Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  symgcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgcom 32827
Description: Two permutations 𝑋 and 𝑌 commute if their orbits are disjoint. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
symgcom.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgcom.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
symgcom.x (𝜑𝑋𝐵)
symgcom.y (𝜑𝑌𝐵)
symgcom.1 (𝜑 → (𝑋𝐸) = ( I ↾ 𝐸))
symgcom.2 (𝜑 → (𝑌𝐹) = ( I ↾ 𝐹))
symgcom.3 (𝜑 → (𝐸𝐹) = ∅)
symgcom.4 (𝜑 → (𝐸𝐹) = 𝐴)
Assertion
Ref Expression
symgcom (𝜑 → (𝑋𝑌) = (𝑌𝑋))

Proof of Theorem symgcom
StepHypRef Expression
1 symgcom.4 . . . 4 (𝜑 → (𝐸𝐹) = 𝐴)
21reseq2d 5989 . . 3 (𝜑 → ((𝑋𝑌) ↾ (𝐸𝐹)) = ((𝑋𝑌) ↾ 𝐴))
3 resundi 6003 . . . 4 ((𝑋𝑌) ↾ (𝐸𝐹)) = (((𝑋𝑌) ↾ 𝐸) ∪ ((𝑋𝑌) ↾ 𝐹))
4 resco 6259 . . . . . . 7 ((𝑋𝑌) ↾ 𝐸) = (𝑋 ∘ (𝑌𝐸))
5 symgcom.y . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑌𝐵)
6 symgcom.g . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
7 symgcom.b . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐵 = (Base‘𝐺)
86, 7symgbasf1o 19336 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌𝐵𝑌:𝐴1-1-onto𝐴)
95, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌:𝐴1-1-onto𝐴)
10 f1ocnv 6856 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌:𝐴1-1-onto𝐴𝑌:𝐴1-1-onto𝐴)
11 f1ofun 6846 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌:𝐴1-1-onto𝐴 → Fun 𝑌)
129, 10, 113syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Fun 𝑌)
13 f1ofn 6845 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌:𝐴1-1-onto𝐴𝑌 Fn 𝐴)
14 fnresdm 6679 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌 Fn 𝐴 → (𝑌𝐴) = 𝑌)
159, 13, 143syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑌𝐴) = 𝑌)
16 f1ofo 6851 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌:𝐴1-1-onto𝐴𝑌:𝐴onto𝐴)
179, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌:𝐴onto𝐴)
18 foeq1 6812 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑌𝐴) = 𝑌 → ((𝑌𝐴):𝐴onto𝐴𝑌:𝐴onto𝐴))
1918biimpar 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑌𝐴) = 𝑌𝑌:𝐴onto𝐴) → (𝑌𝐴):𝐴onto𝐴)
2015, 17, 19syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌𝐴):𝐴onto𝐴)
21 symgcom.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑌𝐹) = ( I ↾ 𝐹))
22 f1oi 6882 . . . . . . . . . . . . . 14 ( I ↾ 𝐹):𝐹1-1-onto𝐹
23 f1ofo 6851 . . . . . . . . . . . . . 14 (( I ↾ 𝐹):𝐹1-1-onto𝐹 → ( I ↾ 𝐹):𝐹onto𝐹)
2422, 23mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ( I ↾ 𝐹):𝐹onto𝐹)
25 foeq1 6812 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑌𝐹) = ( I ↾ 𝐹) → ((𝑌𝐹):𝐹onto𝐹 ↔ ( I ↾ 𝐹):𝐹onto𝐹))
2625biimpar 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑌𝐹) = ( I ↾ 𝐹) ∧ ( I ↾ 𝐹):𝐹onto𝐹) → (𝑌𝐹):𝐹onto𝐹)
2721, 24, 26syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌𝐹):𝐹onto𝐹)
