Theorem symgfixels 19301

Description: The restriction of a permutation to a set with one element removed is an element of the restricted symmetric group if the restriction is a 1-1 onto function. (Contributed by AV, 4-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgfixf.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
symgfixf.q	⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}
symgfixf.s	⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgfixf.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 ∖ {𝐾})

Assertion

Ref	Expression
symgfixels	⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ((𝐹 ↾ 𝐷) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 ↾ 𝐷):𝐷–1-1-onto→𝐷))

Distinct variable groups:   𝐾,𝑞   𝑃,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑞)   𝑄(𝑞)   𝑆(𝑞)   𝐹(𝑞)   𝑁(𝑞)   𝑉(𝑞)

Proof of Theorem symgfixels

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgfixf.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
2	1	eleq2i 2825	. . 3 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐷) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 ↾ 𝐷) ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))))
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ((𝐹 ↾ 𝐷) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 ↾ 𝐷) ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))))
4		resexg 6027	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹 ↾ 𝐷) ∈ V)
5		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
6		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
7	5, 6	elsymgbas2 19239	. . 3 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐷) ∈ V → ((𝐹 ↾ 𝐷) ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ↔ (𝐹 ↾ 𝐷):(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾})))
8	4, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ((𝐹 ↾ 𝐷) ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) ↔ (𝐹 ↾ 𝐷):(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾})))
9		eqidd 2733	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹 ↾ 𝐷) = (𝐹 ↾ 𝐷))
10		symgfixf.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝑁 ∖ {𝐾})
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐷 = (𝑁 ∖ {𝐾}))
12	11	eqcomd 2738	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝑁 ∖ {𝐾}) = 𝐷)
13	9, 12, 12	f1oeq123d 6827	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ((𝐹 ↾ 𝐷):(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) ↔ (𝐹 ↾ 𝐷):𝐷–1-1-onto→𝐷))
14	3, 8, 13	3bitrd 304	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ((𝐹 ↾ 𝐷) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 ↾ 𝐷):𝐷–1-1-onto→𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432  Vcvv 3474   ∖ cdif 3945  {csn 4628   ↾ cres 5678  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543  Basecbs 17143  SymGrpcsymg 19233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-tset 17215  df-efmnd 18749  df-symg 19234

This theorem is referenced by:  symgfixelsi  19302