Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpmcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cycpmcl 32778
Description: Cyclic permutations are permutations. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
tocycval.1 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
tocycfv.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
tocycfv.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word 𝐷)
tocycfv.1 (πœ‘ β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷)
cycpmcl.s 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
cycpmcl (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜π‘Š) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
Proof of Theorem cycpmcl
StepHypRef Expression
1 f1oi 6864 . . . . 5 ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)):(𝐷 βˆ– ran π‘Š)–1-1-ontoβ†’(𝐷 βˆ– ran π‘Š)
21a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)):(𝐷 βˆ– ran π‘Š)–1-1-ontoβ†’(𝐷 βˆ– ran π‘Š))
3 tocycfv.w . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word 𝐷)
4 1zzd 12594 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
5 cshwf 14753 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (π‘Š cyclShift 1):(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢𝐷)
63, 4, 5syl2anc 583 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘Š cyclShift 1):(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢𝐷)
76ffnd 6711 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Š cyclShift 1) Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
8 tocycfv.1 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷)
9 df-f1 6541 . . . . . . . . . 10 (π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷 ↔ (π‘Š:dom π‘ŠβŸΆπ· ∧ Fun β—‘π‘Š))
108, 9sylib 217 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘Š:dom π‘ŠβŸΆπ· ∧ Fun β—‘π‘Š))
1110simprd 495 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Fun β—‘π‘Š)
12 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (π‘Š cyclShift 1) = (π‘Š cyclShift 1)
13 cshinj 14764 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ Fun β—‘π‘Š ∧ 1 ∈ β„€) β†’ ((π‘Š cyclShift 1) = (π‘Š cyclShift 1) β†’ Fun β—‘(π‘Š cyclShift 1)))
1412, 13mpi 20 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ Fun β—‘π‘Š ∧ 1 ∈ β„€) β†’ Fun β—‘(π‘Š cyclShift 1))
153, 11, 4, 14syl3anc 1368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Fun β—‘(π‘Š cyclShift 1))
16 f1orn 6836 . . . . . . 7 ((π‘Š cyclShift 1):(0..^(β™―β€˜π‘Š))–1-1-ontoβ†’ran (π‘Š cyclShift 1) ↔ ((π‘Š cyclShift 1) Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ∧ Fun β—‘(π‘Š cyclShift 1)))
177, 15, 16sylanbrc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Š cyclShift 1):(0..^(β™―β€˜π‘Š))–1-1-ontoβ†’ran (π‘Š cyclShift 1))
18 eqidd 2727 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Š cyclShift 1) = (π‘Š cyclShift 1))
19 wrdf 14472 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢𝐷)
203, 19syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢𝐷)
2120fdmd 6721 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ dom π‘Š = (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
22 cshwrnid 32627 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ β„€) β†’ ran (π‘Š cyclShift 1) = ran π‘Š)
233, 4, 22syl2anc 583 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ran (π‘Š cyclShift 1) = ran π‘Š)
2423eqcomd 2732 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran π‘Š = ran (π‘Š cyclShift 1))
2518, 21, 24f1oeq123d 6820 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘Š cyclShift 1):dom π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š ↔ (π‘Š cyclShift 1):(0..^(β™―β€˜π‘Š))–1-1-ontoβ†’ran (π‘Š cyclShift 1)))
2617, 25mpbird 257 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Š cyclShift 1):dom π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š)
27 f1f1orn 6837 . . . . . 6 (π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷 β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š)
28 f1ocnv 6838 . . . . . 6 (π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š β†’ β—‘π‘Š:ran π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’dom π‘Š)
