Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  symgcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgcom 33076
Description: Two permutations 𝑋 and 𝑌 commute if their orbits are disjoint. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
symgcom.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgcom.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
symgcom.x (𝜑𝑋𝐵)
symgcom.y (𝜑𝑌𝐵)
symgcom.1 (𝜑 → (𝑋𝐸) = ( I ↾ 𝐸))
symgcom.2 (𝜑 → (𝑌𝐹) = ( I ↾ 𝐹))
symgcom.3 (𝜑 → (𝐸𝐹) = ∅)
symgcom.4 (𝜑 → (𝐸𝐹) = 𝐴)
Assertion
Ref Expression
symgcom (𝜑 → (𝑋𝑌) = (𝑌𝑋))

Proof of Theorem symgcom
StepHypRef Expression
1 symgcom.4 . . . 4 (𝜑 → (𝐸𝐹) = 𝐴)
21reseq2d 6009 . . 3 (𝜑 → ((𝑋𝑌) ↾ (𝐸𝐹)) = ((𝑋𝑌) ↾ 𝐴))
3 resundi 6023 . . . 4 ((𝑋𝑌) ↾ (𝐸𝐹)) = (((𝑋𝑌) ↾ 𝐸) ∪ ((𝑋𝑌) ↾ 𝐹))
4 resco 6281 . . . . . . 7 ((𝑋𝑌) ↾ 𝐸) = (𝑋 ∘ (𝑌𝐸))
5 symgcom.y . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑌𝐵)
6 symgcom.g . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
7 symgcom.b . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐵 = (Base‘𝐺)
86, 7symgbasf1o 19416 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌𝐵𝑌:𝐴1-1-onto𝐴)
95, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌:𝐴1-1-onto𝐴)
10 f1ocnv 6874 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌:𝐴1-1-onto𝐴𝑌:𝐴1-1-onto𝐴)
11 f1ofun 6864 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌:𝐴1-1-onto𝐴 → Fun 𝑌)
129, 10, 113syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Fun 𝑌)
13 f1ofn 6863 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌:𝐴1-1-onto𝐴𝑌 Fn 𝐴)
14 fnresdm 6699 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌 Fn 𝐴 → (𝑌𝐴) = 𝑌)
159, 13, 143syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑌𝐴) = 𝑌)
16 f1ofo 6869 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌:𝐴1-1-onto𝐴𝑌:𝐴onto𝐴)
179, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌:𝐴onto𝐴)
18 foeq1 6830 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑌𝐴) = 𝑌 → ((𝑌𝐴):𝐴onto𝐴𝑌:𝐴onto𝐴))
1918biimpar 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑌𝐴) = 𝑌𝑌:𝐴onto𝐴) → (𝑌𝐴):𝐴onto𝐴)
2015, 17, 19syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌𝐴):𝐴onto𝐴)
21 symgcom.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑌𝐹) = ( I ↾ 𝐹))
22 f1oi 6900 . . . . . . . . . . . . . 14 ( I ↾ 𝐹):𝐹1-1-onto𝐹
23 f1ofo 6869 . . . . . . . . . . . . . 14 (( I ↾ 𝐹):𝐹1-1-onto𝐹 → ( I ↾ 𝐹):𝐹onto𝐹)
2422, 23mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ( I ↾ 𝐹):𝐹onto𝐹)
25 foeq1 6830 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑌𝐹) = ( I ↾ 𝐹) → ((𝑌𝐹):𝐹onto𝐹 ↔ ( I ↾ 𝐹):𝐹onto𝐹))
2625biimpar 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑌𝐹) = ( I ↾ 𝐹) ∧ ( I ↾ 𝐹):𝐹onto𝐹) → (𝑌𝐹):𝐹onto𝐹)
2721, 24, 26syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌𝐹):𝐹onto𝐹)
