Theorem 0hf 33099

Description: The empty set is a hereditarily finite set. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0hf	⊢ ∅ ∈ Hf

Proof of Theorem 0hf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 7410	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
2		peano2 7411	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ ω → suc ∅ ∈ ω)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ suc ∅ ∈ ω
4		0elpw 5104	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 (𝑅1‘∅)
5		0elon 6076	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ On
6		r1suc 8985	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ On → (𝑅1‘suc ∅) = 𝒫 (𝑅1‘∅))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑅1‘suc ∅) = 𝒫 (𝑅1‘∅)
8	4, 7	eleqtrri 2859	. . 3 ⊢ ∅ ∈ (𝑅1‘suc ∅)
9		fveq2 6493	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = suc ∅ → (𝑅1‘𝑥) = (𝑅1‘suc ∅))
10	9	eleq2d 2845	. . . 4 ⊢ (𝑥 = suc ∅ → (∅ ∈ (𝑅1‘𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝑅1‘suc ∅)))
11	10	rspcev 3529	. . 3 ⊢ ((suc ∅ ∈ ω ∧ ∅ ∈ (𝑅1‘suc ∅)) → ∃𝑥 ∈ ω ∅ ∈ (𝑅1‘𝑥))
12	3, 8, 11	mp2an 679	. 2 ⊢ ∃𝑥 ∈ ω ∅ ∈ (𝑅1‘𝑥)
13		elhf 33096	. 2 ⊢ (∅ ∈ Hf ↔ ∃𝑥 ∈ ω ∅ ∈ (𝑅1‘𝑥))
14	12, 13	mpbir 223	1 ⊢ ∅ ∈ Hf

Syntax hints:   = wceq 1507   ∈ wcel 2048  ∃wrex 3083  ∅c0 4173  𝒫 cpw 4416  Oncon0 6023  suc csuc 6025  ‘cfv 6182  ωcom 7390  𝑅₁cr1 8977   Hf chf 33094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-om 7391  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-r1 8979  df-hf 33095

This theorem is referenced by: (None)