Theorem hffi 9881

Description: Hereditarily finite sets are finite sets. (Contributed by BTernaryTau, 30-Dec-2025.) Restate using the defined Hf symbol. (Revised by Eric Schmidt, 8-Sep-2026.)

Assertion

Ref	Expression
hffi	⊢ (𝐴 ∈ Hf → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem hffi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-hf 9879	. . . 4 ⊢ Hf = ∪ (𝑅1 “ ω)
2	1	eleq2i 2852	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Hf ↔ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω))
3		r1funlim 9755	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
4	3	simpli 489	. . . 4 ⊢ Fun 𝑅1
5		eluniima 7250	. . . 4 ⊢ (Fun 𝑅1 → (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑥)))
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑥))
7	2, 6	sylbb 222	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑥))
8		r1fin 9762	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝑅1‘𝑥) ∈ Fin)
9		r1pwss 9773	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑥) → 𝒫 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝑥))
10		ssfi 9174	. . . 4 ⊢ (((𝑅1‘𝑥) ∈ Fin ∧ 𝒫 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝑥)) → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
11	8, 9, 10	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑥)) → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
12	11	rexlimiva 3155	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑥) → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
13		pwfir 9293	. 2 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
14	7, 12, 13	3syl 19	1 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → 𝐴 ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4557  ∪ cuni 4867  dom cdm 5655   “ cima 5658  Lim wlim 6360  Fun wfun 6529  ‘cfv 6535  ωcom 7868  Fincfn 8959  𝑅₁cr1 9751   Hf chf 9878

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-ov 7419  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-en 8960  df-dom 8961  df-fin 8963  df-r1 9753  df-hf 9879

This theorem is used by:  elhf3  9889  r1omfi  35646