Theorem nsgqusf1o 34071

Description: The canonical projection homomorphism 𝐸 defines a bijective correspondence between the set 𝑆 of subgroups of 𝐺 containing a normal subgroup 𝑁 and the subgroups of the quotient group 𝐺 / 𝑁. This theorem is sometimes called the correspondence theorem, or the fourth isomorphism theorem. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nsgqusf1o.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
nsgqusf1o.s	⊢ 𝑆 = {ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝑁 ⊆ ℎ}
nsgqusf1o.t	⊢ 𝑇 = (SubGrp‘𝑄)
nsgqusf1o.1	⊢ ≤ = (le‘(toInc‘𝑆))
nsgqusf1o.2	⊢ ≲ = (le‘(toInc‘𝑇))
nsgqusf1o.q	⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
nsgqusf1o.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
nsgqusf1o.e	⊢ 𝐸 = (ℎ ∈ 𝑆 ↦ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
nsgqusf1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓})
nsgqusf1o.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
nsgqusf1o	⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑆⟶1-1onto𝑇)

Distinct variable groups:   ⊕ ,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥   𝐵,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥   𝐸,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥   𝑓,𝐹,ℎ,𝑥   𝐺,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥   𝑁,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥   𝑄,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥   𝑆,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥   𝑇,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥   𝜑,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑎)   ≤ (𝑥, 𝑓, ℎ, 𝑎)   ≲ (𝑥, 𝑓, ℎ, 𝑎)

Proof of Theorem nsgqusf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ((toInc‘𝑆)MGalConn(toInc‘𝑇)) = ((toInc‘𝑆)MGalConn(toInc‘𝑇))
2		nsgqusf1o.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = {ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝑁 ⊆ ℎ}
3		fvex 6929	. . . . . 6 ⊢ (SubGrp‘𝐺) ∈ V
4	2, 3	rabex2 5309	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ∈ V
5		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (toInc‘𝑆) = (toInc‘𝑆)
6	5	ipobas 18755	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ V → 𝑆 = (Base‘(toInc‘𝑆)))
7	4, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Base‘(toInc‘𝑆))
8		nsgqusf1o.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (SubGrp‘𝑄)
9	8	fvexi 6930	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ V
10		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (toInc‘𝑇) = (toInc‘𝑇)
11	10	ipobas 18755	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ V → 𝑇 = (Base‘(toInc‘𝑇)))
12	9, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (Base‘(toInc‘𝑇))
13		nsgqusf1o.1	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘(toInc‘𝑆))
14		nsgqusf1o.2	. . . 4 ⊢ ≲ = (le‘(toInc‘𝑇))
15	5	ipopos 18760	. . . . 5 ⊢ (toInc‘𝑆) ∈ Poset
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (toInc‘𝑆) ∈ Poset)
17	10	ipopos 18760	. . . . 5 ⊢ (toInc‘𝑇) ∈ Poset
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (toInc‘𝑇) ∈ Poset)
19		nsgqusf1o.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
20		nsgqusf1o.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
21		nsgqusf1o.p	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
22		nsgqusf1o.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (ℎ ∈ 𝑆 ↦ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
23		nsgqusf1o.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓})
24		nsgqusf1o.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
25	19, 2, 8, 1, 5, 10, 20, 21, 22, 23, 24	nsgmgc 34067	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸((toInc‘𝑆)MGalConn(toInc‘𝑇))𝐹)
26	1, 7, 12, 13, 14, 16, 18, 25	mgcf1o 33663	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾ ran 𝐹) Isom ≤ , ≲ (ran 𝐹, ran 𝐸))
27		isof1o 7362	. . 3 ⊢ ((𝐸 ↾ ran 𝐹) Isom ≤ , ≲ (ran 𝐹, ran 𝐸) → (𝐸 ↾ ran 𝐹):ran 𝐹⟶1-1ontoran 𝐸)
28	26, 27	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾ ran 𝐹):ran 𝐹⟶1-1ontoran 𝐸)
29	19, 2, 8, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 24	nsgqusf1olem3 34070	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = 𝑆)
30	29	reseq2d 5986	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾ ran 𝐹) = (𝐸 ↾ 𝑆))
31		nfv 1949	. . . . . 6 ⊢ Ⅎℎ𝜑
32		vex 3458	. . . . . . . . 9 ⊢ ℎ ∈ V
33	32	mptex 7260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) ∈ V
34	33	rnex 7956	. . . . . . 7 ⊢ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) ∈ V
35	34	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) → ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) ∈ V)
36	31, 35, 22	fnmptd 6710	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 Fn 𝑆)
37		fnresdm 6688	. . . . 5 ⊢ (𝐸 Fn 𝑆 → (𝐸 ↾ 𝑆) = 𝐸)
38	36, 37	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾ 𝑆) = 𝐸)
39	30, 38	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾ ran 𝐹) = 𝐸)
40	19, 2, 8, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 24	nsgqusf1olem2 34069	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐸 = 𝑇)
41	39, 29, 40	f1oeq123d 6848	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ↾ ran 𝐹):ran 𝐹⟶1-1ontoran 𝐸 ↔ 𝐸:𝑆⟶1-1onto𝑇))
42	28, 41	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑆⟶1-1onto𝑇)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  {csn 4588   ↦ cmpt 5192  ran crn 5659   ↾ cres 5660   Fn wfn 6561  ⟶1-1ontowf1o 6565  ‘cfv 6566   Isom wiso 6567  (class class class)co 7451  Basecbs 17431  lecple 17479   /_s cqus 17727  Posetcpo 18531  toInccipo 18751  SubGrpcsubg 19380  NrmSGrpcnsg 19381   ~_QG cqg 19382  LSSumclsm 19899  MGalConncmgc 33639

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-tpos 8281  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-ec 8757  df-qs 8761  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-fz 13680  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ocomp 17494  df-ds 17495  df-0g 17662  df-imas 17730  df-qus 17731  df-proset 18518  df-poset 18537  df-ipo 18752  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-submnd 19029  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-subg 19383  df-nsg 19384  df-eqg 19385  df-ghm 19478  df-oppg 19611  df-lsm 19901  df-mnt 33640  df-mgc 33641

This theorem is used by: (None)