Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nsgqusf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nsgqusf1o 31126
 Description: The canonical projection homomorphism 𝐸 defines a bijective correspondence between the set 𝑆 of subgroups of 𝐺 containing a normal subgroup 𝑁 and the subgroups of the quotient group 𝐺 / 𝑁. This theorem is sometimes called the correspondence theorem, or the fourth isomorphism theorem. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
nsgqusf1o.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
nsgqusf1o.s 𝑆 = { ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝑁}
nsgqusf1o.t 𝑇 = (SubGrp‘𝑄)
nsgqusf1o.1 = (le‘(toInc‘𝑆))
nsgqusf1o.2 = (le‘(toInc‘𝑇))
nsgqusf1o.q 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
nsgqusf1o.p = (LSSum‘𝐺)
nsgqusf1o.e 𝐸 = (𝑆 ↦ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)))
nsgqusf1o.f 𝐹 = (𝑓𝑇 ↦ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓})
nsgqusf1o.n (𝜑𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
nsgqusf1o (𝜑𝐸:𝑆1-1-onto𝑇)
Distinct variable groups:   ,𝑎,𝑓,,𝑥   𝐵,𝑎,𝑓,,𝑥   𝐸,𝑎,𝑓,,𝑥   𝑓,𝐹,,𝑥   𝐺,𝑎,𝑓,,𝑥   𝑁,𝑎,𝑓,,𝑥   𝑄,𝑎,𝑓,,𝑥   𝑆,𝑎,𝑓,,𝑥   𝑇,𝑎,𝑓,,𝑥   𝜑,𝑎,𝑓,,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑎)   (𝑥,𝑓,,𝑎)   (𝑥,𝑓,,𝑎)

Proof of Theorem nsgqusf1o
StepHypRef Expression
1 eqid 2758 . . . 4 ((toInc‘𝑆)MGalConn(toInc‘𝑇)) = ((toInc‘𝑆)MGalConn(toInc‘𝑇))
2 nsgqusf1o.s . . . . . 6 𝑆 = { ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝑁}
3 fvex 6675 . . . . . 6 (SubGrp‘𝐺) ∈ V
42, 3rabex2 5207 . . . . 5 𝑆 ∈ V
5 eqid 2758 . . . . . 6 (toInc‘𝑆) = (toInc‘𝑆)
65ipobas 17836 . . . . 5 (𝑆 ∈ V → 𝑆 = (Base‘(toInc‘𝑆)))
74, 6ax-mp 5 . . . 4 𝑆 = (Base‘(toInc‘𝑆))
8 nsgqusf1o.t . . . . . 6 𝑇 = (SubGrp‘𝑄)
98fvexi 6676 . . . . 5 𝑇 ∈ V
10 eqid 2758 . . . . . 6 (toInc‘𝑇) = (toInc‘𝑇)
1110ipobas 17836 . . . . 5 (𝑇 ∈ V → 𝑇 = (Base‘(toInc‘𝑇)))
129, 11ax-mp 5 . . . 4 𝑇 = (Base‘(toInc‘𝑇))
13 nsgqusf1o.1 . . . 4 = (le‘(toInc‘𝑆))
14 nsgqusf1o.2 . . . 4 = (le‘(toInc‘𝑇))
155ipopos 17841 . . . . 5 (toInc‘𝑆) ∈ Poset
1615a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (toInc‘𝑆) ∈ Poset)
1710ipopos 17841 . . . . 5 (toInc‘𝑇) ∈ Poset
1817a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (toInc‘𝑇) ∈ Poset)
19 nsgqusf1o.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
20 nsgqusf1o.q . . . . 5 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
21 nsgqusf1o.p . . . . 5 = (LSSum‘𝐺)
22 nsgqusf1o.e . . . . 5 𝐸 = (𝑆 ↦ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)))
23 nsgqusf1o.f . . . . 5 𝐹 = (𝑓𝑇 ↦ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝑓})
24 nsgqusf1o.n . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
2519, 2, 8, 1, 5, 10, 20, 21, 22, 23, 24nsgmgc 31122 . . . 4 (𝜑𝐸((toInc‘𝑆)MGalConn(toInc‘𝑇))𝐹)