298, 27, 283syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ β—‘π‘Š:ran π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’dom π‘Š)
30 f1oco 6849 . . . . 5 (((π‘Š cyclShift 1):dom π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š ∧ β—‘π‘Š:ran π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’dom π‘Š) β†’ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š):ran π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š)
3126, 29, 30syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š):ran π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š)
32 disjdifr 4467 . . . . 5 ((𝐷 βˆ– ran π‘Š) ∩ ran π‘Š) = βˆ…
3332a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐷 βˆ– ran π‘Š) ∩ ran π‘Š) = βˆ…)
34 f1oun 6845 . . . 4 (((( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)):(𝐷 βˆ– ran π‘Š)–1-1-ontoβ†’(𝐷 βˆ– ran π‘Š) ∧ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š):ran π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š) ∧ (((𝐷 βˆ– ran π‘Š) ∩ ran π‘Š) = βˆ… ∧ ((𝐷 βˆ– ran π‘Š) ∩ ran π‘Š) = βˆ…)) β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)):((𝐷 βˆ– ran π‘Š) βˆͺ ran π‘Š)–1-1-ontoβ†’((𝐷 βˆ– ran π‘Š) βˆͺ ran π‘Š))
352, 31, 33, 33, 34syl22anc 836 . . 3 (πœ‘ β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)):((𝐷 βˆ– ran π‘Š) βˆͺ ran π‘Š)–1-1-ontoβ†’((𝐷 βˆ– ran π‘Š) βˆͺ ran π‘Š))
36 tocycval.1 . . . . 5 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
37 tocycfv.d . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
3836, 37, 3, 8tocycfv 32771 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜π‘Š) = (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)))
3920frnd 6718 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran π‘Š βŠ† 𝐷)
40 undif 4476 . . . . . 6 (ran π‘Š βŠ† 𝐷 ↔ (ran π‘Š βˆͺ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) = 𝐷)
4139, 40sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ran π‘Š βˆͺ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) = 𝐷)
42 uncom 4148 . . . . 5 (ran π‘Š βˆͺ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) = ((𝐷 βˆ– ran π‘Š) βˆͺ ran π‘Š)
4341, 42eqtr3di 2781 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 = ((𝐷 βˆ– ran π‘Š) βˆͺ ran π‘Š))
4438, 43, 43f1oeq123d 6820 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΆβ€˜π‘Š):𝐷–1-1-onto→𝐷 ↔ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)):((𝐷 βˆ– ran π‘Š) βˆͺ ran π‘Š)–1-1-ontoβ†’((𝐷 βˆ– ran π‘Š) βˆͺ ran π‘Š)))
4535, 44mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜π‘Š):𝐷–1-1-onto→𝐷)
46 fvex 6897 . . 3 (πΆβ€˜π‘Š) ∈ V
47 cycpmcl.s . . . 4 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
48 eqid 2726 . . . 4 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
4947, 48elsymgbas2 19289 . . 3 ((πΆβ€˜π‘Š) ∈ V β†’ ((πΆβ€˜π‘Š) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↔ (πΆβ€˜π‘Š):𝐷–1-1-onto→𝐷))
5046, 49ax-mp 5 . 2 ((πΆβ€˜π‘Š) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↔ (πΆβ€˜π‘Š):𝐷–1-1-onto→𝐷)
5145, 50sylibr 233 1 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜π‘Š) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   βˆ– cdif 3940   βˆͺ cun 3941   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317   I cid 5566  β—‘ccnv 5668  dom cdm 5669  ran crn 5670   β†Ύ cres 5671   ∘ ccom 5673  Fun wfun 6530   Fn wfn 6531  βŸΆwf 6532  β€“1-1β†’wf1 6533  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6535  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  0cc0 11109  1c1 11110  β„€cz 12559  ..^cfzo 13630  β™―chash 14292  Word cword 14467   cyclShift ccsh 14741  Basecbs 17150  SymGrpcsymg 19283  toCycctocyc 32768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-hash 14293  df-word 14468  df-concat 14524  df-substr 14594  df-pfx 14624  df-csh 14742  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-tset 17222  df-efmnd 18791  df-symg 19284  df-tocyc 32769
This theorem is referenced by:  tocycf  32779  cycpm2cl  32782  cycpmco2  32795  cycpm3cl  32797  cycpmrn  32805  cyc3evpm  32812  cycpmgcl  32815
  Copyright terms: Public domain W3C validator