MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgfixelsi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgfixelsi 19467
Description: The restriction of a permutation fixing an element to the set with this element removed is an element of the restricted symmetric group. (Contributed by AV, 4-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
symgfixf.p 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
symgfixf.q 𝑄 = {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾}
symgfixf.s 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgfixf.d 𝐷 = (𝑁 ∖ {𝐾})
Assertion
Ref Expression
symgfixelsi ((𝐾𝑁𝐹𝑄) → (𝐹𝐷) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝐾,𝑞   𝑃,𝑞
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑞)   𝑄(𝑞)   𝑆(𝑞)   𝐹(𝑞)   𝑁(𝑞)

Proof of Theorem symgfixelsi
StepHypRef Expression
1 symgfixf.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
2 symgfixf.q . . . . 5 𝑄 = {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾}
31, 2symgfixelq 19465 . . . 4 (𝐹𝑄 → (𝐹𝑄 ↔ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)))
4 f1of1 6847 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁𝐹:𝑁1-1𝑁)
54ad2antrl 728 . . . . . . . . 9 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → 𝐹:𝑁1-1𝑁)
6 difssd 4146 . . . . . . . . 9 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁)
7 f1ores 6862 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑁1-1𝑁 ∧ (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁) → (𝐹 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})):(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝐹 “ (𝑁 ∖ {𝐾})))
85, 6, 7syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → (𝐹 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})):(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝐹 “ (𝑁 ∖ {𝐾})))
9 symgfixf.d . . . . . . . . . . 11 𝐷 = (𝑁 ∖ {𝐾})
109reseq2i 5996 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝐷) = (𝐹 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → (𝐹𝐷) = (𝐹 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
129a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → 𝐷 = (𝑁 ∖ {𝐾}))
13 f1ofo 6855 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁𝐹:𝑁onto𝑁)
14 foima 6825 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:𝑁onto𝑁 → (𝐹𝑁) = 𝑁)
1514eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝑁onto𝑁𝑁 = (𝐹𝑁))
1613, 15syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁𝑁 = (𝐹𝑁))
1716ad2antrl 728 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → 𝑁 = (𝐹𝑁))
18 sneq 4640 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 = (𝐹𝐾) → {𝐾} = {(𝐹𝐾)})
1918eqcoms 2742 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝐾) = 𝐾 → {𝐾} = {(𝐹𝐾)})
2019ad2antll 729 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → {𝐾} = {(𝐹𝐾)})
21 f1ofn 6849 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁𝐹 Fn 𝑁)
2221ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → 𝐹 Fn 𝑁)
23 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → 𝐾𝑁)
24 fnsnfv 6987 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 Fn 𝑁𝐾𝑁) → {(𝐹𝐾)} = (𝐹 “ {𝐾}))
2522, 23, 24syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → {(𝐹𝐾)} = (𝐹 “ {𝐾}))
2620, 25eqtrd 2774 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → {𝐾} = (𝐹 “ {𝐾}))
2717, 26difeq12d 4136 . . . . . . . . . 10 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → (𝑁 ∖ {𝐾}) = ((𝐹𝑁) ∖ (𝐹 “ {𝐾})))
28 dff1o2 6853 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ↔ (𝐹 Fn 𝑁 ∧ Fun 𝐹 ∧ ran 𝐹 = 𝑁))
2928simp2bi 1145 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 → Fun 𝐹)
3029ad2antrl 728 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → Fun 𝐹)
31 imadif 6651 . . . . . . . . . . 11 (Fun 𝐹 → (𝐹 “ (𝑁 ∖ {𝐾})) = ((𝐹𝑁) ∖ (𝐹 “ {𝐾})))
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → (𝐹 “ (𝑁 ∖ {𝐾})) = ((𝐹𝑁) ∖ (𝐹 “ {𝐾})))
3327, 12, 323eqtr4d 2784 . . . . . . . . 9 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → 𝐷 = (𝐹 “ (𝑁 ∖ {𝐾})))
3411, 12, 33f1oeq123d 6842 . . . . . . . 8 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → ((𝐹𝐷):𝐷1-1-onto𝐷 ↔ (𝐹 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})):(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝐹 “ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
358, 34mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → (𝐹𝐷):𝐷1-1-onto𝐷)
3635ancoms 458 . . . . . 6 (((𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾) ∧ 𝐾𝑁) → (𝐹𝐷):𝐷1-1-onto𝐷)
37 symgfixf.s . . . . . . 7 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
381, 2, 37, 9symgfixels 19466 . . . . . 6 (𝐹𝑄 → ((𝐹𝐷) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹𝐷):𝐷1-1-onto𝐷))
3936, 38imbitrrid 246 . . . . 5 (𝐹𝑄 → (((𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾) ∧ 𝐾𝑁) → (𝐹𝐷) ∈ 𝑆))
4039expd 415 . . . 4 (𝐹𝑄 → ((𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾) → (𝐾𝑁 → (𝐹𝐷) ∈ 𝑆)))
413, 40sylbid 240 . . 3 (𝐹𝑄 → (𝐹𝑄 → (𝐾𝑁 → (𝐹𝐷) ∈ 𝑆)))
4241pm2.43i 52 . 2 (𝐹𝑄 → (𝐾𝑁 → (𝐹𝐷) ∈ 𝑆))
4342impcom 407 1 ((𝐾𝑁𝐹𝑄) → (𝐹𝐷) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  {crab 3432  cdif 3959  wss 3962  {csn 4630  ccnv 5687  ran crn 5689  cres 5690  cima 5691  Fun wfun 6556   Fn wfn 6557  1-1wf1 6559  ontowfo 6560  1-1-ontowf1o 6561  cfv 6562  Basecbs 17244  SymGrpcsymg 19400
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-tset 17316  df-efmnd 18894  df-symg 19401
This theorem is referenced by:  symgfixf  19468  psgnfix1  21633  psgndif  21637  copsgndif  21638  smadiadetlem3  22689
  Copyright terms: Public domain W3C validator