Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpmcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycpmcl 30811
 Description: Cyclic permutations are permutations. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
tocycval.1 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
tocycfv.d (𝜑𝐷𝑉)
tocycfv.w (𝜑𝑊 ∈ Word 𝐷)
tocycfv.1 (𝜑𝑊:dom 𝑊1-1𝐷)
cycpmcl.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
cycpmcl (𝜑 → (𝐶𝑊) ∈ (Base‘𝑆))

Proof of Theorem cycpmcl
StepHypRef Expression
1 f1oi 6631 . . . . 5 ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)):(𝐷 ∖ ran 𝑊)–1-1-onto→(𝐷 ∖ ran 𝑊)
21a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)):(𝐷 ∖ ran 𝑊)–1-1-onto→(𝐷 ∖ ran 𝑊))
3 tocycfv.w . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝐷)
4 1zzd 12005 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
5 cshwf 14157 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 1):(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷)
63, 4, 5syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1):(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷)
76ffnd 6492 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
8 tocycfv.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊:dom 𝑊1-1𝐷)
9 df-f1 6333 . . . . . . . . . 10 (𝑊:dom 𝑊1-1𝐷 ↔ (𝑊:dom 𝑊𝐷 ∧ Fun 𝑊))
108, 9sylib 221 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑊:dom 𝑊𝐷 ∧ Fun 𝑊))
1110simprd 499 . . . . . . . 8 (𝜑 → Fun 𝑊)
12 eqid 2801 . . . . . . . . 9 (𝑊 cyclShift 1) = (𝑊 cyclShift 1)
13 cshinj 14168 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ Fun 𝑊 ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑊 cyclShift 1) = (𝑊 cyclShift 1) → Fun (𝑊 cyclShift 1)))
1412, 13mpi 20 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ Fun 𝑊 ∧ 1 ∈ ℤ) → Fun (𝑊 cyclShift 1))
153, 11, 4, 14syl3anc 1368 . . . . . . 7 (𝜑 → Fun (𝑊 cyclShift 1))
16 f1orn 6604 . . . . . . 7 ((𝑊 cyclShift 1):(0..^(♯‘𝑊))–1-1-onto→ran (𝑊 cyclShift 1) ↔ ((𝑊 cyclShift 1) Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ Fun (𝑊 cyclShift 1)))
177, 15, 16sylanbrc 586 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1):(0..^(♯‘𝑊))–1-1-onto→ran (𝑊 cyclShift 1))
18 eqidd 2802 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1) = (𝑊 cyclShift 1))
19 wrdf 13866 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word 𝐷𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷)
203, 19syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷)
2120fdmd 6501 . . . . . . 7 (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
22 cshwrnid 30664 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ ℤ) → ran (𝑊 cyclShift 1) = ran 𝑊)
233, 4, 22syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran (𝑊 cyclShift 1) = ran 𝑊)
2423eqcomd 2807 . . . . . . 7 (𝜑 → ran 𝑊 = ran (𝑊 cyclShift 1))
2518, 21, 24f1oeq123d 6589 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1):dom 𝑊1-1-onto→ran 𝑊 ↔ (𝑊 cyclShift 1):(0..^(♯‘𝑊))–1-1-onto→ran (𝑊 cyclShift 1)))
2617, 25mpbird 260 . . . . 5 (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1):dom 𝑊1-1-onto→ran 𝑊)
27 f1f1orn 6605 . . . . . 6 (𝑊:dom 𝑊1-1𝐷𝑊:dom 𝑊1-1-onto→ran 𝑊)
28 f1ocnv 6606 . . . . . 6 (𝑊:dom 𝑊1-1-onto→ran 𝑊𝑊:ran 𝑊1-1-onto→dom 𝑊)
298, 27, 283syl 18 . . . . 5 (𝜑𝑊:ran 𝑊1-1-onto→dom 𝑊)
30 f1oco 6616 . . . . 5 (((𝑊 cyclShift 1):dom 𝑊1-1-onto→ran 𝑊𝑊:ran 𝑊1-1-onto→dom 𝑊) → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊):ran 𝑊1-1-onto→ran 𝑊)
