Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rhmf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmf1o 19568
 Description: A ring homomorphism is bijective iff its converse is also a ring homomorphism. (Contributed by AV, 22-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmf1o.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rhmf1o.c 𝐶 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
rhmf1o (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹:𝐵1-1-onto𝐶𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)))

Proof of Theorem rhmf1o
StepHypRef Expression
1 rhmrcl2 19556 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
2 rhmrcl1 19555 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
31, 2jca 515 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑅 ∈ Ring))
43adantr 484 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → (𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑅 ∈ Ring))
5 simpr 488 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶)
6 rhmghm 19561 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
76adantr 484 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
8 rhmf1o.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑅)
9 rhmf1o.c . . . . . . . 8 𝐶 = (Base‘𝑆)
108, 9ghmf1o 18468 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐹:𝐵1-1-onto𝐶𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅)))
1110bicomd 226 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) ↔ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶))
127, 11syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) ↔ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶))
135, 12mpbird 260 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅))
14 eqidd 2759 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 = 𝐹)
15 eqid 2758 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
1615, 8mgpbas 19326 . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
1716a1i 11 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
18 eqid 2758 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
1918, 9mgpbas 19326 . . . . . . . 8 𝐶 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
2019a1i 11 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐶 = (Base‘(mulGrp‘𝑆)))
2114, 17, 20f1oeq123d 6601 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹:𝐵1-1-onto𝐶𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆))))
2221biimpa 480 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆)))
2315, 18rhmmhm 19558 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
2423adantr 484 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
25 eqid 2758 . . . . . . . 8 (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
26 eqid 2758 . . . . . . . 8 (Base‘(mulGrp‘𝑆)) = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
2725, 26mhmf1o 18045 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)) → (𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆)) ↔ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑅))))
2827bicomd 226 . . . . . 6 (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)) → (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑅)) ↔ 𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆))))
2924, 28syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑅)) ↔ 𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆))))
3022, 29mpbird 260 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
3113, 30jca 515 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑅))))
3218, 15isrhm 19557 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅) ↔ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑅)))))
334, 31, 32sylanbrc 586 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅))
348, 9rhmf 19562 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵𝐶)
3534adantr 484 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → 𝐹:𝐵𝐶)
3635ffnd 6504 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → 𝐹 Fn 𝐵)
379, 8rhmf 19562 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅) → 𝐹:𝐶𝐵)
3837adantl 485 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → 𝐹:𝐶𝐵)
3938ffnd 6504 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → 𝐹 Fn 𝐶)
40 dff1o4 6615 . . 3 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐶 ↔ (𝐹 Fn 𝐵𝐹 Fn 𝐶))
4136, 39, 40sylanbrc 586 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶)
4233, 41impbida 800 1 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹:𝐵1-1-onto𝐶𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ◡ccnv 5527   Fn wfn 6335  ⟶wf 6336  –1-1-onto→wf1o 6339  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  Basecbs 16554   MndHom cmhm 18033   GrpHom cghm 18435  mulGrpcmgp 19320  Ringcrg 19378   RingHom crh 19548 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-er 8305  df-map 8424  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-ndx 16557  df-slot 16558  df-base 16560  df-sets 16561  df-plusg 16649  df-0g 16786  df-mgm 17931  df-sgrp 17980  df-mnd 17991  df-mhm 18035  df-grp 18185  df-ghm 18436  df-mgp 19321  df-ur 19333  df-ring 19380  df-rnghom 19551 This theorem is referenced by:  isrim  19569
 Copyright terms: Public domain W3C validator