Theorem cycpmcl 33136

Description: Cyclic permutations are permutations. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
tocycval.1	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
tocycfv.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
tocycfv.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
tocycfv.1	⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
cycpmcl.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
cycpmcl	⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑊) ∈ (Base‘𝑆))

Proof of Theorem cycpmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 6886	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)):(𝐷 ∖ ran 𝑊)–1-1-onto→(𝐷 ∖ ran 𝑊)
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)):(𝐷 ∖ ran 𝑊)–1-1-onto→(𝐷 ∖ ran 𝑊))
3		tocycfv.w	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
4		1zzd 12648	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
5		cshwf 14838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 1):(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷)
6	3, 4, 5	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1):(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷)
7	6	ffnd 6737	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
8		tocycfv.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
9		df-f1 6566	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ↔ (𝑊:dom 𝑊⟶𝐷 ∧ Fun ◡𝑊))
10	8, 9	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑊:dom 𝑊⟶𝐷 ∧ Fun ◡𝑊))
11	10	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝑊)
12		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 cyclShift 1) = (𝑊 cyclShift 1)
13		cshinj 14849	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ Fun ◡𝑊 ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑊 cyclShift 1) = (𝑊 cyclShift 1) → Fun ◡(𝑊 cyclShift 1)))
14	12, 13	mpi 20	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ Fun ◡𝑊 ∧ 1 ∈ ℤ) → Fun ◡(𝑊 cyclShift 1))
15	3, 11, 4, 14	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Fun ◡(𝑊 cyclShift 1))
16		f1orn 6858	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 cyclShift 1):(0..^(♯‘𝑊))–1-1-onto→ran (𝑊 cyclShift 1) ↔ ((𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ Fun ◡(𝑊 cyclShift 1)))
17	7, 15, 16	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1):(0..^(♯‘𝑊))–1-1-onto→ran (𝑊 cyclShift 1))
18		eqidd 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1) = (𝑊 cyclShift 1))
19		wrdf 14557	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷)
20	3, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷)
21	20	fdmd 6746	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
22		cshwrnid 32946	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ ℤ) → ran (𝑊 cyclShift 1) = ran 𝑊)
23	3, 4, 22	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran (𝑊 cyclShift 1) = ran 𝑊)
24	23	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran 𝑊 = ran (𝑊 cyclShift 1))
25	18, 21, 24	f1oeq123d 6842	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1):dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊 ↔ (𝑊 cyclShift 1):(0..^(♯‘𝑊))–1-1-onto→ran (𝑊 cyclShift 1)))
26	17, 25	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1):dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)
27		f1f1orn 6859	. . . . . 6 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 → 𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)
28		f1ocnv 6860	. . . . . 6 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊 → ◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊)
29	8, 27, 28	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊)
30		f1oco 6871	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 cyclShift 1):dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊 ∧ ◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊) → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊):ran 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)
31	26, 29, 30	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊):ran 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)
32		disjdifr 4473	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊) = ∅
33	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊) = ∅)
34		f1oun 6867	. . . 4 ⊢ (((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)):(𝐷 ∖ ran 𝑊)–1-1-onto→(𝐷 ∖ ran 𝑊) ∧ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊):ran 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊) ∧ (((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊) = ∅ ∧ ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊) = ∅)) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)):((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊)–1-1-onto→((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊))
35	2, 31, 33, 33, 34	syl22anc 839	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)):((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊)–1-1-onto→((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊))
36		tocycval.1	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
37		tocycfv.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
38	36, 37, 3, 8	tocycfv 33129	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)))
39	20	frnd 6744	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran 𝑊 ⊆ 𝐷)
40		undif 4482	. . . . . 6 ⊢ (ran 𝑊 ⊆ 𝐷 ↔ (ran 𝑊 ∪ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) = 𝐷)
41	39, 40	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ran 𝑊 ∪ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) = 𝐷)
42		uncom 4158	. . . . 5 ⊢ (ran 𝑊 ∪ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) = ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊)
43	41, 42	eqtr3di 2792	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊))
44	38, 43, 43	f1oeq123d 6842	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘𝑊):𝐷–1-1-onto→𝐷 ↔ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)):((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊)–1-1-onto→((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊)))
45	35, 44	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑊):𝐷–1-1-onto→𝐷)
46		fvex 6919	. . 3 ⊢ (𝐶‘𝑊) ∈ V
47		cycpmcl.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
48		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
49	47, 48	elsymgbas2 19390	. . 3 ⊢ ((𝐶‘𝑊) ∈ V → ((𝐶‘𝑊) ∈ (Base‘𝑆) ↔ (𝐶‘𝑊):𝐷–1-1-onto→𝐷))
50	46, 49	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝐶‘𝑊) ∈ (Base‘𝑆) ↔ (𝐶‘𝑊):𝐷–1-1-onto→𝐷)
51	45, 50	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑊) ∈ (Base‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   ∖ cdif 3948   ∪ cun 3949   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333   I cid 5577  ^◡ccnv 5684  dom cdm 5685  ran crn 5686   ↾ cres 5687   ∘ ccom 5689  Fun wfun 6555   Fn wfn 6556  ⟶wf 6557  –1-1→wf1 6558  –1-1-onto→wf1o 6560  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156  ℤcz 12613  ..^cfzo 13694  ♯chash 14369  Word cword 14552   cyclShift ccsh 14826  Basecbs 17247  SymGrpcsymg 19386  toCycctocyc 33126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-csh 14827  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-tset 17316  df-efmnd 18882  df-symg 19387  df-tocyc 33127

This theorem is referenced by:  tocycf  33137  cycpm2cl  33140  cycpmco2  33153  cycpm3cl  33155  cycpmrn  33163  cyc3evpm  33170  cycpmgcl  33173