MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sbthfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sbthfi 9206
Description: Schroeder-Bernstein Theorem for finite sets, proved without using the Axiom of Power Sets (unlike sbth 9097). (Contributed by BTernaryTau, 4-Nov-2024.)
Assertion
Ref Expression
sbthfi ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐴) → 𝐴𝐵)

Proof of Theorem sbthfi
Dummy variables 𝑤 𝑧 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldom 8949 . . . . 5 Rel ≼
21brrelex1i 5733 . . . 4 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
31brrelex1i 5733 . . . 4 (𝐵𝐴𝐵 ∈ V)
4 breq1 5152 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐴 → (𝑧𝑤𝐴𝑤))
5 breq2 5153 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐴 → (𝑤𝑧𝑤𝐴))
64, 53anbi23d 1437 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐴 → ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑧𝑤𝑤𝑧) ↔ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑤𝑤𝐴)))
7 breq1 5152 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐴 → (𝑧𝑤𝐴𝑤))
86, 7imbi12d 343 . . . . 5 (𝑧 = 𝐴 → (((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑧𝑤𝑤𝑧) → 𝑧𝑤) ↔ ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑤𝑤𝐴) → 𝐴𝑤)))
9 eleq1 2819 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝐵 → (𝑤 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))
10 breq2 5153 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝐵 → (𝐴𝑤𝐴𝐵))
11 breq1 5152 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝐵 → (𝑤𝐴𝐵𝐴))
129, 10, 113anbi123d 1434 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐵 → ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑤𝑤𝐴) ↔ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐴)))
13 breq2 5153 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐵 → (𝐴𝑤𝐴𝐵))
1412, 13imbi12d 343 . . . . 5 (𝑤 = 𝐵 → (((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑤𝑤𝐴) → 𝐴𝑤) ↔ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐴) → 𝐴𝐵)))
15 vex 3476 . . . . . 6 𝑧 ∈ V
16 sseq1 4008 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝑧𝑥𝑧))
17 imaeq2 6056 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → (𝑓𝑦) = (𝑓𝑥))
1817difeq2d 4123 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → (𝑤 ∖ (𝑓𝑦)) = (𝑤 ∖ (𝑓𝑥)))
1918imaeq2d 6060 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (𝑔 “ (𝑤 ∖ (𝑓𝑦))) = (𝑔 “ (𝑤 ∖ (𝑓𝑥))))
20 difeq2 4117 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (𝑧𝑦) = (𝑧𝑥))
2119, 20sseq12d 4016 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑔 “ (𝑤 ∖ (𝑓𝑦))) ⊆ (𝑧𝑦) ↔ (𝑔 “ (𝑤 ∖ (𝑓𝑥))) ⊆ (𝑧𝑥)))
2216, 21anbi12d 629 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦𝑧 ∧ (𝑔 “ (𝑤 ∖ (𝑓𝑦))) ⊆ (𝑧𝑦)) ↔ (𝑥𝑧 ∧ (𝑔 “ (𝑤 ∖ (𝑓𝑥))) ⊆ (𝑧𝑥))))
2322cbvabv 2803 . . . . . 6 {𝑦 ∣ (𝑦𝑧 ∧ (𝑔 “ (𝑤 ∖ (𝑓𝑦))) ⊆ (𝑧𝑦))} = {𝑥 ∣ (𝑥𝑧 ∧ (𝑔 “ (𝑤 ∖ (𝑓𝑥))) ⊆ (𝑧𝑥))}
24 eqid 2730 . . . . . 6 ((𝑓 {𝑦 ∣ (𝑦𝑧 ∧ (𝑔 “ (𝑤 ∖ (𝑓𝑦))) ⊆ (𝑧𝑦))}) ∪ (𝑔 ↾ (𝑧 {𝑦 ∣ (𝑦𝑧 ∧ (𝑔 “ (𝑤 ∖ (𝑓𝑦))) ⊆ (𝑧𝑦))}))) = ((𝑓 {𝑦 ∣ (𝑦𝑧 ∧ (𝑔 “ (𝑤 ∖ (𝑓𝑦))) ⊆ (𝑧𝑦))}) ∪ (𝑔 ↾ (𝑧 {𝑦 ∣ (𝑦𝑧 ∧ (𝑔 “ (𝑤 ∖ (𝑓𝑦))) ⊆ (𝑧𝑦))})))
25 vex 3476 . . . . . 6 𝑤 ∈ V
2615, 23, 24, 25sbthfilem 9205 . . . . 5 ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑧𝑤𝑤𝑧) → 𝑧𝑤)
278, 14, 26vtocl2g 3564 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐴) → 𝐴𝐵))
282, 3, 27syl2an 594 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝐴) → ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐴) → 𝐴𝐵))
29283adant1 1128 . 2 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐴) → ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐴) → 𝐴𝐵))
3029pm2.43i 52 1 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐴) → 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1085   = wceq 1539  wcel 2104  {cab 2707  Vcvv 3472  cdif 3946  cun 3947  wss 3949   cuni 4909   class class class wbr 5149  ccnv 5676  cres 5679  cima 5680  cen 8940  cdom 8941  Fincfn 8943
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-om 7860  df-1o 8470  df-en 8944  df-dom 8945  df-fin 8947
This theorem is referenced by:  domnsymfi  9207  php  9214
  Copyright terms: Public domain W3C validator