Theorem domnsymfi 9253

Description: If a set dominates a finite set, it cannot also be strictly dominated by the finite set. This theorem is proved without using the Axiom of Power Sets (unlike domnsym 9160). (Contributed by BTernaryTau, 22-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
domnsymfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)

Proof of Theorem domnsymfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdom2 9047	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ (𝐴 ≺ 𝐵 ∨ 𝐴 ≈ 𝐵))
2		sdomnen 9046	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)
3	2	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)
4		sdomdom 9045	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
5		sdomdom 9045	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴)
6		sbthfi 9252	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐵 ≈ 𝐴)
7		ensymfib 9237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝐴))
8	7	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝐴))
9	6, 8	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)
10	5, 9	syl3an2 1182	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≺ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)
11	4, 10	syl3an3 1183	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≺ 𝐴 ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)
12	11	3com23 1144	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵)
13	12	3expa 1136	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵)
14	3, 13	mtand 828	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)
15		sdomnen 9046	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → ¬ 𝐵 ≈ 𝐴)
16	7	biimpa 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐵 ≈ 𝐴)
17	15, 16	nsyl3 139	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)
18	14, 17	jaodan 972	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ≺ 𝐵 ∨ 𝐴 ≈ 𝐵)) → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)
19	1, 18	sylan2b 606	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108   ≈ cen 9008   ≼ cdom 9009   ≺ csdm 9010  Fincfn 9011

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-om 7912  df-1o 8514  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015

This theorem is used by:  sdomdomtrfi  9254  domsdomtrfi  9255  nndomog  9266  onomeneq  9267