MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sbthfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sbthfi 9202
Description: Schroeder-Bernstein Theorem for finite sets, proved without using the Axiom of Power Sets (unlike sbth 9093). (Contributed by BTernaryTau, 4-Nov-2024.)
Assertion
Ref Expression
sbthfi ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐴) → 𝐴𝐵)

Proof of Theorem sbthfi
Dummy variables 𝑤 𝑧 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldom 8945 . . . . 5 Rel ≼
21brrelex1i 5733 . . . 4 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
31brrelex1i 5733 . . . 4 (𝐵𝐴𝐵 ∈ V)
4 breq1 5152 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐴 → (𝑧𝑤𝐴𝑤))
5 breq2 5153 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐴 → (𝑤𝑧𝑤𝐴))
64, 53anbi23d 1440 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐴 → ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑧𝑤𝑤𝑧) ↔ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑤𝑤𝐴)))
7 breq1 5152 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐴 → (𝑧𝑤𝐴𝑤))
86, 7imbi12d 345 . . . . 5 (𝑧 = 𝐴 → (((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑧𝑤𝑤𝑧) → 𝑧𝑤) ↔ ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑤𝑤𝐴) → 𝐴𝑤)))
9 eleq1 2822 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝐵 → (𝑤 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))
10 breq2 5153 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝐵 → (𝐴𝑤𝐴𝐵))
11 breq1 5152 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝐵 → (𝑤𝐴𝐵𝐴))
129, 10, 113anbi123d 1437 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐵 → ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑤𝑤𝐴) ↔ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐴)))
13 breq2 5153 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐵 → (𝐴𝑤𝐴𝐵))
1412, 13imbi12d 345 . . . . 5 (𝑤 = 𝐵 → (((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑤𝑤𝐴) → 𝐴𝑤) ↔ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐴) → 𝐴𝐵)))
15 vex 3479 . . . . . 6 𝑧 ∈ V
16 sseq1 4008 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝑧𝑥𝑧))
17 imaeq2 6056 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → (𝑓𝑦) = (𝑓𝑥))
1817difeq2d 4123 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → (𝑤 ∖ (𝑓𝑦)) = (𝑤 ∖ (𝑓𝑥)))
1918imaeq2d 6060 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (𝑔 “ (𝑤 ∖ (𝑓𝑦))) = (𝑔 “ (𝑤 ∖ (𝑓𝑥))))
20 difeq2 4117 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (𝑧𝑦) = (𝑧𝑥))
2119, 20sseq12d 4016 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑔 “ (𝑤 ∖ (𝑓𝑦))) ⊆ (𝑧𝑦) ↔ (𝑔 “ (𝑤 ∖ (𝑓𝑥))) ⊆ (𝑧𝑥)))
2216, 21anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦𝑧 ∧ (𝑔 “ (𝑤 ∖ (𝑓𝑦))) ⊆ (𝑧𝑦)) ↔ (𝑥𝑧 ∧ (𝑔 “ (𝑤 ∖ (𝑓𝑥))) ⊆ (𝑧𝑥))))
2322cbvabv 2806 . . . . . 6 {𝑦 ∣ (𝑦𝑧 ∧ (𝑔 “ (𝑤 ∖ (𝑓𝑦))) ⊆ (𝑧𝑦))} = {𝑥 ∣ (𝑥𝑧 ∧ (𝑔 “ (𝑤 ∖ (𝑓𝑥))) ⊆ (𝑧𝑥))}
24 eqid 2733 . . . . . 6 ((𝑓 {𝑦 ∣ (𝑦𝑧 ∧ (𝑔 “ (𝑤 ∖ (𝑓𝑦))) ⊆ (𝑧𝑦))}) ∪ (𝑔 ↾ (𝑧 {𝑦 ∣ (𝑦𝑧 ∧ (𝑔 “ (𝑤 ∖ (𝑓𝑦))) ⊆ (𝑧𝑦))}))) = ((𝑓 {𝑦 ∣ (𝑦𝑧 ∧ (𝑔 “ (𝑤 ∖ (𝑓𝑦))) ⊆ (𝑧𝑦))}) ∪ (𝑔 ↾ (𝑧 {𝑦 ∣ (𝑦𝑧 ∧ (𝑔 “ (𝑤 ∖ (𝑓𝑦))) ⊆ (𝑧𝑦))})))
25 vex 3479 . . . . . 6 𝑤 ∈ V
2615, 23, 24, 25sbthfilem 9201 . . . . 5 ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑧𝑤𝑤𝑧) → 𝑧𝑤)
278, 14, 26vtocl2g 3563 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐴) → 𝐴𝐵))
282, 3, 27syl2an 597 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝐴) → ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐴) → 𝐴𝐵))
29283adant1 1131 . 2 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐴) → ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐴) → 𝐴𝐵))
3029pm2.43i 52 1 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐴) → 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  {cab 2710  Vcvv 3475  cdif 3946  cun 3947  wss 3949   cuni 4909   class class class wbr 5149  ccnv 5676  cres 5679  cima 5680  cen 8936  cdom 8937  Fincfn 8939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-om 7856  df-1o 8466  df-en 8940  df-dom 8941  df-fin 8943
This theorem is referenced by:  domnsymfi  9203  php  9210
  Copyright terms: Public domain W3C validator