Theorem hffi 9933

Description: Hereditarily finite sets are finite sets. (Contributed by BTernaryTau, 30-Dec-2025.) Restate using the defined HF symbol. (Revised by Eric Schmidt, 8-Sep-2026.)

Assertion

Ref	Expression
hffi	⊢ (𝐴 ∈ HF → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem hffi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-hf 9929	. . . 4 ⊢ HF = ∪ (𝑅1 “ ω)
2	1	eleq2i 2856	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ HF ↔ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω))
3		r1fun 9795	. . . 4 ⊢ Fun 𝑅1
4		eluniima 7274	. . . 4 ⊢ (Fun 𝑅1 → (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑥)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑥))
6	2, 5	sylbb 222	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ HF → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑥))
7		r1fin 9804	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝑅1‘𝑥) ∈ Fin)
8		r1pwss 9815	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑥) → 𝒫 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝑥))
9		ssfi 9213	. . . 4 ⊢ (((𝑅1‘𝑥) ∈ Fin ∧ 𝒫 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝑥)) → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
10	7, 8, 9	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑥)) → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
11	10	rexlimiva 3159	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑥) → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
12		pwfir 9333	. 2 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
13	6, 11, 12	3syl 19	1 ⊢ (𝐴 ∈ HF → 𝐴 ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900  𝒫 cpw 4560  ∪ cuni 4870   “ cima 5658  Fun wfun 6549  ‘cfv 6555  ωcom 7898  Fincfn 8998  𝑅₁cr1 9790   HF chf 9928

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-ov 7443  df-om 7899  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-en 8999  df-dom 9000  df-fin 9002  df-r1 9792  df-hf 9929

This theorem is used by:  elhf4  9936  hfsshf  9939  hfun  9942  elhf3OLD  9947  hfuni  9948  hfpw  9950  r1omfi  35811