Theorem rhmf1o 19484

Description: A ring homomorphism is bijective iff its converse is also a ring homomorphism. (Contributed by AV, 22-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmf1o.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rhmf1o.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rhmf1o	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶 ↔ ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)))

Proof of Theorem rhmf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmrcl2 19472	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
2		rhmrcl1 19471	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
3	1, 2	jca 514	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑅 ∈ Ring))
4	3	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶) → (𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑅 ∈ Ring))
5		simpr 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶)
6		rhmghm 19477	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
7	6	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
8		rhmf1o.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9		rhmf1o.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
10	8, 9	ghmf1o 18388	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶 ↔ ◡𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅)))
11	10	bicomd 225	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (◡𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) ↔ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶))
12	7, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶) → (◡𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) ↔ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶))
13	5, 12	mpbird 259	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶) → ◡𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅))
14		eqidd 2822	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 = 𝐹)
15		eqid 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
16	15, 8	mgpbas 19245	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
17	16	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
18		eqid 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
19	18, 9	mgpbas 19245	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐶 = (Base‘(mulGrp‘𝑆)))
21	14, 17, 20	f1oeq123d 6610	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶 ↔ 𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆))))
22	21	biimpa 479	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶) → 𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆)))
23	15, 18	rhmmhm 19474	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
24	23	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
25		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
26		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑆)) = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
27	25, 26	mhmf1o 17966	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)) → (𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆)) ↔ ◡𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑅))))
28	27	bicomd 225	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)) → (◡𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑅)) ↔ 𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆))))
29	24, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶) → (◡𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑅)) ↔ 𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆))))
30	22, 29	mpbird 259	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶) → ◡𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
31	13, 30	jca 514	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶) → (◡𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) ∧ ◡𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑅))))
32	18, 15	isrhm 19473	. . 3 ⊢ (◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅) ↔ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (◡𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) ∧ ◡𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑅)))))
33	4, 31, 32	sylanbrc 585	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶) → ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅))
34	8, 9	rhmf 19478	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
35	34	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
36	35	ffnd 6515	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → 𝐹 Fn 𝐵)
37	9, 8	rhmf 19478	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅) → ◡𝐹:𝐶⟶𝐵)
38	37	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → ◡𝐹:𝐶⟶𝐵)
39	38	ffnd 6515	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → ◡𝐹 Fn 𝐶)
40		dff1o4 6623	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶 ↔ (𝐹 Fn 𝐵 ∧ ◡𝐹 Fn 𝐶))
41	36, 39, 40	sylanbrc 585	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶)
42	33, 41	impbida 799	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶 ↔ ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ^◡ccnv 5554   Fn wfn 6350  ⟶wf 6351  –1-1-onto→wf1o 6354  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  Basecbs 16483   MndHom cmhm 17954   GrpHom cghm 18355  mulGrpcmgp 19239  Ringcrg 19297   RingHom crh 19464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-map 8408  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-plusg 16578  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mhm 17956  df-grp 18106  df-ghm 18356  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-rnghom 19467

This theorem is referenced by:  isrim  19485