Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpmcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycpmcl 33136
Description: Cyclic permutations are permutations. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
tocycval.1 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
tocycfv.d (𝜑𝐷𝑉)
tocycfv.w (𝜑𝑊 ∈ Word 𝐷)
tocycfv.1 (𝜑𝑊:dom 𝑊1-1𝐷)
cycpmcl.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
cycpmcl (𝜑 → (𝐶𝑊) ∈ (Base‘𝑆))

Proof of Theorem cycpmcl
StepHypRef Expression
1 f1oi 6886 . . . . 5 ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)):(𝐷 ∖ ran 𝑊)–1-1-onto→(𝐷 ∖ ran 𝑊)
21a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)):(𝐷 ∖ ran 𝑊)–1-1-onto→(𝐷 ∖ ran 𝑊))
3 tocycfv.w . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝐷)
4 1zzd 12648 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
5 cshwf 14838 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 1):(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷)
63, 4, 5syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1):(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷)
76ffnd 6737 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
8 tocycfv.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊:dom 𝑊1-1𝐷)
9 df-f1 6566 . . . . . . . . . 10 (𝑊:dom 𝑊1-1𝐷 ↔ (𝑊:dom 𝑊𝐷 ∧ Fun 𝑊))
108, 9sylib 218 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑊:dom 𝑊𝐷 ∧ Fun 𝑊))
1110simprd 495 . . . . . . . 8 (𝜑 → Fun 𝑊)
12 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝑊 cyclShift 1) = (𝑊 cyclShift 1)
13 cshinj 14849 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ Fun 𝑊 ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑊 cyclShift 1) = (𝑊 cyclShift 1) → Fun (𝑊 cyclShift 1)))
1412, 13mpi 20 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ Fun 𝑊 ∧ 1 ∈ ℤ) → Fun (𝑊 cyclShift 1))
153, 11, 4, 14syl3anc 1373 . . . . . . 7 (𝜑 → Fun (𝑊 cyclShift 1))
16 f1orn 6858 . . . . . . 7 ((𝑊 cyclShift 1):(0..^(♯‘𝑊))–1-1-onto→ran (𝑊 cyclShift 1) ↔ ((𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ Fun (𝑊 cyclShift 1)))
177, 15, 16sylanbrc 583 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1):(0..^(♯‘𝑊))–1-1-onto→ran (𝑊 cyclShift 1))
18 eqidd 2738 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1) = (𝑊 cyclShift 1))
19 wrdf 14557 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word 𝐷𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷)
203, 19syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷)
2120fdmd 6746 . . . . . . 7 (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
22 cshwrnid 32946 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ ℤ) → ran (𝑊 cyclShift 1) = ran 𝑊)
233, 4, 22syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran (𝑊 cyclShift 1) = ran 𝑊)
2423eqcomd 2743 . . . . . . 7 (𝜑 → ran 𝑊 = ran (𝑊 cyclShift 1))
2518, 21, 24f1oeq123d 6842 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1):dom 𝑊1-1-onto→ran 𝑊 ↔ (𝑊 cyclShift 1):(0..^(♯‘𝑊))–1-1-onto→ran (𝑊 cyclShift 1)))
2617, 25mpbird 257 . . . . 5 (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1):dom 𝑊1-1-onto→ran 𝑊)
27 f1f1orn 6859 . . . . . 6 (𝑊:dom 𝑊1-1𝐷𝑊:dom 𝑊1-1-onto→ran 𝑊)
28 f1ocnv 6860 . . . . . 6 (𝑊:dom 𝑊1-1-onto→ran 𝑊𝑊:ran 𝑊1-1-onto→dom 𝑊)
298, 27, 283syl 18 . . . . 5 (𝜑𝑊:ran 𝑊1-1-onto→dom 𝑊)
30 f1oco 6871 . . . . 5 (((𝑊 cyclShift 1):dom 𝑊1-1-onto→ran 𝑊𝑊:ran 𝑊1-1-onto→dom 𝑊) → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊):ran 𝑊1-1-onto→ran 𝑊)
3126, 29, 30syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊):ran 𝑊1-1-onto→ran 𝑊)
32 disjdifr 4473 . . . . 5 ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊) = ∅
3332a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊) = ∅)
34 f1oun 6867 . . . 4 (((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)):(𝐷 ∖ ran 𝑊)–1-1-onto→(𝐷 ∖ ran 𝑊) ∧ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊):ran 𝑊1-1-onto→ran 𝑊) ∧ (((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊) = ∅ ∧ ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊) = ∅)) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)):((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊)–1-1-onto→((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊))
352, 31, 33, 33, 34syl22anc 839 . . 3 (𝜑 → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)):((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊)–1-1-onto→((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊))
36 tocycval.1 . . . . 5 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
37 tocycfv.d . . . . 5 (𝜑𝐷𝑉)
3836, 37, 3, 8tocycfv 33129 . . . 4 (𝜑 → (𝐶𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)))
3920frnd 6744 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝑊𝐷)
40 undif 4482 . . . . . 6 (ran 𝑊𝐷 ↔ (ran 𝑊 ∪ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) = 𝐷)
4139, 40sylib 218 . . . . 5 (𝜑 → (ran 𝑊 ∪ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) = 𝐷)
42 uncom 4158 . . . . 5 (ran 𝑊 ∪ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) = ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊)
4341, 42eqtr3di 2792 . . . 4 (𝜑𝐷 = ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊))
4438, 43, 43f1oeq123d 6842 . . 3 (𝜑 → ((𝐶𝑊):𝐷1-1-onto𝐷 ↔ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)):((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊)–1-1-onto→((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊)))
4535, 44mpbird 257 . 2 (𝜑 → (𝐶𝑊):𝐷1-1-onto𝐷)
46 fvex 6919 . . 3 (𝐶𝑊) ∈ V
47 cycpmcl.s . . . 4 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
48 eqid 2737 . . . 4 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
4947, 48elsymgbas2 19390 . . 3 ((𝐶𝑊) ∈ V → ((𝐶𝑊) ∈ (Base‘𝑆) ↔ (𝐶𝑊):𝐷1-1-onto𝐷))
5046, 49ax-mp 5 . 2 ((𝐶𝑊) ∈ (Base‘𝑆) ↔ (𝐶𝑊):𝐷1-1-onto𝐷)
5145, 50sylibr 234 1 (𝜑 → (𝐶𝑊) ∈ (Base‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  cdif 3948  cun 3949  cin 3950  wss 3951  c0 4333   I cid 5577  ccnv 5684  dom cdm 5685  ran crn 5686  cres 5687  ccom 5689  Fun wfun 6555   Fn wfn 6556  wf 6557  1-1wf1 6558  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156  cz 12613  ..^cfzo 13694  chash 14369  Word cword 14552   cyclShift ccsh 14826  Basecbs 17247  SymGrpcsymg 19386  toCycctocyc 33126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-csh 14827  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-tset 17316  df-efmnd 18882  df-symg 19387  df-tocyc 33127
This theorem is referenced by:  tocycf  33137  cycpm2cl  33140  cycpmco2  33153  cycpm3cl  33155  cycpmrn  33163  cyc3evpm  33170  cycpmgcl  33173
  Copyright terms: Public domain W3C validator