Theorem symgfixelsi 19401

Description: The restriction of a permutation fixing an element to the set with this element removed is an element of the restricted symmetric group. (Contributed by AV, 4-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgfixf.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
symgfixf.q	⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}
symgfixf.s	⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgfixf.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 ∖ {𝐾})

Assertion

Ref	Expression
symgfixelsi	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐹 ∈ 𝑄) → (𝐹 ↾ 𝐷) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐾,𝑞   𝑃,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑞)   𝑄(𝑞)   𝑆(𝑞)   𝐹(𝑞)   𝑁(𝑞)

Proof of Theorem symgfixelsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgfixf.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
2		symgfixf.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}
3	1, 2	symgfixelq 19399	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → (𝐹 ∈ 𝑄 ↔ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)))
4		f1of1 6766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 → 𝐹:𝑁–1-1→𝑁)
5	4	ad2antrl 734	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → 𝐹:𝑁–1-1→𝑁)
6		difssd 4067	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁)
7		f1ores 6781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑁–1-1→𝑁 ∧ (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁) → (𝐹 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})):(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝐹 “ (𝑁 ∖ {𝐾})))
8	5, 6, 7	syl2anc 590	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → (𝐹 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})):(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝐹 “ (𝑁 ∖ {𝐾})))
9		symgfixf.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = (𝑁 ∖ {𝐾})
10	9	reseq2i 5928	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ↾ 𝐷) = (𝐹 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → (𝐹 ↾ 𝐷) = (𝐹 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
12	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → 𝐷 = (𝑁 ∖ {𝐾}))
13		f1ofo 6774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 → 𝐹:𝑁–onto→𝑁)
14		foima 6744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹:𝑁–onto→𝑁 → (𝐹 “ 𝑁) = 𝑁)
15	14	eqcomd 2745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹:𝑁–onto→𝑁 → 𝑁 = (𝐹 “ 𝑁))
16	13, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 → 𝑁 = (𝐹 “ 𝑁))
17	16	ad2antrl 734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → 𝑁 = (𝐹 “ 𝑁))
18		sneq 4565	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 = (𝐹‘𝐾) → {𝐾} = {(𝐹‘𝐾)})
19	18	eqcoms 2747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝐾) = 𝐾 → {𝐾} = {(𝐹‘𝐾)})
20	19	ad2antll 735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → {𝐾} = {(𝐹‘𝐾)})
21		f1ofn 6768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 → 𝐹 Fn 𝑁)
22	21	ad2antrl 734	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → 𝐹 Fn 𝑁)
23		simpl 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → 𝐾 ∈ 𝑁)
24		fnsnfv 6906	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → {(𝐹‘𝐾)} = (𝐹 “ {𝐾}))
25	22, 23, 24	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → {(𝐹‘𝐾)} = (𝐹 “ {𝐾}))
26	20, 25	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → {𝐾} = (𝐹 “ {𝐾}))
27	17, 26	difeq12d 4058	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → (𝑁 ∖ {𝐾}) = ((𝐹 “ 𝑁) ∖ (𝐹 “ {𝐾})))
28		dff1o2 6772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ↔ (𝐹 Fn 𝑁 ∧ Fun ◡𝐹 ∧ ran 𝐹 = 𝑁))
29	28	simp2bi 1152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 → Fun ◡𝐹)
30	29	ad2antrl 734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → Fun ◡𝐹)
31		imadif 6569	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Fun ◡𝐹 → (𝐹 “ (𝑁 ∖ {𝐾})) = ((𝐹 “ 𝑁) ∖ (𝐹 “ {𝐾})))
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → (𝐹 “ (𝑁 ∖ {𝐾})) = ((𝐹 “ 𝑁) ∖ (𝐹 “ {𝐾})))
33	27, 12, 32	3eqtr4d 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → 𝐷 = (𝐹 “ (𝑁 ∖ {𝐾})))
34	11, 12, 33	f1oeq123d 6761	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝐹 ↾ 𝐷):𝐷–1-1-onto→𝐷 ↔ (𝐹 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})):(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝐹 “ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
35	8, 34	mpbird 258	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → (𝐹 ↾ 𝐷):𝐷–1-1-onto→𝐷)
36	35	ancoms 459	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐹 ↾ 𝐷):𝐷–1-1-onto→𝐷)
37		symgfixf.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
38	1, 2, 37, 9	symgfixels 19400	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → ((𝐹 ↾ 𝐷) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 ↾ 𝐷):𝐷–1-1-onto→𝐷))
39	36, 38	imbitrrid 247	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → (((𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐹 ↾ 𝐷) ∈ 𝑆))
40	39	expd 416	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → ((𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾) → (𝐾 ∈ 𝑁 → (𝐹 ↾ 𝐷) ∈ 𝑆)))
41	3, 40	sylbid 241	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → (𝐹 ∈ 𝑄 → (𝐾 ∈ 𝑁 → (𝐹 ↾ 𝐷) ∈ 𝑆)))
42	41	pm2.43i 52	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → (𝐾 ∈ 𝑁 → (𝐹 ↾ 𝐷) ∈ 𝑆))
43	42	impcom 408	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐹 ∈ 𝑄) → (𝐹 ↾ 𝐷) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {crab 3391   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  {csn 4555  ^◡ccnv 5617  ran crn 5619   ↾ cres 5620   “ cima 5621  Fun wfun 6479   Fn wfn 6480  –1-1→wf1 6482  –onto→wfo 6483  –1-1-onto→wf1o 6484  ‘cfv 6485  Basecbs 17170  SymGrpcsymg 19335

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-tset 17230  df-efmnd 18828  df-symg 19336

This theorem is referenced by:  symgfixf  19402  psgnfix1  21573  psgndif  21577  copsgndif  21578  smadiadetlem3  22651