28 resdif 6883 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun 𝑌 ∧ (𝑌𝐴):𝐴onto𝐴 ∧ (𝑌𝐹):𝐹onto𝐹) → (𝑌 ↾ (𝐴𝐹)):(𝐴𝐹)–1-1-onto→(𝐴𝐹))
2912, 20, 27, 28syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌 ↾ (𝐴𝐹)):(𝐴𝐹)–1-1-onto→(𝐴𝐹))
30 ssun2 4202 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐹 ⊆ (𝐸𝐹)
3130, 1sseqtrid 4061 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹𝐴)
32 incom 4230 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐸𝐹) = (𝐹𝐸)
33 symgcom.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐸𝐹) = ∅)
3432, 33eqtr3id 2794 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹𝐸) = ∅)
35 uncom 4181 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐸𝐹) = (𝐹𝐸)
3635, 1eqtr3id 2794 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹𝐸) = 𝐴)
37 uneqdifeq 4516 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝐴 ∧ (𝐹𝐸) = ∅) → ((𝐹𝐸) = 𝐴 ↔ (𝐴𝐹) = 𝐸))
3837biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝐴 ∧ (𝐹𝐸) = ∅) ∧ (𝐹𝐸) = 𝐴) → (𝐴𝐹) = 𝐸)
3931, 34, 36, 38syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴𝐹) = 𝐸)
4039reseq2d 6009 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌 ↾ (𝐴𝐹)) = (𝑌𝐸))
4140, 39, 39f1oeq123d 6856 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑌 ↾ (𝐴𝐹)):(𝐴𝐹)–1-1-onto→(𝐴𝐹) ↔ (𝑌𝐸):𝐸1-1-onto𝐸))
4229, 41mpbid 232 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌𝐸):𝐸1-1-onto𝐸)
43 f1of 6862 . . . . . . . . . 10 ((𝑌𝐸):𝐸1-1-onto𝐸 → (𝑌𝐸):𝐸𝐸)
4442, 43syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌𝐸):𝐸𝐸)
4544frnd 6755 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran (𝑌𝐸) ⊆ 𝐸)
46 cores 6280 . . . . . . . 8 (ran (𝑌𝐸) ⊆ 𝐸 → ((𝑋𝐸) ∘ (𝑌𝐸)) = (𝑋 ∘ (𝑌𝐸)))
4745, 46syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋𝐸) ∘ (𝑌𝐸)) = (𝑋 ∘ (𝑌𝐸)))
484, 47eqtr4id 2799 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋𝑌) ↾ 𝐸) = ((𝑋𝐸) ∘ (𝑌𝐸)))
49 symgcom.1 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋𝐸) = ( I ↾ 𝐸))
5049coeq1d 5886 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋𝐸) ∘ (𝑌𝐸)) = (( I ↾ 𝐸) ∘ (𝑌𝐸)))
51 fcoi2 6796 . . . . . . 7 ((𝑌𝐸):𝐸𝐸 → (( I ↾ 𝐸) ∘ (𝑌𝐸)) = (𝑌𝐸))
5244, 51syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (( I ↾ 𝐸) ∘ (𝑌𝐸)) = (𝑌𝐸))
5348, 50, 523eqtrd 2784 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋𝑌) ↾ 𝐸) = (𝑌𝐸))
54 resco 6281 . . . . . 6 ((𝑋𝑌) ↾ 𝐹) = (𝑋 ∘ (𝑌𝐹))
5521coeq2d 5887 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 ∘ (𝑌𝐹)) = (𝑋 ∘ ( I ↾ 𝐹)))
56 coires1 6295 . . . . . . 7 (𝑋 ∘ ( I ↾ 𝐹)) = (𝑋𝐹)
5755, 56eqtrdi 2796 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 ∘ (𝑌𝐹)) = (𝑋𝐹))
5854, 57eqtrid 2792 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋𝑌) ↾ 𝐹) = (𝑋𝐹))
5953, 58uneq12d 4192 . . . 4 (𝜑 → (((𝑋𝑌) ↾ 𝐸) ∪ ((𝑋𝑌) ↾ 𝐹)) = ((𝑌𝐸) ∪ (𝑋𝐹)))
