Theorem nsgqusf1o 32572

Description: The canonical projection homomorphism 𝐸 defines a bijective correspondence between the set 𝑆 of subgroups of 𝐺 containing a normal subgroup 𝑁 and the subgroups of the quotient group 𝐺 / 𝑁. This theorem is sometimes called the correspondence theorem, or the fourth isomorphism theorem. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nsgqusf1o.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
nsgqusf1o.s	⊢ 𝑆 = {ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝑁 ⊆ ℎ}
nsgqusf1o.t	⊢ 𝑇 = (SubGrp‘𝑄)
nsgqusf1o.1	⊢ ≤ = (le‘(toInc‘𝑆))
nsgqusf1o.2	⊢ ≲ = (le‘(toInc‘𝑇))
nsgqusf1o.q	⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
nsgqusf1o.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
nsgqusf1o.e	⊢ 𝐸 = (ℎ ∈ 𝑆 ↦ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
nsgqusf1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓})
nsgqusf1o.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
nsgqusf1o	⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑆–1-1-onto→𝑇)

Distinct variable groups:   ⊕ ,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥   𝐵,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥   𝐸,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥   𝑓,𝐹,ℎ,𝑥   𝐺,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥   𝑁,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥   𝑄,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥   𝑆,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥   𝑇,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥   𝜑,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑎)   ≤ (𝑥,𝑓,ℎ,𝑎)   ≲ (𝑥,𝑓,ℎ,𝑎)

Proof of Theorem nsgqusf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2732	. . . 4 ⊢ ((toInc‘𝑆)MGalConn(toInc‘𝑇)) = ((toInc‘𝑆)MGalConn(toInc‘𝑇))
2		nsgqusf1o.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = {ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝑁 ⊆ ℎ}
3		fvex 6904	. . . . . 6 ⊢ (SubGrp‘𝐺) ∈ V
4	2, 3	rabex2 5334	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ∈ V
5		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (toInc‘𝑆) = (toInc‘𝑆)
6	5	ipobas 18486	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ V → 𝑆 = (Base‘(toInc‘𝑆)))
7	4, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Base‘(toInc‘𝑆))
8		nsgqusf1o.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (SubGrp‘𝑄)
9	8	fvexi 6905	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ V
10		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (toInc‘𝑇) = (toInc‘𝑇)
11	10	ipobas 18486	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ V → 𝑇 = (Base‘(toInc‘𝑇)))
12	9, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (Base‘(toInc‘𝑇))
13		nsgqusf1o.1	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘(toInc‘𝑆))
14		nsgqusf1o.2	. . . 4 ⊢ ≲ = (le‘(toInc‘𝑇))
15	5	ipopos 18491	. . . . 5 ⊢ (toInc‘𝑆) ∈ Poset
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (toInc‘𝑆) ∈ Poset)
17	10	ipopos 18491	. . . . 5 ⊢ (toInc‘𝑇) ∈ Poset
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (toInc‘𝑇) ∈ Poset)
19		nsgqusf1o.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
20		nsgqusf1o.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
21		nsgqusf1o.p	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
22		nsgqusf1o.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (ℎ ∈ 𝑆 ↦ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
23		nsgqusf1o.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓})
24		nsgqusf1o.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
25	19, 2, 8, 1, 5, 10, 20, 21, 22, 23, 24	nsgmgc 32568	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸((toInc‘𝑆)MGalConn(toInc‘𝑇))𝐹)
26	1, 7, 12, 13, 14, 16, 18, 25	mgcf1o 32211	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾ ran 𝐹) Isom ≤ , ≲ (ran 𝐹, ran 𝐸))
27		isof1o 7322	. . 3 ⊢ ((𝐸 ↾ ran 𝐹) Isom ≤ , ≲ (ran 𝐹, ran 𝐸) → (𝐸 ↾ ran 𝐹):ran 𝐹–1-1-onto→ran 𝐸)
28	26, 27	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾ ran 𝐹):ran 𝐹–1-1-onto→ran 𝐸)
29	19, 2, 8, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 24	nsgqusf1olem3 32571	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = 𝑆)
30	29	reseq2d 5981	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾ ran 𝐹) = (𝐸 ↾ 𝑆))
31		nfv 1917	. . . . . 6 ⊢ Ⅎℎ𝜑
32		vex 3478	. . . . . . . . 9 ⊢ ℎ ∈ V
33	32	mptex 7227	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) ∈ V
34	33	rnex 7905	. . . . . . 7 ⊢ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) ∈ V
35	34	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) → ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) ∈ V)
36	31, 35, 22	fnmptd 6691	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 Fn 𝑆)
37		fnresdm 6669	. . . . 5 ⊢ (𝐸 Fn 𝑆 → (𝐸 ↾ 𝑆) = 𝐸)
38	36, 37	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾ 𝑆) = 𝐸)
39	30, 38	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾ ran 𝐹) = 𝐸)
40	19, 2, 8, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 24	nsgqusf1olem2 32570	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐸 = 𝑇)
41	39, 29, 40	f1oeq123d 6827	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ↾ ran 𝐹):ran 𝐹–1-1-onto→ran 𝐸 ↔ 𝐸:𝑆–1-1-onto→𝑇))
42	28, 41	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑆–1-1-onto→𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432  Vcvv 3474   ⊆ wss 3948  {csn 4628   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677   ↾ cres 5678   Fn wfn 6538  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543   Isom wiso 6544  (class class class)co 7411  Basecbs 17146  lecple 17206   /_s cqus 17453  Posetcpo 18262  toInccipo 18482  SubGrpcsubg 19002  NrmSGrpcnsg 19003   ~_QG cqg 19004  LSSumclsm 19504  MGalConncmgc 32187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-fz 13487  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ocomp 17220  df-ds 17221  df-0g 17389  df-imas 17456  df-qus 17457  df-proset 18250  df-poset 18268  df-ipo 18483  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-subg 19005  df-nsg 19006  df-eqg 19007  df-ghm 19092  df-oppg 19212  df-lsm 19506  df-mnt 32188  df-mgc 32189

This theorem is referenced by: (None)