28 resdif 6865 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun 𝑌 ∧ (𝑌𝐴):𝐴onto𝐴 ∧ (𝑌𝐹):𝐹onto𝐹) → (𝑌 ↾ (𝐴𝐹)):(𝐴𝐹)–1-1-onto→(𝐴𝐹))
2912, 20, 27, 28syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌 ↾ (𝐴𝐹)):(𝐴𝐹)–1-1-onto→(𝐴𝐹))
30 ssun2 4175 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐹 ⊆ (𝐸𝐹)
3130, 1sseqtrid 4034 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹𝐴)
32 incom 4203 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐸𝐹) = (𝐹𝐸)
33 symgcom.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐸𝐹) = ∅)
3432, 33eqtr3id 2782 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹𝐸) = ∅)
35 uncom 4154 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐸𝐹) = (𝐹𝐸)
3635, 1eqtr3id 2782 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹𝐸) = 𝐴)
37 uneqdifeq 4496 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝐴 ∧ (𝐹𝐸) = ∅) → ((𝐹𝐸) = 𝐴 ↔ (𝐴𝐹) = 𝐸))
3837biimpa 475 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝐴 ∧ (𝐹𝐸) = ∅) ∧ (𝐹𝐸) = 𝐴) → (𝐴𝐹) = 𝐸)
3931, 34, 36, 38syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴𝐹) = 𝐸)
4039reseq2d 5989 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌 ↾ (𝐴𝐹)) = (𝑌𝐸))
4140, 39, 39f1oeq123d 6838 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑌 ↾ (𝐴𝐹)):(𝐴𝐹)–1-1-onto→(𝐴𝐹) ↔ (𝑌𝐸):𝐸1-1-onto𝐸))
4229, 41mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌𝐸):𝐸1-1-onto𝐸)
43 f1of 6844 . . . . . . . . . 10 ((𝑌𝐸):𝐸1-1-onto𝐸 → (𝑌𝐸):𝐸𝐸)
4442, 43syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌𝐸):𝐸𝐸)
4544frnd 6735 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran (𝑌𝐸) ⊆ 𝐸)
46 cores 6258 . . . . . . . 8 (ran (𝑌𝐸) ⊆ 𝐸 → ((𝑋𝐸) ∘ (𝑌𝐸)) = (𝑋 ∘ (𝑌𝐸)))
4745, 46syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋𝐸) ∘ (𝑌𝐸)) = (𝑋 ∘ (𝑌𝐸)))
484, 47eqtr4id 2787 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋𝑌) ↾ 𝐸) = ((𝑋𝐸) ∘ (𝑌𝐸)))
49 symgcom.1 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋𝐸) = ( I ↾ 𝐸))
5049coeq1d 5868 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋𝐸) ∘ (𝑌𝐸)) = (( I ↾ 𝐸) ∘ (𝑌𝐸)))
51 fcoi2 6777 . . . . . . 7 ((𝑌𝐸):𝐸𝐸 → (( I ↾ 𝐸) ∘ (𝑌𝐸)) = (𝑌𝐸))
5244, 51syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (( I ↾ 𝐸) ∘ (𝑌𝐸)) = (𝑌𝐸))
5348, 50, 523eqtrd 2772 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋𝑌) ↾ 𝐸) = (𝑌𝐸))
54 resco 6259 . . . . . 6 ((𝑋𝑌) ↾ 𝐹) = (𝑋 ∘ (𝑌𝐹))
5521coeq2d 5869 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 ∘ (𝑌𝐹)) = (𝑋 ∘ ( I ↾ 𝐹)))
56 coires1 6273 . . . . . . 7 (𝑋 ∘ ( I ↾ 𝐹)) = (𝑋𝐹)
5755, 56eqtrdi 2784 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 ∘ (𝑌𝐹)) = (𝑋𝐹))
5854, 57eqtrid 2780 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋𝑌) ↾ 𝐹) = (𝑋𝐹))
5953, 58uneq12d 4165 . . . 4 (𝜑 → (((𝑋𝑌) ↾ 𝐸) ∪ ((𝑋𝑌) ↾ 𝐹)) = ((𝑌𝐸) ∪ (𝑋𝐹)))
