Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  symgcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgcom 30784
 Description: Two permutations 𝑋 and 𝑌 commute if their orbits are disjoint. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
symgcom.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgcom.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
symgcom.x (𝜑𝑋𝐵)
symgcom.y (𝜑𝑌𝐵)
symgcom.1 (𝜑 → (𝑋𝐸) = ( I ↾ 𝐸))
symgcom.2 (𝜑 → (𝑌𝐹) = ( I ↾ 𝐹))
symgcom.3 (𝜑 → (𝐸𝐹) = ∅)
symgcom.4 (𝜑 → (𝐸𝐹) = 𝐴)
Assertion
Ref Expression
symgcom (𝜑 → (𝑋𝑌) = (𝑌𝑋))

Proof of Theorem symgcom
StepHypRef Expression
1 symgcom.4 . . . 4 (𝜑 → (𝐸𝐹) = 𝐴)
21reseq2d 5818 . . 3 (𝜑 → ((𝑋𝑌) ↾ (𝐸𝐹)) = ((𝑋𝑌) ↾ 𝐴))
3 resundi 5832 . . . 4 ((𝑋𝑌) ↾ (𝐸𝐹)) = (((𝑋𝑌) ↾ 𝐸) ∪ ((𝑋𝑌) ↾ 𝐹))
4 resco 6070 . . . . . . 7 ((𝑋𝑌) ↾ 𝐸) = (𝑋 ∘ (𝑌𝐸))
5 symgcom.y . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑌𝐵)
6 symgcom.g . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
7 symgcom.b . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐵 = (Base‘𝐺)
86, 7symgbasf1o 18498 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌𝐵𝑌:𝐴1-1-onto𝐴)
95, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌:𝐴1-1-onto𝐴)
10 f1ocnv 6602 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌:𝐴1-1-onto𝐴𝑌:𝐴1-1-onto𝐴)
11 f1ofun 6592 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌:𝐴1-1-onto𝐴 → Fun 𝑌)
129, 10, 113syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Fun 𝑌)
13 f1ofn 6591 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌:𝐴1-1-onto𝐴𝑌 Fn 𝐴)
14 fnresdm 6438 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌 Fn 𝐴 → (𝑌𝐴) = 𝑌)
159, 13, 143syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑌𝐴) = 𝑌)
16 f1ofo 6597 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌:𝐴1-1-onto𝐴𝑌:𝐴onto𝐴)
179, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌:𝐴onto𝐴)
18 foeq1 6561 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑌𝐴) = 𝑌 → ((𝑌𝐴):𝐴onto𝐴𝑌:𝐴onto𝐴))
1918biimpar 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑌𝐴) = 𝑌𝑌:𝐴onto𝐴) → (𝑌𝐴):𝐴onto𝐴)
2015, 17, 19syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌𝐴):𝐴onto𝐴)
21 symgcom.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑌𝐹) = ( I ↾ 𝐹))
22 f1oi 6627 . . . . . . . . . . . . . 14 ( I ↾ 𝐹):𝐹1-1-onto𝐹
23 f1ofo 6597 . . . . . . . . . . . . . 14 (( I ↾ 𝐹):𝐹1-1-onto𝐹 → ( I ↾ 𝐹):𝐹onto𝐹)
2422, 23mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ( I ↾ 𝐹):𝐹onto𝐹)
25 foeq1 6561 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑌𝐹) = ( I ↾ 𝐹) → ((𝑌𝐹):𝐹onto𝐹 ↔ ( I ↾ 𝐹):𝐹onto𝐹))
2625biimpar 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑌𝐹) = ( I ↾ 𝐹) ∧ ( I ↾ 𝐹):𝐹onto𝐹) → (𝑌𝐹):𝐹onto𝐹)
2721, 24, 26syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌𝐹):𝐹onto𝐹)
28 resdif 6610 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun 𝑌 ∧ (𝑌𝐴):𝐴onto𝐴 ∧ (𝑌𝐹):𝐹onto𝐹) → (𝑌 ↾ (𝐴𝐹)):(𝐴𝐹)–1-1-onto→(𝐴𝐹))
