Theorem rhmf1o 20517

Description: A ring homomorphism is bijective iff its converse is also a ring homomorphism. (Contributed by AV, 22-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmf1o.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rhmf1o.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rhmf1o	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶 ↔ ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)))

Proof of Theorem rhmf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmrcl2 20503	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
2		rhmrcl1 20502	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
3	1, 2	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑅 ∈ Ring))
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶) → (𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑅 ∈ Ring))
5		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶)
6		rhmghm 20510	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
7	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
8		rhmf1o.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9		rhmf1o.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
10	8, 9	ghmf1o 19288	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶 ↔ ◡𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅)))
11	10	bicomd 223	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (◡𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) ↔ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶))
12	7, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶) → (◡𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) ↔ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶))
13	5, 12	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶) → ◡𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅))
14		eqidd 2741	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 = 𝐹)
15		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
16	15, 8	mgpbas 20167	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
17	16	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
18		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
19	18, 9	mgpbas 20167	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐶 = (Base‘(mulGrp‘𝑆)))
21	14, 17, 20	f1oeq123d 6856	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶 ↔ 𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆))))
22	21	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶) → 𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆)))
23	15, 18	rhmmhm 20505	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
24	23	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
25		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
26		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑆)) = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
27	25, 26	mhmf1o 18831	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)) → (𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆)) ↔ ◡𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑅))))
28	27	bicomd 223	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)) → (◡𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑅)) ↔ 𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆))))
29	24, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶) → (◡𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑅)) ↔ 𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆))))
30	22, 29	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶) → ◡𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
31	13, 30	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶) → (◡𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) ∧ ◡𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑅))))
32	18, 15	isrhm 20504	. . 3 ⊢ (◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅) ↔ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (◡𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) ∧ ◡𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑅)))))
33	4, 31, 32	sylanbrc 582	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶) → ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅))
34	8, 9	rhmf 20511	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
35	34	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
36	35	ffnd 6748	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → 𝐹 Fn 𝐵)
37	9, 8	rhmf 20511	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅) → ◡𝐹:𝐶⟶𝐵)
38	37	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → ◡𝐹:𝐶⟶𝐵)
39	38	ffnd 6748	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → ◡𝐹 Fn 𝐶)
40		dff1o4 6870	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶 ↔ (𝐹 Fn 𝐵 ∧ ◡𝐹 Fn 𝐶))
41	36, 39, 40	sylanbrc 582	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶)
42	33, 41	impbida 800	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶 ↔ ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ^◡ccnv 5699   Fn wfn 6568  ⟶wf 6569  –1-1-onto→wf1o 6572  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258   MndHom cmhm 18816   GrpHom cghm 19252  mulGrpcmgp 20161  Ringcrg 20260   RingHom crh 20495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-grp 18976  df-ghm 19253  df-mgp 20162  df-ur 20209  df-ring 20262  df-rhm 20498

This theorem is referenced by:  isrim  20518  isrimOLD  20519