Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nsgqusf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nsgqusf1o 32242
Description: The canonical projection homomorphism 𝐸 defines a bijective correspondence between the set 𝑆 of subgroups of 𝐺 containing a normal subgroup 𝑁 and the subgroups of the quotient group 𝐺 / 𝑁. This theorem is sometimes called the correspondence theorem, or the fourth isomorphism theorem. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
nsgqusf1o.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
nsgqusf1o.s 𝑆 = {β„Ž ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 βŠ† β„Ž}
nsgqusf1o.t 𝑇 = (SubGrpβ€˜π‘„)
nsgqusf1o.1 ≀ = (leβ€˜(toIncβ€˜π‘†))
nsgqusf1o.2 ≲ = (leβ€˜(toIncβ€˜π‘‡))
nsgqusf1o.q 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
nsgqusf1o.p βŠ• = (LSSumβ€˜πΊ)
nsgqusf1o.e 𝐸 = (β„Ž ∈ 𝑆 ↦ ran (π‘₯ ∈ β„Ž ↦ ({π‘₯} βŠ• 𝑁)))
nsgqusf1o.f 𝐹 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ {π‘Ž ∈ 𝐡 ∣ ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) ∈ 𝑓})
nsgqusf1o.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (NrmSGrpβ€˜πΊ))
Assertion
Ref Expression
nsgqusf1o (πœ‘ β†’ 𝐸:𝑆–1-1-onto→𝑇)
Distinct variable groups:   βŠ• ,π‘Ž,𝑓,β„Ž,π‘₯   𝐡,π‘Ž,𝑓,β„Ž,π‘₯   𝐸,π‘Ž,𝑓,β„Ž,π‘₯   𝑓,𝐹,β„Ž,π‘₯   𝐺,π‘Ž,𝑓,β„Ž,π‘₯   𝑁,π‘Ž,𝑓,β„Ž,π‘₯   𝑄,π‘Ž,𝑓,β„Ž,π‘₯   𝑆,π‘Ž,𝑓,β„Ž,π‘₯   𝑇,π‘Ž,𝑓,β„Ž,π‘₯   πœ‘,π‘Ž,𝑓,β„Ž,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘Ž)   ≀ (π‘₯,𝑓,β„Ž,π‘Ž)   ≲ (π‘₯,𝑓,β„Ž,π‘Ž)

Proof of Theorem nsgqusf1o
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . 4 ((toIncβ€˜π‘†)MGalConn(toIncβ€˜π‘‡)) = ((toIncβ€˜π‘†)MGalConn(toIncβ€˜π‘‡))
2 nsgqusf1o.s . . . . . 6 𝑆 = {β„Ž ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 βŠ† β„Ž}
3 fvex 6856 . . . . . 6 (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ V
42, 3rabex2 5292 . . . . 5 𝑆 ∈ V
5 eqid 2733 . . . . . 6 (toIncβ€˜π‘†) = (toIncβ€˜π‘†)
65ipobas 18425 . . . . 5 (𝑆 ∈ V β†’ 𝑆 = (Baseβ€˜(toIncβ€˜π‘†)))
74, 6ax-mp 5 . . . 4 𝑆 = (Baseβ€˜(toIncβ€˜π‘†))
8 nsgqusf1o.t . . . . . 6 𝑇 = (SubGrpβ€˜π‘„)
98fvexi 6857 . . . . 5 𝑇 ∈ V
10 eqid 2733 . . . . . 6 (toIncβ€˜π‘‡) = (toIncβ€˜π‘‡)
1110ipobas 18425 . . . . 5 (𝑇 ∈ V β†’ 𝑇 = (Baseβ€˜(toIncβ€˜π‘‡)))
129, 11ax-mp 5 . . . 4 𝑇 = (Baseβ€˜(toIncβ€˜π‘‡))
13 nsgqusf1o.1 . . . 4 ≀ = (leβ€˜(toIncβ€˜π‘†))
14 nsgqusf1o.2 . . . 4 ≲ = (leβ€˜(toIncβ€˜π‘‡))
155ipopos 18430 . . . . 5 (toIncβ€˜π‘†) ∈ Poset
1615a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (toIncβ€˜π‘†) ∈ Poset)
1710ipopos 18430 . . . . 5 (toIncβ€˜π‘‡) ∈ Poset
1817a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (toIncβ€˜π‘‡) ∈ Poset)
19 nsgqusf1o.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
20 nsgqusf1o.q . . . . 5 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
21 nsgqusf1o.p . . . . 5 βŠ• = (LSSumβ€˜πΊ)
22 nsgqusf1o.e . . . . 5 𝐸 = (β„Ž ∈ 𝑆 ↦ ran (π‘₯ ∈ β„Ž ↦ ({π‘₯} βŠ• 𝑁)))
