Theorem cycpmcl 31383

Description: Cyclic permutations are permutations. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
tocycval.1	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
tocycfv.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
tocycfv.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
tocycfv.1	⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
cycpmcl.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
cycpmcl	⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑊) ∈ (Base‘𝑆))

Proof of Theorem cycpmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 6754	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)):(𝐷 ∖ ran 𝑊)–1-1-onto→(𝐷 ∖ ran 𝑊)
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)):(𝐷 ∖ ran 𝑊)–1-1-onto→(𝐷 ∖ ran 𝑊))
3		tocycfv.w	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
4		1zzd 12351	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
5		cshwf 14513	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 1):(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷)
6	3, 4, 5	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1):(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷)
7	6	ffnd 6601	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
8		tocycfv.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
9		df-f1 6438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ↔ (𝑊:dom 𝑊⟶𝐷 ∧ Fun ◡𝑊))
10	8, 9	sylib 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑊:dom 𝑊⟶𝐷 ∧ Fun ◡𝑊))
11	10	simprd 496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝑊)
12		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 cyclShift 1) = (𝑊 cyclShift 1)
13		cshinj 14524	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ Fun ◡𝑊 ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑊 cyclShift 1) = (𝑊 cyclShift 1) → Fun ◡(𝑊 cyclShift 1)))
14	12, 13	mpi 20	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ Fun ◡𝑊 ∧ 1 ∈ ℤ) → Fun ◡(𝑊 cyclShift 1))
15	3, 11, 4, 14	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Fun ◡(𝑊 cyclShift 1))
16		f1orn 6726	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 cyclShift 1):(0..^(♯‘𝑊))–1-1-onto→ran (𝑊 cyclShift 1) ↔ ((𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ Fun ◡(𝑊 cyclShift 1)))
17	7, 15, 16	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1):(0..^(♯‘𝑊))–1-1-onto→ran (𝑊 cyclShift 1))
18		eqidd 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1) = (𝑊 cyclShift 1))
19		wrdf 14222	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷)
20	3, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷)
21	20	fdmd 6611	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
22		cshwrnid 31233	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ ℤ) → ran (𝑊 cyclShift 1) = ran 𝑊)
23	3, 4, 22	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran (𝑊 cyclShift 1) = ran 𝑊)
24	23	eqcomd 2744	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran 𝑊 = ran (𝑊 cyclShift 1))
25	18, 21, 24	f1oeq123d 6710	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1):dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊 ↔ (𝑊 cyclShift 1):(0..^(♯‘𝑊))–1-1-onto→ran (𝑊 cyclShift 1)))
26	17, 25	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1):dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)
27		f1f1orn 6727	. . . . . 6 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 → 𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)
28		f1ocnv 6728	. . . . . 6 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊 → ◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊)
29	8, 27, 28	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊)
30		f1oco 6739	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 cyclShift 1):dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊 ∧ ◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊) → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊):ran 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)
31	26, 29, 30	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊):ran 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)
32		disjdifr 4406	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊) = ∅
33	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊) = ∅)
34		f1oun 6735	. . . 4 ⊢ (((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)):(𝐷 ∖ ran 𝑊)–1-1-onto→(𝐷 ∖ ran 𝑊) ∧ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊):ran 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊) ∧ (((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊) = ∅ ∧ ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊) = ∅)) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)):((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊)–1-1-onto→((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊))
35	2, 31, 33, 33, 34	syl22anc 836	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)):((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊)–1-1-onto→((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊))
36		tocycval.1	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
37		tocycfv.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
38	36, 37, 3, 8	tocycfv 31376	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)))
39	20	frnd 6608	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran 𝑊 ⊆ 𝐷)
40		undif 4415	. . . . . 6 ⊢ (ran 𝑊 ⊆ 𝐷 ↔ (ran 𝑊 ∪ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) = 𝐷)
41	39, 40	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ran 𝑊 ∪ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) = 𝐷)
42		uncom 4087	. . . . 5 ⊢ (ran 𝑊 ∪ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) = ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊)
43	41, 42	eqtr3di 2793	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊))
44	38, 43, 43	f1oeq123d 6710	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘𝑊):𝐷–1-1-onto→𝐷 ↔ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)):((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊)–1-1-onto→((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊)))
45	35, 44	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑊):𝐷–1-1-onto→𝐷)
46		fvex 6787	. . 3 ⊢ (𝐶‘𝑊) ∈ V
47		cycpmcl.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
48		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
49	47, 48	elsymgbas2 18980	. . 3 ⊢ ((𝐶‘𝑊) ∈ V → ((𝐶‘𝑊) ∈ (Base‘𝑆) ↔ (𝐶‘𝑊):𝐷–1-1-onto→𝐷))
50	46, 49	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝐶‘𝑊) ∈ (Base‘𝑆) ↔ (𝐶‘𝑊):𝐷–1-1-onto→𝐷)
51	45, 50	sylibr 233	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑊) ∈ (Base‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   ∖ cdif 3884   ∪ cun 3885   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256   I cid 5488  ^◡ccnv 5588  dom cdm 5589  ran crn 5590   ↾ cres 5591   ∘ ccom 5593  Fun wfun 6427   Fn wfn 6428  ⟶wf 6429  –1-1→wf1 6430  –1-1-onto→wf1o 6432  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872  ℤcz 12319  ..^cfzo 13382  ♯chash 14044  Word cword 14217   cyclShift ccsh 14501  Basecbs 16912  SymGrpcsymg 18974  toCycctocyc 31373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-hash 14045  df-word 14218  df-concat 14274  df-substr 14354  df-pfx 14384  df-csh 14502  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-tset 16981  df-efmnd 18508  df-symg 18975  df-tocyc 31374

This theorem is referenced by:  tocycf  31384  cycpm2cl  31387  cycpmco2  31400  cycpm3cl  31402  cycpmrn  31410  cyc3evpm  31417  cycpmgcl  31420