)
167biimpa 477 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵𝐴)
1715, 16nsyl3 138 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐵𝐴)
1814, 17jaodan 955 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐴𝐵)) → ¬ 𝐵𝐴)
191, 18sylan2b 594 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐵𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 844  w3a 1086  wcel 2110   class class class wbr 5079  cen 8722  cdom 8723  csdm 8724  Fincfn 8725
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pr 5356  ax-un 7583
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-om 7708  df-1o 8289  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-fin 8729
This theorem is referenced by:  sdomdomtrfi  8978  domsdomtrfi  8979  nndomog  8989
  Copyright terms: Public domain W3C validator