Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ssnnf1octb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssnnf1octb 42192
 Description: There exists a bijection between a subset of ℕ and a given nonempty countable set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
ssnnf1octb ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑓(dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴))
Distinct variable group:   𝐴,𝑓

Proof of Theorem ssnnf1octb
Dummy variables 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnfoctb 42054 . 2 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑔 𝑔:ℕ–onto𝐴)
2 fofn 6578 . . . . . 6 (𝑔:ℕ–onto𝐴𝑔 Fn ℕ)
3 nnex 11680 . . . . . . 7 ℕ ∈ V
43a1i 11 . . . . . 6 (𝑔:ℕ–onto𝐴 → ℕ ∈ V)
5 ltwenn 13379 . . . . . . 7 < We ℕ
65a1i 11 . . . . . 6 (𝑔:ℕ–onto𝐴 → < We ℕ)
72, 4, 6wessf1orn 42182 . . . . 5 (𝑔:ℕ–onto𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝒫 ℕ(𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔)
8 f1odm 6606 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔 → dom (𝑔𝑥) = 𝑥)
98adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → dom (𝑔𝑥) = 𝑥)
10 elpwi 4503 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ → 𝑥 ⊆ ℕ)
1110adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → 𝑥 ⊆ ℕ)
129, 11eqsstrd 3930 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → dom (𝑔𝑥) ⊆ ℕ)
13123adant1 1127 . . . . . . . 8 ((𝑔:ℕ–onto𝐴𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → dom (𝑔𝑥) ⊆ ℕ)
14 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((𝑔:ℕ–onto𝐴 ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔)
15 eqidd 2759 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔:ℕ–onto𝐴 ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → (𝑔𝑥) = (𝑔𝑥))
168eqcomd 2764 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔𝑥 = dom (𝑔𝑥))
1716adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔:ℕ–onto𝐴 ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → 𝑥 = dom (𝑔𝑥))
18 forn 6579 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔:ℕ–onto𝐴 → ran 𝑔 = 𝐴)
1918adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔:ℕ–onto𝐴 ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → ran 𝑔 = 𝐴)
2015, 17, 19f1oeq123d 6596 . . . . . . . . . 10 ((𝑔:ℕ–onto𝐴 ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → ((𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔 ↔ (𝑔𝑥):dom (𝑔𝑥)–1-1-onto𝐴))
2114, 20mpbid 235 . . . . . . . . 9 ((𝑔:ℕ–onto𝐴 ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → (𝑔𝑥):dom (𝑔𝑥)–1-1-onto𝐴)
22213adant2 1128 . . . . . . . 8 ((𝑔:ℕ–onto𝐴𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → (𝑔𝑥):dom (𝑔𝑥)–1-1-onto𝐴)
23 vex 3413 . . . . . . . . . 10 𝑔 ∈ V
2423resex 5871 . . . . . . . . 9 (𝑔𝑥) ∈ V
25 dmeq 5743 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝑔𝑥) → dom 𝑓 = dom (𝑔𝑥))
2625sseq1d 3923 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑔𝑥) → (dom 𝑓 ⊆ ℕ ↔ dom (𝑔𝑥) ⊆ ℕ))
27 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝑔𝑥) → 𝑓 = (𝑔𝑥))
28 eqidd 2759 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝑔𝑥) → 𝐴 = 𝐴)
2927, 25, 28f1oeq123d 6596 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑔𝑥) → (𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴 ↔ (𝑔𝑥):dom (𝑔𝑥)–1-1-onto𝐴))
3026, 29anbi12d 633 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑔𝑥) → ((dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴) ↔ (dom (𝑔𝑥) ⊆ ℕ ∧ (𝑔𝑥):dom (𝑔𝑥)–1-1-onto𝐴)))
3124, 30spcev 3525 . . . . . . . 8 ((dom (𝑔𝑥) ⊆ ℕ ∧ (𝑔𝑥):dom (𝑔𝑥)–1-1-onto𝐴) → ∃𝑓(dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴))
3213, 22, 31syl2anc 587 . . . . . . 7 ((𝑔:ℕ–onto𝐴𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → ∃𝑓(dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴))
33323exp 1116 . . . . . 6 (𝑔:ℕ–onto𝐴 → (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ → ((𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔 → ∃𝑓(dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴))))
3433rexlimdv 3207 . . . . 5 (𝑔:ℕ–onto𝐴 → (∃𝑥 ∈ 𝒫 ℕ(𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔 → ∃𝑓(dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴)))
357, 34mpd 15 . . . 4 (𝑔:ℕ–onto𝐴 → ∃𝑓(dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴))
3635a1i 11 . . 3 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑔:ℕ–onto𝐴 → ∃𝑓(dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴)))
3736exlimdv 1934 . 2 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑔 𝑔:ℕ–onto𝐴 → ∃𝑓(dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴)))
381, 37mpd 15 1 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑓(dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∃wrex 3071  Vcvv 3409   ⊆ wss 3858  ∅c0 4225  𝒫 cpw 4494   class class class wbr 5032   We wwe 5482  dom cdm 5524  ran crn 5525   ↾ cres 5526  –onto→wfo 6333  –1-1-onto→wf1o 6334  ωcom 7579   ≼ cdom 8525   < clt 10713  ℕcn 11674 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-inf2 9137  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-isom 6344  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283 This theorem is referenced by:  isomennd  43536
 Copyright terms: Public domain W3C validator