Theorem domnsymfi 9122

Description: If a set dominates a finite set, it cannot also be strictly dominated by the finite set. This theorem is proved without using the Axiom of Power Sets (unlike domnsym 9029). (Contributed by BTernaryTau, 22-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
domnsymfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)

Proof of Theorem domnsymfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdom2 8917	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ (𝐴 ≺ 𝐵 ∨ 𝐴 ≈ 𝐵))
2		sdomnen 8916	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)
3	2	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)
4		sdomdom 8915	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
5		sdomdom 8915	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴)
6		sbthfi 9121	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐵 ≈ 𝐴)
7		ensymfib 9106	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝐴))
8	7	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝐴))
9	6, 8	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)
10	5, 9	syl3an2 1164	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≺ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)
11	4, 10	syl3an3 1165	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≺ 𝐴 ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)
12	11	3com23 1126	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵)
13	12	3expa 1118	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵)
14	3, 13	mtand 815	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)
15		sdomnen 8916	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → ¬ 𝐵 ≈ 𝐴)
16	7	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐵 ≈ 𝐴)
17	15, 16	nsyl3 138	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)
18	14, 17	jaodan 959	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ≺ 𝐵 ∨ 𝐴 ≈ 𝐵)) → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)
19	1, 18	sylan2b 594	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5096   ≈ cen 8878   ≼ cdom 8879   ≺ csdm 8880  Fincfn 8881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-om 7807  df-1o 8395  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885

This theorem is referenced by:  sdomdomtrfi  9123  domsdomtrfi  9124  nndomog  9135  onomeneq  9136