2912, 20, 27, 28syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌 ↾ (𝐴𝐹)):(𝐴𝐹)–1-1-onto→(𝐴𝐹))
30 ssun2 4100 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐹 ⊆ (𝐸𝐹)
3130, 1sseqtrid 3967 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹𝐴)
32 incom 4128 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐸𝐹) = (𝐹𝐸)
33 symgcom.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐸𝐹) = ∅)
3432, 33syl5eqr 2847 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹𝐸) = ∅)
35 uncom 4080 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐸𝐹) = (𝐹𝐸)
3635, 1syl5eqr 2847 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹𝐸) = 𝐴)
37 uneqdifeq 4396 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝐴 ∧ (𝐹𝐸) = ∅) → ((𝐹𝐸) = 𝐴 ↔ (𝐴𝐹) = 𝐸))
3837biimpa 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝐴 ∧ (𝐹𝐸) = ∅) ∧ (𝐹𝐸) = 𝐴) → (𝐴𝐹) = 𝐸)
3931, 34, 36, 38syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴𝐹) = 𝐸)
4039reseq2d 5818 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌 ↾ (𝐴𝐹)) = (𝑌𝐸))
4140, 39, 39f1oeq123d 6585 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑌 ↾ (𝐴𝐹)):(𝐴𝐹)–1-1-onto→(𝐴𝐹) ↔ (𝑌𝐸):𝐸1-1-onto𝐸))
4229, 41mpbid 235 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌𝐸):𝐸1-1-onto𝐸)
43 f1of 6590 . . . . . . . . . 10 ((𝑌𝐸):𝐸1-1-onto𝐸 → (𝑌𝐸):𝐸𝐸)
4442, 43syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌𝐸):𝐸𝐸)
4544frnd 6494 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran (𝑌𝐸) ⊆ 𝐸)
46 cores 6069 . . . . . . . 8 (ran (𝑌𝐸) ⊆ 𝐸 → ((𝑋𝐸) ∘ (𝑌𝐸)) = (𝑋 ∘ (𝑌𝐸)))
4745, 46syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋𝐸) ∘ (𝑌𝐸)) = (𝑋 ∘ (𝑌𝐸)))
484, 47eqtr4id 2852 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋𝑌) ↾ 𝐸) = ((𝑋𝐸) ∘ (𝑌𝐸)))
49 symgcom.1 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋𝐸) = ( I ↾ 𝐸))
5049coeq1d 5696 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋𝐸) ∘ (𝑌𝐸)) = (( I ↾ 𝐸) ∘ (𝑌𝐸)))
51 fcoi2 6527 . . . . . . 7 ((𝑌𝐸):𝐸𝐸 → (( I ↾ 𝐸) ∘ (𝑌𝐸)) = (𝑌𝐸))
5244, 51syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (( I ↾ 𝐸) ∘ (𝑌𝐸)) = (𝑌𝐸))
5348, 50, 523eqtrd 2837 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋𝑌) ↾ 𝐸) = (𝑌𝐸))
54 resco 6070 . . . . . 6 ((𝑋𝑌) ↾ 𝐹) = (𝑋 ∘ (𝑌𝐹))
5521coeq2d 5697 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 ∘ (𝑌𝐹)) = (𝑋 ∘ ( I ↾ 𝐹)))
56 coires1 6084 . . . . . . 7 (𝑋 ∘ ( I ↾ 𝐹)) = (𝑋𝐹)
5755, 56eqtrdi 2849 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 ∘ (𝑌𝐹)) = (𝑋𝐹))
5854, 57syl5eq 2845 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋𝑌) ↾ 𝐹) = (𝑋𝐹))
5953, 58uneq12d 4091 . . . 4 (𝜑 → (((𝑋𝑌) ↾ 𝐸) ∪ ((𝑋𝑌) ↾ 𝐹)) = ((𝑌𝐸) ∪ (𝑋𝐹)))
603, 59syl5eq 2845 . . 3 (𝜑 → ((𝑋𝑌) ↾ (𝐸𝐹)) = ((𝑌𝐸) ∪ (𝑋𝐹)))
61 symgcom.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐵)
626, 7symgbasf1o 18498 . . . . . 6 (𝑋𝐵𝑋:𝐴1-1-onto𝐴)
6361, 62syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑋:𝐴1-1-onto𝐴)