603, 59eqtrid 2780 . . 3 (𝜑 → ((𝑋𝑌) ↾ (𝐸𝐹)) = ((𝑌𝐸) ∪ (𝑋𝐹)))
61 symgcom.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐵)
626, 7symgbasf1o 19336 . . . . . 6 (𝑋𝐵𝑋:𝐴1-1-onto𝐴)
6361, 62syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑋:𝐴1-1-onto𝐴)
64 f1oco 6867 . . . . 5 ((𝑋:𝐴1-1-onto𝐴𝑌:𝐴1-1-onto𝐴) → (𝑋𝑌):𝐴1-1-onto𝐴)
6563, 9, 64syl2anc 582 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝑌):𝐴1-1-onto𝐴)
66 f1ofn 6845 . . . 4 ((𝑋𝑌):𝐴1-1-onto𝐴 → (𝑋𝑌) Fn 𝐴)
67 fnresdm 6679 . . . 4 ((𝑋𝑌) Fn 𝐴 → ((𝑋𝑌) ↾ 𝐴) = (𝑋𝑌))
6865, 66, 673syl 18 . . 3 (𝜑 → ((𝑋𝑌) ↾ 𝐴) = (𝑋𝑌))
692, 60, 683eqtr3d 2776 . 2 (𝜑 → ((𝑌𝐸) ∪ (𝑋𝐹)) = (𝑋𝑌))
701reseq2d 5989 . . 3 (𝜑 → ((𝑌𝑋) ↾ (𝐸𝐹)) = ((𝑌𝑋) ↾ 𝐴))
71 resundi 6003 . . . 4 ((𝑌𝑋) ↾ (𝐸𝐹)) = (((𝑌𝑋) ↾ 𝐸) ∪ ((𝑌𝑋) ↾ 𝐹))
72 resco 6259 . . . . . 6 ((𝑌𝑋) ↾ 𝐸) = (𝑌 ∘ (𝑋𝐸))
7349coeq2d 5869 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑌 ∘ (𝑋𝐸)) = (𝑌 ∘ ( I ↾ 𝐸)))
74 coires1 6273 . . . . . . 7 (𝑌 ∘ ( I ↾ 𝐸)) = (𝑌𝐸)
7573, 74eqtrdi 2784 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌 ∘ (𝑋𝐸)) = (𝑌𝐸))
7672, 75eqtrid 2780 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑌𝑋) ↾ 𝐸) = (𝑌𝐸))
77 resco 6259 . . . . . . 7 ((𝑌𝑋) ↾ 𝐹) = (𝑌 ∘ (𝑋𝐹))
78 f1ocnv 6856 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋:𝐴1-1-onto𝐴𝑋:𝐴1-1-onto𝐴)
79 f1ofun 6846 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋:𝐴1-1-onto𝐴 → Fun 𝑋)
8063, 78, 793syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Fun 𝑋)
81 f1ofn 6845 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋:𝐴1-1-onto𝐴𝑋 Fn 𝐴)
82 fnresdm 6679 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 Fn 𝐴 → (𝑋𝐴) = 𝑋)
8363, 81, 823syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋𝐴) = 𝑋)
84 f1ofo 6851 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋:𝐴1-1-onto𝐴𝑋:𝐴onto𝐴)
8563, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋:𝐴onto𝐴)
86 foeq1 6812 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋𝐴) = 𝑋 → ((𝑋𝐴):𝐴onto𝐴𝑋:𝐴onto𝐴))
8786biimpar 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋𝐴) = 𝑋𝑋:𝐴onto𝐴) → (𝑋𝐴):𝐴onto𝐴)
8883, 85, 87syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋𝐴):𝐴onto𝐴)
89 f1oi 6882 . . . . . . . . . . . . . 14 ( I ↾ 𝐸):𝐸1-1-onto𝐸
90 f1ofo 6851 . . . . . . . . . . . . . 14 (( I ↾ 𝐸):𝐸1-1-onto𝐸 → ( I ↾ 𝐸):𝐸onto𝐸)
9189, 90mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ( I ↾ 𝐸):𝐸onto𝐸)
92 foeq1 6812 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋𝐸) = ( I ↾ 𝐸) → ((𝑋𝐸):𝐸onto𝐸 ↔ ( I ↾ 𝐸):𝐸onto𝐸))
9392biimpar 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋𝐸) = ( I ↾ 𝐸) ∧ ( I ↾ 𝐸):𝐸onto𝐸) → (𝑋𝐸):𝐸onto𝐸)
9449, 91, 93syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋𝐸):𝐸onto𝐸)
95 resdif 6865 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun 𝑋 ∧ (𝑋𝐴):𝐴onto𝐴 ∧ (𝑋𝐸):𝐸onto𝐸) → (𝑋 ↾ (𝐴𝐸)):(𝐴𝐸)–1-1-onto→(𝐴𝐸))