261, 7, 12, 13, 14, 16, 18, 25mgcf1o 30811 . . 3 (𝜑 → (𝐸 ↾ ran 𝐹) Isom , (ran 𝐹, ran 𝐸))
27 isof1o 7075 . . 3 ((𝐸 ↾ ran 𝐹) Isom , (ran 𝐹, ran 𝐸) → (𝐸 ↾ ran 𝐹):ran 𝐹1-1-onto→ran 𝐸)
2826, 27syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐸 ↾ ran 𝐹):ran 𝐹1-1-onto→ran 𝐸)
2919, 2, 8, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 24nsgqusf1olem3 31125 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐹 = 𝑆)
3029reseq2d 5827 . . . 4 (𝜑 → (𝐸 ↾ ran 𝐹) = (𝐸𝑆))
31 nfv 1915 . . . . . 6 𝜑
32 vex 3413 . . . . . . . . 9 ∈ V
3332mptex 6982 . . . . . . . 8 (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)) ∈ V
3433rnex 7627 . . . . . . 7 ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)) ∈ V
3534a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑆) → ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)) ∈ V)
3631, 35, 22fnmptd 6476 . . . . 5 (𝜑𝐸 Fn 𝑆)
37 fnresdm 6453 . . . . 5 (𝐸 Fn 𝑆 → (𝐸𝑆) = 𝐸)
3836, 37syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐸𝑆) = 𝐸)
3930, 38eqtrd 2793 . . 3 (𝜑 → (𝐸 ↾ ran 𝐹) = 𝐸)
4019, 2, 8, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 24nsgqusf1olem2 31124 . . 3 (𝜑 → ran 𝐸 = 𝑇)
4139, 29, 40f1oeq123d 6600 . 2 (𝜑 → ((𝐸 ↾ ran 𝐹):ran 𝐹1-1-onto→ran 𝐸𝐸:𝑆1-1-onto𝑇))
4228, 41mpbid 235 1 (𝜑𝐸:𝑆1-1-onto𝑇)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3074  Vcvv 3409   ⊆ wss 3860  {csn 4525   ↦ cmpt 5115  ran crn 5528   ↾ cres 5529   Fn wfn 6334  –1-1-onto→wf1o 6338  ‘cfv 6339   Isom wiso 6340  (class class class)co 7155  Basecbs 16546  lecple 16635   /s cqus 16841  Posetcpo 17621  toInccipo 17832  SubGrpcsubg 18345  NrmSGrpcnsg 18346   ~QG cqg 18347  LSSumclsm 18831  MGalConncmgc 30787 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-tpos 7907  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-er 8304  df-ec 8306  df-qs 8310  df-map 8423  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-sup 8944  df-inf 8945  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-4 11744  df-5 11745  df-6 11746  df-7 11747  df-8 11748  df-9 11749  df-n0 11940  df-z 12026  df-dec 12143  df-uz 12288  df-fz 12945  df-struct 16548  df-ndx 16549  df-slot 16550  df-base 16552  df-sets 16553  df-ress 16554  df-plusg 16641  df-mulr 16642  df-sca 16644  df-vsca 16645  df-ip 16646  df-tset 16647  df-ple 16648  df-ocomp 16649  df-ds 16650  df-0g 16778  df-imas 16844  df-qus 16845  df-proset 17609  df-poset 17627  df-ipo 17833  df-mgm 17923  df-sgrp 17972  df-mnd 17983  df-submnd 18028  df-grp 18177  df-minusg 18178  df-subg 18348  df-nsg 18349  df-eqg 18350  df-ghm 18428  df-oppg 18546  df-lsm 18833  df-mnt 30788  df-mgc 30789 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator