Theorem symg1bas 19307

Description: The symmetric group on a singleton is the symmetric group S₁ consisting of the identity only. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
symg1bas.1	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symg1bas.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
symg1bas.0	⊢ 𝐴 = {𝐼}

Assertion

Ref	Expression
symg1bas	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})

Proof of Theorem symg1bas

Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symg1bas.1	. . 3 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2		symg1bas.2	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3	1, 2	symgbas 19288	. 2 ⊢ 𝐵 = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴}
4		symg1bas.0	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {𝐼}
5		eqidd 2734	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = {𝐼} → 𝑝 = 𝑝)
6		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = {𝐼} → 𝐴 = {𝐼})
7	5, 6, 6	f1oeq123d 6764	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = {𝐼} → (𝑝:𝐴–1-1-onto→𝐴 ↔ 𝑝:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼}))
8	4, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑝:𝐴–1-1-onto→𝐴 ↔ 𝑝:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼})
9		f1of 6770	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼} → 𝑝:{𝐼}⟶{𝐼})
10		fsng 7078	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝑝:{𝐼}⟶{𝐼} ↔ 𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩}))
11	10	anidms 566	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑝:{𝐼}⟶{𝐼} ↔ 𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩}))
12	9, 11	imbitrid 244	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑝:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼} → 𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩}))
13		f1osng 6812	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → {⟨𝐼, 𝐼⟩}:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼})
14	13	anidms 566	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {⟨𝐼, 𝐼⟩}:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼})
15		f1oeq1 6758	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → (𝑝:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼} ↔ {⟨𝐼, 𝐼⟩}:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼}))
16	14, 15	syl5ibrcom 247	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → 𝑝:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼}))
17	12, 16	impbid 212	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑝:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼} ↔ 𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩}))
18	8, 17	bitrid 283	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑝:𝐴–1-1-onto→𝐴 ↔ 𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩}))
19		vex 3441	. . . . 5 ⊢ 𝑝 ∈ V
20		f1oeq1 6758	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝑝 → (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴 ↔ 𝑝:𝐴–1-1-onto→𝐴))
21	19, 20	elab 3631	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴} ↔ 𝑝:𝐴–1-1-onto→𝐴)
22		velsn 4593	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↔ 𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩})
23	18, 21, 22	3bitr4g 314	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑝 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴} ↔ 𝑝 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}}))
24	23	eqrdv 2731	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴} = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
25	3, 24	eqtrid 2780	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {cab 2711  {csn 4577  ⟨cop 4583  ⟶wf 6484  –1-1-onto→wf1o 6487  ‘cfv 6488  Basecbs 17124  SymGrpcsymg 19285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-er 8630  df-map 8760  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-4 12199  df-5 12200  df-6 12201  df-7 12202  df-8 12203  df-9 12204  df-n0 12391  df-z 12478  df-uz 12741  df-fz 13412  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17125  df-ress 17146  df-plusg 17178  df-tset 17184  df-efmnd 18781  df-symg 19286

This theorem is referenced by:  symg2bas  19309  snsymgefmndeq  19311  psgnsn  19436  m1detdiag  22515