9680, 88, 94, 95syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋 ↾ (𝐴𝐸)):(𝐴𝐸)–1-1-onto→(𝐴𝐸))
97 ssun1 4174 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐸 ⊆ (𝐸𝐹)
9897, 1sseqtrid 4034 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐸𝐴)
99 uneqdifeq 4496 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐸𝐴 ∧ (𝐸𝐹) = ∅) → ((𝐸𝐹) = 𝐴 ↔ (𝐴𝐸) = 𝐹))
10099biimpa 475 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐸𝐴 ∧ (𝐸𝐹) = ∅) ∧ (𝐸𝐹) = 𝐴) → (𝐴𝐸) = 𝐹)
10198, 33, 1, 100syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴𝐸) = 𝐹)
102101reseq2d 5989 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋 ↾ (𝐴𝐸)) = (𝑋𝐹))
103102, 101, 101f1oeq123d 6838 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑋 ↾ (𝐴𝐸)):(𝐴𝐸)–1-1-onto→(𝐴𝐸) ↔ (𝑋𝐹):𝐹1-1-onto𝐹))
10496, 103mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋𝐹):𝐹1-1-onto𝐹)
105 f1of 6844 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝐹):𝐹1-1-onto𝐹 → (𝑋𝐹):𝐹𝐹)
106104, 105syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋𝐹):𝐹𝐹)
107106frnd 6735 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran (𝑋𝐹) ⊆ 𝐹)
108 cores 6258 . . . . . . . 8 (ran (𝑋𝐹) ⊆ 𝐹 → ((𝑌𝐹) ∘ (𝑋𝐹)) = (𝑌 ∘ (𝑋𝐹)))
109107, 108syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑌𝐹) ∘ (𝑋𝐹)) = (𝑌 ∘ (𝑋𝐹)))
11077, 109eqtr4id 2787 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑌𝑋) ↾ 𝐹) = ((𝑌𝐹) ∘ (𝑋𝐹)))
11121coeq1d 5868 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑌𝐹) ∘ (𝑋𝐹)) = (( I ↾ 𝐹) ∘ (𝑋𝐹)))
112 fcoi2 6777 . . . . . . 7 ((𝑋𝐹):𝐹𝐹 → (( I ↾ 𝐹) ∘ (𝑋𝐹)) = (𝑋𝐹))
113106, 112syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (( I ↾ 𝐹) ∘ (𝑋𝐹)) = (𝑋𝐹))
114110, 111, 1133eqtrd 2772 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑌𝑋) ↾ 𝐹) = (𝑋𝐹))
11576, 114uneq12d 4165 . . . 4 (𝜑 → (((𝑌𝑋) ↾ 𝐸) ∪ ((𝑌𝑋) ↾ 𝐹)) = ((𝑌𝐸) ∪ (𝑋𝐹)))
11671, 115eqtrid 2780 . . 3 (𝜑 → ((𝑌𝑋) ↾ (𝐸𝐹)) = ((𝑌𝐸) ∪ (𝑋𝐹)))
117 f1oco 6867 . . . . 5 ((𝑌:𝐴1-1-onto𝐴𝑋:𝐴1-1-onto𝐴) → (𝑌𝑋):𝐴1-1-onto𝐴)
1189, 63, 117syl2anc 582 . . . 4 (𝜑 → (𝑌𝑋):𝐴1-1-onto𝐴)
119 f1ofn 6845 . . . 4 ((𝑌𝑋):𝐴1-1-onto𝐴 → (𝑌𝑋) Fn 𝐴)
120 fnresdm 6679 . . . 4 ((𝑌𝑋) Fn 𝐴 → ((𝑌𝑋) ↾ 𝐴) = (𝑌𝑋))
121118, 119, 1203syl 18 . . 3 (𝜑 → ((𝑌𝑋) ↾ 𝐴) = (𝑌𝑋))
12270, 116, 1213eqtr3d 2776 . 2 (𝜑 → ((𝑌𝐸) ∪ (𝑋𝐹)) = (𝑌𝑋))
12369, 122eqtr3d 2770 1 (𝜑 → (𝑋𝑌) = (𝑌𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  cdif 3946  cun 3947  cin 3948  wss 3949  c0 4326   I cid 5579  ccnv 5681  ran crn 5683  cres 5684  ccom 5686  Fun wfun 6547   Fn wfn 6548  wf 6549  ontowfo 6551  1-1-ontowf1o 6552  cfv 6553  Basecbs 17187  SymGrpcsymg 19328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-tset 17259  df-efmnd 18828  df-symg 19329
This theorem is referenced by:  symgcom2  32828  cyc3conja  32899
  Copyright terms: Public domain W3C validator