Theorem symgfixels 18957

Description: The restriction of a permutation to a set with one element removed is an element of the restricted symmetric group if the restriction is a 1-1 onto function. (Contributed by AV, 4-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgfixf.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
symgfixf.q	⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}
symgfixf.s	⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgfixf.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 ∖ {𝐾})

Assertion

Ref	Expression
symgfixels	⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ((𝐹 ↾ 𝐷) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 ↾ 𝐷):𝐷–1-1-onto→𝐷))

Distinct variable groups:   𝐾,𝑞   𝑃,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑞)   𝑄(𝑞)   𝑆(𝑞)   𝐹(𝑞)   𝑁(𝑞)   𝑉(𝑞)

Proof of Theorem symgfixels

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgfixf.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
2	1	eleq2i 2830	. . 3 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐷) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 ↾ 𝐷) ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))))
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ((𝐹 ↾ 𝐷) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 ↾ 𝐷) ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))))
4		resexg 5926	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹 ↾ 𝐷) ∈ V)
5		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
6		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
7	5, 6	elsymgbas2 18895	. . 3 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐷) ∈ V → ((𝐹 ↾ 𝐷) ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ↔ (𝐹 ↾ 𝐷):(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾})))
8	4, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ((𝐹 ↾ 𝐷) ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ↔ (𝐹 ↾ 𝐷):(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾})))
9		eqidd 2739	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹 ↾ 𝐷) = (𝐹 ↾ 𝐷))
10		symgfixf.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝑁 ∖ {𝐾})
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐷 = (𝑁 ∖ {𝐾}))
12	11	eqcomd 2744	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝑁 ∖ {𝐾}) = 𝐷)
13	9, 12, 12	f1oeq123d 6694	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ((𝐹 ↾ 𝐷):(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) ↔ (𝐹 ↾ 𝐷):𝐷–1-1-onto→𝐷))
14	3, 8, 13	3bitrd 304	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ((𝐹 ↾ 𝐷) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 ↾ 𝐷):𝐷–1-1-onto→𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {crab 3067  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880  {csn 4558   ↾ cres 5582  –1-1-onto→wf1o 6417  ‘cfv 6418  Basecbs 16840  SymGrpcsymg 18889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-tset 16907  df-efmnd 18423  df-symg 18890

This theorem is referenced by:  symgfixelsi  18958