Theorem paddasslem15 40239

Description: Lemma for paddass 40243. Use elpaddn0 40205 to eliminate 𝑦 and 𝑧 from paddasslem14 40238. (Contributed by NM, 11-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
paddasslem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
paddasslem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
paddasslem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddasslem.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
paddasslem15	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑟))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))

Proof of Theorem paddasslem15

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr2r 1235	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑟))) → 𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍))
2		simpl1 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑟))) → 𝐾 ∈ HL)
3	2	hllatd 39769	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑟))) → 𝐾 ∈ Lat)
4		simpl22 1254	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑟))) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
5		simpl23 1255	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑟))) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
6		simpl3 1195	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑟))) → (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅))
7		paddasslem.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
8		paddasslem.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
9		paddasslem.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10		paddasslem.p	. . . . 5 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
11	7, 8, 9, 10	elpaddn0 40205	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅)) → (𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍) ↔ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑌 ∃𝑧 ∈ 𝑍 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧))))
12	3, 4, 5, 6, 11	syl31anc 1376	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑟))) → (𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍) ↔ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑌 ∃𝑧 ∈ 𝑍 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧))))
13	1, 12	mpbid 232	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑟))) → (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑌 ∃𝑧 ∈ 𝑍 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧)))
14		simp11 1205	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑟)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧))) → 𝐾 ∈ HL)
15		simp12 1206	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑟)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧))) → (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴))
16		simp21 1208	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑟)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧))) → 𝑝 ∈ 𝐴)
17		simp31 1211	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑟)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧))) → 𝑟 ∈ 𝐴)
18	16, 17	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑟)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧))) → (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴))
19		simp22l 1294	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑟)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧))) → 𝑥 ∈ 𝑋)
20		simp32l 1300	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑟)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧))) → 𝑦 ∈ 𝑌)
21		simp32r 1301	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑟)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧))) → 𝑧 ∈ 𝑍)
22	19, 20, 21	3jca 1129	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑟)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧))) → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍))
23		simp23 1210	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑟)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧))) → 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑟))
24		simp33 1213	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑟)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧))) → 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧))
25	23, 24	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑟)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧))) → (𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑟) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧)))
26	7, 8, 9, 10	paddasslem14 40238	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑟) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧)))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
27	14, 15, 18, 22, 25, 26	syl32anc 1381	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑟)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
28	27	3expia 1122	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑟))) → ((𝑟 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧)) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))
29	28	3expd 1355	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑟))) → (𝑟 ∈ 𝐴 → ((𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → (𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))))
30	29	imp 406	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑟))) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → ((𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → (𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))))
31	30	rexlimdvv 3194	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑟))) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (∃𝑦 ∈ 𝑌 ∃𝑧 ∈ 𝑍 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))
32	31	expimpd 453	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑟))) → ((𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑌 ∃𝑧 ∈ 𝑍 𝑟 ≤ (𝑦 ∨ 𝑧)) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍)))
33	13, 32	mpd 15	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ (𝑌 + 𝑍)) ∧ 𝑝 ≤ (𝑥 ∨ 𝑟))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287   class class class wbr 5100  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  lecple 17198  joincjn 18248  Latclat 18368  Atomscatm 39668  HLchlt 39755  +_𝑃cpadd 40200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-proset 18231  df-poset 18250  df-plt 18265  df-lub 18281  df-glb 18282  df-join 18283  df-meet 18284  df-p0 18360  df-lat 18369  df-clat 18436  df-oposet 39581  df-ol 39583  df-oml 39584  df-covers 39671  df-ats 39672  df-atl 39703  df-cvlat 39727  df-hlat 39756  df-padd 40201

This theorem is referenced by:  paddasslem16  40240