Theorem 0hf 34406

Description: The empty set is a hereditarily finite set. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0hf	⊢ ∅ ∈ Hf

Proof of Theorem 0hf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 7710	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
2		peano2 7711	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ ω → suc ∅ ∈ ω)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ suc ∅ ∈ ω
4		0elpw 5273	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 (𝑅1‘∅)
5		0elon 6304	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ On
6		r1suc 9459	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ On → (𝑅1‘suc ∅) = 𝒫 (𝑅1‘∅))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑅1‘suc ∅) = 𝒫 (𝑅1‘∅)
8	4, 7	eleqtrri 2838	. . 3 ⊢ ∅ ∈ (𝑅1‘suc ∅)
9		fveq2 6756	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = suc ∅ → (𝑅1‘𝑥) = (𝑅1‘suc ∅))
10	9	eleq2d 2824	. . . 4 ⊢ (𝑥 = suc ∅ → (∅ ∈ (𝑅1‘𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝑅1‘suc ∅)))
11	10	rspcev 3552	. . 3 ⊢ ((suc ∅ ∈ ω ∧ ∅ ∈ (𝑅1‘suc ∅)) → ∃𝑥 ∈ ω ∅ ∈ (𝑅1‘𝑥))
12	3, 8, 11	mp2an 688	. 2 ⊢ ∃𝑥 ∈ ω ∅ ∈ (𝑅1‘𝑥)
13		elhf 34403	. 2 ⊢ (∅ ∈ Hf ↔ ∃𝑥 ∈ ω ∅ ∈ (𝑅1‘𝑥))
14	12, 13	mpbir 230	1 ⊢ ∅ ∈ Hf

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064  ∅c0 4253  𝒫 cpw 4530  Oncon0 6251  suc csuc 6253  ‘cfv 6418  ωcom 7687  𝑅₁cr1 9451   Hf chf 34401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-r1 9453  df-hf 34402

This theorem is referenced by: (None)