Theorem nsgqusf1o 31503

Description: The canonical projection homomorphism 𝐸 defines a bijective correspondence between the set 𝑆 of subgroups of 𝐺 containing a normal subgroup 𝑁 and the subgroups of the quotient group 𝐺 / 𝑁. This theorem is sometimes called the correspondence theorem, or the fourth isomorphism theorem. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nsgqusf1o.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
nsgqusf1o.s	⊢ 𝑆 = {ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝑁 ⊆ ℎ}
nsgqusf1o.t	⊢ 𝑇 = (SubGrp‘𝑄)
nsgqusf1o.1	⊢ ≤ = (le‘(toInc‘𝑆))
nsgqusf1o.2	⊢ ≲ = (le‘(toInc‘𝑇))
nsgqusf1o.q	⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
nsgqusf1o.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
nsgqusf1o.e	⊢ 𝐸 = (ℎ ∈ 𝑆 ↦ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
nsgqusf1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓})
nsgqusf1o.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
nsgqusf1o	⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑆–1-1-onto→𝑇)

Distinct variable groups:   ⊕ ,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥   𝐵,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥   𝐸,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥   𝑓,𝐹,ℎ,𝑥   𝐺,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥   𝑁,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥   𝑄,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥   𝑆,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥   𝑇,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥   𝜑,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑎)   ≤ (𝑥,𝑓,ℎ,𝑎)   ≲ (𝑥,𝑓,ℎ,𝑎)

Proof of Theorem nsgqusf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ((toInc‘𝑆)MGalConn(toInc‘𝑇)) = ((toInc‘𝑆)MGalConn(toInc‘𝑇))
2		nsgqusf1o.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = {ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝑁 ⊆ ℎ}
3		fvex 6769	. . . . . 6 ⊢ (SubGrp‘𝐺) ∈ V
4	2, 3	rabex2 5253	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ∈ V
5		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (toInc‘𝑆) = (toInc‘𝑆)
6	5	ipobas 18164	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ V → 𝑆 = (Base‘(toInc‘𝑆)))
7	4, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Base‘(toInc‘𝑆))
8		nsgqusf1o.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (SubGrp‘𝑄)
9	8	fvexi 6770	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ V
10		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (toInc‘𝑇) = (toInc‘𝑇)
11	10	ipobas 18164	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ V → 𝑇 = (Base‘(toInc‘𝑇)))
12	9, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (Base‘(toInc‘𝑇))
13		nsgqusf1o.1	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘(toInc‘𝑆))
14		nsgqusf1o.2	. . . 4 ⊢ ≲ = (le‘(toInc‘𝑇))
15	5	ipopos 18169	. . . . 5 ⊢ (toInc‘𝑆) ∈ Poset
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (toInc‘𝑆) ∈ Poset)
17	10	ipopos 18169	. . . . 5 ⊢ (toInc‘𝑇) ∈ Poset
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (toInc‘𝑇) ∈ Poset)
19		nsgqusf1o.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
20		nsgqusf1o.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
21		nsgqusf1o.p	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
22		nsgqusf1o.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (ℎ ∈ 𝑆 ↦ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
23		nsgqusf1o.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓})
24		nsgqusf1o.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
25	19, 2, 8, 1, 5, 10, 20, 21, 22, 23, 24	nsgmgc 31499	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸((toInc‘𝑆)MGalConn(toInc‘𝑇))𝐹)
26	1, 7, 12, 13, 14, 16, 18, 25	mgcf1o 31183	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾ ran 𝐹) Isom ≤ , ≲ (ran 𝐹, ran 𝐸))
27		isof1o 7174	. . 3 ⊢ ((𝐸 ↾ ran 𝐹) Isom ≤ , ≲ (ran 𝐹, ran 𝐸) → (𝐸 ↾ ran 𝐹):ran 𝐹–1-1-onto→ran 𝐸)
28	26, 27	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾ ran 𝐹):ran 𝐹–1-1-onto→ran 𝐸)
29	19, 2, 8, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 24	nsgqusf1olem3 31502	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = 𝑆)
30	29	reseq2d 5880	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾ ran 𝐹) = (𝐸 ↾ 𝑆))
31		nfv 1918	. . . . . 6 ⊢ Ⅎℎ𝜑
32		vex 3426	. . . . . . . . 9 ⊢ ℎ ∈ V
33	32	mptex 7081	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) ∈ V
34	33	rnex 7733	. . . . . . 7 ⊢ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) ∈ V
35	34	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) → ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) ∈ V)
36	31, 35, 22	fnmptd 6558	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 Fn 𝑆)
37		fnresdm 6535	. . . . 5 ⊢ (𝐸 Fn 𝑆 → (𝐸 ↾ 𝑆) = 𝐸)
38	36, 37	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾ 𝑆) = 𝐸)
39	30, 38	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾ ran 𝐹) = 𝐸)
40	19, 2, 8, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 24	nsgqusf1olem2 31501	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐸 = 𝑇)
41	39, 29, 40	f1oeq123d 6694	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ↾ ran 𝐹):ran 𝐹–1-1-onto→ran 𝐸 ↔ 𝐸:𝑆–1-1-onto→𝑇))
42	28, 41	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑆–1-1-onto→𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {crab 3067  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  {csn 4558   ↦ cmpt 5153  ran crn 5581   ↾ cres 5582   Fn wfn 6413  –1-1-onto→wf1o 6417  ‘cfv 6418   Isom wiso 6419  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  lecple 16895   /_s cqus 17133  Posetcpo 17940  toInccipo 18160  SubGrpcsubg 18664  NrmSGrpcnsg 18665   ~_QG cqg 18666  LSSumclsm 19154  MGalConncmgc 31159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-ec 8458  df-qs 8462  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ocomp 16909  df-ds 16910  df-0g 17069  df-imas 17136  df-qus 17137  df-proset 17928  df-poset 17946  df-ipo 18161  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-subg 18667  df-nsg 18668  df-eqg 18669  df-ghm 18747  df-oppg 18865  df-lsm 19156  df-mnt 31160  df-mgc 31161

This theorem is referenced by: (None)