Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ssnnf1octb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssnnf1octb 41321
Description: There exists a bijection between a subset of and a given nonempty countable set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
ssnnf1octb ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑓(dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴))
Distinct variable group:   𝐴,𝑓

Proof of Theorem ssnnf1octb
Dummy variables 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnfoctb 41174 . 2 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑔 𝑔:ℕ–onto𝐴)
2 fofn 6589 . . . . . 6 (𝑔:ℕ–onto𝐴𝑔 Fn ℕ)
3 nnex 11633 . . . . . . 7 ℕ ∈ V
43a1i 11 . . . . . 6 (𝑔:ℕ–onto𝐴 → ℕ ∈ V)
5 ltwenn 13320 . . . . . . 7 < We ℕ
65a1i 11 . . . . . 6 (𝑔:ℕ–onto𝐴 → < We ℕ)
72, 4, 6wessf1orn 41311 . . . . 5 (𝑔:ℕ–onto𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝒫 ℕ(𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔)
8 f1odm 6616 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔 → dom (𝑔𝑥) = 𝑥)
98adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → dom (𝑔𝑥) = 𝑥)
10 elpwi 4554 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ → 𝑥 ⊆ ℕ)
1110adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → 𝑥 ⊆ ℕ)
129, 11eqsstrd 4009 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → dom (𝑔𝑥) ⊆ ℕ)
13123adant1 1124 . . . . . . . 8 ((𝑔:ℕ–onto𝐴𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → dom (𝑔𝑥) ⊆ ℕ)
14 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝑔:ℕ–onto𝐴 ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔)
15 eqidd 2827 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔:ℕ–onto𝐴 ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → (𝑔𝑥) = (𝑔𝑥))
168eqcomd 2832 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔𝑥 = dom (𝑔𝑥))
1716adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔:ℕ–onto𝐴 ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → 𝑥 = dom (𝑔𝑥))
18 forn 6590 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔:ℕ–onto𝐴 → ran 𝑔 = 𝐴)
1918adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔:ℕ–onto𝐴 ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → ran 𝑔 = 𝐴)
2015, 17, 19f1oeq123d 6607 . . . . . . . . . 10 ((𝑔:ℕ–onto𝐴 ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → ((𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔 ↔ (𝑔𝑥):dom (𝑔𝑥)–1-1-onto𝐴))
2114, 20mpbid 233 . . . . . . . . 9 ((𝑔:ℕ–onto𝐴 ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → (𝑔𝑥):dom (𝑔𝑥)–1-1-onto𝐴)
22213adant2 1125 . . . . . . . 8 ((𝑔:ℕ–onto𝐴𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → (𝑔𝑥):dom (𝑔𝑥)–1-1-onto𝐴)
23 vex 3503 . . . . . . . . . 10 𝑔 ∈ V
2423resex 5898 . . . . . . . . 9 (𝑔𝑥) ∈ V
25 dmeq 5771 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝑔𝑥) → dom 𝑓 = dom (𝑔𝑥))
2625sseq1d 4002 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑔𝑥) → (dom 𝑓 ⊆ ℕ ↔ dom (𝑔𝑥) ⊆ ℕ))
27 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝑔𝑥) → 𝑓 = (𝑔𝑥))
28 eqidd 2827 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝑔𝑥) → 𝐴 = 𝐴)
2927, 25, 28f1oeq123d 6607 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑔𝑥) → (𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴 ↔ (𝑔𝑥):dom (𝑔𝑥)–1-1-onto𝐴))
3026, 29anbi12d 630 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑔𝑥) → ((dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴) ↔ (dom (𝑔𝑥) ⊆ ℕ ∧ (𝑔𝑥):dom (𝑔𝑥)–1-1-onto𝐴)))
3124, 30spcev 3611 . . . . . . . 8 ((dom (𝑔𝑥) ⊆ ℕ ∧ (𝑔𝑥):dom (𝑔𝑥)–1-1-onto𝐴) → ∃𝑓(dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴))
3213, 22, 31syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝑔:ℕ–onto𝐴𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → ∃𝑓(dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴))
33323exp 1113 . . . . . 6 (𝑔:ℕ–onto𝐴 → (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ → ((𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔 → ∃𝑓(dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴))))
3433rexlimdv 3288 . . . . 5 (𝑔:ℕ–onto𝐴 → (∃𝑥 ∈ 𝒫 ℕ(𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔 → ∃𝑓(dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴)))
357, 34mpd 15 . . . 4 (𝑔:ℕ–onto𝐴 → ∃𝑓(dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴))
3635a1i 11 . . 3 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑔:ℕ–onto𝐴 → ∃𝑓(dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴)))
3736exlimdv 1927 . 2 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑔 𝑔:ℕ–onto𝐴 → ∃𝑓(dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴)))
381, 37mpd 15 1 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑓(dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wex 1773  wcel 2107  wne 3021  wrex 3144  Vcvv 3500  wss 3940  c0 4295  𝒫 cpw 4542   class class class wbr 5063   We wwe 5512  dom cdm 5554  ran crn 5555  cres 5556  ontowfo 6350  1-1-ontowf1o 6351  ωcom 7568  cdom 8496   < clt 10664  cn 11627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-inf2 9093  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233
This theorem is referenced by:  isomennd  42679
  Copyright terms: Public domain W3C validator