Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpmcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cycpmcl 32262
Description: Cyclic permutations are permutations. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
tocycval.1 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
tocycfv.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
tocycfv.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word 𝐷)
tocycfv.1 (πœ‘ β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷)
cycpmcl.s 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
cycpmcl (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜π‘Š) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
Proof of Theorem cycpmcl
StepHypRef Expression
1 f1oi 6868 . . . . 5 ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)):(𝐷 βˆ– ran π‘Š)–1-1-ontoβ†’(𝐷 βˆ– ran π‘Š)
21a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)):(𝐷 βˆ– ran π‘Š)–1-1-ontoβ†’(𝐷 βˆ– ran π‘Š))
3 tocycfv.w . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word 𝐷)
4 1zzd 12589 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
5 cshwf 14746 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (π‘Š cyclShift 1):(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢𝐷)
63, 4, 5syl2anc 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘Š cyclShift 1):(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢𝐷)
76ffnd 6715 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Š cyclShift 1) Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
8 tocycfv.1 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷)
9 df-f1 6545 . . . . . . . . . 10 (π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷 ↔ (π‘Š:dom π‘ŠβŸΆπ· ∧ Fun β—‘π‘Š))
108, 9sylib 217 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘Š:dom π‘ŠβŸΆπ· ∧ Fun β—‘π‘Š))
1110simprd 496 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Fun β—‘π‘Š)
12 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (π‘Š cyclShift 1) = (π‘Š cyclShift 1)
13 cshinj 14757 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ Fun β—‘π‘Š ∧ 1 ∈ β„€) β†’ ((π‘Š cyclShift 1) = (π‘Š cyclShift 1) β†’ Fun β—‘(π‘Š cyclShift 1)))
1412, 13mpi 20 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ Fun β—‘π‘Š ∧ 1 ∈ β„€) β†’ Fun β—‘(π‘Š cyclShift 1))
153, 11, 4, 14syl3anc 1371 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Fun β—‘(π‘Š cyclShift 1))
16 f1orn 6840 . . . . . . 7 ((π‘Š cyclShift 1):(0..^(β™―β€˜π‘Š))–1-1-ontoβ†’ran (π‘Š cyclShift 1) ↔ ((π‘Š cyclShift 1) Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ∧ Fun β—‘(π‘Š cyclShift 1)))
177, 15, 16sylanbrc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Š cyclShift 1):(0..^(β™―β€˜π‘Š))–1-1-ontoβ†’ran (π‘Š cyclShift 1))
18 eqidd 2733 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Š cyclShift 1) = (π‘Š cyclShift 1))
19 wrdf 14465 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢𝐷)
203, 19syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢𝐷)
2120fdmd 6725 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ dom π‘Š = (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
22 cshwrnid 32112 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ β„€) β†’ ran (π‘Š cyclShift 1) = ran π‘Š)
233, 4, 22syl2anc 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ran (π‘Š cyclShift 1) = ran π‘Š)
2423eqcomd 2738 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran π‘Š = ran (π‘Š cyclShift 1))
2518, 21, 24f1oeq123d 6824 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘Š cyclShift 1):dom π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š ↔ (π‘Š cyclShift 1):(0..^(β™―β€˜π‘Š))–1-1-ontoβ†’ran (π‘Š cyclShift 1)))
2617, 25mpbird 256 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Š cyclShift 1):dom π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š)
27 f1f1orn 6841 . . . . . 6 (π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷 β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š)
28 f1ocnv 6842 . . . . . 6 (π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š β†’ β—‘π‘Š:ran π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’dom π‘Š)
