Theorem entrfil 9165

Description: Transitivity of equinumerosity for finite sets, proved without using the Axiom of Power Sets (unlike entr 8999). (Contributed by BTernaryTau, 10-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
entrfil	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)

Proof of Theorem entrfil

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bren 8949	. 2 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐶 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶)
2		bren 8949	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ∃𝑔 𝑔:𝐴–1-1-onto→𝐵)
3		exdistrv 1985	. . . . 5 ⊢ (∃𝑔∃𝑓(𝑔:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶) ↔ (∃𝑔 𝑔:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶))
4		19.42vv 1987	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑔∃𝑓(𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑔:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶)) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ ∃𝑔∃𝑓(𝑔:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶)))
5		f1oco 6844	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶 ∧ 𝑔:𝐴–1-1-onto→𝐵) → (𝑓 ∘ 𝑔):𝐴–1-1-onto→𝐶)
6	5	ancoms 463	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑔:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶) → (𝑓 ∘ 𝑔):𝐴–1-1-onto→𝐶)
7		f1oenfi 9159	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑓 ∘ 𝑔):𝐴–1-1-onto→𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)
8	6, 7	sylan2 604	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑔:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶)) → 𝐴 ≈ 𝐶)
9	8	exlimivv 1962	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑔∃𝑓(𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑔:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶)) → 𝐴 ≈ 𝐶)
10	4, 9	sylbir 238	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∃𝑔∃𝑓(𝑔:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶)) → 𝐴 ≈ 𝐶)
11	3, 10	sylan2br 606	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (∃𝑔 𝑔:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶)) → 𝐴 ≈ 𝐶)
12	11	3impb 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)
13	2, 12	syl3an2b 1431	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)
14	1, 13	syl3an3b 1432	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109   ∘ ccom 5665  –1-1-onto→wf1o 6535   ≈ cen 8936  Fincfn 8939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-om 7859  df-1o 8449  df-en 8940  df-fin 8943

This theorem is referenced by:  enfii  9166  entrfi  9170  phplem2  9185