Theorem 0hf 35144

Description: The empty set is a hereditarily finite set. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0hf	⊢ ∅ ∈ Hf

Proof of Theorem 0hf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 7878	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
2		peano2 7880	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ ω → suc ∅ ∈ ω)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ suc ∅ ∈ ω
4		0elpw 5354	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 (𝑅1‘∅)
5		0elon 6418	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ On
6		r1suc 9764	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ On → (𝑅1‘suc ∅) = 𝒫 (𝑅1‘∅))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑅1‘suc ∅) = 𝒫 (𝑅1‘∅)
8	4, 7	eleqtrri 2832	. . 3 ⊢ ∅ ∈ (𝑅1‘suc ∅)
9		fveq2 6891	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = suc ∅ → (𝑅1‘𝑥) = (𝑅1‘suc ∅))
10	9	eleq2d 2819	. . . 4 ⊢ (𝑥 = suc ∅ → (∅ ∈ (𝑅1‘𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝑅1‘suc ∅)))
11	10	rspcev 3612	. . 3 ⊢ ((suc ∅ ∈ ω ∧ ∅ ∈ (𝑅1‘suc ∅)) → ∃𝑥 ∈ ω ∅ ∈ (𝑅1‘𝑥))
12	3, 8, 11	mp2an 690	. 2 ⊢ ∃𝑥 ∈ ω ∅ ∈ (𝑅1‘𝑥)
13		elhf 35141	. 2 ⊢ (∅ ∈ Hf ↔ ∃𝑥 ∈ ω ∅ ∈ (𝑅1‘𝑥))
14	12, 13	mpbir 230	1 ⊢ ∅ ∈ Hf

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3070  ∅c0 4322  𝒫 cpw 4602  Oncon0 6364  suc csuc 6366  ‘cfv 6543  ωcom 7854  𝑅₁cr1 9756   Hf chf 35139

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-r1 9758  df-hf 35140

This theorem is referenced by: (None)