Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ssnnf1octb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssnnf1octb 43502
Description: There exists a bijection between a subset of β„• and a given nonempty countable set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
ssnnf1octb ((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘“(dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-onto→𝐴))
Distinct variable group:   𝐴,𝑓

Proof of Theorem ssnnf1octb
Dummy variables 𝑔 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnfoctb 43343 . 2 ((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘” 𝑔:ℕ–onto→𝐴)
2 fofn 6759 . . . . . 6 (𝑔:ℕ–onto→𝐴 β†’ 𝑔 Fn β„•)
3 nnex 12164 . . . . . . 7 β„• ∈ V
43a1i 11 . . . . . 6 (𝑔:ℕ–onto→𝐴 β†’ β„• ∈ V)
5 ltwenn 13873 . . . . . . 7 < We β„•
65a1i 11 . . . . . 6 (𝑔:ℕ–onto→𝐴 β†’ < We β„•)
72, 4, 6wessf1orn 43492 . . . . 5 (𝑔:ℕ–onto→𝐴 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 β„•(𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔)
8 f1odm 6789 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔 β†’ dom (𝑔 β†Ύ π‘₯) = π‘₯)
98adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝒫 β„• ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ dom (𝑔 β†Ύ π‘₯) = π‘₯)
10 elpwi 4568 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝒫 β„• β†’ π‘₯ βŠ† β„•)
1110adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝒫 β„• ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ π‘₯ βŠ† β„•)
129, 11eqsstrd 3983 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝒫 β„• ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ dom (𝑔 β†Ύ π‘₯) βŠ† β„•)
13123adant1 1131 . . . . . . . 8 ((𝑔:ℕ–onto→𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 β„• ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ dom (𝑔 β†Ύ π‘₯) βŠ† β„•)
14 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((𝑔:ℕ–onto→𝐴 ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔)
15 eqidd 2734 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔:ℕ–onto→𝐴 ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ (𝑔 β†Ύ π‘₯) = (𝑔 β†Ύ π‘₯))
168eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔 β†’ π‘₯ = dom (𝑔 β†Ύ π‘₯))
1716adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔:ℕ–onto→𝐴 ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ π‘₯ = dom (𝑔 β†Ύ π‘₯))
18 forn 6760 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔:ℕ–onto→𝐴 β†’ ran 𝑔 = 𝐴)
1918adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔:ℕ–onto→𝐴 ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ ran 𝑔 = 𝐴)
2015, 17, 19f1oeq123d 6779 . . . . . . . . . 10 ((𝑔:ℕ–onto→𝐴 ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ ((𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔 ↔ (𝑔 β†Ύ π‘₯):dom (𝑔 β†Ύ π‘₯)–1-1-onto→𝐴))
2114, 20mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((𝑔:ℕ–onto→𝐴 ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ (𝑔 β†Ύ π‘₯):dom (𝑔 β†Ύ π‘₯)–1-1-onto→𝐴)
22213adant2 1132 . . . . . . . 8 ((𝑔:ℕ–onto→𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 β„• ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ (𝑔 β†Ύ π‘₯):dom (𝑔 β†Ύ π‘₯)–1-1-onto→𝐴)
23 vex 3448 . . . . . . . . . 10 𝑔 ∈ V
2423resex 5986 . . . . . . . . 9 (𝑔 β†Ύ π‘₯) ∈ V
25 dmeq 5860 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝑔 β†Ύ π‘₯) β†’ dom 𝑓 = dom (𝑔 β†Ύ π‘₯))
2625sseq1d 3976 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑔 β†Ύ π‘₯) β†’ (dom 𝑓 βŠ† β„• ↔ dom (𝑔 β†Ύ π‘₯) βŠ† β„•))
27 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝑔 β†Ύ π‘₯) β†’ 𝑓 = (𝑔 β†Ύ π‘₯))
28 eqidd 2734 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝑔 β†Ύ π‘₯) β†’ 𝐴 = 𝐴)
2927, 25, 28f1oeq123d 6779 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑔 β†Ύ π‘₯) β†’ (𝑓:dom 𝑓–1-1-onto→𝐴 ↔ (𝑔 β†Ύ π‘₯):dom (𝑔 β†Ύ π‘₯)–1-1-onto→𝐴))
3026, 29anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑔 β†Ύ π‘₯) β†’ ((dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-onto→𝐴) ↔ (dom (𝑔 β†Ύ π‘₯) βŠ† β„• ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):dom (𝑔 β†Ύ π‘₯)–1-1-onto→𝐴)))
3124, 30spcev 3564 . . . . . . . 8 ((dom (𝑔 β†Ύ π‘₯) βŠ† β„• ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):dom (𝑔 β†Ύ π‘₯)–1-1-onto→𝐴) β†’ βˆƒπ‘“(dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-onto→𝐴))
3213, 22, 31syl2anc 585 . . . . . . 7 ((𝑔:ℕ–onto→𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 β„• ∧ (𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔) β†’ βˆƒπ‘“(dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-onto→𝐴))
33323exp 1120 . . . . . 6 (𝑔:ℕ–onto→𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝒫 β„• β†’ ((𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔 β†’ βˆƒπ‘“(dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-onto→𝐴))))
3433rexlimdv 3147 . . . . 5 (𝑔:ℕ–onto→𝐴 β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 β„•(𝑔 β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’ran 𝑔 β†’ βˆƒπ‘“(dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-onto→𝐴)))
357, 34mpd 15 . . . 4 (𝑔:ℕ–onto→𝐴 β†’ βˆƒπ‘“(dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-onto→𝐴))
3635a1i 11 . . 3 ((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ (𝑔:ℕ–onto→𝐴 β†’ βˆƒπ‘“(dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-onto→𝐴)))
3736exlimdv 1937 . 2 ((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ (βˆƒπ‘” 𝑔:ℕ–onto→𝐴 β†’ βˆƒπ‘“(dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-onto→𝐴)))
381, 37mpd 15 1 ((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘“(dom 𝑓 βŠ† β„• ∧ 𝑓:dom 𝑓–1-1-onto→𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3444   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  π’« cpw 4561   class class class wbr 5106   We wwe 5588  dom cdm 5634  ran crn 5635   β†Ύ cres 5636  β€“ontoβ†’wfo 6495  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6496  Ο‰com 7803   β‰Ό cdom 8884   < clt 11194  β„•cn 12158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769
This theorem is referenced by:  isomennd  44858
  Copyright terms: Public domain W3C validator