MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgval 19403
Description: The value of the symmetric group function at 𝐴. (Contributed by Paul Chapman, 25-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.) (Revised by AV, 28-Mar-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
symgval.1 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgval.2 𝐵 = {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}
Assertion
Ref Expression
symgval 𝐺 = ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s 𝐵)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem symgval
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgval.1 . 2 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2 df-symg 19402 . . . . 5 SymGrp = (𝑥 ∈ V ↦ ((EndoFMnd‘𝑥) ↾s {:𝑥1-1-onto𝑥}))
32a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ V → SymGrp = (𝑥 ∈ V ↦ ((EndoFMnd‘𝑥) ↾s {:𝑥1-1-onto𝑥})))
4 fveq2 6907 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (EndoFMnd‘𝑥) = (EndoFMnd‘𝐴))
5 eqidd 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐴 = )
6 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐴)
75, 6, 6f1oeq123d 6843 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐴 → (:𝑥1-1-onto𝑥:𝐴1-1-onto𝐴))
87abbidv 2806 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → {:𝑥1-1-onto𝑥} = {:𝐴1-1-onto𝐴})
9 f1oeq1 6837 . . . . . . . . 9 ( = 𝑥 → (:𝐴1-1-onto𝐴𝑥:𝐴1-1-onto𝐴))
109cbvabv 2810 . . . . . . . 8 {:𝐴1-1-onto𝐴} = {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}
118, 10eqtrdi 2791 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → {:𝑥1-1-onto𝑥} = {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴})
12 symgval.2 . . . . . . 7 𝐵 = {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}
1311, 12eqtr4di 2793 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → {:𝑥1-1-onto𝑥} = 𝐵)
144, 13oveq12d 7449 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((EndoFMnd‘𝑥) ↾s {:𝑥1-1-onto𝑥}) = ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s 𝐵))
1514adantl 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑥 = 𝐴) → ((EndoFMnd‘𝑥) ↾s {:𝑥1-1-onto𝑥}) = ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s 𝐵))
16 id 22 . . . 4 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ V)
17 ovexd 7466 . . . 4 (𝐴 ∈ V → ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s 𝐵) ∈ V)
18 nfv 1912 . . . 4 𝑥 𝐴 ∈ V
19 nfcv 2903 . . . 4 𝑥𝐴
20 nfcv 2903 . . . . 5 𝑥(EndoFMnd‘𝐴)
21 nfcv 2903 . . . . 5 𝑥s
22 nfab1 2905 . . . . . 6 𝑥{𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}
2312, 22nfcxfr 2901 . . . . 5 𝑥𝐵
2420, 21, 23nfov 7461 . . . 4 𝑥((EndoFMnd‘𝐴) ↾s 𝐵)
253, 15, 16, 17, 18, 19, 24fvmptdf 7022 . . 3 (𝐴 ∈ V → (SymGrp‘𝐴) = ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s 𝐵))
26 ress0 17289 . . . . 5 (∅ ↾s 𝐵) = ∅
2726a1i 11 . . . 4 𝐴 ∈ V → (∅ ↾s 𝐵) = ∅)
28 fvprc 6899 . . . . 5 𝐴 ∈ V → (EndoFMnd‘𝐴) = ∅)
2928oveq1d 7446 . . . 4 𝐴 ∈ V → ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s 𝐵) = (∅ ↾s 𝐵))
30 fvprc 6899 . . . 4 𝐴 ∈ V → (SymGrp‘𝐴) = ∅)
3127, 29, 303eqtr4rd 2786 . . 3 𝐴 ∈ V → (SymGrp‘𝐴) = ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s 𝐵))
3225, 31pm2.61i 182 . 2 (SymGrp‘𝐴) = ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s 𝐵)
331, 32eqtri 2763 1 𝐺 = ((EndoFMnd‘𝐴) ↾s 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1537  wcel 2106  {cab 2712  Vcvv 3478  c0 4339  cmpt 5231  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  (class class class)co 7431  s cress 17274  EndoFMndcefmnd 18894  SymGrpcsymg 19401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-1cn 11211  ax-addcl 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-nn 12265  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-symg 19402
This theorem is referenced by:  symgbas  19404  symgressbas  19414  symgplusg  19415  symgvalstruct  19429  symgvalstructOLD  19430  symgtset  19432
  Copyright terms: Public domain W3C validator