MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgfixelsi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgfixelsi 18118
Description: The restriction of a permutation fixing an element to the set with this element removed is an element of the restricted symmetric group. (Contributed by AV, 4-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
symgfixf.p 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
symgfixf.q 𝑄 = {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾}
symgfixf.s 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgfixf.d 𝐷 = (𝑁 ∖ {𝐾})
Assertion
Ref Expression
symgfixelsi ((𝐾𝑁𝐹𝑄) → (𝐹𝐷) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝐾,𝑞   𝑃,𝑞
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑞)   𝑄(𝑞)   𝑆(𝑞)   𝐹(𝑞)   𝑁(𝑞)

Proof of Theorem symgfixelsi
StepHypRef Expression
1 symgfixf.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
2 symgfixf.q . . . . 5 𝑄 = {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾}
31, 2symgfixelq 18116 . . . 4 (𝐹𝑄 → (𝐹𝑄 ↔ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)))
4 f1of1 6319 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁𝐹:𝑁1-1𝑁)
54ad2antrl 719 . . . . . . . . 9 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → 𝐹:𝑁1-1𝑁)
6 difssd 3900 . . . . . . . . 9 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁)
7 f1ores 6334 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑁1-1𝑁 ∧ (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁) → (𝐹 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})):(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝐹 “ (𝑁 ∖ {𝐾})))
85, 6, 7syl2anc 579 . . . . . . . 8 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → (𝐹 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})):(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝐹 “ (𝑁 ∖ {𝐾})))
9 symgfixf.d . . . . . . . . . . 11 𝐷 = (𝑁 ∖ {𝐾})
109reseq2i 5562 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝐷) = (𝐹 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → (𝐹𝐷) = (𝐹 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
129a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → 𝐷 = (𝑁 ∖ {𝐾}))
13 f1ofo 6327 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁𝐹:𝑁onto𝑁)
14 foima 6303 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:𝑁onto𝑁 → (𝐹𝑁) = 𝑁)
1514eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝑁onto𝑁𝑁 = (𝐹𝑁))
1613, 15syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁𝑁 = (𝐹𝑁))
1716ad2antrl 719 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → 𝑁 = (𝐹𝑁))
18 sneq 4344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 = (𝐹𝐾) → {𝐾} = {(𝐹𝐾)})
1918eqcoms 2773 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝐾) = 𝐾 → {𝐾} = {(𝐹𝐾)})
2019ad2antll 720 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → {𝐾} = {(𝐹𝐾)})
21 f1ofn 6321 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁𝐹 Fn 𝑁)
2221ad2antrl 719 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → 𝐹 Fn 𝑁)
23 simpl 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → 𝐾𝑁)
24 fnsnfv 6447 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 Fn 𝑁𝐾𝑁) → {(𝐹𝐾)} = (𝐹 “ {𝐾}))
2522, 23, 24syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → {(𝐹𝐾)} = (𝐹 “ {𝐾}))
2620, 25eqtrd 2799 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → {𝐾} = (𝐹 “ {𝐾}))
2717, 26difeq12d 3891 . . . . . . . . . 10 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → (𝑁 ∖ {𝐾}) = ((𝐹𝑁) ∖ (𝐹 “ {𝐾})))
28 dff1o2 6325 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ↔ (𝐹 Fn 𝑁 ∧ Fun 𝐹 ∧ ran 𝐹 = 𝑁))
2928simp2bi 1176 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 → Fun 𝐹)
3029ad2antrl 719 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → Fun 𝐹)
31 imadif 6151 . . . . . . . . . . 11 (Fun 𝐹 → (𝐹 “ (𝑁 ∖ {𝐾})) = ((𝐹𝑁) ∖ (𝐹 “ {𝐾})))
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → (𝐹 “ (𝑁 ∖ {𝐾})) = ((𝐹𝑁) ∖ (𝐹 “ {𝐾})))
3327, 12, 323eqtr4d 2809 . . . . . . . . 9 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → 𝐷 = (𝐹 “ (𝑁 ∖ {𝐾})))
3411, 12, 33f1oeq123d 6316 . . . . . . . 8 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → ((𝐹𝐷):𝐷1-1-onto𝐷 ↔ (𝐹 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})):(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝐹 “ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
358, 34mpbird 248 . . . . . . 7 ((𝐾𝑁 ∧ (𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾)) → (𝐹𝐷):𝐷1-1-onto𝐷)
3635ancoms 450 . . . . . 6 (((𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾) ∧ 𝐾𝑁) → (𝐹𝐷):𝐷1-1-onto𝐷)
37 symgfixf.s . . . . . . 7 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
381, 2, 37, 9symgfixels 18117 . . . . . 6 (𝐹𝑄 → ((𝐹𝐷) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹𝐷):𝐷1-1-onto𝐷))
3936, 38syl5ibr 237 . . . . 5 (𝐹𝑄 → (((𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾) ∧ 𝐾𝑁) → (𝐹𝐷) ∈ 𝑆))
4039expd 404 . . . 4 (𝐹𝑄 → ((𝐹:𝑁1-1-onto𝑁 ∧ (𝐹𝐾) = 𝐾) → (𝐾𝑁 → (𝐹𝐷) ∈ 𝑆)))
413, 40sylbid 231 . . 3 (𝐹𝑄 → (𝐹𝑄 → (𝐾𝑁 → (𝐹𝐷) ∈ 𝑆)))
4241pm2.43i 52 . 2 (𝐹𝑄 → (𝐾𝑁 → (𝐹𝐷) ∈ 𝑆))
4342impcom 396 1 ((𝐾𝑁𝐹𝑄) → (𝐹𝐷) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  {crab 3059  cdif 3729  wss 3732  {csn 4334  ccnv 5276  ran crn 5278  cres 5279  cima 5280  Fun wfun 6062   Fn wfn 6063  1-1wf1 6065  ontowfo 6066  1-1-ontowf1o 6067  cfv 6068  Basecbs 16130  SymGrpcsymg 18060
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-fz 12534  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-plusg 16227  df-tset 16233  df-symg 18061
This theorem is referenced by:  symgfixf  18119  psgnfix1  20217  psgndif  20221  copsgndif  20222  zrhcopsgndifOLD  20223  smadiadetlem3  20752
  Copyright terms: Public domain W3C validator