64 f1oco 6612 . . . . 5 ((𝑋:𝐴1-1-onto𝐴𝑌:𝐴1-1-onto𝐴) → (𝑋𝑌):𝐴1-1-onto𝐴)
6563, 9, 64syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝑌):𝐴1-1-onto𝐴)
66 f1ofn 6591 . . . 4 ((𝑋𝑌):𝐴1-1-onto𝐴 → (𝑋𝑌) Fn 𝐴)
67 fnresdm 6438 . . . 4 ((𝑋𝑌) Fn 𝐴 → ((𝑋𝑌) ↾ 𝐴) = (𝑋𝑌))
6865, 66, 673syl 18 . . 3 (𝜑 → ((𝑋𝑌) ↾ 𝐴) = (𝑋𝑌))
692, 60, 683eqtr3d 2841 . 2 (𝜑 → ((𝑌𝐸) ∪ (𝑋𝐹)) = (𝑋𝑌))
701reseq2d 5818 . . 3 (𝜑 → ((𝑌𝑋) ↾ (𝐸𝐹)) = ((𝑌𝑋) ↾ 𝐴))
71 resundi 5832 . . . 4 ((𝑌𝑋) ↾ (𝐸𝐹)) = (((𝑌𝑋) ↾ 𝐸) ∪ ((𝑌𝑋) ↾ 𝐹))
72 resco 6070 . . . . . 6 ((𝑌𝑋) ↾ 𝐸) = (𝑌 ∘ (𝑋𝐸))
7349coeq2d 5697 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑌 ∘ (𝑋𝐸)) = (𝑌 ∘ ( I ↾ 𝐸)))
74 coires1 6084 . . . . . . 7 (𝑌 ∘ ( I ↾ 𝐸)) = (𝑌𝐸)
7573, 74eqtrdi 2849 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌 ∘ (𝑋𝐸)) = (𝑌𝐸))
7672, 75syl5eq 2845 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑌𝑋) ↾ 𝐸) = (𝑌𝐸))
77 resco 6070 . . . . . . 7 ((𝑌𝑋) ↾ 𝐹) = (𝑌 ∘ (𝑋𝐹))
78 f1ocnv 6602 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋:𝐴1-1-onto𝐴𝑋:𝐴1-1-onto𝐴)
79 f1ofun 6592 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋:𝐴1-1-onto𝐴 → Fun 𝑋)
8063, 78, 793syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Fun 𝑋)
81 f1ofn 6591 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋:𝐴1-1-onto𝐴𝑋 Fn 𝐴)
82 fnresdm 6438 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 Fn 𝐴 → (𝑋𝐴) = 𝑋)
8363, 81, 823syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋𝐴) = 𝑋)
84 f1ofo 6597 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋:𝐴1-1-onto𝐴𝑋:𝐴onto𝐴)
8563, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋:𝐴onto𝐴)
86 foeq1 6561 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋𝐴) = 𝑋 → ((𝑋𝐴):𝐴onto𝐴𝑋:𝐴onto𝐴))
8786biimpar 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋𝐴) = 𝑋𝑋:𝐴onto𝐴) → (𝑋𝐴):𝐴onto𝐴)
8883, 85, 87syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋𝐴):𝐴onto𝐴)
89 f1oi 6627 . . . . . . . . . . . . . 14 ( I ↾ 𝐸):𝐸1-1-onto𝐸
90 f1ofo 6597 . . . . . . . . . . . . . 14 (( I ↾ 𝐸):𝐸1-1-onto𝐸 → ( I ↾ 𝐸):𝐸onto𝐸)
9189, 90mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ( I ↾ 𝐸):𝐸onto𝐸)
92 foeq1 6561 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋𝐸) = ( I ↾ 𝐸) → ((𝑋𝐸):𝐸onto𝐸 ↔ ( I ↾ 𝐸):𝐸onto𝐸))
9392biimpar 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋𝐸) = ( I ↾ 𝐸) ∧ ( I ↾ 𝐸):𝐸onto𝐸) → (𝑋𝐸):𝐸onto𝐸)
9449, 91, 93syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋𝐸):𝐸onto𝐸)
95 resdif 6610 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun 𝑋 ∧ (𝑋𝐴):𝐴onto𝐴 ∧ (𝑋𝐸):𝐸onto𝐸) → (𝑋 ↾ (𝐴𝐸)):(𝐴𝐸)–1-1-onto→(𝐴𝐸))
9680, 88, 94, 95syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋 ↾ (𝐴𝐸)):(𝐴𝐸)–1-1-onto→(𝐴𝐸))
97 ssun1 4099 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐸 ⊆ (𝐸𝐹)
9897, 1sseqtrid 3967 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐸𝐴)
99 uneqdifeq 4396 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐸𝐴 ∧ (𝐸𝐹) = ∅) → ((𝐸𝐹) = 𝐴 ↔ (𝐴𝐸) = 𝐹))