603, 59eqtrid 2792 . . 3 (𝜑 → ((𝑋𝑌) ↾ (𝐸𝐹)) = ((𝑌𝐸) ∪ (𝑋𝐹)))
61 symgcom.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐵)
626, 7symgbasf1o 19416 . . . . . 6 (𝑋𝐵𝑋:𝐴1-1-onto𝐴)
6361, 62syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑋:𝐴1-1-onto𝐴)
64 f1oco 6885 . . . . 5 ((𝑋:𝐴1-1-onto𝐴𝑌:𝐴1-1-onto𝐴) → (𝑋𝑌):𝐴1-1-onto𝐴)
6563, 9, 64syl2anc 583 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝑌):𝐴1-1-onto𝐴)
66 f1ofn 6863 . . . 4 ((𝑋𝑌):𝐴1-1-onto𝐴 → (𝑋𝑌) Fn 𝐴)
67 fnresdm 6699 . . . 4 ((𝑋𝑌) Fn 𝐴 → ((𝑋𝑌) ↾ 𝐴) = (𝑋𝑌))
6865, 66, 673syl 18 . . 3 (𝜑 → ((𝑋𝑌) ↾ 𝐴) = (𝑋𝑌))
692, 60, 683eqtr3d 2788 . 2 (𝜑 → ((𝑌𝐸) ∪ (𝑋𝐹)) = (𝑋𝑌))
701reseq2d 6009 . . 3 (𝜑 → ((𝑌𝑋) ↾ (𝐸𝐹)) = ((𝑌𝑋) ↾ 𝐴))
71 resundi 6023 . . . 4 ((𝑌𝑋) ↾ (𝐸𝐹)) = (((𝑌𝑋) ↾ 𝐸) ∪ ((𝑌𝑋) ↾ 𝐹))
72 resco 6281 . . . . . 6 ((𝑌𝑋) ↾ 𝐸) = (𝑌 ∘ (𝑋𝐸))
7349coeq2d 5887 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑌 ∘ (𝑋𝐸)) = (𝑌 ∘ ( I ↾ 𝐸)))
74 coires1 6295 . . . . . . 7 (𝑌 ∘ ( I ↾ 𝐸)) = (𝑌𝐸)
7573, 74eqtrdi 2796 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌 ∘ (𝑋𝐸)) = (𝑌𝐸))
7672, 75eqtrid 2792 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑌𝑋) ↾ 𝐸) = (𝑌𝐸))
77 resco 6281 . . . . . . 7 ((𝑌𝑋) ↾ 𝐹) = (𝑌 ∘ (𝑋𝐹))
78 f1ocnv 6874 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋:𝐴1-1-onto𝐴𝑋:𝐴1-1-onto𝐴)
79 f1ofun 6864 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋:𝐴1-1-onto𝐴 → Fun 𝑋)
8063, 78, 793syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Fun 𝑋)
81 f1ofn 6863 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋:𝐴1-1-onto𝐴𝑋 Fn 𝐴)
82 fnresdm 6699 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 Fn 𝐴 → (𝑋𝐴) = 𝑋)
8363, 81, 823syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋𝐴) = 𝑋)
84 f1ofo 6869 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋:𝐴1-1-onto𝐴𝑋:𝐴onto𝐴)
8563, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋:𝐴onto𝐴)
86 foeq1 6830 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋𝐴) = 𝑋 → ((𝑋𝐴):𝐴onto𝐴𝑋:𝐴onto𝐴))
8786biimpar 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋𝐴) = 𝑋𝑋:𝐴onto𝐴) → (𝑋𝐴):𝐴onto𝐴)
8883, 85, 87syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋𝐴):𝐴onto𝐴)
89 f1oi 6900 . . . . . . . . . . . . . 14 ( I ↾ 𝐸):𝐸1-1-onto𝐸
90 f1ofo 6869 . . . . . . . . . . . . . 14 (( I ↾ 𝐸):𝐸1-1-onto𝐸 → ( I ↾ 𝐸):𝐸onto𝐸)
9189, 90mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ( I ↾ 𝐸):𝐸onto𝐸)
92 foeq1 6830 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋𝐸) = ( I ↾ 𝐸) → ((𝑋𝐸):𝐸onto𝐸 ↔ ( I ↾ 𝐸):𝐸onto𝐸))
9392biimpar 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋𝐸) = ( I ↾ 𝐸) ∧ ( I ↾ 𝐸):𝐸onto𝐸) → (𝑋𝐸):𝐸onto𝐸)
9449, 91, 93syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋𝐸):𝐸onto𝐸)
95 resdif 6883 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun 𝑋 ∧ (𝑋𝐴):𝐴onto𝐴 ∧ (𝑋𝐸):𝐸onto𝐸) → (𝑋 ↾ (𝐴𝐸)):(𝐴𝐸)–1-1-onto→(𝐴𝐸))
