MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domnsymfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domnsymfi 9203
Description: If a set dominates a finite set, it cannot also be strictly dominated by the finite set. This theorem is proved without using the Axiom of Power Sets (unlike domnsym 9099). (Contributed by BTernaryTau, 22-Nov-2024.)
Assertion
Ref Expression
domnsymfi ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐵𝐴)

Proof of Theorem domnsymfi
StepHypRef Expression
1 brdom2 8978 . 2 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴𝐵))
2 sdomnen 8977 . . . . 5 (𝐴𝐵 → ¬ 𝐴𝐵)
32adantl 483 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐴𝐵)
4 sdomdom 8976 . . . . . . 7 (𝐴𝐵𝐴𝐵)
5 sdomdom 8976 . . . . . . . 8 (𝐵𝐴𝐵𝐴)
6 sbthfi 9202 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴𝐴𝐵) → 𝐵𝐴)
7 ensymfib 9187 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
873ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴𝐴𝐵) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
96, 8mpbird 257 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
105, 9syl3an2 1165 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
114, 10syl3an3 1166 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
12113com23 1127 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐴) → 𝐴𝐵)
13123expa 1119 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴𝐵)
143, 13mtand 815 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐵𝐴)
15 sdomnen 8977 . . . 4 (𝐵𝐴 → ¬ 𝐵𝐴)
167biimpa 478 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵𝐴)
1715, 16nsyl3 138 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐵𝐴)
1814, 17jaodan 957 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐴𝐵)) → ¬ 𝐵𝐴)
191, 18sylan2b 595 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐵𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846  w3a 1088  wcel 2107   class class class wbr 5149  cen 8936  cdom 8937  csdm 8938  Fincfn 8939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-om 7856  df-1o 8466  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943
This theorem is referenced by:  sdomdomtrfi  9204  domsdomtrfi  9205  nndomog  9216  onomeneq  9228
  Copyright terms: Public domain W3C validator