Theorem hffi 9909

Description: Hereditarily finite sets are finite sets. (Contributed by BTernaryTau, 30-Dec-2025.) Restate using the defined HF symbol. (Revised by Eric Schmidt, 8-Sep-2026.)

Assertion

Ref	Expression
hffi	⊢ (𝐴 ∈ HF → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem hffi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-hf 9905	. . . 4 ⊢ HF = ∪ (𝑅1 “ ω)
2	1	eleq2i 2852	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ HF ↔ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω))
3		r1fun 9771	. . . 4 ⊢ Fun 𝑅1
4		eluniima 7254	. . . 4 ⊢ (Fun 𝑅1 → (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑥)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑥))
6	2, 5	sylbb 222	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ HF → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑥))
7		r1fin 9780	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝑅1‘𝑥) ∈ Fin)
8		r1pwss 9791	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑥) → 𝒫 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝑥))
9		ssfi 9188	. . . 4 ⊢ (((𝑅1‘𝑥) ∈ Fin ∧ 𝒫 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝑥)) → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
10	7, 8, 9	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑥)) → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
11	10	rexlimiva 3155	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑥) → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
12		pwfir 9308	. 2 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
13	6, 11, 12	3syl 19	1 ⊢ (𝐴 ∈ HF → 𝐴 ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3895  𝒫 cpw 4556  ∪ cuni 4866   “ cima 5653  Fun wfun 6532  ‘cfv 6538  ωcom 7877  Fincfn 8973  𝑅₁cr1 9766   HF chf 9904

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-en 8974  df-dom 8975  df-fin 8977  df-r1 9768  df-hf 9905

This theorem is used by:  elhf4  9912  hfsshf  9915  hfun  9918  elhf3OLD  9923  hfuni  9924  hfpw  9926  r1omfi  35730