Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nsgqusf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nsgqusf1o 33424
Description: The canonical projection homomorphism 𝐸 defines a bijective correspondence between the set 𝑆 of subgroups of 𝐺 containing a normal subgroup 𝑁 and the subgroups of the quotient group 𝐺 / 𝑁. This theorem is sometimes called the correspondence theorem, or the fourth isomorphism theorem. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
nsgqusf1o.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
nsgqusf1o.s 𝑆 = { ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝑁}
nsgqusf1o.t 𝑇 = (SubGrp‘𝑄)
nsgqusf1o.1 = (le‘(toInc‘𝑆))
nsgqusf1o.2 = (le‘(toInc‘𝑇))
nsgqusf1o.q 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
nsgqusf1o.p = (LSSum‘𝐺)
nsgqusf1o.e 𝐸 = (𝑆 ↦ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)))
nsgqusf1o.f 𝐹 = (𝑓𝑇 ↦ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓})
nsgqusf1o.n (𝜑𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
nsgqusf1o (𝜑𝐸:𝑆1-1-onto𝑇)
Distinct variable groups:   ,𝑎,𝑓,,𝑥   𝐵,𝑎,𝑓,,𝑥   𝐸,𝑎,𝑓,,𝑥   𝑓,𝐹,,𝑥   𝐺,𝑎,𝑓,,𝑥   𝑁,𝑎,𝑓,,𝑥   𝑄,𝑎,𝑓,,𝑥   𝑆,𝑎,𝑓,,𝑥   𝑇,𝑎,𝑓,,𝑥   𝜑,𝑎,𝑓,,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑎)   (𝑥,𝑓,,𝑎)   (𝑥,𝑓,,𝑎)

Proof of Theorem nsgqusf1o
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . . . 4 ((toInc‘𝑆)MGalConn(toInc‘𝑇)) = ((toInc‘𝑆)MGalConn(toInc‘𝑇))
2 nsgqusf1o.s . . . . . 6 𝑆 = { ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝑁}
3 fvex 6920 . . . . . 6 (SubGrp‘𝐺) ∈ V
42, 3rabex2 5347 . . . . 5 𝑆 ∈ V
5 eqid 2735 . . . . . 6 (toInc‘𝑆) = (toInc‘𝑆)
65ipobas 18589 . . . . 5 (𝑆 ∈ V → 𝑆 = (Base‘(toInc‘𝑆)))
74, 6ax-mp 5 . . . 4 𝑆 = (Base‘(toInc‘𝑆))
8 nsgqusf1o.t . . . . . 6 𝑇 = (SubGrp‘𝑄)
98fvexi 6921 . . . . 5 𝑇 ∈ V
10 eqid 2735 . . . . . 6 (toInc‘𝑇) = (toInc‘𝑇)
1110ipobas 18589 . . . . 5 (𝑇 ∈ V → 𝑇 = (Base‘(toInc‘𝑇)))
129, 11ax-mp 5 . . . 4 𝑇 = (Base‘(toInc‘𝑇))
13 nsgqusf1o.1 . . . 4 = (le‘(toInc‘𝑆))
14 nsgqusf1o.2 . . . 4 = (le‘(toInc‘𝑇))
155ipopos 18594 . . . . 5 (toInc‘𝑆) ∈ Poset
1615a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (toInc‘𝑆) ∈ Poset)
1710ipopos 18594 . . . . 5 (toInc‘𝑇) ∈ Poset
1817a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (toInc‘𝑇) ∈ Poset)
19 nsgqusf1o.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
20 nsgqusf1o.q . . . . 5 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
21 nsgqusf1o.p . . . . 5 = (LSSum‘𝐺)
22 nsgqusf1o.e . . . . 5 𝐸 = (𝑆 ↦ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)))
23 nsgqusf1o.f . . . . 5 𝐹 = (𝑓𝑇 ↦ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓})
24 nsgqusf1o.n . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
2519, 2, 8, 1, 5, 10, 20, 21, 22, 23, 24nsgmgc 33420 . . . 4 (𝜑𝐸((toInc‘𝑆)MGalConn(toInc‘𝑇))𝐹)
261, 7, 12, 13, 14, 16, 18, 25mgcf1o 32978 . . 3 (𝜑 → (𝐸 ↾ ran 𝐹) Isom , (ran 𝐹, ran 𝐸))
27 isof1o 7343 . . 3 ((𝐸 ↾ ran 𝐹) Isom , (ran 𝐹, ran 𝐸) → (𝐸 ↾ ran 𝐹):ran 𝐹1-1-onto→ran 𝐸)
2826, 27syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐸 ↾ ran 𝐹):ran 𝐹1-1-onto→ran 𝐸)
2919, 2, 8, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 24nsgqusf1olem3 33423 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐹 = 𝑆)
3029reseq2d 6000 . . . 4 (𝜑 → (𝐸 ↾ ran 𝐹) = (𝐸𝑆))
31 nfv 1912 . . . . . 6 𝜑
32 vex 3482 . . . . . . . . 9 ∈ V
3332mptex 7243 . . . . . . . 8 (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)) ∈ V
3433rnex 7933 . . . . . . 7 ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)) ∈ V
3534a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑆) → ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)) ∈ V)
3631, 35, 22fnmptd 6710 . . . . 5 (𝜑𝐸 Fn 𝑆)
37 fnresdm 6688 . . . . 5 (𝐸 Fn 𝑆 → (𝐸𝑆) = 𝐸)
3836, 37syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐸𝑆) = 𝐸)
3930, 38eqtrd 2775 . . 3 (𝜑 → (𝐸 ↾ ran 𝐹) = 𝐸)
4019, 2, 8, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 24nsgqusf1olem2 33422 . . 3 (𝜑 → ran 𝐸 = 𝑇)
4139, 29, 40f1oeq123d 6843 . 2 (𝜑 → ((𝐸 ↾ ran 𝐹):ran 𝐹1-1-onto→ran 𝐸𝐸:𝑆1-1-onto𝑇))
4228, 41mpbid 232 1 (𝜑𝐸:𝑆1-1-onto𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {crab 3433  Vcvv 3478  wss 3963  {csn 4631  cmpt 5231  ran crn 5690  cres 5691   Fn wfn 6558  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563   Isom wiso 6564  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  lecple 17305   /s cqus 17552  Posetcpo 18365  toInccipo 18585  SubGrpcsubg 19151  NrmSGrpcnsg 19152   ~QG cqg 19153  LSSumclsm 19667  MGalConncmgc 32954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ocomp 17319  df-ds 17320  df-0g 17488  df-imas 17555  df-qus 17556  df-proset 18352  df-poset 18371  df-ipo 18586  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-subg 19154  df-nsg 19155  df-eqg 19156  df-ghm 19244  df-oppg 19377  df-lsm 19669  df-mnt 32955  df-mgc 32956
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator