Theorem elhfOLD 9889

Description: Obsolete version of elhf 9888 as of 27-Sep-2026. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jul-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
elhfOLD	⊢ (𝐴 ∈ HF ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem elhfOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-hf 9886	. . 3 ⊢ HF = ∪ (𝑅1 “ ω)
2	1	eleq2i 2853	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ HF ↔ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω))
3		r111 9765	. . 3 ⊢ 𝑅1:On–1-1→V
4		f1fun 6772	. . 3 ⊢ (𝑅1:On–1-1→V → Fun 𝑅1)
5		eluniima 7246	. . 3 ⊢ (Fun 𝑅1 → (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑥)))
6	3, 4, 5	mp2b 10	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑥))
7	2, 6	bitri 278	1 ⊢ (𝐴 ∈ HF ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑥))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087  Vcvv 3451  ∪ cuni 4867   “ cima 5654  Oncon0 6355  Fun wfun 6525  –1-1→wf1 6528  ‘cfv 6531  ωcom 7866  𝑅₁cr1 9750   HF chf 9885

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-r1 9752  df-hf 9886

This theorem is used by: (None)