Theorem nsgqusf1o 33476

Description: The canonical projection homomorphism 𝐸 defines a bijective correspondence between the set 𝑆 of subgroups of 𝐺 containing a normal subgroup 𝑁 and the subgroups of the quotient group 𝐺 / 𝑁. This theorem is sometimes called the correspondence theorem, or the fourth isomorphism theorem. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nsgqusf1o.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
nsgqusf1o.s	⊢ 𝑆 = {ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝑁 ⊆ ℎ}
nsgqusf1o.t	⊢ 𝑇 = (SubGrp‘𝑄)
nsgqusf1o.1	⊢ ≤ = (le‘(toInc‘𝑆))
nsgqusf1o.2	⊢ ≲ = (le‘(toInc‘𝑇))
nsgqusf1o.q	⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
nsgqusf1o.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
nsgqusf1o.e	⊢ 𝐸 = (ℎ ∈ 𝑆 ↦ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
nsgqusf1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓})
nsgqusf1o.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
nsgqusf1o	⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑆–1-1-onto→𝑇)

Distinct variable groups:   ⊕ ,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥   𝐵,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥   𝐸,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥   𝑓,𝐹,ℎ,𝑥   𝐺,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥   𝑁,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥   𝑄,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥   𝑆,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥   𝑇,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥   𝜑,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑎)   ≤ (𝑥,𝑓,ℎ,𝑎)   ≲ (𝑥,𝑓,ℎ,𝑎)

Proof of Theorem nsgqusf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ((toInc‘𝑆)MGalConn(toInc‘𝑇)) = ((toInc‘𝑆)MGalConn(toInc‘𝑇))
2		nsgqusf1o.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = {ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝑁 ⊆ ℎ}
3		fvex 6853	. . . . . 6 ⊢ (SubGrp‘𝐺) ∈ V
4	2, 3	rabex2 5282	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ∈ V
5		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (toInc‘𝑆) = (toInc‘𝑆)
6	5	ipobas 18497	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ V → 𝑆 = (Base‘(toInc‘𝑆)))
7	4, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Base‘(toInc‘𝑆))
8		nsgqusf1o.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (SubGrp‘𝑄)
9	8	fvexi 6854	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ V
10		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (toInc‘𝑇) = (toInc‘𝑇)
11	10	ipobas 18497	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ V → 𝑇 = (Base‘(toInc‘𝑇)))
12	9, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (Base‘(toInc‘𝑇))
13		nsgqusf1o.1	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘(toInc‘𝑆))
14		nsgqusf1o.2	. . . 4 ⊢ ≲ = (le‘(toInc‘𝑇))
15	5	ipopos 18502	. . . . 5 ⊢ (toInc‘𝑆) ∈ Poset
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (toInc‘𝑆) ∈ Poset)
17	10	ipopos 18502	. . . . 5 ⊢ (toInc‘𝑇) ∈ Poset
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (toInc‘𝑇) ∈ Poset)
19		nsgqusf1o.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
20		nsgqusf1o.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
21		nsgqusf1o.p	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
22		nsgqusf1o.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (ℎ ∈ 𝑆 ↦ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
23		nsgqusf1o.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓})
24		nsgqusf1o.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
25	19, 2, 8, 1, 5, 10, 20, 21, 22, 23, 24	nsgmgc 33472	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸((toInc‘𝑆)MGalConn(toInc‘𝑇))𝐹)
26	1, 7, 12, 13, 14, 16, 18, 25	mgcf1o 33063	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾ ran 𝐹) Isom ≤ , ≲ (ran 𝐹, ran 𝐸))
27		isof1o 7278	. . 3 ⊢ ((𝐸 ↾ ran 𝐹) Isom ≤ , ≲ (ran 𝐹, ran 𝐸) → (𝐸 ↾ ran 𝐹):ran 𝐹–1-1-onto→ran 𝐸)
28	26, 27	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾ ran 𝐹):ran 𝐹–1-1-onto→ran 𝐸)
29	19, 2, 8, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 24	nsgqusf1olem3 33475	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = 𝑆)
30	29	reseq2d 5944	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾ ran 𝐹) = (𝐸 ↾ 𝑆))
31		nfv 1916	. . . . . 6 ⊢ Ⅎℎ𝜑
32		vex 3433	. . . . . . . . 9 ⊢ ℎ ∈ V
33	32	mptex 7178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) ∈ V
34	33	rnex 7861	. . . . . . 7 ⊢ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) ∈ V
35	34	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) → ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) ∈ V)
36	31, 35, 22	fnmptd 6639	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 Fn 𝑆)
37		fnresdm 6617	. . . . 5 ⊢ (𝐸 Fn 𝑆 → (𝐸 ↾ 𝑆) = 𝐸)
38	36, 37	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾ 𝑆) = 𝐸)
39	30, 38	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾ ran 𝐹) = 𝐸)
40	19, 2, 8, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 24	nsgqusf1olem2 33474	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐸 = 𝑇)
41	39, 29, 40	f1oeq123d 6774	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ↾ ran 𝐹):ran 𝐹–1-1-onto→ran 𝐸 ↔ 𝐸:𝑆–1-1-onto→𝑇))
42	28, 41	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑆–1-1-onto→𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3389  Vcvv 3429   ⊆ wss 3889  {csn 4567   ↦ cmpt 5166  ran crn 5632   ↾ cres 5633   Fn wfn 6493  –1-1-onto→wf1o 6497  ‘cfv 6498   Isom wiso 6499  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  lecple 17227   /_s cqus 17469  Posetcpo 18273  toInccipo 18493  SubGrpcsubg 19096  NrmSGrpcnsg 19097   ~_QG cqg 19098  LSSumclsm 19609  MGalConncmgc 33039

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-ec 8645  df-qs 8649  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ocomp 17241  df-ds 17242  df-0g 17404  df-imas 17472  df-qus 17473  df-proset 18260  df-poset 18279  df-ipo 18494  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-subg 19099  df-nsg 19100  df-eqg 19101  df-ghm 19188  df-oppg 19321  df-lsm 19611  df-mnt 33040  df-mgc 33041

This theorem is referenced by: (None)