Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddasslem15 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem paddasslem15 38705
Description: Lemma for paddass 38709. Use elpaddn0 38671 to eliminate 𝑦 and 𝑧 from paddasslem14 38704. (Contributed by NM, 11-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddasslem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
paddasslem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
paddasslem.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
paddasslem.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
paddasslem15 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ))) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
Proof of Theorem paddasslem15
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr2r 1234 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ))) β†’ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍))
2 simpl1 1192 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
32hllatd 38234 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
4 simpl22 1253 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ))) β†’ π‘Œ βŠ† 𝐴)
5 simpl23 1254 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ))) β†’ 𝑍 βŠ† 𝐴)
6 simpl3 1194 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ))) β†’ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…))
7 paddasslem.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
8 paddasslem.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
9 paddasslem.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
10 paddasslem.p . . . . 5 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
117, 8, 9, 10elpaddn0 38671 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) β†’ (π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍) ↔ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘Œ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑍 π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))))
123, 4, 5, 6, 11syl31anc 1374 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ))) β†’ (π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍) ↔ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘Œ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑍 π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))))
131, 12mpbid 231 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ))) β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘Œ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑍 π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))
14 simp11 1204 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
15 simp12 1205 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))) β†’ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴))
16 simp21 1207 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
17 simp31 1210 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐴)
1816, 17jca 513 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))) β†’ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴))
19 simp22l 1293 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
20 simp32l 1299 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑦 ∈ π‘Œ)
21 simp32r 1300 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑧 ∈ 𝑍)
2219, 20, 213jca 1129 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍))
23 simp23 1209 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ))
24 simp33 1212 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))) β†’ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))
2523, 24jca 513 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))) β†’ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))
267, 8, 9, 10paddasslem14 38704 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
2714, 15, 18, 22, 25, 26syl32anc 1379 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
28273expia 1122 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ))) β†’ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍)))
29283expd 1354 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ))) β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 β†’ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) β†’ (π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍)))))
3029imp 408 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) β†’ (π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))))
3130rexlimdvv 3211 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ))) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ π‘Œ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑍 π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍)))
3231expimpd 455 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ))) β†’ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘Œ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑍 π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍)))
3313, 32mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘Œ β‰  βˆ… ∧ 𝑍 β‰  βˆ…)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ (π‘Œ + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ))) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  lecple 17204  joincjn 18264  Latclat 18384  Atomscatm 38133  HLchlt 38220  +𝑃cpadd 38666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-lat 18385  df-clat 18452  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-padd 38667
This theorem is referenced by:  paddasslem16  38706
  Copyright terms: Public domain W3C validator