3126, 29, 30syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊):ran 𝑊1-1-onto→ran 𝑊)
32 incom 4131 . . . . . 6 (ran 𝑊 ∩ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) = ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊)
33 disjdif 4382 . . . . . 6 (ran 𝑊 ∩ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) = ∅
3432, 33eqtr3i 2826 . . . . 5 ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊) = ∅
3534a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊) = ∅)
36 f1oun 6613 . . . 4 (((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)):(𝐷 ∖ ran 𝑊)–1-1-onto→(𝐷 ∖ ran 𝑊) ∧ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊):ran 𝑊1-1-onto→ran 𝑊) ∧ (((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊) = ∅ ∧ ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∩ ran 𝑊) = ∅)) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)):((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊)–1-1-onto→((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊))
372, 31, 35, 35, 36syl22anc 837 . . 3 (𝜑 → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)):((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊)–1-1-onto→((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊))
38 tocycval.1 . . . . 5 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
39 tocycfv.d . . . . 5 (𝜑𝐷𝑉)
4038, 39, 3, 8tocycfv 30804 . . . 4 (𝜑 → (𝐶𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)))
41 uncom 4083 . . . . 5 (ran 𝑊 ∪ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) = ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊)
4220frnd 6498 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝑊𝐷)
43 undif 4391 . . . . . 6 (ran 𝑊𝐷 ↔ (ran 𝑊 ∪ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) = 𝐷)
4442, 43sylib 221 . . . . 5 (𝜑 → (ran 𝑊 ∪ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) = 𝐷)
4541, 44syl5reqr 2851 . . . 4 (𝜑𝐷 = ((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊))
4640, 45, 45f1oeq123d 6589 . . 3 (𝜑 → ((𝐶𝑊):𝐷1-1-onto𝐷 ↔ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)):((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊)–1-1-onto→((𝐷 ∖ ran 𝑊) ∪ ran 𝑊)))
4737, 46mpbird 260 . 2 (𝜑 → (𝐶𝑊):𝐷1-1-onto𝐷)
48 fvex 6662 . . 3 (𝐶𝑊) ∈ V
49 cycpmcl.s . . . 4 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
50 eqid 2801 . . . 4 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
5149, 50elsymgbas2 18496 . . 3 ((𝐶𝑊) ∈ V → ((𝐶𝑊) ∈ (Base‘𝑆) ↔ (𝐶𝑊):𝐷1-1-onto𝐷))
5248, 51ax-mp 5 . 2 ((𝐶𝑊) ∈ (Base‘𝑆) ↔ (𝐶𝑊):𝐷1-1-onto𝐷)
5347, 52sylibr 237 1 (𝜑 → (𝐶𝑊) ∈ (Base‘𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  Vcvv 3444   ∖ cdif 3881   ∪ cun 3882   ∩ cin 3883   ⊆ wss 3884  ∅c0 4246   I cid 5427  ◡ccnv 5522  dom cdm 5523  ran crn 5524   ↾ cres 5525   ∘ ccom 5527  Fun wfun 6322   Fn wfn 6323  ⟶wf 6324  –1-1→wf1 6325  –1-1-onto→wf1o 6327  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  0cc0 10530  1c1 10531  ℤcz 11973  ..^cfzo 13032  ♯chash 13690  Word cword 13861   cyclShift ccsh 14145  Basecbs 16478  SymGrpcsymg 18490  toCycctocyc 30801 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-hash 13691  df-word 13862  df-concat 13918  df-substr 13998  df-pfx 14028  df-csh 14146  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-tset 16579  df-efmnd 18029  df-symg 18491  df-tocyc 30802 This theorem is referenced by:  tocycf  30812  cycpm2cl  30815  cycpmco2  30828  cycpm3cl  30830  cycpmrn  30838  cyc3evpm  30845  cycpmgcl  30848
 Copyright terms: Public domain W3C validator