Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0hf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0hf 34815
Description: The empty set is a hereditarily finite set. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
0hf ∅ ∈ Hf

Proof of Theorem 0hf
StepHypRef Expression
1 peano1 7829 . . . 4 ∅ ∈ ω
2 peano2 7831 . . . 4 (∅ ∈ ω → suc ∅ ∈ ω)
31, 2ax-mp 5 . . 3 suc ∅ ∈ ω
4 0elpw 5315 . . . 4 ∅ ∈ 𝒫 (𝑅1‘∅)
5 0elon 6375 . . . . 5 ∅ ∈ On
6 r1suc 9714 . . . . 5 (∅ ∈ On → (𝑅1‘suc ∅) = 𝒫 (𝑅1‘∅))
75, 6ax-mp 5 . . . 4 (𝑅1‘suc ∅) = 𝒫 (𝑅1‘∅)
84, 7eleqtrri 2833 . . 3 ∅ ∈ (𝑅1‘suc ∅)
9 fveq2 6846 . . . . 5 (𝑥 = suc ∅ → (𝑅1𝑥) = (𝑅1‘suc ∅))
109eleq2d 2820 . . . 4 (𝑥 = suc ∅ → (∅ ∈ (𝑅1𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝑅1‘suc ∅)))
1110rspcev 3583 . . 3 ((suc ∅ ∈ ω ∧ ∅ ∈ (𝑅1‘suc ∅)) → ∃𝑥 ∈ ω ∅ ∈ (𝑅1𝑥))
123, 8, 11mp2an 691 . 2 𝑥 ∈ ω ∅ ∈ (𝑅1𝑥)
13 elhf 34812 . 2 (∅ ∈ Hf ↔ ∃𝑥 ∈ ω ∅ ∈ (𝑅1𝑥))
1412, 13mpbir 230 1 ∅ ∈ Hf
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  wcel 2107  wrex 3070  c0 4286  𝒫 cpw 4564  Oncon0 6321  suc csuc 6323  cfv 6500  ωcom 7806  𝑅1cr1 9706   Hf chf 34810
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-r1 9708  df-hf 34811
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator