Theorem nsgqusf1o 33500

Description: The canonical projection homomorphism 𝐸 defines a bijective correspondence between the set 𝑆 of subgroups of 𝐺 containing a normal subgroup 𝑁 and the subgroups of the quotient group 𝐺 / 𝑁. This theorem is sometimes called the correspondence theorem, or the fourth isomorphism theorem. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nsgqusf1o.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
nsgqusf1o.s	⊢ 𝑆 = {ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝑁 ⊆ ℎ}
nsgqusf1o.t	⊢ 𝑇 = (SubGrp‘𝑄)
nsgqusf1o.1	⊢ ≤ = (le‘(toInc‘𝑆))
nsgqusf1o.2	⊢ ≲ = (le‘(toInc‘𝑇))
nsgqusf1o.q	⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
nsgqusf1o.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
nsgqusf1o.e	⊢ 𝐸 = (ℎ ∈ 𝑆 ↦ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
nsgqusf1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓})
nsgqusf1o.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
nsgqusf1o	⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑆–1-1-onto→𝑇)

Distinct variable groups:   ⊕ ,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥   𝐵,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥   𝐸,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥   𝑓,𝐹,ℎ,𝑥   𝐺,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥   𝑁,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥   𝑄,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥   𝑆,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥   𝑇,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥   𝜑,𝑎,𝑓,ℎ,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑎)   ≤ (𝑥,𝑓,ℎ,𝑎)   ≲ (𝑥,𝑓,ℎ,𝑎)

Proof of Theorem nsgqusf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2739	. . . 4 ⊢ ((toInc‘𝑆)MGalConn(toInc‘𝑇)) = ((toInc‘𝑆)MGalConn(toInc‘𝑇))
2		nsgqusf1o.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = {ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝑁 ⊆ ℎ}
3		fvex 6841	. . . . . 6 ⊢ (SubGrp‘𝐺) ∈ V
4	2, 3	rabex2 5270	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ∈ V
5		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (toInc‘𝑆) = (toInc‘𝑆)
6	5	ipobas 18489	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ V → 𝑆 = (Base‘(toInc‘𝑆)))
7	4, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Base‘(toInc‘𝑆))
8		nsgqusf1o.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (SubGrp‘𝑄)
9	8	fvexi 6842	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ V
10		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (toInc‘𝑇) = (toInc‘𝑇)
11	10	ipobas 18489	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ V → 𝑇 = (Base‘(toInc‘𝑇)))
12	9, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (Base‘(toInc‘𝑇))
13		nsgqusf1o.1	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘(toInc‘𝑆))
14		nsgqusf1o.2	. . . 4 ⊢ ≲ = (le‘(toInc‘𝑇))
15	5	ipopos 18494	. . . . 5 ⊢ (toInc‘𝑆) ∈ Poset
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (toInc‘𝑆) ∈ Poset)
17	10	ipopos 18494	. . . . 5 ⊢ (toInc‘𝑇) ∈ Poset
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (toInc‘𝑇) ∈ Poset)
19		nsgqusf1o.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
20		nsgqusf1o.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
21		nsgqusf1o.p	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
22		nsgqusf1o.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (ℎ ∈ 𝑆 ↦ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
23		nsgqusf1o.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝑓})
24		nsgqusf1o.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
25	19, 2, 8, 1, 5, 10, 20, 21, 22, 23, 24	nsgmgc 33496	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸((toInc‘𝑆)MGalConn(toInc‘𝑇))𝐹)
26	1, 7, 12, 13, 14, 16, 18, 25	mgcf1o 33083	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾ ran 𝐹) Isom ≤ , ≲ (ran 𝐹, ran 𝐸))
27		isof1o 7268	. . 3 ⊢ ((𝐸 ↾ ran 𝐹) Isom ≤ , ≲ (ran 𝐹, ran 𝐸) → (𝐸 ↾ ran 𝐹):ran 𝐹–1-1-onto→ran 𝐸)
28	26, 27	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾ ran 𝐹):ran 𝐹–1-1-onto→ran 𝐸)
29	19, 2, 8, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 24	nsgqusf1olem3 33499	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = 𝑆)
30	29	reseq2d 5932	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾ ran 𝐹) = (𝐸 ↾ 𝑆))
31		nfv 1921	. . . . . 6 ⊢ Ⅎℎ𝜑
32		vex 3435	. . . . . . . . 9 ⊢ ℎ ∈ V
33	32	mptex 7168	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) ∈ V
34	33	rnex 7851	. . . . . . 7 ⊢ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) ∈ V
35	34	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ 𝑆) → ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) ∈ V)
36	31, 35, 22	fnmptd 6627	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 Fn 𝑆)
37		fnresdm 6605	. . . . 5 ⊢ (𝐸 Fn 𝑆 → (𝐸 ↾ 𝑆) = 𝐸)
38	36, 37	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾ 𝑆) = 𝐸)
39	30, 38	eqtrd 2774	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾ ran 𝐹) = 𝐸)
40	19, 2, 8, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 24	nsgqusf1olem2 33498	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐸 = 𝑇)
41	39, 29, 40	f1oeq123d 6762	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ↾ ran 𝐹):ran 𝐹–1-1-onto→ran 𝐸 ↔ 𝐸:𝑆–1-1-onto→𝑇))
42	28, 41	mpbid 233	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑆–1-1-onto→𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {crab 3391  Vcvv 3431   ⊆ wss 3883  {csn 4556   ↦ cmpt 5154  ran crn 5620   ↾ cres 5621   Fn wfn 6481  –1-1-onto→wf1o 6485  ‘cfv 6486   Isom wiso 6487  (class class class)co 7357  Basecbs 17171  lecple 17219   /_s cqus 17461  Posetcpo 18265  toInccipo 18485  SubGrpcsubg 19088  NrmSGrpcnsg 19089   ~_QG cqg 19090  LSSumclsm 19601  MGalConncmgc 33059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-tpos 8167  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-ec 8636  df-qs 8640  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-inf 9347  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-4 12238  df-5 12239  df-6 12240  df-7 12241  df-8 12242  df-9 12243  df-n0 12430  df-z 12517  df-dec 12637  df-uz 12781  df-fz 13454  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17172  df-ress 17193  df-plusg 17225  df-mulr 17226  df-sca 17228  df-vsca 17229  df-ip 17230  df-tset 17231  df-ple 17232  df-ocomp 17233  df-ds 17234  df-0g 17396  df-imas 17464  df-qus 17465  df-proset 18252  df-poset 18271  df-ipo 18486  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18744  df-grp 18904  df-minusg 18905  df-subg 19091  df-nsg 19092  df-eqg 19093  df-ghm 19180  df-oppg 19313  df-lsm 19603  df-mnt 33060  df-mgc 33061

This theorem is referenced by: (None)