Theorem 0hf 36190

Description: The empty set is a hereditarily finite set. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0hf	⊢ ∅ ∈ Hf

Proof of Theorem 0hf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 7814	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
2		peano2 7815	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ ω → suc ∅ ∈ ω)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ suc ∅ ∈ ω
4		0elpw 5292	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 (𝑅1‘∅)
5		0elon 6357	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ On
6		r1suc 9655	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ On → (𝑅1‘suc ∅) = 𝒫 (𝑅1‘∅))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑅1‘suc ∅) = 𝒫 (𝑅1‘∅)
8	4, 7	eleqtrri 2828	. . 3 ⊢ ∅ ∈ (𝑅1‘suc ∅)
9		fveq2 6817	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = suc ∅ → (𝑅1‘𝑥) = (𝑅1‘suc ∅))
10	9	eleq2d 2815	. . . 4 ⊢ (𝑥 = suc ∅ → (∅ ∈ (𝑅1‘𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝑅1‘suc ∅)))
11	10	rspcev 3575	. . 3 ⊢ ((suc ∅ ∈ ω ∧ ∅ ∈ (𝑅1‘suc ∅)) → ∃𝑥 ∈ ω ∅ ∈ (𝑅1‘𝑥))
12	3, 8, 11	mp2an 692	. 2 ⊢ ∃𝑥 ∈ ω ∅ ∈ (𝑅1‘𝑥)
13		elhf 36187	. 2 ⊢ (∅ ∈ Hf ↔ ∃𝑥 ∈ ω ∅ ∈ (𝑅1‘𝑥))
14	12, 13	mpbir 231	1 ⊢ ∅ ∈ Hf

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3054  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4548  Oncon0 6302  suc csuc 6304  ‘cfv 6477  ωcom 7791  𝑅₁cr1 9647   Hf chf 36185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-ov 7344  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-r1 9649  df-hf 36186

This theorem is referenced by: (None)