Theorem cycpmcl 33723

Description: Cyclic permutations are permutations. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
tocycval.1	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
tocycfv.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
tocycfv.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
tocycfv.1	⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
cycpmcl.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
cycpmcl	⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑊) ∈ (Base‘𝑆))

Proof of Theorem cycpmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 6863	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)):(𝐷 ∖ ran 𝑊)–1-1-onto→(𝐷 ∖ ran 𝑊)
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)):(𝐷 ∖ ran 𝑊)–1-1-onto→(𝐷 ∖ ran 𝑊))
3		tocycfv.w	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
4		1zzd 12730	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
5		cshwf 14955	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 1):(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷)
6	3, 4, 5	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1):(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷)
7	6	ffnd 6710	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
8		tocycfv.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
9		df-f1 6543	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ↔ (𝑊:dom 𝑊⟶𝐷 ∧ Fun ◡𝑊))
10	8, 9	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑊:dom 𝑊⟶𝐷 ∧ Fun ◡𝑊))
11	10	simprd 501	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝑊)
12		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 cyclShift 1) = (𝑊 cyclShift 1)
13		cshinj 14966	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ Fun ◡𝑊 ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑊 cyclShift 1) = (𝑊 cyclShift 1) → Fun ◡(𝑊 cyclShift 1)))
14	12, 13	mpi 21	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ Fun ◡𝑊 ∧ 1 ∈ ℤ) → Fun ◡(𝑊 cyclShift 1))
15	3, 11, 4, 14	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Fun ◡(𝑊 cyclShift 1))
16		f1orn 6835	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 cyclShift 1):(0..^(♯‘𝑊))–1-1-onto→ran (𝑊 cyclShift 1) ↔ ((𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ Fun ◡(𝑊 cyclShift 1)))
17	7, 15, 16	sylanbrc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1):(0..^(♯‘𝑊))–1-1-onto→ran (𝑊 cyclShift 1))
18		eqidd 2761	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1) = (𝑊 cyclShift 1))
19		wrdf 14666	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷)
20	3, 19	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷)
21	20	fdmd 6720	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
22		cshwrnid 33568	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ ℤ) → ran (𝑊 cyclShift 1) = ran 𝑊)
23	3, 4, 22	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran (𝑊 cyclShift 1) = ran 𝑊)
24	23	eqcomd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran 𝑊 = ran (𝑊 cyclShift 1))
25	18, 21, 24	f1oeq123d 6818	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1):dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊 ↔ (𝑊 cyclShift 1):(0..^(♯‘𝑊))–1-1-onto→ran (𝑊 cyclShift 1)))
26	17, 25	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1):dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)
27		f1f1orn 6836	. . . . . 6 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 → 𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)
28		f1ocnv 6837	. . . . . 6 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊 → ◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊)
29	8, 27, 28	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊)
30		f1oco 6848	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 cyclShift 1):dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊 ∧ ◡𝑊:ran 𝑊–1-1-onto→dom 𝑊) → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊):ran 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)
31	26, 29, 30	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊):ran 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)
32		disjdifr 4426	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊) = ∅
33	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊) = ∅)
34		f1oun 6844	. . . 4 ⊢ (((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)):(𝐷 ∖ ran 𝑊)–1-1-onto→(𝐷 ∖ ran 𝑊) ∧ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊):ran 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊) ∧ (((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊) = ∅ ∧ ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊) = ∅)) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)):((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊)–1-1-onto→((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊))
35	2, 31, 33, 33, 34	syl22anc 852	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)):((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊)–1-1-onto→((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊))
36		tocycval.1	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
37		tocycfv.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
38	36, 37, 3, 8	tocycfv 33716	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)))
39	20	frnd 6718	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran 𝑊 ⊆ 𝐷)
40		undif 4437	. . . . . 6 ⊢ (ran 𝑊 ⊆ 𝐷 ↔ (ran 𝑊 ∪ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) = 𝐷)
41	39, 40	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ran 𝑊 ∪ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) = 𝐷)
42		uncom 4157	. . . . 5 ⊢ (ran 𝑊 ∪ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) = ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊)
43	41, 42	eqtr3di 2810	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊))
44	38, 43, 43	f1oeq123d 6818	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘𝑊):𝐷–1-1-onto→𝐷 ↔ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)):((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊)–1-1-onto→((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊)))
45	35, 44	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑊):𝐷–1-1-onto→𝐷)
46		fvex 6898	. . 3 ⊢ (𝐶‘𝑊) ∈ V
47		cycpmcl.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
48		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
49	47, 48	elsymgbas2 19592	. . 3 ⊢ ((𝐶‘𝑊) ∈ V → ((𝐶‘𝑊) ∈ (Base‘𝑆) ↔ (𝐶‘𝑊):𝐷–1-1-onto→𝐷))
50	46, 49	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝐶‘𝑊) ∈ (Base‘𝑆) ↔ (𝐶‘𝑊):𝐷–1-1-onto→𝐷)
51	45, 50	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑊) ∈ (Base‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045   ∩ cin 4089   ∪ cun 4149  ∅c0 4278   I cid 5544  ^◡ccnv 5649  dom cdm 5650  ran crn 5651   ↾ cres 5652   ∘ ccom 5654  Fun wfun 6532   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  –1-1→wf1 6535  –1-1-onto→wf1o 6537  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11203  1c1 11204  ℤcz 12696  ..^cfzo 13791  ♯chash 14477  Word cword 14661   cyclShift ccsh 14943  Basecbs 17392  SymGrpcsymg 19588  toCycctocyc 33713

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-map 8852  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-sup 9437  df-inf 9438  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-rp 13124  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-fl 13935  df-mod 14013  df-hash 14478  df-word 14662  df-concat 14719  df-substr 14793  df-pfx 14825  df-csh 14944  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-tset 17452  df-efmnd 19070  df-symg 19589  df-tocyc 33714

This theorem is used by:  tocycf  33724  cycpm2cl  33727  cycpmco2  33740  cycpm3cl  33742  cycpmrn  33750  cyc3evpm  33757  cycpmgcl  33760