Theorem 0hf 9922

Description: The empty set is a hereditarily finite set. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0hf	⊢ ∅ ∈ HF

Proof of Theorem 0hf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 7902	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
2		peano2 7903	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ ω → suc ∅ ∈ ω)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ suc ∅ ∈ ω
4		0elpw 5316	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 (𝑅1‘∅)
5		0elon 6420	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ On
6		r1suc 9782	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ On → (𝑅1‘suc ∅) = 𝒫 (𝑅1‘∅))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑅1‘suc ∅) = 𝒫 (𝑅1‘∅)
8	4, 7	eleqtrri 2859	. . 3 ⊢ ∅ ∈ (𝑅1‘suc ∅)
9		fveq2 6888	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = suc ∅ → (𝑅1‘𝑥) = (𝑅1‘suc ∅))
10	9	eleq2d 2846	. . . 4 ⊢ (𝑥 = suc ∅ → (∅ ∈ (𝑅1‘𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝑅1‘suc ∅)))
11	10	rspcev 3576	. . 3 ⊢ ((suc ∅ ∈ ω ∧ ∅ ∈ (𝑅1‘suc ∅)) → ∃𝑥 ∈ ω ∅ ∈ (𝑅1‘𝑥))
12	3, 8, 11	mp2an 705	. 2 ⊢ ∃𝑥 ∈ ω ∅ ∈ (𝑅1‘𝑥)
13		elhf 9912	. 2 ⊢ (∅ ∈ HF ↔ ∃𝑥 ∈ ω ∅ ∈ (𝑅1‘𝑥))
14	12, 13	mpbir 234	1 ⊢ ∅ ∈ HF

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086  ∅c0 4277  𝒫 cpw 4556  Oncon0 6364  suc csuc 6366  ‘cfv 6541  ωcom 7879  𝑅₁cr1 9771   HF chf 9909

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7425  df-om 7880  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-r1 9773  df-hf 9910

This theorem is used by:  elhf3OLD  9928  omhf  46128