Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpmcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycpmcl 32014
Description: Cyclic permutations are permutations. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
tocycval.1 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
tocycfv.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
tocycfv.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word 𝐷)
tocycfv.1 (πœ‘ β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷)
cycpmcl.s 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
cycpmcl (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜π‘Š) ∈ (Baseβ€˜π‘†))

Proof of Theorem cycpmcl
StepHypRef Expression
1 f1oi 6823 . . . . 5 ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)):(𝐷 βˆ– ran π‘Š)–1-1-ontoβ†’(𝐷 βˆ– ran π‘Š)
21a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)):(𝐷 βˆ– ran π‘Š)–1-1-ontoβ†’(𝐷 βˆ– ran π‘Š))
3 tocycfv.w . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word 𝐷)
4 1zzd 12539 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
5 cshwf 14694 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (π‘Š cyclShift 1):(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢𝐷)
63, 4, 5syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘Š cyclShift 1):(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢𝐷)
76ffnd 6670 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Š cyclShift 1) Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
8 tocycfv.1 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷)
9 df-f1 6502 . . . . . . . . . 10 (π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷 ↔ (π‘Š:dom π‘ŠβŸΆπ· ∧ Fun β—‘π‘Š))
108, 9sylib 217 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘Š:dom π‘ŠβŸΆπ· ∧ Fun β—‘π‘Š))
1110simprd 497 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Fun β—‘π‘Š)
12 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (π‘Š cyclShift 1) = (π‘Š cyclShift 1)
13 cshinj 14705 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ Fun β—‘π‘Š ∧ 1 ∈ β„€) β†’ ((π‘Š cyclShift 1) = (π‘Š cyclShift 1) β†’ Fun β—‘(π‘Š cyclShift 1)))
1412, 13mpi 20 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ Fun β—‘π‘Š ∧ 1 ∈ β„€) β†’ Fun β—‘(π‘Š cyclShift 1))
153, 11, 4, 14syl3anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Fun β—‘(π‘Š cyclShift 1))
16 f1orn 6795 . . . . . . 7 ((π‘Š cyclShift 1):(0..^(β™―β€˜π‘Š))–1-1-ontoβ†’ran (π‘Š cyclShift 1) ↔ ((π‘Š cyclShift 1) Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ∧ Fun β—‘(π‘Š cyclShift 1)))
177, 15, 16sylanbrc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Š cyclShift 1):(0..^(β™―β€˜π‘Š))–1-1-ontoβ†’ran (π‘Š cyclShift 1))
18 eqidd 2734 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Š cyclShift 1) = (π‘Š cyclShift 1))
19 wrdf 14413 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢𝐷)
203, 19syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢𝐷)
2120fdmd 6680 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ dom π‘Š = (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
22 cshwrnid 31864 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ β„€) β†’ ran (π‘Š cyclShift 1) = ran π‘Š)
233, 4, 22syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ran (π‘Š cyclShift 1) = ran π‘Š)
2423eqcomd 2739 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran π‘Š = ran (π‘Š cyclShift 1))
2518, 21, 24f1oeq123d 6779 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘Š cyclShift 1):dom π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š ↔ (π‘Š cyclShift 1):(0..^(β™―β€˜π‘Š))–1-1-ontoβ†’ran (π‘Š cyclShift 1)))
2617, 25mpbird 257 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Š cyclShift 1):dom π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š)
27 f1f1orn 6796 . . . . . 6 (π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷 β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š)
28 f1ocnv 6797 . . . . . 6 (π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š β†’ β—‘π‘Š:ran π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’dom π‘Š)
