MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domnsymfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domnsymfi 9238
Description: If a set dominates a finite set, it cannot also be strictly dominated by the finite set. This theorem is proved without using the Axiom of Power Sets (unlike domnsym 9138). (Contributed by BTernaryTau, 22-Nov-2024.)
Assertion
Ref Expression
domnsymfi ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐵𝐴)

Proof of Theorem domnsymfi
StepHypRef Expression
1 brdom2 9021 . 2 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴𝐵))
2 sdomnen 9020 . . . . 5 (𝐴𝐵 → ¬ 𝐴𝐵)
32adantl 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐴𝐵)
4 sdomdom 9019 . . . . . . 7 (𝐴𝐵𝐴𝐵)
5 sdomdom 9019 . . . . . . . 8 (𝐵𝐴𝐵𝐴)
6 sbthfi 9237 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴𝐴𝐵) → 𝐵𝐴)
7 ensymfib 9222 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
873ad2ant1 1132 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴𝐴𝐵) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
96, 8mpbird 257 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
105, 9syl3an2 1163 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
114, 10syl3an3 1164 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
12113com23 1125 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐴) → 𝐴𝐵)
13123expa 1117 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴𝐵)
143, 13mtand 816 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐵𝐴)
15 sdomnen 9020 . . . 4 (𝐵𝐴 → ¬ 𝐵𝐴)
167biimpa 476 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵𝐴)
1715, 16nsyl3 138 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐵𝐴)
1814, 17jaodan 959 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐴𝐵)) → ¬ 𝐵𝐴)
191, 18sylan2b 594 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐵𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086  wcel 2106   class class class wbr 5148  cen 8981  cdom 8982  csdm 8983  Fincfn 8984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-om 7888  df-1o 8505  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988
This theorem is referenced by:  sdomdomtrfi  9239  domsdomtrfi  9240  nndomog  9251  onomeneq  9263
  Copyright terms: Public domain W3C validator