Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ssnnf1octb Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ssnnf1octb 44193
Description: There exists a bijection between a subset of β„• and a given nonempty countable set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
ssnnf1octb ((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘“(dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-onto→𝐴))
Distinct variable group:   𝐴,𝑓
Proof of Theorem ssnnf1octb
Dummy variables 𝑔 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnfoctb 44037 . 2 ((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘” 𝑔:ℕ–onto→𝐴)
2 fofn 6808 . . . . . 6 (𝑔:ℕ–onto→𝐴 β†’ 𝑔 Fn β„•)
3 nnex 12223 . . . . . . 7 β„• ∈ V
43a1i 11 . . . . . 6 (𝑔:ℕ–onto→𝐴 β†’ β„• ∈ V)
5 ltwenn 13932 . . . . . . 7 < We β„•
65a1i 11 . . . . . 6 (𝑔:ℕ–onto→𝐴 β†’ < We β„•)
72, 4, 6wessf1orn 44185 . . . . 5 (𝑔:ℕ–onto→𝐴 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 β„•(𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔)
8 f1odm 6838 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔 β†’ dom (𝑔 β†Ύ π‘₯) = π‘₯)
98adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝒫 β„• ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ dom (𝑔 β†Ύ π‘₯) = π‘₯)
10 elpwi 4610 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝒫 β„• β†’ π‘₯ βŠ† β„•)
1110adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝒫 β„• ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ π‘₯ βŠ† β„•)
129, 11eqsstrd 4021 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝒫 β„• ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ dom (𝑔 β†Ύ π‘₯) βŠ† β„•)
13123adant1 1129 . . . . . . . 8 ((𝑔:ℕ–onto→𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 β„• ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ dom (𝑔 β†Ύ π‘₯) βŠ† β„•)
14 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑔:ℕ–onto→𝐴 ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔)
15 eqidd 2732 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔:ℕ–onto→𝐴 ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ (𝑔 β†Ύ π‘₯) = (𝑔 β†Ύ π‘₯))
168eqcomd 2737 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔 β†’ π‘₯ = dom (𝑔 β†Ύ π‘₯))
1716adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔:ℕ–onto→𝐴 ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ π‘₯ = dom (𝑔 β†Ύ π‘₯))
18 forn 6809 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔:ℕ–onto→𝐴 β†’ ran 𝑔 = 𝐴)
1918adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔:ℕ–onto→𝐴 ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ ran 𝑔 = 𝐴)
2015, 17, 19f1oeq123d 6828 . . . . . . . . . 10 ((𝑔:ℕ–onto→𝐴 ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ ((𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔 ↔ (𝑔 β†Ύ π‘₯):dom (𝑔 β†Ύ π‘₯)–1-1-onto→𝐴))
2114, 20mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((𝑔:ℕ–onto→𝐴 ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ (𝑔 β†Ύ π‘₯):dom (𝑔 β†Ύ π‘₯)–1-1-onto→𝐴)
22213adant2 1130 . . . . . . . 8 ((𝑔:ℕ–onto→𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 β„• ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ (𝑔 β†Ύ π‘₯):dom (𝑔 β†Ύ π‘₯)–1-1-onto→𝐴)
23 vex 3477 . . . . . . . . . 10 𝑔 ∈ V
2423resex 6030 . . . . . . . . 9 (𝑔 β†Ύ π‘₯) ∈ V
25 dmeq 5904 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝑔 β†Ύ π‘₯) β†’ dom 𝑓 = dom (𝑔 β†Ύ π‘₯))
2625sseq1d 4014 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑔 β†Ύ π‘₯) β†’ (dom 𝑓 βŠ† β„• ↔ dom (𝑔 β†Ύ π‘₯) βŠ† β„•))
27 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝑔 β†Ύ π‘₯) β†’ 𝑓 = (𝑔 β†Ύ π‘₯))
28 eqidd 2732 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝑔 β†Ύ π‘₯) β†’ 𝐴 = 𝐴)
2927, 25, 28f1oeq123d 6828 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑔 β†Ύ π‘₯) β†’ (𝑓:dom 𝑓–1-1-onto→𝐴 ↔ (𝑔 β†Ύ π‘₯):dom (𝑔 β†Ύ π‘₯)–1-1-onto→𝐴))
3026, 29anbi12d 630 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑔 β†Ύ π‘₯) β†’ ((dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-onto→𝐴) ↔ (dom (𝑔 β†Ύ π‘₯) βŠ† β„• ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):dom (𝑔 β†Ύ π‘₯)–1-1-onto→𝐴)))
3124, 30spcev 3597 . . . . . . . 8 ((dom (𝑔 β†Ύ π‘₯) βŠ† β„• ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):dom (𝑔 β†Ύ π‘₯)–1-1-onto→𝐴) β†’ βˆƒπ‘“(dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-onto→𝐴))
3213, 22, 31syl2anc 583 . . . . . . 7 ((𝑔:ℕ–onto→𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 β„• ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ βˆƒπ‘“(dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-onto→𝐴))
33323exp 1118 . . . . . 6 (𝑔:ℕ–onto→𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝒫 β„• β†’ ((𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔 β†’ βˆƒπ‘“(dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-onto→𝐴))))
3433rexlimdv 3152 . . . . 5 (𝑔:ℕ–onto→𝐴 β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 β„•(𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔 β†’ βˆƒπ‘“(dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-onto→𝐴)))
357, 34mpd 15 . . . 4 (𝑔:ℕ–onto→𝐴 β†’ βˆƒπ‘“(dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-onto→𝐴))
3635a1i 11 . . 3 ((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ (𝑔:ℕ–onto→𝐴 β†’ βˆƒπ‘“(dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-onto→𝐴)))
3736exlimdv 1935 . 2 ((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ (βˆƒπ‘” 𝑔:ℕ–onto→𝐴 β†’ βˆƒπ‘“(dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-onto→𝐴)))
381, 37mpd 15 1 ((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘“(dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-onto→𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  βˆƒwex 1780   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆƒwrex 3069  Vcvv 3473   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603   class class class wbr 5149   We wwe 5631  dom cdm 5677  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679  β€“ontoβ†’wfo 6542  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  Ο‰com 7858   β‰Ό cdom 8940   < clt 11253  β„•cn 12217
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828
This theorem is referenced by:  isomennd  45547
  Copyright terms: Public domain W3C validator