298, 27, 283syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ β—‘π‘Š:ran π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’dom π‘Š)
30 f1oco 6808 . . . . 5 (((π‘Š cyclShift 1):dom π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š ∧ β—‘π‘Š:ran π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’dom π‘Š) β†’ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š):ran π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š)
3126, 29, 30syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š):ran π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š)
32 disjdifr 4433 . . . . 5 ((𝐷 βˆ– ran π‘Š) ∩ ran π‘Š) = βˆ…
3332a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐷 βˆ– ran π‘Š) ∩ ran π‘Š) = βˆ…)
34 f1oun 6804 . . . 4 (((( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)):(𝐷 βˆ– ran π‘Š)–1-1-ontoβ†’(𝐷 βˆ– ran π‘Š) ∧ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š):ran π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š) ∧ (((𝐷 βˆ– ran π‘Š) ∩ ran π‘Š) = βˆ… ∧ ((𝐷 βˆ– ran π‘Š) ∩ ran π‘Š) = βˆ…)) β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)):((𝐷 βˆ– ran π‘Š) βˆͺ ran π‘Š)–1-1-ontoβ†’((𝐷 βˆ– ran π‘Š) βˆͺ ran π‘Š))
352, 31, 33, 33, 34syl22anc 838 . . 3 (πœ‘ β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)):((𝐷 βˆ– ran π‘Š) βˆͺ ran π‘Š)–1-1-ontoβ†’((𝐷 βˆ– ran π‘Š) βˆͺ ran π‘Š))
36 tocycval.1 . . . . 5 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
37 tocycfv.d . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
3836, 37, 3, 8tocycfv 32007 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜π‘Š) = (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)))
3920frnd 6677 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran π‘Š βŠ† 𝐷)
40 undif 4442 . . . . . 6 (ran π‘Š βŠ† 𝐷 ↔ (ran π‘Š βˆͺ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) = 𝐷)
4139, 40sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ran π‘Š βˆͺ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) = 𝐷)
42 uncom 4114 . . . . 5 (ran π‘Š βˆͺ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) = ((𝐷 βˆ– ran π‘Š) βˆͺ ran π‘Š)
4341, 42eqtr3di 2788 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 = ((𝐷 βˆ– ran π‘Š) βˆͺ ran π‘Š))
4438, 43, 43f1oeq123d 6779 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΆβ€˜π‘Š):𝐷–1-1-onto→𝐷 ↔ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)):((𝐷 βˆ– ran π‘Š) βˆͺ ran π‘Š)–1-1-ontoβ†’((𝐷 βˆ– ran π‘Š) βˆͺ ran π‘Š)))
4535, 44mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜π‘Š):𝐷–1-1-onto→𝐷)
46 fvex 6856 . . 3 (πΆβ€˜π‘Š) ∈ V
47 cycpmcl.s . . . 4 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
48 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
4947, 48elsymgbas2 19159 . . 3 ((πΆβ€˜π‘Š) ∈ V β†’ ((πΆβ€˜π‘Š) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↔ (πΆβ€˜π‘Š):𝐷–1-1-onto→𝐷))
5046, 49ax-mp 5 . 2 ((πΆβ€˜π‘Š) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↔ (πΆβ€˜π‘Š):𝐷–1-1-onto→𝐷)
5145, 50sylibr 233 1 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜π‘Š) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3444   βˆ– cdif 3908   βˆͺ cun 3909   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283   I cid 5531  β—‘ccnv 5633  dom cdm 5634  ran crn 5635   β†Ύ cres 5636   ∘ ccom 5638  Fun wfun 6491   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€“1-1β†’wf1 6494  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6496  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11056  1c1 11057  β„€cz 12504  ..^cfzo 13573  β™―chash 14236  Word cword 14408   cyclShift ccsh 14682  Basecbs 17088  SymGrpcsymg 19153  toCycctocyc 32004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-hash 14237  df-word 14409  df-concat 14465  df-substr 14535  df-pfx 14565  df-csh 14683  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-tset 17157  df-efmnd 18684  df-symg 19154  df-tocyc 32005
This theorem is referenced by:  tocycf  32015  cycpm2cl  32018  cycpmco2  32031  cycpm3cl  32033  cycpmrn  32041  cyc3evpm  32048  cycpmgcl  32051
  Copyright terms: Public domain W3C validator