Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ssnnf1octb Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ssnnf1octb 44191
Description: There exists a bijection between a subset of β„• and a given nonempty countable set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
ssnnf1octb ((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘“(dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-onto→𝐴))
Distinct variable group:   𝐴,𝑓
Proof of Theorem ssnnf1octb
Dummy variables 𝑔 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnfoctb 44035 . 2 ((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘” 𝑔:ℕ–onto→𝐴)
2 fofn 6806 . . . . . 6 (𝑔:ℕ–onto→𝐴 β†’ 𝑔 Fn β„•)
3 nnex 12222 . . . . . . 7 β„• ∈ V
43a1i 11 . . . . . 6 (𝑔:ℕ–onto→𝐴 β†’ β„• ∈ V)
5 ltwenn 13931 . . . . . . 7 < We β„•
65a1i 11 . . . . . 6 (𝑔:ℕ–onto→𝐴 β†’ < We β„•)
72, 4, 6wessf1orn 44183 . . . . 5 (𝑔:ℕ–onto→𝐴 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 β„•(𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔)
8 f1odm 6836 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔 β†’ dom (𝑔 β†Ύ π‘₯) = π‘₯)
98adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝒫 β„• ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ dom (𝑔 β†Ύ π‘₯) = π‘₯)
10 elpwi 4608 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝒫 β„• β†’ π‘₯ βŠ† β„•)
1110adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝒫 β„• ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ π‘₯ βŠ† β„•)
129, 11eqsstrd 4019 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝒫 β„• ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ dom (𝑔 β†Ύ π‘₯) βŠ† β„•)
13123adant1 1128 . . . . . . . 8 ((𝑔:ℕ–onto→𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 β„• ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ dom (𝑔 β†Ύ π‘₯) βŠ† β„•)
14 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑔:ℕ–onto→𝐴 ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔)
15 eqidd 2731 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔:ℕ–onto→𝐴 ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ (𝑔 β†Ύ π‘₯) = (𝑔 β†Ύ π‘₯))
168eqcomd 2736 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔 β†’ π‘₯ = dom (𝑔 β†Ύ π‘₯))
1716adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔:ℕ–onto→𝐴 ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ π‘₯ = dom (𝑔 β†Ύ π‘₯))
18 forn 6807 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔:ℕ–onto→𝐴 β†’ ran 𝑔 = 𝐴)
1918adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔:ℕ–onto→𝐴 ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ ran 𝑔 = 𝐴)
2015, 17, 19f1oeq123d 6826 . . . . . . . . . 10 ((𝑔:ℕ–onto→𝐴 ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ ((𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔 ↔ (𝑔 β†Ύ π‘₯):dom (𝑔 β†Ύ π‘₯)–1-1-onto→𝐴))
2114, 20mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((𝑔:ℕ–onto→𝐴 ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ (𝑔 β†Ύ π‘₯):dom (𝑔 β†Ύ π‘₯)–1-1-onto→𝐴)
22213adant2 1129 . . . . . . . 8 ((𝑔:ℕ–onto→𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 β„• ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ (𝑔 β†Ύ π‘₯):dom (𝑔 β†Ύ π‘₯)–1-1-onto→𝐴)
23 vex 3476 . . . . . . . . . 10 𝑔 ∈ V
2423resex 6028 . . . . . . . . 9 (𝑔 β†Ύ π‘₯) ∈ V
25 dmeq 5902 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝑔 β†Ύ π‘₯) β†’ dom 𝑓 = dom (𝑔 β†Ύ π‘₯))
2625sseq1d 4012 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑔 β†Ύ π‘₯) β†’ (dom 𝑓 βŠ† β„• ↔ dom (𝑔 β†Ύ π‘₯) βŠ† β„•))
27 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝑔 β†Ύ π‘₯) β†’ 𝑓 = (𝑔 β†Ύ π‘₯))
28 eqidd 2731 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝑔 β†Ύ π‘₯) β†’ 𝐴 = 𝐴)
2927, 25, 28f1oeq123d 6826 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑔 β†Ύ π‘₯) β†’ (𝑓:dom 𝑓–1-1-onto→𝐴 ↔ (𝑔 β†Ύ π‘₯):dom (𝑔 β†Ύ π‘₯)–1-1-onto→𝐴))
3026, 29anbi12d 629 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑔 β†Ύ π‘₯) β†’ ((dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-onto→𝐴) ↔ (dom (𝑔 β†Ύ π‘₯) βŠ† β„• ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):dom (𝑔 β†Ύ π‘₯)–1-1-onto→𝐴)))
3124, 30spcev 3595 . . . . . . . 8 ((dom (𝑔 β†Ύ π‘₯) βŠ† β„• ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):dom (𝑔 β†Ύ π‘₯)–1-1-onto→𝐴) β†’ βˆƒπ‘“(dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-onto→𝐴))
3213, 22, 31syl2anc 582 . . . . . . 7 ((𝑔:ℕ–onto→𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 β„• ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ βˆƒπ‘“(dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-onto→𝐴))
33323exp 1117 . . . . . 6 (𝑔:ℕ–onto→𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝒫 β„• β†’ ((𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔 β†’ βˆƒπ‘“(dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-onto→𝐴))))
3433rexlimdv 3151 . . . . 5 (𝑔:ℕ–onto→𝐴 β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 β„•(𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔 β†’ βˆƒπ‘“(dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-onto→𝐴)))
357, 34mpd 15 . . . 4 (𝑔:ℕ–onto→𝐴 β†’ βˆƒπ‘“(dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-onto→𝐴))
3635a1i 11 . . 3 ((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ (𝑔:ℕ–onto→𝐴 β†’ βˆƒπ‘“(dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-onto→𝐴)))
3736exlimdv 1934 . 2 ((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ (βˆƒπ‘” 𝑔:ℕ–onto→𝐴 β†’ βˆƒπ‘“(dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-onto→𝐴)))
381, 37mpd 15 1 ((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘“(dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-onto→𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539  βˆƒwex 1779   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆƒwrex 3068  Vcvv 3472   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  π’« cpw 4601   class class class wbr 5147   We wwe 5629  dom cdm 5675  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677  β€“ontoβ†’wfo 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  Ο‰com 7857   β‰Ό cdom 8939   < clt 11252  β„•cn 12216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827
This theorem is referenced by:  isomennd  45545
  Copyright terms: Public domain W3C validator