Theorem symgfixelsi 19563

Description: The restriction of a permutation fixing an element to the set with this element removed is an element of the restricted symmetric group. (Contributed by AV, 4-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgfixf.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
symgfixf.q	⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}
symgfixf.s	⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgfixf.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 ∖ {𝐾})

Assertion

Ref	Expression
symgfixelsi	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐹 ∈ 𝑄) → (𝐹 ↾ 𝐷) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐾,𝑞   𝑃,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑞)   𝑄(𝑞)   𝑆(𝑞)   𝐹(𝑞)   𝑁(𝑞)

Proof of Theorem symgfixelsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgfixf.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
2		symgfixf.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}
3	1, 2	symgfixelq 19561	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → (𝐹 ∈ 𝑄 ↔ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)))
4		f1of1 6817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 → 𝐹:𝑁–1-1→𝑁)
5	4	ad2antrl 741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → 𝐹:𝑁–1-1→𝑁)
6		difssd 4084	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁)
7		f1ores 6833	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑁–1-1→𝑁 ∧ (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁) → (𝐹 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})):(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝐹 “ (𝑁 ∖ {𝐾})))
8	5, 6, 7	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → (𝐹 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})):(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝐹 “ (𝑁 ∖ {𝐾})))
9		symgfixf.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = (𝑁 ∖ {𝐾})
10	9	reseq2i 5969	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ↾ 𝐷) = (𝐹 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → (𝐹 ↾ 𝐷) = (𝐹 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
12	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → 𝐷 = (𝑁 ∖ {𝐾}))
13		f1ofo 6826	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 → 𝐹:𝑁–onto→𝑁)
14		foima 6795	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹:𝑁–onto→𝑁 → (𝐹 “ 𝑁) = 𝑁)
15	14	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹:𝑁–onto→𝑁 → 𝑁 = (𝐹 “ 𝑁))
16	13, 15	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 → 𝑁 = (𝐹 “ 𝑁))
17	16	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → 𝑁 = (𝐹 “ 𝑁))
18		sneq 4594	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 = (𝐹‘𝐾) → {𝐾} = {(𝐹‘𝐾)})
19	18	eqcoms 2768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝐾) = 𝐾 → {𝐾} = {(𝐹‘𝐾)})
20	19	ad2antll 742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → {𝐾} = {(𝐹‘𝐾)})
21		f1ofn 6819	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 → 𝐹 Fn 𝑁)
22	21	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → 𝐹 Fn 𝑁)
23		simpl 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → 𝐾 ∈ 𝑁)
24		fnsnfv 6958	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → {(𝐹‘𝐾)} = (𝐹 “ {𝐾}))
25	22, 23, 24	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → {(𝐹‘𝐾)} = (𝐹 “ {𝐾}))
26	20, 25	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → {𝐾} = (𝐹 “ {𝐾}))
27	17, 26	difeq12d 4075	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → (𝑁 ∖ {𝐾}) = ((𝐹 “ 𝑁) ∖ (𝐹 “ {𝐾})))
28		dff1o2 6824	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ↔ (𝐹 Fn 𝑁 ∧ Fun ◡𝐹 ∧ ran 𝐹 = 𝑁))
29	28	simp2bi 1164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 → Fun ◡𝐹)
30	29	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → Fun ◡𝐹)
31		imadif 6618	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Fun ◡𝐹 → (𝐹 “ (𝑁 ∖ {𝐾})) = ((𝐹 “ 𝑁) ∖ (𝐹 “ {𝐾})))
32	30, 31	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → (𝐹 “ (𝑁 ∖ {𝐾})) = ((𝐹 “ 𝑁) ∖ (𝐹 “ {𝐾})))
33	27, 12, 32	3eqtr4d 2805	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → 𝐷 = (𝐹 “ (𝑁 ∖ {𝐾})))
34	11, 12, 33	f1oeq123d 6812	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝐹 ↾ 𝐷):𝐷–1-1-onto→𝐷 ↔ (𝐹 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})):(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝐹 “ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
35	8, 34	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → (𝐹 ↾ 𝐷):𝐷–1-1-onto→𝐷)
36	35	ancoms 464	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐹 ↾ 𝐷):𝐷–1-1-onto→𝐷)
37		symgfixf.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
38	1, 2, 37, 9	symgfixels 19562	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → ((𝐹 ↾ 𝐷) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 ↾ 𝐷):𝐷–1-1-onto→𝐷))
39	36, 38	imbitrrid 249	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → (((𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐹 ↾ 𝐷) ∈ 𝑆))
40	39	expd 421	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → ((𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾) → (𝐾 ∈ 𝑁 → (𝐹 ↾ 𝐷) ∈ 𝑆)))
41	3, 40	sylbid 243	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → (𝐹 ∈ 𝑄 → (𝐾 ∈ 𝑁 → (𝐹 ↾ 𝐷) ∈ 𝑆)))
42	41	pm2.43i 53	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → (𝐾 ∈ 𝑁 → (𝐹 ↾ 𝐷) ∈ 𝑆))
43	42	impcom 413	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐹 ∈ 𝑄) → (𝐹 ↾ 𝐷) ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3412   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ^◡ccnv 5654  ran crn 5656   ↾ cres 5657   “ cima 5658  Fun wfun 6527   Fn wfn 6528  –1-1→wf1 6530  –onto→wfo 6531  –1-1-onto→wf1o 6532  ‘cfv 6533  Basecbs 17302  SymGrpcsymg 19497

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-fz 13563  df-struct 17240  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-tset 17362  df-efmnd 18979  df-symg 19498

This theorem is used by:  symgfixf  19564  psgnfix1  21812  psgndif  21816  copsgndif  21817  smadiadetlem3  22891