10099biimpa 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐸𝐴 ∧ (𝐸𝐹) = ∅) ∧ (𝐸𝐹) = 𝐴) → (𝐴𝐸) = 𝐹)
10198, 33, 1, 100syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴𝐸) = 𝐹)
102101reseq2d 5818 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋 ↾ (𝐴𝐸)) = (𝑋𝐹))
103102, 101, 101f1oeq123d 6585 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑋 ↾ (𝐴𝐸)):(𝐴𝐸)–1-1-onto→(𝐴𝐸) ↔ (𝑋𝐹):𝐹1-1-onto𝐹))
10496, 103mpbid 235 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋𝐹):𝐹1-1-onto𝐹)
105 f1of 6590 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝐹):𝐹1-1-onto𝐹 → (𝑋𝐹):𝐹𝐹)
106104, 105syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋𝐹):𝐹𝐹)
107106frnd 6494 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran (𝑋𝐹) ⊆ 𝐹)
108 cores 6069 . . . . . . . 8 (ran (𝑋𝐹) ⊆ 𝐹 → ((𝑌𝐹) ∘ (𝑋𝐹)) = (𝑌 ∘ (𝑋𝐹)))
109107, 108syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑌𝐹) ∘ (𝑋𝐹)) = (𝑌 ∘ (𝑋𝐹)))
11077, 109eqtr4id 2852 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑌𝑋) ↾ 𝐹) = ((𝑌𝐹) ∘ (𝑋𝐹)))
11121coeq1d 5696 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑌𝐹) ∘ (𝑋𝐹)) = (( I ↾ 𝐹) ∘ (𝑋𝐹)))
112 fcoi2 6527 . . . . . . 7 ((𝑋𝐹):𝐹𝐹 → (( I ↾ 𝐹) ∘ (𝑋𝐹)) = (𝑋𝐹))
113106, 112syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (( I ↾ 𝐹) ∘ (𝑋𝐹)) = (𝑋𝐹))
114110, 111, 1133eqtrd 2837 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑌𝑋) ↾ 𝐹) = (𝑋𝐹))
11576, 114uneq12d 4091 . . . 4 (𝜑 → (((𝑌𝑋) ↾ 𝐸) ∪ ((𝑌𝑋) ↾ 𝐹)) = ((𝑌𝐸) ∪ (𝑋𝐹)))
11671, 115syl5eq 2845 . . 3 (𝜑 → ((𝑌𝑋) ↾ (𝐸𝐹)) = ((𝑌𝐸) ∪ (𝑋𝐹)))
117 f1oco 6612 . . . . 5 ((𝑌:𝐴1-1-onto𝐴𝑋:𝐴1-1-onto𝐴) → (𝑌𝑋):𝐴1-1-onto𝐴)
1189, 63, 117syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (𝑌𝑋):𝐴1-1-onto𝐴)
119 f1ofn 6591 . . . 4 ((𝑌𝑋):𝐴1-1-onto𝐴 → (𝑌𝑋) Fn 𝐴)
120 fnresdm 6438 . . . 4 ((𝑌𝑋) Fn 𝐴 → ((𝑌𝑋) ↾ 𝐴) = (𝑌𝑋))
121118, 119, 1203syl 18 . . 3 (𝜑 → ((𝑌𝑋) ↾ 𝐴) = (𝑌𝑋))
12270, 116, 1213eqtr3d 2841 . 2 (𝜑 → ((𝑌𝐸) ∪ (𝑋𝐹)) = (𝑌𝑋))
12369, 122eqtr3d 2835 1 (𝜑 → (𝑋𝑌) = (𝑌𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∖ cdif 3878   ∪ cun 3879   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243   I cid 5424  ◡ccnv 5518  ran crn 5520   ↾ cres 5521   ∘ ccom 5523  Fun wfun 6318   Fn wfn 6319  ⟶wf 6320  –onto→wfo 6322  –1-1-onto→wf1o 6323  ‘cfv 6324  Basecbs 16477  SymGrpcsymg 18490 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7563  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-oadd 8091  df-er 8274  df-map 8393  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-nn 11628  df-2 11690  df-3 11691  df-4 11692  df-5 11693  df-6 11694  df-7 11695  df-8 11696  df-9 11697  df-n0 11888  df-z 11972  df-uz 12234  df-fz 12888  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-tset 16578  df-efmnd 18028  df-symg 18491 This theorem is referenced by:  symgcom2  30785  cyc3conja  30856
 Copyright terms: Public domain W3C validator