23 nsgqusf1o.f . . . . 5 𝐹 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ {π‘Ž ∈ 𝐡 ∣ ({π‘Ž} βŠ• 𝑁) ∈ 𝑓})
24 nsgqusf1o.n . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (NrmSGrpβ€˜πΊ))
2519, 2, 8, 1, 5, 10, 20, 21, 22, 23, 24nsgmgc 32238 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸((toIncβ€˜π‘†)MGalConn(toIncβ€˜π‘‡))𝐹)
261, 7, 12, 13, 14, 16, 18, 25mgcf1o 31912 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐸 β†Ύ ran 𝐹) Isom ≀ , ≲ (ran 𝐹, ran 𝐸))
27 isof1o 7269 . . 3 ((𝐸 β†Ύ ran 𝐹) Isom ≀ , ≲ (ran 𝐹, ran 𝐸) β†’ (𝐸 β†Ύ ran 𝐹):ran 𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐸)
2826, 27syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐸 β†Ύ ran 𝐹):ran 𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐸)
2919, 2, 8, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 24nsgqusf1olem3 32241 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 = 𝑆)
3029reseq2d 5938 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐸 β†Ύ ran 𝐹) = (𝐸 β†Ύ 𝑆))
31 nfv 1918 . . . . . 6 β„²β„Žπœ‘
32 vex 3448 . . . . . . . . 9 β„Ž ∈ V
3332mptex 7174 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ β„Ž ↦ ({π‘₯} βŠ• 𝑁)) ∈ V
3433rnex 7850 . . . . . . 7 ran (π‘₯ ∈ β„Ž ↦ ({π‘₯} βŠ• 𝑁)) ∈ V
3534a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑆) β†’ ran (π‘₯ ∈ β„Ž ↦ ({π‘₯} βŠ• 𝑁)) ∈ V)
3631, 35, 22fnmptd 6643 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 Fn 𝑆)
37 fnresdm 6621 . . . . 5 (𝐸 Fn 𝑆 β†’ (𝐸 β†Ύ 𝑆) = 𝐸)
3836, 37syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐸 β†Ύ 𝑆) = 𝐸)
3930, 38eqtrd 2773 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐸 β†Ύ ran 𝐹) = 𝐸)
4019, 2, 8, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 24nsgqusf1olem2 32240 . . 3 (πœ‘ β†’ ran 𝐸 = 𝑇)
4139, 29, 40f1oeq123d 6779 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐸 β†Ύ ran 𝐹):ran 𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐸 ↔ 𝐸:𝑆–1-1-onto→𝑇))
4228, 41mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ 𝐸:𝑆–1-1-onto→𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3406  Vcvv 3444   βŠ† wss 3911  {csn 4587   ↦ cmpt 5189  ran crn 5635   β†Ύ cres 5636   Fn wfn 6492  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6496  β€˜cfv 6497   Isom wiso 6498  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  lecple 17145   /s cqus 17392  Posetcpo 18201  toInccipo 18421  SubGrpcsubg 18927  NrmSGrpcnsg 18928   ~QG cqg 18929  LSSumclsm 19421  MGalConncmgc 31888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-ec 8653  df-qs 8657  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ocomp 17159  df-ds 17160  df-0g 17328  df-imas 17395  df-qus 17396  df-proset 18189  df-poset 18207  df-ipo 18422  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-subg 18930  df-nsg 18931  df-eqg 18932  df-ghm 19011  df-oppg 19129  df-lsm 19423  df-mnt 31889  df-mgc 31890
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator