MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgval 19250
Description: The value of the symmetric group function at 𝐴. (Contributed by Paul Chapman, 25-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.) (Revised by AV, 28-Mar-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
symgval.1 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgval.2 𝐵 = {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}
Assertion
Ref Expression
symgval 𝐺 = ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s 𝐵)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem symgval
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgval.1 . 2 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2 df-symg 19249 . . . . 5 SymGrp = (𝑥 ∈ V ↦ ((EndoFMnd‘𝑥) ↾s {:𝑥1-1-onto𝑥}))
32a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ V → SymGrp = (𝑥 ∈ V ↦ ((EndoFMnd‘𝑥) ↾s {:𝑥1-1-onto𝑥})))
4 fveq2 6822 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (EndoFMnd‘𝑥) = (EndoFMnd‘𝐴))
5 eqidd 2730 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐴 = )
6 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐴)
75, 6, 6f1oeq123d 6758 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐴 → (:𝑥1-1-onto𝑥:𝐴1-1-onto𝐴))
87abbidv 2795 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → {:𝑥1-1-onto𝑥} = {:𝐴1-1-onto𝐴})
9 f1oeq1 6752 . . . . . . . . 9 ( = 𝑥 → (:𝐴1-1-onto𝐴𝑥:𝐴1-1-onto𝐴))
109cbvabv 2799 . . . . . . . 8 {:𝐴1-1-onto𝐴} = {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}
118, 10eqtrdi 2780 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → {:𝑥1-1-onto𝑥} = {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴})
12 symgval.2 . . . . . . 7 𝐵 = {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}
1311, 12eqtr4di 2782 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → {:𝑥1-1-onto𝑥} = 𝐵)
144, 13oveq12d 7367 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((EndoFMnd‘𝑥) ↾s {:𝑥1-1-onto𝑥}) = ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s 𝐵))
1514adantl 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑥 = 𝐴) → ((EndoFMnd‘𝑥) ↾s {:𝑥1-1-onto𝑥}) = ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s 𝐵))
16 id 22 . . . 4 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ V)
17 ovexd 7384 . . . 4 (𝐴 ∈ V → ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s 𝐵) ∈ V)
18 nfv 1914 . . . 4 𝑥 𝐴 ∈ V
19 nfcv 2891 . . . 4 𝑥𝐴
20 nfcv 2891 . . . . 5 𝑥(EndoFMnd‘𝐴)
21 nfcv 2891 . . . . 5 𝑥s
22 nfab1 2893 . . . . . 6 𝑥{𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}
2312, 22nfcxfr 2889 . . . . 5 𝑥𝐵
2420, 21, 23nfov 7379 . . . 4 𝑥((EndoFMnd‘𝐴) ↾s 𝐵)
253, 15, 16, 17, 18, 19, 24fvmptdf 6936 . . 3 (𝐴 ∈ V → (SymGrp‘𝐴) = ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s 𝐵))
26 ress0 17154 . . . . 5 (∅ ↾s 𝐵) = ∅
2726a1i 11 . . . 4 𝐴 ∈ V → (∅ ↾s 𝐵) = ∅)
28 fvprc 6814 . . . . 5 𝐴 ∈ V → (EndoFMnd‘𝐴) = ∅)
2928oveq1d 7364 . . . 4 𝐴 ∈ V → ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s 𝐵) = (∅ ↾s 𝐵))
30 fvprc 6814 . . . 4 𝐴 ∈ V → (SymGrp‘𝐴) = ∅)
3127, 29, 303eqtr4rd 2775 . . 3 𝐴 ∈ V → (SymGrp‘𝐴) = ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s 𝐵))
3225, 31pm2.61i 182 . 2 (SymGrp‘𝐴) = ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s 𝐵)
331, 32eqtri 2752 1 𝐺 = ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1540  wcel 2109  {cab 2707  Vcvv 3436  c0 4284  cmpt 5173  1-1-ontowf1o 6481  cfv 6482  (class class class)co 7349  s cress 17141  EndoFMndcefmnd 18742  SymGrpcsymg 19248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-1cn 11067  ax-addcl 11069
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-nn 12129  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-symg 19249
This theorem is referenced by:  symgbas  19251  symgressbas  19261  symgplusg  19262  symgvalstruct  19276  symgtset  19278
  Copyright terms: Public domain W3C validator