Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0hf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0hf 34700
Description: The empty set is a hereditarily finite set. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
0hf ∅ ∈ Hf

Proof of Theorem 0hf
StepHypRef Expression
1 peano1 7817 . . . 4 ∅ ∈ ω
2 peano2 7819 . . . 4 (∅ ∈ ω → suc ∅ ∈ ω)
31, 2ax-mp 5 . . 3 suc ∅ ∈ ω
4 0elpw 5309 . . . 4 ∅ ∈ 𝒫 (𝑅1‘∅)
5 0elon 6369 . . . . 5 ∅ ∈ On
6 r1suc 9664 . . . . 5 (∅ ∈ On → (𝑅1‘suc ∅) = 𝒫 (𝑅1‘∅))
75, 6ax-mp 5 . . . 4 (𝑅1‘suc ∅) = 𝒫 (𝑅1‘∅)
84, 7eleqtrri 2837 . . 3 ∅ ∈ (𝑅1‘suc ∅)
9 fveq2 6839 . . . . 5 (𝑥 = suc ∅ → (𝑅1𝑥) = (𝑅1‘suc ∅))
109eleq2d 2823 . . . 4 (𝑥 = suc ∅ → (∅ ∈ (𝑅1𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝑅1‘suc ∅)))
1110rspcev 3579 . . 3 ((suc ∅ ∈ ω ∧ ∅ ∈ (𝑅1‘suc ∅)) → ∃𝑥 ∈ ω ∅ ∈ (𝑅1𝑥))
123, 8, 11mp2an 690 . 2 𝑥 ∈ ω ∅ ∈ (𝑅1𝑥)
13 elhf 34697 . 2 (∅ ∈ Hf ↔ ∃𝑥 ∈ ω ∅ ∈ (𝑅1𝑥))
1412, 13mpbir 230 1 ∅ ∈ Hf
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3071  c0 4280  𝒫 cpw 4558  Oncon0 6315  suc csuc 6317  cfv 6493  ωcom 7794  𝑅1cr1 9656   Hf chf 34695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7354  df-om 7795  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-r1 9658  df-hf 34696
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator