MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symg1bas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symg1bas 18297
Description: The symmetric group on a singleton is the symmetric group S1 consisting of the identity only. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
symg1bas.1 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symg1bas.2 𝐵 = (Base‘𝐺)
symg1bas.0 𝐴 = {𝐼}
Assertion
Ref Expression
symg1bas (𝐼𝑉𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})

Proof of Theorem symg1bas
Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symg1bas.1 . . 3 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2 symg1bas.2 . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
31, 2symgbas 18281 . 2 𝐵 = {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐴}
4 symg1bas.0 . . . . . 6 𝐴 = {𝐼}
5 eqidd 2773 . . . . . . 7 (𝐴 = {𝐼} → 𝑝 = 𝑝)
6 id 22 . . . . . . 7 (𝐴 = {𝐼} → 𝐴 = {𝐼})
75, 6, 6f1oeq123d 6436 . . . . . 6 (𝐴 = {𝐼} → (𝑝:𝐴1-1-onto𝐴𝑝:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼}))
84, 7ax-mp 5 . . . . 5 (𝑝:𝐴1-1-onto𝐴𝑝:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼})
9 f1of 6441 . . . . . . 7 (𝑝:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼} → 𝑝:{𝐼}⟶{𝐼})
10 fsng 6720 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐼𝑉) → (𝑝:{𝐼}⟶{𝐼} ↔ 𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩}))
1110anidms 559 . . . . . . 7 (𝐼𝑉 → (𝑝:{𝐼}⟶{𝐼} ↔ 𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩}))
129, 11syl5ib 236 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (𝑝:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼} → 𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩}))
13 f1osng 6481 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐼𝑉) → {⟨𝐼, 𝐼⟩}:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼})
1413anidms 559 . . . . . . 7 (𝐼𝑉 → {⟨𝐼, 𝐼⟩}:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼})
15 f1oeq1 6430 . . . . . . 7 (𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → (𝑝:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼} ↔ {⟨𝐼, 𝐼⟩}:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼}))
1614, 15syl5ibrcom 239 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → 𝑝:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼}))
1712, 16impbid 204 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (𝑝:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼} ↔ 𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩}))
188, 17syl5bb 275 . . . 4 (𝐼𝑉 → (𝑝:𝐴1-1-onto𝐴𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩}))
19 vex 3412 . . . . 5 𝑝 ∈ V
20 f1oeq1 6430 . . . . 5 (𝑓 = 𝑝 → (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴𝑝:𝐴1-1-onto𝐴))
2119, 20elab 3576 . . . 4 (𝑝 ∈ {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐴} ↔ 𝑝:𝐴1-1-onto𝐴)
22 velsn 4451 . . . 4 (𝑝 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↔ 𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩})
2318, 21, 223bitr4g 306 . . 3 (𝐼𝑉 → (𝑝 ∈ {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐴} ↔ 𝑝 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}}))
2423eqrdv 2770 . 2 (𝐼𝑉 → {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐴} = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
253, 24syl5eq 2820 1 (𝐼𝑉𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198   = wceq 1507  wcel 2050  {cab 2752  {csn 4435  cop 4441  wf 6181  1-1-ontowf1o 6184  cfv 6185  Basecbs 16337  SymGrpcsymg 18278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-oadd 7907  df-er 8087  df-map 8206  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-4 11503  df-5 11504  df-6 11505  df-7 11506  df-8 11507  df-9 11508  df-n0 11706  df-z 11792  df-uz 12057  df-fz 12707  df-struct 16339  df-ndx 16340  df-slot 16341  df-base 16343  df-plusg 16432  df-tset 16438  df-symg 18279
This theorem is referenced by:  symg2bas  18299  psgnsn  18422  m1detdiag  20922
  Copyright terms: Public domain W3C validator