Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddasslem15 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem paddasslem15 39359
Description: Lemma for paddass 39363. Use elpaddn0 39325 to eliminate 𝑦 and 𝑧 from paddasslem14 39358. (Contributed by NM, 11-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddasslem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
paddasslem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
paddasslem.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
paddasslem.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
paddasslem15 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ))) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
Proof of Theorem paddasslem15
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr2r 1230 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ))) β†’ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍))
2 simpl1 1188 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
32hllatd 38888 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
4 simpl22 1249 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ))) β†’ π‘Œ βŠ† 𝐴)
5 simpl23 1250 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ))) β†’ 𝑍 βŠ† 𝐴)
6 simpl3 1190 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ))) β†’ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…))
7 paddasslem.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
8 paddasslem.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
9 paddasslem.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
10 paddasslem.p . . . . 5 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
117, 8, 9, 10elpaddn0 39325 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) β†’ (π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍) ↔ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘Œ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑍 π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))))
123, 4, 5, 6, 11syl31anc 1370 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ))) β†’ (π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍) ↔ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘Œ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑍 π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))))
131, 12mpbid 231 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ))) β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘Œ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑍 π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))
14 simp11 1200 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
15 simp12 1201 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))) β†’ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴))
16 simp21 1203 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
17 simp31 1206 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐴)
1816, 17jca 510 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))) β†’ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴))
19 simp22l 1289 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
20 simp32l 1295 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑦 ∈ π‘Œ)
21 simp32r 1296 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑧 ∈ 𝑍)
2219, 20, 213jca 1125 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍))
23 simp23 1205 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ))
24 simp33 1208 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))) β†’ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))
2523, 24jca 510 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))) β†’ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))
267, 8, 9, 10paddasslem14 39358 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
2714, 15, 18, 22, 25, 26syl32anc 1375 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
28273expia 1118 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ))) β†’ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍)))
29283expd 1350 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ))) β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 β†’ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) β†’ (π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍)))))
3029imp 405 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) β†’ (π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))))
3130rexlimdvv 3201 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ π‘Œ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑍 π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍)))
3231expimpd 452 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ))) β†’ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘Œ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑍 π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍)))
3313, 32mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ))) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆƒwrex 3060   βŠ† wss 3941  βˆ…c0 4319   class class class wbr 5144  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  lecple 17234  joincjn 18297  Latclat 18417  Atomscatm 38787  HLchlt 38874  +𝑃cpadd 39320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5571  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-proset 18281  df-poset 18299  df-plt 18316  df-lub 18332  df-glb 18333  df-join 18334  df-meet 18335  df-p0 18411  df-lat 18418  df-clat 18485  df-oposet 38700  df-ol 38702  df-oml 38703  df-covers 38790  df-ats 38791  df-atl 38822  df-cvlat 38846  df-hlat 38875  df-padd 39321
This theorem is referenced by:  paddasslem16  39360
  Copyright terms: Public domain W3C validator