MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  entrfil Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem entrfil 9135
Description: Transitivity of equinumerosity for finite sets, proved without using the Axiom of Power Sets (unlike entr 8949). (Contributed by BTernaryTau, 10-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
entrfil ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)

Proof of Theorem entrfil
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 8896 . 2 (𝐵𝐶 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐵1-1-onto𝐶)
2 bren 8896 . . 3 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑔 𝑔:𝐴1-1-onto𝐵)
3 exdistrv 1960 . . . . 5 (∃𝑔𝑓(𝑔:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐵1-1-onto𝐶) ↔ (∃𝑔 𝑔:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐵1-1-onto𝐶))
4 19.42vv 1962 . . . . . 6 (∃𝑔𝑓(𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐵1-1-onto𝐶)) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ ∃𝑔𝑓(𝑔:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐵1-1-onto𝐶)))
5 f1oco 6808 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐶𝑔:𝐴1-1-onto𝐵) → (𝑓𝑔):𝐴1-1-onto𝐶)
65ancoms 460 . . . . . . . 8 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐵1-1-onto𝐶) → (𝑓𝑔):𝐴1-1-onto𝐶)
7 f1oenfi 9129 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑓𝑔):𝐴1-1-onto𝐶) → 𝐴𝐶)
86, 7sylan2 594 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐵1-1-onto𝐶)) → 𝐴𝐶)
98exlimivv 1936 . . . . . 6 (∃𝑔𝑓(𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐵1-1-onto𝐶)) → 𝐴𝐶)
104, 9sylbir 234 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∃𝑔𝑓(𝑔:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐵1-1-onto𝐶)) → 𝐴𝐶)
113, 10sylan2br 596 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (∃𝑔 𝑔:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐵1-1-onto𝐶)) → 𝐴𝐶)
12113impb 1116 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐴𝐶)
132, 12syl3an2b 1405 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐴𝐶)
141, 13syl3an3b 1406 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088  wex 1782  wcel 2107   class class class wbr 5106  ccom 5638  1-1-ontowf1o 6496  cen 8883  Fincfn 8886
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-om 7804  df-1o 8413  df-en 8887  df-fin 8890
This theorem is referenced by:  enfii  9136  entrfi  9140  phplem2  9155
  Copyright terms: Public domain W3C validator