MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgfixelsi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgfixelsi 19429
Description: The restriction of a permutation fixing an element to the set with this element removed is an element of the restricted symmetric group. (Contributed by AV, 4-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
symgfixf.p 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
symgfixf.q 𝑄 = {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾}
symgfixf.s 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgfixf.d 𝐷 = (𝑁 ∖ {𝐾})
Assertion
Ref Expression
symgfixelsi ((𝐾𝑁𝐹𝑄) → (𝐹𝐷) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝐾,𝑞   𝑃,𝑞
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑞)   𝑄(𝑞)   𝑆(𝑞)   𝐹(𝑞)   𝑁(𝑞)

Proof of Theorem symgfixelsi
StepHypRef Expression
1 symgfixf.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
2 symgfixf.q . . . . 5 𝑄 = {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾}
31, 2symgfixelq 19427 . . . 4 (𝐹𝑄 → (𝐹𝑄 ↔ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)))
4 f1of1 6834 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁𝐹:𝑁1-1𝑁)
54ad2antrl 726 . . . . . . . . 9 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → 𝐹:𝑁1-1𝑁)
6 difssd 4129 . . . . . . . . 9 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁)
7 f1ores 6849 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑁1-1𝑁 ∧ (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁) → (𝐹 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})):(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝐹 “ (𝑁 ∖ {𝐾})))
85, 6, 7syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → (𝐹 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})):(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝐹 “ (𝑁 ∖ {𝐾})))
9 symgfixf.d . . . . . . . . . . 11 𝐷 = (𝑁 ∖ {𝐾})
109reseq2i 5978 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝐷) = (𝐹 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → (𝐹𝐷) = (𝐹 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
129a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → 𝐷 = (𝑁 ∖ {𝐾}))
13 f1ofo 6842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁𝐹:𝑁onto𝑁)
14 foima 6812 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:𝑁onto𝑁 → (𝐹𝑁) = 𝑁)
1514eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝑁onto𝑁𝑁 = (𝐹𝑁))
1613, 15syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁𝑁 = (𝐹𝑁))
1716ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → 𝑁 = (𝐹𝑁))
18 sneq 4633 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 = (𝐹𝐾) → {𝐾} = {(𝐹𝐾)})
1918eqcoms 2734 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝐾) = 𝐾 → {𝐾} = {(𝐹𝐾)})
2019ad2antll 727 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → {𝐾} = {(𝐹𝐾)})
21 f1ofn 6836 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁𝐹 Fn 𝑁)
2221ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → 𝐹 Fn 𝑁)
23 simpl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → 𝐾𝑁)
24 fnsnfv 6973 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 Fn 𝑁𝐾𝑁) → {(𝐹𝐾)} = (𝐹 “ {𝐾}))
2522, 23, 24syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → {(𝐹𝐾)} = (𝐹 “ {𝐾}))
2620, 25eqtrd 2766 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → {𝐾} = (𝐹 “ {𝐾}))
2717, 26difeq12d 4119 . . . . . . . . . 10 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → (𝑁 ∖ {𝐾}) = ((𝐹𝑁) ∖ (𝐹 “ {𝐾})))
28 dff1o2 6840 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ↔ (𝐹 Fn 𝑁 ∧ Fun 𝐹 ∧ ran 𝐹 = 𝑁))
2928simp2bi 1143 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 → Fun 𝐹)
3029ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → Fun 𝐹)
31 imadif 6635 . . . . . . . . . . 11 (Fun 𝐹 → (𝐹 “ (𝑁 ∖ {𝐾})) = ((𝐹𝑁) ∖ (𝐹 “ {𝐾})))
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → (𝐹 “ (𝑁 ∖ {𝐾})) = ((𝐹𝑁) ∖ (𝐹 “ {𝐾})))
3327, 12, 323eqtr4d 2776 . . . . . . . . 9 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → 𝐷 = (𝐹 “ (𝑁 ∖ {𝐾})))
3411, 12, 33f1oeq123d 6829 . . . . . . . 8 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → ((𝐹𝐷):𝐷1-1-onto𝐷 ↔ (𝐹 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})):(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝐹 “ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
358, 34mpbird 256 . . . . . . 7 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → (𝐹𝐷):𝐷1-1-onto𝐷)
3635ancoms 457 . . . . . 6 (((𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾) ∧ 𝐾𝑁) → (𝐹𝐷):𝐷1-1-onto𝐷)
37 symgfixf.s . . . . . . 7 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
381, 2, 37, 9symgfixels 19428 . . . . . 6 (𝐹𝑄 → ((𝐹𝐷) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹𝐷):𝐷1-1-onto𝐷))
3936, 38imbitrrid 245 . . . . 5 (𝐹𝑄 → (((𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾) ∧ 𝐾𝑁) → (𝐹𝐷) ∈ 𝑆))
4039expd 414 . . . 4 (𝐹𝑄 → ((𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾) → (𝐾𝑁 → (𝐹𝐷) ∈ 𝑆)))
413, 40sylbid 239 . . 3 (𝐹𝑄 → (𝐹𝑄 → (𝐾𝑁 → (𝐹𝐷) ∈ 𝑆)))
4241pm2.43i 52 . 2 (𝐹𝑄 → (𝐾𝑁 → (𝐹𝐷) ∈ 𝑆))
4342impcom 406 1 ((𝐾𝑁𝐹𝑄) → (𝐹𝐷) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  {crab 3419  cdif 3943  wss 3946  {csn 4623  ccnv 5673  ran crn 5675  cres 5676  cima 5677  Fun wfun 6540   Fn wfn 6541  1-1wf1 6543  ontowfo 6544  1-1-ontowf1o 6545  cfv 6546  Basecbs 17208  SymGrpcsymg 19360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8726  df-map 8849  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12519  df-z 12605  df-uz 12869  df-fz 13533  df-struct 17144  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-tset 17280  df-efmnd 18854  df-symg 19361
This theorem is referenced by:  symgfixf  19430  psgnfix1  21590  psgndif  21594  copsgndif  21595  smadiadetlem3  22658
  Copyright terms: Public domain W3C validator