Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpmcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cycpmcl 32858
Description: Cyclic permutations are permutations. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
tocycval.1 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
tocycfv.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
tocycfv.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word 𝐷)
tocycfv.1 (πœ‘ β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷)
cycpmcl.s 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
cycpmcl (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜π‘Š) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
Proof of Theorem cycpmcl
StepHypRef Expression
1 f1oi 6882 . . . . 5 ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)):(𝐷 βˆ– ran π‘Š)–1-1-ontoβ†’(𝐷 βˆ– ran π‘Š)
21a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)):(𝐷 βˆ– ran π‘Š)–1-1-ontoβ†’(𝐷 βˆ– ran π‘Š))
3 tocycfv.w . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word 𝐷)
4 1zzd 12631 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
5 cshwf 14790 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (π‘Š cyclShift 1):(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢𝐷)
63, 4, 5syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘Š cyclShift 1):(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢𝐷)
76ffnd 6728 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Š cyclShift 1) Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
8 tocycfv.1 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷)
9 df-f1 6558 . . . . . . . . . 10 (π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷 ↔ (π‘Š:dom π‘ŠβŸΆπ· ∧ Fun β—‘π‘Š))
108, 9sylib 217 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘Š:dom π‘ŠβŸΆπ· ∧ Fun β—‘π‘Š))
1110simprd 494 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Fun β—‘π‘Š)
12 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (π‘Š cyclShift 1) = (π‘Š cyclShift 1)
13 cshinj 14801 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ Fun β—‘π‘Š ∧ 1 ∈ β„€) β†’ ((π‘Š cyclShift 1) = (π‘Š cyclShift 1) β†’ Fun β—‘(π‘Š cyclShift 1)))
1412, 13mpi 20 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ Fun β—‘π‘Š ∧ 1 ∈ β„€) β†’ Fun β—‘(π‘Š cyclShift 1))
153, 11, 4, 14syl3anc 1368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Fun β—‘(π‘Š cyclShift 1))
16 f1orn 6854 . . . . . . 7 ((π‘Š cyclShift 1):(0..^(β™―β€˜π‘Š))–1-1-ontoβ†’ran (π‘Š cyclShift 1) ↔ ((π‘Š cyclShift 1) Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ∧ Fun β—‘(π‘Š cyclShift 1)))
177, 15, 16sylanbrc 581 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Š cyclShift 1):(0..^(β™―β€˜π‘Š))–1-1-ontoβ†’ran (π‘Š cyclShift 1))
18 eqidd 2729 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Š cyclShift 1) = (π‘Š cyclShift 1))
19 wrdf 14509 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢𝐷)
203, 19syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢𝐷)
2120fdmd 6738 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ dom π‘Š = (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
22 cshwrnid 32703 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ β„€) β†’ ran (π‘Š cyclShift 1) = ran π‘Š)
233, 4, 22syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ran (π‘Š cyclShift 1) = ran π‘Š)
2423eqcomd 2734 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran π‘Š = ran (π‘Š cyclShift 1))
2518, 21, 24f1oeq123d 6838 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘Š cyclShift 1):dom π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š ↔ (π‘Š cyclShift 1):(0..^(β™―β€˜π‘Š))–1-1-ontoβ†’ran (π‘Š cyclShift 1)))
2617, 25mpbird 256 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Š cyclShift 1):dom π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š)
27 f1f1orn 6855 . . . . . 6 (π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷 β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š)
28 f1ocnv 6856 . . . . . 6 (π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š β†’ β—‘π‘Š:ran π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’dom π‘Š)
