MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rhmf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmf1o 20391
Description: A ring homomorphism is bijective iff its converse is also a ring homomorphism. (Contributed by AV, 22-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmf1o.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rhmf1o.c 𝐶 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
rhmf1o (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹:𝐵1-1-onto𝐶𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)))

Proof of Theorem rhmf1o
StepHypRef Expression
1 rhmrcl2 20377 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
2 rhmrcl1 20376 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
31, 2jca 511 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑅 ∈ Ring))
43adantr 480 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → (𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑅 ∈ Ring))
5 simpr 484 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶)
6 rhmghm 20384 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
76adantr 480 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
8 rhmf1o.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑅)
9 rhmf1o.c . . . . . . . 8 𝐶 = (Base‘𝑆)
108, 9ghmf1o 19171 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐹:𝐵1-1-onto𝐶𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅)))
1110bicomd 222 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) ↔ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶))
127, 11syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) ↔ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶))
135, 12mpbird 257 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅))
14 eqidd 2727 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 = 𝐹)
15 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
1615, 8mgpbas 20043 . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
1716a1i 11 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
18 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
1918, 9mgpbas 20043 . . . . . . . 8 𝐶 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
2019a1i 11 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐶 = (Base‘(mulGrp‘𝑆)))
2114, 17, 20f1oeq123d 6820 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹:𝐵1-1-onto𝐶𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆))))
2221biimpa 476 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆)))
2315, 18rhmmhm 20379 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
2423adantr 480 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
25 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
26 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Base‘(mulGrp‘𝑆)) = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
2725, 26mhmf1o 18724 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)) → (𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆)) ↔ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑅))))
2827bicomd 222 . . . . . 6 (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)) → (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑅)) ↔ 𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆))))
2924, 28syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑅)) ↔ 𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆))))
3022, 29mpbird 257 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
3113, 30jca 511 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑅))))
3218, 15isrhm 20378 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅) ↔ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑅)))))
334, 31, 32sylanbrc 582 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅))
348, 9rhmf 20385 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵𝐶)
3534adantr 480 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → 𝐹:𝐵𝐶)
3635ffnd 6711 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → 𝐹 Fn 𝐵)
379, 8rhmf 20385 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅) → 𝐹:𝐶𝐵)
3837adantl 481 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → 𝐹:𝐶𝐵)
3938ffnd 6711 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → 𝐹 Fn 𝐶)
40 dff1o4 6834 . . 3 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐶 ↔ (𝐹 Fn 𝐵𝐹 Fn 𝐶))
4136, 39, 40sylanbrc 582 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶)
4233, 41impbida 798 1 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹:𝐵1-1-onto𝐶𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  ccnv 5668   Fn wfn 6531  wf 6532  1-1-ontowf1o 6535  cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17151   MndHom cmhm 18709   GrpHom cghm 19136  mulGrpcmgp 20037  Ringcrg 20136   RingHom crh 20369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-grp 18864  df-ghm 19137  df-mgp 20038  df-ur 20085  df-ring 20138  df-rhm 20372
This theorem is referenced by:  isrim  20392  isrimOLD  20393
  Copyright terms: Public domain W3C validator