Theorem cycpmcl 33096

Description: Cyclic permutations are permutations. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
tocycval.1	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
tocycfv.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
tocycfv.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
tocycfv.1	⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
cycpmcl.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
cycpmcl	⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑊) ∈ (Base‘𝑆))

Proof of Theorem cycpmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 6809	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)):(𝐷 ∖ ran 𝑊)–1-1-onto→(𝐷 ∖ ran 𝑊)
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)):(𝐷 ∖ ran 𝑊)–1-1-onto→(𝐷 ∖ ran 𝑊))
3		tocycfv.w	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
4		1zzd 12513	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
5		cshwf 14717	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 1):(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷)
6	3, 4, 5	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1):(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷)
7	6	ffnd 6660	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
8		tocycfv.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
9		df-f1 6494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ↔ (𝑊:dom 𝑊⟶𝐷 ∧ Fun ◡𝑊))
10	8, 9	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑊:dom 𝑊⟶𝐷 ∧ Fun ◡𝑊))
11	10	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝑊)
12		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 cyclShift 1) = (𝑊 cyclShift 1)
13		cshinj 14728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ Fun ◡𝑊 ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑊 cyclShift 1) = (𝑊 cyclShift 1) → Fun ◡(𝑊 cyclShift 1)))
14	12, 13	mpi 20	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ Fun ◡𝑊 ∧ 1 ∈ ℤ) → Fun ◡(𝑊 cyclShift 1))
15	3, 11, 4, 14	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Fun ◡(𝑊 cyclShift 1))
16		f1orn 6781	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 cyclShift 1):(0..^(♯‘𝑊))–1-1-onto→ran (𝑊 cyclShift 1) ↔ ((𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ Fun ◡(𝑊 cyclShift 1)))
17	7, 15, 16	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1):(0..^(♯‘𝑊))–1-1-onto→ran (𝑊 cyclShift 1))
18		eqidd 2734	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1) = (𝑊 cyclShift 1))
19		wrdf 14435	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷)
20	3, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷)
21	20	fdmd 6669	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
22		cshwrnid 32953	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ ℤ) → ran (𝑊 cyclShift 1) = ran 𝑊)
23	3, 4, 22	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran (𝑊 cyclShift 1) = ran 𝑊)
24	23	eqcomd 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran 𝑊 = ran (𝑊 cyclShift 1))
25	18, 21, 24	f1oeq123d 6765	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1):dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊 ↔ (𝑊 cyclShift 1):(0..^(♯‘𝑊))–1-1-onto→ran (𝑊 cyclShift 1)))
26	17, 25	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1):dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)
27		f1f1orn 6782	. . . . . 6 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 → 𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)
28		f1ocnv 6783	. . . . . 6 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊 → ◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊)
29	8, 27, 28	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊)
30		f1oco 6794	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 cyclShift 1):dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊 ∧ ◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊) → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊):ran 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)
31	26, 29, 30	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊):ran 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)
32		disjdifr 4424	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊) = ∅
33	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊) = ∅)
34		f1oun 6790	. . . 4 ⊢ (((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)):(𝐷 ∖ ran 𝑊)–1-1-onto→(𝐷 ∖ ran 𝑊) ∧ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊):ran 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊) ∧ (((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊) = ∅ ∧ ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊) = ∅)) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)):((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊)–1-1-onto→((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊))
35	2, 31, 33, 33, 34	syl22anc 838	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)):((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊)–1-1-onto→((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊))
36		tocycval.1	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
37		tocycfv.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
38	36, 37, 3, 8	tocycfv 33089	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)))
39	20	frnd 6667	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran 𝑊 ⊆ 𝐷)
40		undif 4433	. . . . . 6 ⊢ (ran 𝑊 ⊆ 𝐷 ↔ (ran 𝑊 ∪ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) = 𝐷)
41	39, 40	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ran 𝑊 ∪ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) = 𝐷)
42		uncom 4109	. . . . 5 ⊢ (ran 𝑊 ∪ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) = ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊)
43	41, 42	eqtr3di 2783	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊))
44	38, 43, 43	f1oeq123d 6765	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘𝑊):𝐷–1-1-onto→𝐷 ↔ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)):((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊)–1-1-onto→((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊)))
45	35, 44	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑊):𝐷–1-1-onto→𝐷)
46		fvex 6844	. . 3 ⊢ (𝐶‘𝑊) ∈ V
47		cycpmcl.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
48		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
49	47, 48	elsymgbas2 19295	. . 3 ⊢ ((𝐶‘𝑊) ∈ V → ((𝐶‘𝑊) ∈ (Base‘𝑆) ↔ (𝐶‘𝑊):𝐷–1-1-onto→𝐷))
50	46, 49	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝐶‘𝑊) ∈ (Base‘𝑆) ↔ (𝐶‘𝑊):𝐷–1-1-onto→𝐷)
51	45, 50	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑊) ∈ (Base‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4284   I cid 5515  ^◡ccnv 5620  dom cdm 5621  ran crn 5622   ↾ cres 5623   ∘ ccom 5625  Fun wfun 6483   Fn wfn 6484  ⟶wf 6485  –1-1→wf1 6486  –1-1-onto→wf1o 6488  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  0cc0 11016  1c1 11017  ℤcz 12478  ..^cfzo 13564  ♯chash 14247  Word cword 14430   cyclShift ccsh 14705  Basecbs 17130  SymGrpcsymg 19291  toCycctocyc 33086

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093  ax-pre-sup 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-map 8761  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-fin 8882  df-sup 9336  df-inf 9337  df-card 9842  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-div 11785  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-4 12200  df-5 12201  df-6 12202  df-7 12203  df-8 12204  df-9 12205  df-n0 12392  df-z 12479  df-uz 12743  df-rp 12901  df-fz 13418  df-fzo 13565  df-fl 13706  df-mod 13784  df-hash 14248  df-word 14431  df-concat 14488  df-substr 14559  df-pfx 14589  df-csh 14706  df-struct 17068  df-sets 17085  df-slot 17103  df-ndx 17115  df-base 17131  df-ress 17152  df-plusg 17184  df-tset 17190  df-efmnd 18787  df-symg 19292  df-tocyc 33087

This theorem is referenced by:  tocycf  33097  cycpm2cl  33100  cycpmco2  33113  cycpm3cl  33115  cycpmrn  33123  cyc3evpm  33130  cycpmgcl  33133