Theorem rhmf1o 19568

Description: A ring homomorphism is bijective iff its converse is also a ring homomorphism. (Contributed by AV, 22-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmf1o.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rhmf1o.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rhmf1o	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶 ↔ ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)))

Proof of Theorem rhmf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmrcl2 19556	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
2		rhmrcl1 19555	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
3	1, 2	jca 515	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑅 ∈ Ring))
4	3	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶) → (𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑅 ∈ Ring))
5		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶)
6		rhmghm 19561	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
7	6	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
8		rhmf1o.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9		rhmf1o.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
10	8, 9	ghmf1o 18468	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶 ↔ ◡𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅)))
11	10	bicomd 226	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (◡𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) ↔ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶))
12	7, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶) → (◡𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) ↔ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶))
13	5, 12	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶) → ◡𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅))
14		eqidd 2759	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 = 𝐹)
15		eqid 2758	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
16	15, 8	mgpbas 19326	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
17	16	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
18		eqid 2758	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
19	18, 9	mgpbas 19326	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐶 = (Base‘(mulGrp‘𝑆)))
21	14, 17, 20	f1oeq123d 6601	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶 ↔ 𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆))))
22	21	biimpa 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶) → 𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆)))
23	15, 18	rhmmhm 19558	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
24	23	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
25		eqid 2758	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
26		eqid 2758	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑆)) = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
27	25, 26	mhmf1o 18045	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)) → (𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆)) ↔ ◡𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑅))))
28	27	bicomd 226	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)) → (◡𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑅)) ↔ 𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆))))
29	24, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶) → (◡𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑅)) ↔ 𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆))))
30	22, 29	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶) → ◡𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
31	13, 30	jca 515	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶) → (◡𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) ∧ ◡𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑅))))
32	18, 15	isrhm 19557	. . 3 ⊢ (◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅) ↔ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (◡𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) ∧ ◡𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑅)))))
33	4, 31, 32	sylanbrc 586	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶) → ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅))
34	8, 9	rhmf 19562	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
35	34	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
36	35	ffnd 6504	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → 𝐹 Fn 𝐵)
37	9, 8	rhmf 19562	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅) → ◡𝐹:𝐶⟶𝐵)
38	37	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → ◡𝐹:𝐶⟶𝐵)
39	38	ffnd 6504	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → ◡𝐹 Fn 𝐶)
40		dff1o4 6615	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶 ↔ (𝐹 Fn 𝐵 ∧ ◡𝐹 Fn 𝐶))
41	36, 39, 40	sylanbrc 586	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶)
42	33, 41	impbida 800	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶 ↔ ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ^◡ccnv 5527   Fn wfn 6335  ⟶wf 6336  –1-1-onto→wf1o 6339  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  Basecbs 16554   MndHom cmhm 18033   GrpHom cghm 18435  mulGrpcmgp 19320  Ringcrg 19378   RingHom crh 19548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-er 8305  df-map 8424  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-ndx 16557  df-slot 16558  df-base 16560  df-sets 16561  df-plusg 16649  df-0g 16786  df-mgm 17931  df-sgrp 17980  df-mnd 17991  df-mhm 18035  df-grp 18185  df-ghm 18436  df-mgp 19321  df-ur 19333  df-ring 19380  df-rnghom 19551

This theorem is referenced by:  isrim  19569