Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0hf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0hf 33535
Description: The empty set is a hereditarily finite set. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
0hf ∅ ∈ Hf

Proof of Theorem 0hf
StepHypRef Expression
1 peano1 7590 . . . 4 ∅ ∈ ω
2 peano2 7591 . . . 4 (∅ ∈ ω → suc ∅ ∈ ω)
31, 2ax-mp 5 . . 3 suc ∅ ∈ ω
4 0elpw 5247 . . . 4 ∅ ∈ 𝒫 (𝑅1‘∅)
5 0elon 6237 . . . . 5 ∅ ∈ On
6 r1suc 9187 . . . . 5 (∅ ∈ On → (𝑅1‘suc ∅) = 𝒫 (𝑅1‘∅))
75, 6ax-mp 5 . . . 4 (𝑅1‘suc ∅) = 𝒫 (𝑅1‘∅)
84, 7eleqtrri 2909 . . 3 ∅ ∈ (𝑅1‘suc ∅)
9 fveq2 6663 . . . . 5 (𝑥 = suc ∅ → (𝑅1𝑥) = (𝑅1‘suc ∅))
109eleq2d 2895 . . . 4 (𝑥 = suc ∅ → (∅ ∈ (𝑅1𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝑅1‘suc ∅)))
1110rspcev 3620 . . 3 ((suc ∅ ∈ ω ∧ ∅ ∈ (𝑅1‘suc ∅)) → ∃𝑥 ∈ ω ∅ ∈ (𝑅1𝑥))
123, 8, 11mp2an 688 . 2 𝑥 ∈ ω ∅ ∈ (𝑅1𝑥)
13 elhf 33532 . 2 (∅ ∈ Hf ↔ ∃𝑥 ∈ ω ∅ ∈ (𝑅1𝑥))
1412, 13mpbir 232 1 ∅ ∈ Hf
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1528  wcel 2105  wrex 3136  c0 4288  𝒫 cpw 4535  Oncon0 6184  suc csuc 6186  cfv 6348  ωcom 7569  𝑅1cr1 9179   Hf chf 33530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-r1 9181  df-hf 33531
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator