Theorem rhmf1o 20441

Description: A ring homomorphism is bijective iff its converse is also a ring homomorphism. (Contributed by AV, 22-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmf1o.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rhmf1o.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rhmf1o	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶 ↔ ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)))

Proof of Theorem rhmf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmrcl2 20428	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
2		rhmrcl1 20427	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
3	1, 2	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑅 ∈ Ring))
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶) → (𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑅 ∈ Ring))
5		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶)
6		rhmghm 20434	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
7	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
8		rhmf1o.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9		rhmf1o.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
10	8, 9	ghmf1o 19192	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶 ↔ ◡𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅)))
11	10	bicomd 223	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (◡𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) ↔ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶))
12	7, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶) → (◡𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) ↔ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶))
13	5, 12	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶) → ◡𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅))
14		eqidd 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 = 𝐹)
15		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
16	15, 8	mgpbas 20095	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
17	16	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
18		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
19	18, 9	mgpbas 20095	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐶 = (Base‘(mulGrp‘𝑆)))
21	14, 17, 20	f1oeq123d 6776	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶 ↔ 𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆))))
22	21	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶) → 𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆)))
23	15, 18	rhmmhm 20430	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
24	23	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
25		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
26		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑆)) = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
27	25, 26	mhmf1o 18733	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)) → (𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆)) ↔ ◡𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑅))))
28	27	bicomd 223	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)) → (◡𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑅)) ↔ 𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆))))
29	24, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶) → (◡𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑅)) ↔ 𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆))))
30	22, 29	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶) → ◡𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
31	13, 30	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶) → (◡𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) ∧ ◡𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑅))))
32	18, 15	isrhm 20429	. . 3 ⊢ (◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅) ↔ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (◡𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) ∧ ◡𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑅)))))
33	4, 31, 32	sylanbrc 584	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶) → ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅))
34	8, 9	rhmf 20435	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
35	34	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
36	35	ffnd 6671	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → 𝐹 Fn 𝐵)
37	9, 8	rhmf 20435	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅) → ◡𝐹:𝐶⟶𝐵)
38	37	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → ◡𝐹:𝐶⟶𝐵)
39	38	ffnd 6671	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → ◡𝐹 Fn 𝐶)
40		dff1o4 6790	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶 ↔ (𝐹 Fn 𝐵 ∧ ◡𝐹 Fn 𝐶))
41	36, 39, 40	sylanbrc 584	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶)
42	33, 41	impbida 801	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶 ↔ ◡𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ^◡ccnv 5631   Fn wfn 6495  ⟶wf 6496  –1-1-onto→wf1o 6499  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148   MndHom cmhm 18718   GrpHom cghm 19156  mulGrpcmgp 20090  Ringcrg 20183   RingHom crh 20420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-plusg 17202  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mhm 18720  df-grp 18881  df-ghm 19157  df-mgp 20091  df-ur 20132  df-ring 20185  df-rhm 20423

This theorem is referenced by:  isrim  20442