Theorem ssnnf1octb 46034

Description: There exists a bijection between a subset of ℕ and a given nonempty countable set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ssnnf1octb	⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑓(dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-onto→𝐴))

Distinct variable group:   𝐴,𝑓

Proof of Theorem ssnnf1octb

Dummy variables 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnfoctb 45890	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑔 𝑔:ℕ–onto→𝐴)
2		fofn 6795	. . . . . 6 ⊢ (𝑔:ℕ–onto→𝐴 → 𝑔 Fn ℕ)
3		nnex 12267	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ∈ V
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑔:ℕ–onto→𝐴 → ℕ ∈ V)
5		ltwenn 14030	. . . . . . 7 ⊢ < We ℕ
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑔:ℕ–onto→𝐴 → < We ℕ)
7	2, 4, 6	wessf1orn 46026	. . . . 5 ⊢ (𝑔:ℕ–onto→𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝒫 ℕ(𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔)
8		f1odm 6825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔 → dom (𝑔 ↾ 𝑥) = 𝑥)
9	8	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ∧ (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔) → dom (𝑔 ↾ 𝑥) = 𝑥)
10		elpwi 4567	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ → 𝑥 ⊆ ℕ)
11	10	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ∧ (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔) → 𝑥 ⊆ ℕ)
12	9, 11	eqsstrd 3968	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ∧ (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔) → dom (𝑔 ↾ 𝑥) ⊆ ℕ)
13	12	3adant1 1148	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑔:ℕ–onto→𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ∧ (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔) → dom (𝑔 ↾ 𝑥) ⊆ ℕ)
14		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑔:ℕ–onto→𝐴 ∧ (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔) → (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔)
15		eqidd 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑔:ℕ–onto→𝐴 ∧ (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔) → (𝑔 ↾ 𝑥) = (𝑔 ↾ 𝑥))
16	8	eqcomd 2768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔 → 𝑥 = dom (𝑔 ↾ 𝑥))
17	16	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑔:ℕ–onto→𝐴 ∧ (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔) → 𝑥 = dom (𝑔 ↾ 𝑥))
18		forn 6796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔:ℕ–onto→𝐴 → ran 𝑔 = 𝐴)
19	18	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑔:ℕ–onto→𝐴 ∧ (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔) → ran 𝑔 = 𝐴)
20	15, 17, 19	f1oeq123d 6815	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑔:ℕ–onto→𝐴 ∧ (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔) → ((𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔 ↔ (𝑔 ↾ 𝑥):dom (𝑔 ↾ 𝑥)–1-1-onto→𝐴))
21	14, 20	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑔:ℕ–onto→𝐴 ∧ (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔) → (𝑔 ↾ 𝑥):dom (𝑔 ↾ 𝑥)–1-1-onto→𝐴)
22	21	3adant2 1149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑔:ℕ–onto→𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ∧ (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔) → (𝑔 ↾ 𝑥):dom (𝑔 ↾ 𝑥)–1-1-onto→𝐴)
23		vex 3457	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑔 ∈ V
24	23	resex 6026	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 ↾ 𝑥) ∈ V
25		dmeq 5891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ↾ 𝑥) → dom 𝑓 = dom (𝑔 ↾ 𝑥))
26	25	sseq1d 3965	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ↾ 𝑥) → (dom 𝑓 ⊆ ℕ ↔ dom (𝑔 ↾ 𝑥) ⊆ ℕ))
27		id 23	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ↾ 𝑥) → 𝑓 = (𝑔 ↾ 𝑥))
28		eqidd 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ↾ 𝑥) → 𝐴 = 𝐴)
29	27, 25, 28	f1oeq123d 6815	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ↾ 𝑥) → (𝑓:dom 𝑓–1-1-onto→𝐴 ↔ (𝑔 ↾ 𝑥):dom (𝑔 ↾ 𝑥)–1-1-onto→𝐴))
30	26, 29	anbi12d 644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ↾ 𝑥) → ((dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-onto→𝐴) ↔ (dom (𝑔 ↾ 𝑥) ⊆ ℕ ∧ (𝑔 ↾ 𝑥):dom (𝑔 ↾ 𝑥)–1-1-onto→𝐴)))
31	24, 30	spcev 3563	. . . . . . . 8 ⊢ ((dom (𝑔 ↾ 𝑥) ⊆ ℕ ∧ (𝑔 ↾ 𝑥):dom (𝑔 ↾ 𝑥)–1-1-onto→𝐴) → ∃𝑓(dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-onto→𝐴))
32	13, 22, 31	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔:ℕ–onto→𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ∧ (𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔) → ∃𝑓(dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-onto→𝐴))
33	32	3exp 1137	. . . . . 6 ⊢ (𝑔:ℕ–onto→𝐴 → (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ → ((𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔 → ∃𝑓(dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-onto→𝐴))))
34	33	rexlimdv 3163	. . . . 5 ⊢ (𝑔:ℕ–onto→𝐴 → (∃𝑥 ∈ 𝒫 ℕ(𝑔 ↾ 𝑥):𝑥–1-1-onto→ran 𝑔 → ∃𝑓(dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-onto→𝐴)))
35	7, 34	mpd 16	. . . 4 ⊢ (𝑔:ℕ–onto→𝐴 → ∃𝑓(dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-onto→𝐴))
36	35	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑔:ℕ–onto→𝐴 → ∃𝑓(dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-onto→𝐴)))
37	36	exlimdv 1966	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑔 𝑔:ℕ–onto→𝐴 → ∃𝑓(dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-onto→𝐴)))
38	1, 37	mpd 16	1 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑓(dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-onto→𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∃wrex 3088  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5107   We wwe 5611  dom cdm 5659  ran crn 5660   ↾ cres 5661  –onto→wfo 6535  –1-1-onto→wf1o 6536  ωcom 7866   ≼ cdom 8954   < clt 11271  ℕcn 12261

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892

This theorem is used by:  isomennd  47367