9680, 88, 94, 95syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋 ↾ (𝐴𝐸)):(𝐴𝐸)–1-1-onto→(𝐴𝐸))
97 ssun1 4201 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐸 ⊆ (𝐸𝐹)
9897, 1sseqtrid 4061 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐸𝐴)
99 uneqdifeq 4516 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐸𝐴 ∧ (𝐸𝐹) = ∅) → ((𝐸𝐹) = 𝐴 ↔ (𝐴𝐸) = 𝐹))
10099biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐸𝐴 ∧ (𝐸𝐹) = ∅) ∧ (𝐸𝐹) = 𝐴) → (𝐴𝐸) = 𝐹)
10198, 33, 1, 100syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴𝐸) = 𝐹)
102101reseq2d 6009 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋 ↾ (𝐴𝐸)) = (𝑋𝐹))
103102, 101, 101f1oeq123d 6856 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑋 ↾ (𝐴𝐸)):(𝐴𝐸)–1-1-onto→(𝐴𝐸) ↔ (𝑋𝐹):𝐹1-1-onto𝐹))
10496, 103mpbid 232 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋𝐹):𝐹1-1-onto𝐹)
105 f1of 6862 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝐹):𝐹1-1-onto𝐹 → (𝑋𝐹):𝐹𝐹)
106104, 105syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋𝐹):𝐹𝐹)
107106frnd 6755 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran (𝑋𝐹) ⊆ 𝐹)
108 cores 6280 . . . . . . . 8 (ran (𝑋𝐹) ⊆ 𝐹 → ((𝑌𝐹) ∘ (𝑋𝐹)) = (𝑌 ∘ (𝑋𝐹)))
109107, 108syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑌𝐹) ∘ (𝑋𝐹)) = (𝑌 ∘ (𝑋𝐹)))
11077, 109eqtr4id 2799 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑌𝑋) ↾ 𝐹) = ((𝑌𝐹) ∘ (𝑋𝐹)))
11121coeq1d 5886 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑌𝐹) ∘ (𝑋𝐹)) = (( I ↾ 𝐹) ∘ (𝑋𝐹)))
112 fcoi2 6796 . . . . . . 7 ((𝑋𝐹):𝐹𝐹 → (( I ↾ 𝐹) ∘ (𝑋𝐹)) = (𝑋𝐹))
113106, 112syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (( I ↾ 𝐹) ∘ (𝑋𝐹)) = (𝑋𝐹))
114110, 111, 1133eqtrd 2784 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑌𝑋) ↾ 𝐹) = (𝑋𝐹))
11576, 114uneq12d 4192 . . . 4 (𝜑 → (((𝑌𝑋) ↾ 𝐸) ∪ ((𝑌𝑋) ↾ 𝐹)) = ((𝑌𝐸) ∪ (𝑋𝐹)))
11671, 115eqtrid 2792 . . 3 (𝜑 → ((𝑌𝑋) ↾ (𝐸𝐹)) = ((𝑌𝐸) ∪ (𝑋𝐹)))
117 f1oco 6885 . . . . 5 ((𝑌:𝐴1-1-onto𝐴𝑋:𝐴1-1-onto𝐴) → (𝑌𝑋):𝐴1-1-onto𝐴)
1189, 63, 117syl2anc 583 . . . 4 (𝜑 → (𝑌𝑋):𝐴1-1-onto𝐴)
119 f1ofn 6863 . . . 4 ((𝑌𝑋):𝐴1-1-onto𝐴 → (𝑌𝑋) Fn 𝐴)
120 fnresdm 6699 . . . 4 ((𝑌𝑋) Fn 𝐴 → ((𝑌𝑋) ↾ 𝐴) = (𝑌𝑋))
121118, 119, 1203syl 18 . . 3 (𝜑 → ((𝑌𝑋) ↾ 𝐴) = (𝑌𝑋))
12270, 116, 1213eqtr3d 2788 . 2 (𝜑 → ((𝑌𝐸) ∪ (𝑋𝐹)) = (𝑌𝑋))
12369, 122eqtr3d 2782 1 (𝜑 → (𝑋𝑌) = (𝑌𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2108  cdif 3973  cun 3974  cin 3975  wss 3976  c0 4352   I cid 5592  ccnv 5699  ran crn 5701  cres 5702  ccom 5704  Fun wfun 6567   Fn wfn 6568  wf 6569  ontowfo 6571  1-1-ontowf1o 6572  cfv 6573  Basecbs 17258  SymGrpcsymg 19410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-tset 17330  df-efmnd 18904  df-symg 19411
This theorem is referenced by:  symgcom2  33077  cyc3conja  33150
  Copyright terms: Public domain W3C validator