Theorem symgfixelsi 19376

Description: The restriction of a permutation fixing an element to the set with this element removed is an element of the restricted symmetric group. (Contributed by AV, 4-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgfixf.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
symgfixf.q	⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}
symgfixf.s	⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgfixf.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 ∖ {𝐾})

Assertion

Ref	Expression
symgfixelsi	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐹 ∈ 𝑄) → (𝐹 ↾ 𝐷) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐾,𝑞   𝑃,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑞)   𝑄(𝑞)   𝑆(𝑞)   𝐹(𝑞)   𝑁(𝑞)

Proof of Theorem symgfixelsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgfixf.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
2		symgfixf.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}
3	1, 2	symgfixelq 19374	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → (𝐹 ∈ 𝑄 ↔ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)))
4		f1of1 6781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 → 𝐹:𝑁–1-1→𝑁)
5	4	ad2antrl 729	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → 𝐹:𝑁–1-1→𝑁)
6		difssd 4091	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁)
7		f1ores 6796	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑁–1-1→𝑁 ∧ (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁) → (𝐹 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})):(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝐹 “ (𝑁 ∖ {𝐾})))
8	5, 6, 7	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → (𝐹 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})):(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝐹 “ (𝑁 ∖ {𝐾})))
9		symgfixf.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = (𝑁 ∖ {𝐾})
10	9	reseq2i 5943	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ↾ 𝐷) = (𝐹 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → (𝐹 ↾ 𝐷) = (𝐹 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
12	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → 𝐷 = (𝑁 ∖ {𝐾}))
13		f1ofo 6789	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 → 𝐹:𝑁–onto→𝑁)
14		foima 6759	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹:𝑁–onto→𝑁 → (𝐹 “ 𝑁) = 𝑁)
15	14	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹:𝑁–onto→𝑁 → 𝑁 = (𝐹 “ 𝑁))
16	13, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 → 𝑁 = (𝐹 “ 𝑁))
17	16	ad2antrl 729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → 𝑁 = (𝐹 “ 𝑁))
18		sneq 4592	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 = (𝐹‘𝐾) → {𝐾} = {(𝐹‘𝐾)})
19	18	eqcoms 2745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝐾) = 𝐾 → {𝐾} = {(𝐹‘𝐾)})
20	19	ad2antll 730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → {𝐾} = {(𝐹‘𝐾)})
21		f1ofn 6783	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 → 𝐹 Fn 𝑁)
22	21	ad2antrl 729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → 𝐹 Fn 𝑁)
23		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → 𝐾 ∈ 𝑁)
24		fnsnfv 6921	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → {(𝐹‘𝐾)} = (𝐹 “ {𝐾}))
25	22, 23, 24	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → {(𝐹‘𝐾)} = (𝐹 “ {𝐾}))
26	20, 25	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → {𝐾} = (𝐹 “ {𝐾}))
27	17, 26	difeq12d 4081	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → (𝑁 ∖ {𝐾}) = ((𝐹 “ 𝑁) ∖ (𝐹 “ {𝐾})))
28		dff1o2 6787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ↔ (𝐹 Fn 𝑁 ∧ Fun ◡𝐹 ∧ ran 𝐹 = 𝑁))
29	28	simp2bi 1147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 → Fun ◡𝐹)
30	29	ad2antrl 729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → Fun ◡𝐹)
31		imadif 6584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Fun ◡𝐹 → (𝐹 “ (𝑁 ∖ {𝐾})) = ((𝐹 “ 𝑁) ∖ (𝐹 “ {𝐾})))
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → (𝐹 “ (𝑁 ∖ {𝐾})) = ((𝐹 “ 𝑁) ∖ (𝐹 “ {𝐾})))
33	27, 12, 32	3eqtr4d 2782	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → 𝐷 = (𝐹 “ (𝑁 ∖ {𝐾})))
34	11, 12, 33	f1oeq123d 6776	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝐹 ↾ 𝐷):𝐷–1-1-onto→𝐷 ↔ (𝐹 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})):(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝐹 “ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
35	8, 34	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾)) → (𝐹 ↾ 𝐷):𝐷–1-1-onto→𝐷)
36	35	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐹 ↾ 𝐷):𝐷–1-1-onto→𝐷)
37		symgfixf.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
38	1, 2, 37, 9	symgfixels 19375	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → ((𝐹 ↾ 𝐷) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 ↾ 𝐷):𝐷–1-1-onto→𝐷))
39	36, 38	imbitrrid 246	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → (((𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐹 ↾ 𝐷) ∈ 𝑆))
40	39	expd 415	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → ((𝐹:𝑁–1-1-onto→𝑁 ∧ (𝐹‘𝐾) = 𝐾) → (𝐾 ∈ 𝑁 → (𝐹 ↾ 𝐷) ∈ 𝑆)))
41	3, 40	sylbid 240	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → (𝐹 ∈ 𝑄 → (𝐾 ∈ 𝑁 → (𝐹 ↾ 𝐷) ∈ 𝑆)))
42	41	pm2.43i 52	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → (𝐾 ∈ 𝑁 → (𝐹 ↾ 𝐷) ∈ 𝑆))
43	42	impcom 407	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐹 ∈ 𝑄) → (𝐹 ↾ 𝐷) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3401   ∖ cdif 3900   ⊆ wss 3903  {csn 4582  ^◡ccnv 5631  ran crn 5633   ↾ cres 5634   “ cima 5635  Fun wfun 6494   Fn wfn 6495  –1-1→wf1 6497  –onto→wfo 6498  –1-1-onto→wf1o 6499  ‘cfv 6500  Basecbs 17148  SymGrpcsymg 19310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-tset 17208  df-efmnd 18806  df-symg 19311

This theorem is referenced by:  symgfixf  19377  psgnfix1  21565  psgndif  21569  copsgndif  21570  smadiadetlem3  22624