MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgval 19388
Description: The value of the symmetric group function at 𝐴. (Contributed by Paul Chapman, 25-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.) (Revised by AV, 28-Mar-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
symgval.1 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgval.2 𝐵 = {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}
Assertion
Ref Expression
symgval 𝐺 = ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s 𝐵)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem symgval
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgval.1 . 2 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2 df-symg 19387 . . . . 5 SymGrp = (𝑥 ∈ V ↦ ((EndoFMnd‘𝑥) ↾s {:𝑥1-1-onto𝑥}))
32a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ V → SymGrp = (𝑥 ∈ V ↦ ((EndoFMnd‘𝑥) ↾s {:𝑥1-1-onto𝑥})))
4 fveq2 6906 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (EndoFMnd‘𝑥) = (EndoFMnd‘𝐴))
5 eqidd 2738 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐴 = )
6 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐴)
75, 6, 6f1oeq123d 6842 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐴 → (:𝑥1-1-onto𝑥:𝐴1-1-onto𝐴))
87abbidv 2808 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → {:𝑥1-1-onto𝑥} = {:𝐴1-1-onto𝐴})
9 f1oeq1 6836 . . . . . . . . 9 ( = 𝑥 → (:𝐴1-1-onto𝐴𝑥:𝐴1-1-onto𝐴))
109cbvabv 2812 . . . . . . . 8 {:𝐴1-1-onto𝐴} = {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}
118, 10eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → {:𝑥1-1-onto𝑥} = {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴})
12 symgval.2 . . . . . . 7 𝐵 = {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}
1311, 12eqtr4di 2795 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → {:𝑥1-1-onto𝑥} = 𝐵)
144, 13oveq12d 7449 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((EndoFMnd‘𝑥) ↾s {:𝑥1-1-onto𝑥}) = ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s 𝐵))
1514adantl 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑥 = 𝐴) → ((EndoFMnd‘𝑥) ↾s {:𝑥1-1-onto𝑥}) = ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s 𝐵))
16 id 22 . . . 4 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ V)
17 ovexd 7466 . . . 4 (𝐴 ∈ V → ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s 𝐵) ∈ V)
18 nfv 1914 . . . 4 𝑥 𝐴 ∈ V
19 nfcv 2905 . . . 4 𝑥𝐴
20 nfcv 2905 . . . . 5 𝑥(EndoFMnd‘𝐴)
21 nfcv 2905 . . . . 5 𝑥s
22 nfab1 2907 . . . . . 6 𝑥{𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}
2312, 22nfcxfr 2903 . . . . 5 𝑥𝐵
2420, 21, 23nfov 7461 . . . 4 𝑥((EndoFMnd‘𝐴) ↾s 𝐵)
253, 15, 16, 17, 18, 19, 24fvmptdf 7022 . . 3 (𝐴 ∈ V → (SymGrp‘𝐴) = ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s 𝐵))
26 ress0 17289 . . . . 5 (∅ ↾s 𝐵) = ∅
2726a1i 11 . . . 4 𝐴 ∈ V → (∅ ↾s 𝐵) = ∅)
28 fvprc 6898 . . . . 5 𝐴 ∈ V → (EndoFMnd‘𝐴) = ∅)
2928oveq1d 7446 . . . 4 𝐴 ∈ V → ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s 𝐵) = (∅ ↾s 𝐵))
30 fvprc 6898 . . . 4 𝐴 ∈ V → (SymGrp‘𝐴) = ∅)
3127, 29, 303eqtr4rd 2788 . . 3 𝐴 ∈ V → (SymGrp‘𝐴) = ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s 𝐵))
3225, 31pm2.61i 182 . 2 (SymGrp‘𝐴) = ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s 𝐵)
331, 32eqtri 2765 1 𝐺 = ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1540  wcel 2108  {cab 2714  Vcvv 3480  c0 4333  cmpt 5225  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  (class class class)co 7431  s cress 17274  EndoFMndcefmnd 18881  SymGrpcsymg 19386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-1cn 11213  ax-addcl 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-nn 12267  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-symg 19387
This theorem is referenced by:  symgbas  19389  symgressbas  19399  symgplusg  19400  symgvalstruct  19414  symgvalstructOLD  19415  symgtset  19417
  Copyright terms: Public domain W3C validator