MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  entrfil Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem entrfil 9223
Description: Transitivity of equinumerosity for finite sets, proved without using the Axiom of Power Sets (unlike entr 9045). (Contributed by BTernaryTau, 10-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
entrfil ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)

Proof of Theorem entrfil
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 8994 . 2 (𝐵𝐶 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐵1-1-onto𝐶)
2 bren 8994 . . 3 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑔 𝑔:𝐴1-1-onto𝐵)
3 exdistrv 1953 . . . . 5 (∃𝑔𝑓(𝑔:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐵1-1-onto𝐶) ↔ (∃𝑔 𝑔:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐵1-1-onto𝐶))
4 19.42vv 1955 . . . . . 6 (∃𝑔𝑓(𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐵1-1-onto𝐶)) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ ∃𝑔𝑓(𝑔:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐵1-1-onto𝐶)))
5 f1oco 6872 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐶𝑔:𝐴1-1-onto𝐵) → (𝑓𝑔):𝐴1-1-onto𝐶)
65ancoms 458 . . . . . . . 8 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐵1-1-onto𝐶) → (𝑓𝑔):𝐴1-1-onto𝐶)
7 f1oenfi 9217 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑓𝑔):𝐴1-1-onto𝐶) → 𝐴𝐶)
86, 7sylan2 593 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐵1-1-onto𝐶)) → 𝐴𝐶)
98exlimivv 1930 . . . . . 6 (∃𝑔𝑓(𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑔:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐵1-1-onto𝐶)) → 𝐴𝐶)
104, 9sylbir 235 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∃𝑔𝑓(𝑔:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐵1-1-onto𝐶)) → 𝐴𝐶)
113, 10sylan2br 595 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (∃𝑔 𝑔:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐵1-1-onto𝐶)) → 𝐴𝐶)
12113impb 1114 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐴𝐶)
132, 12syl3an2b 1403 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐴𝐶)
141, 13syl3an3b 1404 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086  wex 1776  wcel 2106   class class class wbr 5148  ccom 5693  1-1-ontowf1o 6562  cen 8981  Fincfn 8984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-om 7888  df-1o 8505  df-en 8985  df-fin 8988
This theorem is referenced by:  enfii  9224  entrfi  9228  phplem2  9243
  Copyright terms: Public domain W3C validator