Theorem symgfixelsi 19700

Description: The restriction of a permutation fixing an element to the set with this element removed is an element of the restricted symmetric group. (Contributed by AV, 4-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgfixf.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
symgfixf.q	⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}
symgfixf.s	⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgfixf.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 ∖ {𝐾})

Assertion

Ref	Expression
symgfixelsi	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐹 ∈ 𝑄) → (𝐹 ↾ 𝐷) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐾,𝑞   𝑃,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑞)   𝑄(𝑞)   𝑆(𝑞)   𝐹(𝑞)   𝑁(𝑞)

Proof of Theorem symgfixelsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgfixf.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
2		symgfixf.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}
3	1, 2	symgfixelq 19698	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → (𝐹 ∈ 𝑄 ↔ (𝐹:𝑁⟶1-1onto𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)))
4		f1of1 6853	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:𝑁⟶1-1onto𝑁 → 𝐹:𝑁⟶1-1𝑁)
5	4	ad2antrl 741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁⟶1-1onto𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → 𝐹:𝑁⟶1-1𝑁)
6		difssd 4076	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁⟶1-1onto𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁)
7		f1ores 6869	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑁⟶1-1𝑁 ∧ (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁) → (𝐹 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})):(𝑁 ∖ {𝐾})⟶1-1onto(𝐹 “ (𝑁 ∖ {𝐾})))
8	5, 6, 7	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁⟶1-1onto𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → (𝐹 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})):(𝑁 ∖ {𝐾})⟶1-1onto(𝐹 “ (𝑁 ∖ {𝐾})))
9		symgfixf.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = (𝑁 ∖ {𝐾})
10	9	reseq2i 5983	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ↾ 𝐷) = (𝐹 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁⟶1-1onto𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → (𝐹 ↾ 𝐷) = (𝐹 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
12	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁⟶1-1onto𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → 𝐷 = (𝑁 ∖ {𝐾}))
13		f1ofo 6862	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹:𝑁⟶1-1onto𝑁 → 𝐹:𝑁⟶onto𝑁)
14		foima 6831	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹:𝑁⟶onto𝑁 → (𝐹 “ 𝑁) = 𝑁)
15	14	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹:𝑁⟶onto𝑁 → 𝑁 = (𝐹 “ 𝑁))
16	13, 15	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝑁⟶1-1onto𝑁 → 𝑁 = (𝐹 “ 𝑁))
17	16	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁⟶1-1onto𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → 𝑁 = (𝐹 “ 𝑁))
18		sneq 4594	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 = (𝐹‘𝐾) → {𝐾} = {(𝐹‘𝐾)})
19	18	eqcoms 2771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝐾) = 𝐾 → {𝐾} = {(𝐹‘𝐾)})
20	19	ad2antll 742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁⟶1-1onto𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → {𝐾} = {(𝐹‘𝐾)})
21		f1ofn 6855	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹:𝑁⟶1-1onto𝑁 → 𝐹 Fn 𝑁)
22	21	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁⟶1-1onto𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → 𝐹 Fn 𝑁)
23		simpl 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁⟶1-1onto𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → 𝐾 ∈ 𝑁)
24		fnsnfv 6995	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → {(𝐹‘𝐾)} = (𝐹 “ {𝐾}))
25	22, 23, 24	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁⟶1-1onto𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → {(𝐹‘𝐾)} = (𝐹 “ {𝐾}))
26	20, 25	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁⟶1-1onto𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → {𝐾} = (𝐹 “ {𝐾}))
27	17, 26	difeq12d 4067	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁⟶1-1onto𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → (𝑁 ∖ {𝐾}) = ((𝐹 “ 𝑁) ∖ (𝐹 “ {𝐾})))
28		dff1o2 6860	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹:𝑁⟶1-1onto𝑁 ↔ (𝐹 Fn 𝑁 ∧ Fun ◡𝐹 ∧ ran 𝐹 = 𝑁))
29	28	simp2bi 1164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝑁⟶1-1onto𝑁 → Fun ◡𝐹)
30	29	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁⟶1-1onto𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → Fun ◡𝐹)
31		imadif 6654	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Fun ◡𝐹 → (𝐹 “ (𝑁 ∖ {𝐾})) = ((𝐹 “ 𝑁) ∖ (𝐹 “ {𝐾})))
32	30, 31	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁⟶1-1onto𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → (𝐹 “ (𝑁 ∖ {𝐾})) = ((𝐹 “ 𝑁) ∖ (𝐹 “ {𝐾})))
33	27, 12, 32	3eqtr4d 2808	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁⟶1-1onto𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → 𝐷 = (𝐹 “ (𝑁 ∖ {𝐾})))
34	11, 12, 33	f1oeq123d 6848	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁⟶1-1onto𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝐹 ↾ 𝐷):𝐷⟶1-1onto𝐷 ↔ (𝐹 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})):(𝑁 ∖ {𝐾})⟶1-1onto(𝐹 “ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
35	8, 34	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁⟶1-1onto𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → (𝐹 ↾ 𝐷):𝐷⟶1-1onto𝐷)
36	35	ancoms 464	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹:𝑁⟶1-1onto𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐹 ↾ 𝐷):𝐷⟶1-1onto𝐷)
37		symgfixf.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
38	1, 2, 37, 9	symgfixels 19699	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → ((𝐹 ↾ 𝐷) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 ↾ 𝐷):𝐷⟶1-1onto𝐷))
39	36, 38	imbitrrid 249	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → (((𝐹:𝑁⟶1-1onto𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐹 ↾ 𝐷) ∈ 𝑆))
40	39	expd 421	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → ((𝐹:𝑁⟶1-1onto𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾) → (𝐾 ∈ 𝑁 → (𝐹 ↾ 𝐷) ∈ 𝑆)))
41	3, 40	sylbid 243	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → (𝐹 ∈ 𝑄 → (𝐾 ∈ 𝑁 → (𝐹 ↾ 𝐷) ∈ 𝑆)))
42	41	pm2.43i 53	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → (𝐾 ∈ 𝑁 → (𝐹 ↾ 𝐷) ∈ 𝑆))
43	42	impcom 413	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐹 ∈ 𝑄) → (𝐹 ↾ 𝐷) ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  {csn 4588  ^◡ccnv 5657  ran crn 5659   ↾ cres 5660   “ cima 5661  Fun wfun 6560   Fn wfn 6561  ⟶1-1wf1 6563  ⟶ontowfo 6564  ⟶1-1ontowf1o 6565  ‘cfv 6566  Basecbs 17431  SymGrpcsymg 19634

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-tset 17492  df-efmnd 19115  df-symg 19635

This theorem is used by:  symgfixf  19701  psgnfix1  21959  psgndif  21963  copsgndif  21964  smadiadetlem3  23038