Theorem symgfixelsi 19139

Description: The restriction of a permutation fixing an element to the set with this element removed is an element of the restricted symmetric group. (Contributed by AV, 4-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgfixf.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
symgfixf.q	⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}
symgfixf.s	⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgfixf.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 ∖ {𝐾})

Assertion

Ref	Expression
symgfixelsi	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐹 ∈ 𝑄) → (𝐹 ↾ 𝐷) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐾,𝑞   𝑃,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑞)   𝑄(𝑞)   𝑆(𝑞)   𝐹(𝑞)   𝑁(𝑞)

Proof of Theorem symgfixelsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgfixf.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
2		symgfixf.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}
3	1, 2	symgfixelq 19137	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → (𝐹 ∈ 𝑄 ↔ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)))
4		f1of1 6766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 → 𝐹:𝑁–1-1→𝑁)
5	4	ad2antrl 725	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → 𝐹:𝑁–1-1→𝑁)
6		difssd 4079	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁)
7		f1ores 6781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑁–1-1→𝑁 ∧ (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁) → (𝐹 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})):(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝐹 “ (𝑁 ∖ {𝐾})))
8	5, 6, 7	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → (𝐹 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})):(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝐹 “ (𝑁 ∖ {𝐾})))
9		symgfixf.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = (𝑁 ∖ {𝐾})
10	9	reseq2i 5920	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ↾ 𝐷) = (𝐹 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → (𝐹 ↾ 𝐷) = (𝐹 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
12	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → 𝐷 = (𝑁 ∖ {𝐾}))
13		f1ofo 6774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 → 𝐹:𝑁–onto→𝑁)
14		foima 6744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹:𝑁–onto→𝑁 → (𝐹 “ 𝑁) = 𝑁)
15	14	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹:𝑁–onto→𝑁 → 𝑁 = (𝐹 “ 𝑁))
16	13, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 → 𝑁 = (𝐹 “ 𝑁))
17	16	ad2antrl 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → 𝑁 = (𝐹 “ 𝑁))
18		sneq 4583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 = (𝐹‘𝐾) → {𝐾} = {(𝐹‘𝐾)})
19	18	eqcoms 2744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝐾) = 𝐾 → {𝐾} = {(𝐹‘𝐾)})
20	19	ad2antll 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → {𝐾} = {(𝐹‘𝐾)})
21		f1ofn 6768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 → 𝐹 Fn 𝑁)
22	21	ad2antrl 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → 𝐹 Fn 𝑁)
23		simpl 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → 𝐾 ∈ 𝑁)
24		fnsnfv 6903	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → {(𝐹‘𝐾)} = (𝐹 “ {𝐾}))
25	22, 23, 24	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → {(𝐹‘𝐾)} = (𝐹 “ {𝐾}))
26	20, 25	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → {𝐾} = (𝐹 “ {𝐾}))
27	17, 26	difeq12d 4070	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → (𝑁 ∖ {𝐾}) = ((𝐹 “ 𝑁) ∖ (𝐹 “ {𝐾})))
28		dff1o2 6772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ↔ (𝐹 Fn 𝑁 ∧ Fun ◡𝐹 ∧ ran 𝐹 = 𝑁))
29	28	simp2bi 1145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 → Fun ◡𝐹)
30	29	ad2antrl 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → Fun ◡𝐹)
31		imadif 6568	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Fun ◡𝐹 → (𝐹 “ (𝑁 ∖ {𝐾})) = ((𝐹 “ 𝑁) ∖ (𝐹 “ {𝐾})))
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → (𝐹 “ (𝑁 ∖ {𝐾})) = ((𝐹 “ 𝑁) ∖ (𝐹 “ {𝐾})))
33	27, 12, 32	3eqtr4d 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → 𝐷 = (𝐹 “ (𝑁 ∖ {𝐾})))
34	11, 12, 33	f1oeq123d 6761	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝐹 ↾ 𝐷):𝐷–1-1-onto→𝐷 ↔ (𝐹 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})):(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝐹 “ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
35	8, 34	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → (𝐹 ↾ 𝐷):𝐷–1-1-onto→𝐷)
36	35	ancoms 459	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐹 ↾ 𝐷):𝐷–1-1-onto→𝐷)
37		symgfixf.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
38	1, 2, 37, 9	symgfixels 19138	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → ((𝐹 ↾ 𝐷) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 ↾ 𝐷):𝐷–1-1-onto→𝐷))
39	36, 38	syl5ibr 245	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → (((𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐹 ↾ 𝐷) ∈ 𝑆))
40	39	expd 416	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → ((𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾) → (𝐾 ∈ 𝑁 → (𝐹 ↾ 𝐷) ∈ 𝑆)))
41	3, 40	sylbid 239	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → (𝐹 ∈ 𝑄 → (𝐾 ∈ 𝑁 → (𝐹 ↾ 𝐷) ∈ 𝑆)))
42	41	pm2.43i 52	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → (𝐾 ∈ 𝑁 → (𝐹 ↾ 𝐷) ∈ 𝑆))
43	42	impcom 408	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐹 ∈ 𝑄) → (𝐹 ↾ 𝐷) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {crab 3403   ∖ cdif 3895   ⊆ wss 3898  {csn 4573  ^◡ccnv 5619  ran crn 5621   ↾ cres 5622   “ cima 5623  Fun wfun 6473   Fn wfn 6474  –1-1→wf1 6476  –onto→wfo 6477  –1-1-onto→wf1o 6478  ‘cfv 6479  Basecbs 17009  SymGrpcsymg 19070

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-er 8569  df-map 8688  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-4 12139  df-5 12140  df-6 12141  df-7 12142  df-8 12143  df-9 12144  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-fz 13341  df-struct 16945  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-tset 17078  df-efmnd 18604  df-symg 19071

This theorem is referenced by:  symgfixf  19140  psgnfix1  20909  psgndif  20913  copsgndif  20914  smadiadetlem3  21923