MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rhmf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmf1o 20165
Description: A ring homomorphism is bijective iff its converse is also a ring homomorphism. (Contributed by AV, 22-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmf1o.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rhmf1o.c 𝐶 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
rhmf1o (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹:𝐵1-1-onto𝐶𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)))

Proof of Theorem rhmf1o
StepHypRef Expression
1 rhmrcl2 20152 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
2 rhmrcl1 20151 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
31, 2jca 513 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑅 ∈ Ring))
43adantr 482 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → (𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑅 ∈ Ring))
5 simpr 486 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶)
6 rhmghm 20158 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
76adantr 482 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
8 rhmf1o.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑅)
9 rhmf1o.c . . . . . . . 8 𝐶 = (Base‘𝑆)
108, 9ghmf1o 19039 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐹:𝐵1-1-onto𝐶𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅)))
1110bicomd 222 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) ↔ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶))
127, 11syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) ↔ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶))
135, 12mpbird 257 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅))
14 eqidd 2738 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 = 𝐹)
15 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
1615, 8mgpbas 19903 . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
1716a1i 11 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
18 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
1918, 9mgpbas 19903 . . . . . . . 8 𝐶 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
2019a1i 11 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐶 = (Base‘(mulGrp‘𝑆)))
2114, 17, 20f1oeq123d 6779 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹:𝐵1-1-onto𝐶𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆))))
2221biimpa 478 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆)))
2315, 18rhmmhm 20154 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
2423adantr 482 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
25 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
26 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Base‘(mulGrp‘𝑆)) = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
2725, 26mhmf1o 18613 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)) → (𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆)) ↔ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑅))))
2827bicomd 222 . . . . . 6 (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)) → (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑅)) ↔ 𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆))))
2924, 28syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑅)) ↔ 𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆))))
3022, 29mpbird 257 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
3113, 30jca 513 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑅))))
3218, 15isrhm 20153 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅) ↔ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑅)))))
334, 31, 32sylanbrc 584 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅))
348, 9rhmf 20159 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵𝐶)
3534adantr 482 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → 𝐹:𝐵𝐶)
3635ffnd 6670 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → 𝐹 Fn 𝐵)
379, 8rhmf 20159 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅) → 𝐹:𝐶𝐵)
3837adantl 483 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → 𝐹:𝐶𝐵)
3938ffnd 6670 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → 𝐹 Fn 𝐶)
40 dff1o4 6793 . . 3 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐶 ↔ (𝐹 Fn 𝐵𝐹 Fn 𝐶))
4136, 39, 40sylanbrc 584 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶)
4233, 41impbida 800 1 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹:𝐵1-1-onto𝐶𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  ccnv 5633   Fn wfn 6492  wf 6493  1-1-ontowf1o 6496  cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17084   MndHom cmhm 18600   GrpHom cghm 19006  mulGrpcmgp 19897  Ringcrg 19965   RingHom crh 20144
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-map 8768  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-plusg 17147  df-0g 17324  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-mhm 18602  df-grp 18752  df-ghm 19007  df-mgp 19898  df-ur 19915  df-ring 19967  df-rnghom 20147
This theorem is referenced by:  isrim  20166  isrimOLD  20167
  Copyright terms: Public domain W3C validator