298, 27, 283syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ β—‘π‘Š:ran π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’dom π‘Š)
30 f1oco 6853 . . . . 5 (((π‘Š cyclShift 1):dom π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š ∧ β—‘π‘Š:ran π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’dom π‘Š) β†’ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š):ran π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š)
3126, 29, 30syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š):ran π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š)
32 disjdifr 4471 . . . . 5 ((𝐷 βˆ– ran π‘Š) ∩ ran π‘Š) = βˆ…
3332a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐷 βˆ– ran π‘Š) ∩ ran π‘Š) = βˆ…)
34 f1oun 6849 . . . 4 (((( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)):(𝐷 βˆ– ran π‘Š)–1-1-ontoβ†’(𝐷 βˆ– ran π‘Š) ∧ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š):ran π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š) ∧ (((𝐷 βˆ– ran π‘Š) ∩ ran π‘Š) = βˆ… ∧ ((𝐷 βˆ– ran π‘Š) ∩ ran π‘Š) = βˆ…)) β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)):((𝐷 βˆ– ran π‘Š) βˆͺ ran π‘Š)–1-1-ontoβ†’((𝐷 βˆ– ran π‘Š) βˆͺ ran π‘Š))
352, 31, 33, 33, 34syl22anc 837 . . 3 (πœ‘ β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)):((𝐷 βˆ– ran π‘Š) βˆͺ ran π‘Š)–1-1-ontoβ†’((𝐷 βˆ– ran π‘Š) βˆͺ ran π‘Š))
36 tocycval.1 . . . . 5 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
37 tocycfv.d . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
3836, 37, 3, 8tocycfv 32255 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜π‘Š) = (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)))
3920frnd 6722 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran π‘Š βŠ† 𝐷)
40 undif 4480 . . . . . 6 (ran π‘Š βŠ† 𝐷 ↔ (ran π‘Š βˆͺ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) = 𝐷)
4139, 40sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ran π‘Š βˆͺ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) = 𝐷)
42 uncom 4152 . . . . 5 (ran π‘Š βˆͺ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) = ((𝐷 βˆ– ran π‘Š) βˆͺ ran π‘Š)
4341, 42eqtr3di 2787 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 = ((𝐷 βˆ– ran π‘Š) βˆͺ ran π‘Š))
4438, 43, 43f1oeq123d 6824 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΆβ€˜π‘Š):𝐷–1-1-onto→𝐷 ↔ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)):((𝐷 βˆ– ran π‘Š) βˆͺ ran π‘Š)–1-1-ontoβ†’((𝐷 βˆ– ran π‘Š) βˆͺ ran π‘Š)))
4535, 44mpbird 256 . 2 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜π‘Š):𝐷–1-1-onto→𝐷)
46 fvex 6901 . . 3 (πΆβ€˜π‘Š) ∈ V
47 cycpmcl.s . . . 4 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
48 eqid 2732 . . . 4 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
4947, 48elsymgbas2 19234 . . 3 ((πΆβ€˜π‘Š) ∈ V β†’ ((πΆβ€˜π‘Š) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↔ (πΆβ€˜π‘Š):𝐷–1-1-onto→𝐷))
5046, 49ax-mp 5 . 2 ((πΆβ€˜π‘Š) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↔ (πΆβ€˜π‘Š):𝐷–1-1-onto→𝐷)
5145, 50sylibr 233 1 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜π‘Š) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3944   βˆͺ cun 3945   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321   I cid 5572  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677   ∘ ccom 5679  Fun wfun 6534   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€“1-1β†’wf1 6537  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6539  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  0cc0 11106  1c1 11107  β„€cz 12554  ..^cfzo 13623  β™―chash 14286  Word cword 14460   cyclShift ccsh 14734  Basecbs 17140  SymGrpcsymg 19228  toCycctocyc 32252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-hash 14287  df-word 14461  df-concat 14517  df-substr 14587  df-pfx 14617  df-csh 14735  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-tset 17212  df-efmnd 18746  df-symg 19229  df-tocyc 32253
This theorem is referenced by:  tocycf  32263  cycpm2cl  32266  cycpmco2  32279  cycpm3cl  32281  cycpmrn  32289  cyc3evpm  32296  cycpmgcl  32299
  Copyright terms: Public domain W3C validator