298, 27, 283syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ β—‘π‘Š:ran π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’dom π‘Š)
30 f1oco 6867 . . . . 5 (((π‘Š cyclShift 1):dom π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š ∧ β—‘π‘Š:ran π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’dom π‘Š) β†’ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š):ran π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š)
3126, 29, 30syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š):ran π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š)
32 disjdifr 4476 . . . . 5 ((𝐷 βˆ– ran π‘Š) ∩ ran π‘Š) = βˆ…
3332a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐷 βˆ– ran π‘Š) ∩ ran π‘Š) = βˆ…)
34 f1oun 6863 . . . 4 (((( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)):(𝐷 βˆ– ran π‘Š)–1-1-ontoβ†’(𝐷 βˆ– ran π‘Š) ∧ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š):ran π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š) ∧ (((𝐷 βˆ– ran π‘Š) ∩ ran π‘Š) = βˆ… ∧ ((𝐷 βˆ– ran π‘Š) ∩ ran π‘Š) = βˆ…)) β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)):((𝐷 βˆ– ran π‘Š) βˆͺ ran π‘Š)–1-1-ontoβ†’((𝐷 βˆ– ran π‘Š) βˆͺ ran π‘Š))
352, 31, 33, 33, 34syl22anc 837 . . 3 (πœ‘ β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)):((𝐷 βˆ– ran π‘Š) βˆͺ ran π‘Š)–1-1-ontoβ†’((𝐷 βˆ– ran π‘Š) βˆͺ ran π‘Š))
36 tocycval.1 . . . . 5 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
37 tocycfv.d . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
3836, 37, 3, 8tocycfv 32851 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜π‘Š) = (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)))
3920frnd 6735 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran π‘Š βŠ† 𝐷)
40 undif 4485 . . . . . 6 (ran π‘Š βŠ† 𝐷 ↔ (ran π‘Š βˆͺ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) = 𝐷)
4139, 40sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ran π‘Š βˆͺ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) = 𝐷)
42 uncom 4154 . . . . 5 (ran π‘Š βˆͺ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) = ((𝐷 βˆ– ran π‘Š) βˆͺ ran π‘Š)
4341, 42eqtr3di 2783 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 = ((𝐷 βˆ– ran π‘Š) βˆͺ ran π‘Š))
4438, 43, 43f1oeq123d 6838 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΆβ€˜π‘Š):𝐷–1-1-onto→𝐷 ↔ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)):((𝐷 βˆ– ran π‘Š) βˆͺ ran π‘Š)–1-1-ontoβ†’((𝐷 βˆ– ran π‘Š) βˆͺ ran π‘Š)))
4535, 44mpbird 256 . 2 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜π‘Š):𝐷–1-1-onto→𝐷)
46 fvex 6915 . . 3 (πΆβ€˜π‘Š) ∈ V
47 cycpmcl.s . . . 4 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
48 eqid 2728 . . . 4 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
4947, 48elsymgbas2 19334 . . 3 ((πΆβ€˜π‘Š) ∈ V β†’ ((πΆβ€˜π‘Š) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↔ (πΆβ€˜π‘Š):𝐷–1-1-onto→𝐷))
5046, 49ax-mp 5 . 2 ((πΆβ€˜π‘Š) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↔ (πΆβ€˜π‘Š):𝐷–1-1-onto→𝐷)
5145, 50sylibr 233 1 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜π‘Š) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4326   I cid 5579  β—‘ccnv 5681  dom cdm 5682  ran crn 5683   β†Ύ cres 5684   ∘ ccom 5686  Fun wfun 6547   Fn wfn 6548  βŸΆwf 6549  β€“1-1β†’wf1 6550  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6552  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  0cc0 11146  1c1 11147  β„€cz 12596  ..^cfzo 13667  β™―chash 14329  Word cword 14504   cyclShift ccsh 14778  Basecbs 17187  SymGrpcsymg 19328  toCycctocyc 32848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-mod 13875  df-hash 14330  df-word 14505  df-concat 14561  df-substr 14631  df-pfx 14661  df-csh 14779  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-tset 17259  df-efmnd 18828  df-symg 19329  df-tocyc 32849
This theorem is referenced by:  tocycf  32859  cycpm2cl  32862  cycpmco2  32875  cycpm3cl  32877  cycpmrn  32885  cyc3evpm  32892  cycpmgcl  32895
  Copyright terms: Public domain W3C validator