Theorem domnsymfi 9128

Description: If a set dominates a finite set, it cannot also be strictly dominated by the finite set. This theorem is proved without using the Axiom of Power Sets (unlike domnsym 9035). (Contributed by BTernaryTau, 22-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
domnsymfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)

Proof of Theorem domnsymfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdom2 8923	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ (𝐴 ≺ 𝐵 ∨ 𝐴 ≈ 𝐵))
2		sdomnen 8922	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)
3	2	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)
4		sdomdom 8921	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
5		sdomdom 8921	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴)
6		sbthfi 9127	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐵 ≈ 𝐴)
7		ensymfib 9112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝐴))
8	7	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝐴))
9	6, 8	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)
10	5, 9	syl3an2 1165	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≺ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)
11	4, 10	syl3an3 1166	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≺ 𝐴 ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)
12	11	3com23 1127	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵)
13	12	3expa 1119	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵)
14	3, 13	mtand 816	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)
15		sdomnen 8922	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → ¬ 𝐵 ≈ 𝐴)
16	7	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐵 ≈ 𝐴)
17	15, 16	nsyl3 138	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)
18	14, 17	jaodan 960	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ≺ 𝐵 ∨ 𝐴 ≈ 𝐵)) → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)
19	1, 18	sylan2b 595	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086   ≈ cen 8884   ≼ cdom 8885   ≺ csdm 8886  Fincfn 8887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-om 7812  df-1o 8399  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891

This theorem is referenced by:  sdomdomtrfi  9129  domsdomtrfi  9130  nndomog  9141  onomeneq  9142