Theorem rhmf1o 20430

Description: A ring homomorphism is bijective iff its converse is also a ring homomorphism. (Contributed by AV, 22-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmf1o.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rhmf1o.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rhmf1o	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶 ↔ ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)))

Proof of Theorem rhmf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmrcl2 20416	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
2		rhmrcl1 20415	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
3	1, 2	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑅 ∈ Ring))
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶) → (𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑅 ∈ Ring))
5		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶)
6		rhmghm 20423	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
7	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
8		rhmf1o.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9		rhmf1o.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
10	8, 9	ghmf1o 19202	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶 ↔ ◡𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅)))
11	10	bicomd 222	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (◡𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) ↔ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶))
12	7, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶) → (◡𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) ↔ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶))
13	5, 12	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶) → ◡𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅))
14		eqidd 2729	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 = 𝐹)
15		eqid 2728	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
16	15, 8	mgpbas 20080	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
17	16	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
18		eqid 2728	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
19	18, 9	mgpbas 20080	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐶 = (Base‘(mulGrp‘𝑆)))
21	14, 17, 20	f1oeq123d 6833	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶 ↔ 𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆))))
22	21	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶) → 𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆)))
23	15, 18	rhmmhm 20418	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
24	23	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
25		eqid 2728	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
26		eqid 2728	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑆)) = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
27	25, 26	mhmf1o 18753	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)) → (𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆)) ↔ ◡𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑅))))
28	27	bicomd 222	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)) → (◡𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑅)) ↔ 𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆))))
29	24, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶) → (◡𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑅)) ↔ 𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆))))
30	22, 29	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶) → ◡𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
31	13, 30	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶) → (◡𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) ∧ ◡𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑅))))
32	18, 15	isrhm 20417	. . 3 ⊢ (◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅) ↔ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (◡𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) ∧ ◡𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑅)))))
33	4, 31, 32	sylanbrc 582	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶) → ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅))
34	8, 9	rhmf 20424	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
35	34	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
36	35	ffnd 6723	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → 𝐹 Fn 𝐵)
37	9, 8	rhmf 20424	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅) → ◡𝐹:𝐶⟶𝐵)
38	37	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → ◡𝐹:𝐶⟶𝐵)
39	38	ffnd 6723	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → ◡𝐹 Fn 𝐶)
40		dff1o4 6847	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶 ↔ (𝐹 Fn 𝐵 ∧ ◡𝐹 Fn 𝐶))
41	36, 39, 40	sylanbrc 582	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶)
42	33, 41	impbida 800	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶 ↔ ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ^◡ccnv 5677   Fn wfn 6543  ⟶wf 6544  –1-1-onto→wf1o 6547  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180   MndHom cmhm 18738   GrpHom cghm 19167  mulGrpcmgp 20074  Ringcrg 20173   RingHom crh 20408

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-plusg 17246  df-0g 17423  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-mhm 18740  df-grp 18893  df-ghm 19168  df-mgp 20075  df-ur 20122  df-ring 20175  df-rhm 20411

This theorem is referenced by:  isrim  20431  isrimOLD  20432