Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ssnnf1octb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssnnf1octb 45137
Description: There exists a bijection between a subset of and a given nonempty countable set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
ssnnf1octb ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑓(dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴))
Distinct variable group:   𝐴,𝑓

Proof of Theorem ssnnf1octb
Dummy variables 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnfoctb 44987 . 2 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑔 𝑔:ℕ–onto𝐴)
2 fofn 6823 . . . . . 6 (𝑔:ℕ–onto𝐴𝑔 Fn ℕ)
3 nnex 12270 . . . . . . 7 ℕ ∈ V
43a1i 11 . . . . . 6 (𝑔:ℕ–onto𝐴 → ℕ ∈ V)
5 ltwenn 14000 . . . . . . 7 < We ℕ
65a1i 11 . . . . . 6 (𝑔:ℕ–onto𝐴 → < We ℕ)
72, 4, 6wessf1orn 45129 . . . . 5 (𝑔:ℕ–onto𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝒫 ℕ(𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔)
8 f1odm 6853 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔 → dom (𝑔𝑥) = 𝑥)
98adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → dom (𝑔𝑥) = 𝑥)
10 elpwi 4612 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ → 𝑥 ⊆ ℕ)
1110adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → 𝑥 ⊆ ℕ)
129, 11eqsstrd 4034 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → dom (𝑔𝑥) ⊆ ℕ)
13123adant1 1129 . . . . . . . 8 ((𝑔:ℕ–onto𝐴𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → dom (𝑔𝑥) ⊆ ℕ)
14 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑔:ℕ–onto𝐴 ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔)
15 eqidd 2736 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔:ℕ–onto𝐴 ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → (𝑔𝑥) = (𝑔𝑥))
168eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔𝑥 = dom (𝑔𝑥))
1716adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔:ℕ–onto𝐴 ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → 𝑥 = dom (𝑔𝑥))
18 forn 6824 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔:ℕ–onto𝐴 → ran 𝑔 = 𝐴)
1918adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔:ℕ–onto𝐴 ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → ran 𝑔 = 𝐴)
2015, 17, 19f1oeq123d 6843 . . . . . . . . . 10 ((𝑔:ℕ–onto𝐴 ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → ((𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔 ↔ (𝑔𝑥):dom (𝑔𝑥)–1-1-onto𝐴))
2114, 20mpbid 232 . . . . . . . . 9 ((𝑔:ℕ–onto𝐴 ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → (𝑔𝑥):dom (𝑔𝑥)–1-1-onto𝐴)
22213adant2 1130 . . . . . . . 8 ((𝑔:ℕ–onto𝐴𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → (𝑔𝑥):dom (𝑔𝑥)–1-1-onto𝐴)
23 vex 3482 . . . . . . . . . 10 𝑔 ∈ V
2423resex 6049 . . . . . . . . 9 (𝑔𝑥) ∈ V
25 dmeq 5917 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝑔𝑥) → dom 𝑓 = dom (𝑔𝑥))
2625sseq1d 4027 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑔𝑥) → (dom 𝑓 ⊆ ℕ ↔ dom (𝑔𝑥) ⊆ ℕ))
27 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝑔𝑥) → 𝑓 = (𝑔𝑥))
28 eqidd 2736 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝑔𝑥) → 𝐴 = 𝐴)
2927, 25, 28f1oeq123d 6843 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑔𝑥) → (𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴 ↔ (𝑔𝑥):dom (𝑔𝑥)–1-1-onto𝐴))
3026, 29anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑔𝑥) → ((dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴) ↔ (dom (𝑔𝑥) ⊆ ℕ ∧ (𝑔𝑥):dom (𝑔𝑥)–1-1-onto𝐴)))
3124, 30spcev 3606 . . . . . . . 8 ((dom (𝑔𝑥) ⊆ ℕ ∧ (𝑔𝑥):dom (𝑔𝑥)–1-1-onto𝐴) → ∃𝑓(dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴))
3213, 22, 31syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝑔:ℕ–onto𝐴𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ∧ (𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔) → ∃𝑓(dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴))
33323exp 1118 . . . . . 6 (𝑔:ℕ–onto𝐴 → (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ → ((𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔 → ∃𝑓(dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴))))
3433rexlimdv 3151 . . . . 5 (𝑔:ℕ–onto𝐴 → (∃𝑥 ∈ 𝒫 ℕ(𝑔𝑥):𝑥1-1-onto→ran 𝑔 → ∃𝑓(dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴)))
357, 34mpd 15 . . . 4 (𝑔:ℕ–onto𝐴 → ∃𝑓(dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴))
3635a1i 11 . . 3 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑔:ℕ–onto𝐴 → ∃𝑓(dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴)))
3736exlimdv 1931 . 2 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑔 𝑔:ℕ–onto𝐴 → ∃𝑓(dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴)))
381, 37mpd 15 1 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑓(dom 𝑓 ⊆ ℕ ∧ 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  Vcvv 3478  wss 3963  c0 4339  𝒫 cpw 4605   class class class wbr 5148   We wwe 5640  dom cdm 5689  ran crn 5690  cres 5691  ontowfo 6561  1-1-ontowf1o 6562  ωcom 7887  cdom 8982   < clt 11293  cn 12264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877
This theorem is referenced by:  isomennd  46487
  Copyright terms: Public domain W3C validator