MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symg1bas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symg1bas 19352
Description: The symmetric group on a singleton is the symmetric group S1 consisting of the identity only. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
symg1bas.1 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symg1bas.2 𝐵 = (Base‘𝐺)
symg1bas.0 𝐴 = {𝐼}
Assertion
Ref Expression
symg1bas (𝐼𝑉𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})

Proof of Theorem symg1bas
Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symg1bas.1 . . 3 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2 symg1bas.2 . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
31, 2symgbas 19332 . 2 𝐵 = {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐴}
4 symg1bas.0 . . . . . 6 𝐴 = {𝐼}
5 eqidd 2729 . . . . . . 7 (𝐴 = {𝐼} → 𝑝 = 𝑝)
6 id 22 . . . . . . 7 (𝐴 = {𝐼} → 𝐴 = {𝐼})
75, 6, 6f1oeq123d 6838 . . . . . 6 (𝐴 = {𝐼} → (𝑝:𝐴1-1-onto𝐴𝑝:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼}))
84, 7ax-mp 5 . . . . 5 (𝑝:𝐴1-1-onto𝐴𝑝:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼})
9 f1of 6844 . . . . . . 7 (𝑝:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼} → 𝑝:{𝐼}⟶{𝐼})
10 fsng 7152 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐼𝑉) → (𝑝:{𝐼}⟶{𝐼} ↔ 𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩}))
1110anidms 565 . . . . . . 7 (𝐼𝑉 → (𝑝:{𝐼}⟶{𝐼} ↔ 𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩}))
129, 11imbitrid 243 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (𝑝:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼} → 𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩}))
13 f1osng 6885 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐼𝑉) → {⟨𝐼, 𝐼⟩}:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼})
1413anidms 565 . . . . . . 7 (𝐼𝑉 → {⟨𝐼, 𝐼⟩}:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼})
15 f1oeq1 6832 . . . . . . 7 (𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → (𝑝:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼} ↔ {⟨𝐼, 𝐼⟩}:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼}))
1614, 15syl5ibrcom 246 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → 𝑝:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼}))
1712, 16impbid 211 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (𝑝:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼} ↔ 𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩}))
188, 17bitrid 282 . . . 4 (𝐼𝑉 → (𝑝:𝐴1-1-onto𝐴𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩}))
19 vex 3477 . . . . 5 𝑝 ∈ V
20 f1oeq1 6832 . . . . 5 (𝑓 = 𝑝 → (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴𝑝:𝐴1-1-onto𝐴))
2119, 20elab 3669 . . . 4 (𝑝 ∈ {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐴} ↔ 𝑝:𝐴1-1-onto𝐴)
22 velsn 4648 . . . 4 (𝑝 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↔ 𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩})
2318, 21, 223bitr4g 313 . . 3 (𝐼𝑉 → (𝑝 ∈ {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐴} ↔ 𝑝 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}}))
2423eqrdv 2726 . 2 (𝐼𝑉 → {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐴} = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
253, 24eqtrid 2780 1 (𝐼𝑉𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1533  wcel 2098  {cab 2705  {csn 4632  cop 4638  wf 6549  1-1-ontowf1o 6552  cfv 6553  Basecbs 17187  SymGrpcsymg 19328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-tset 17259  df-efmnd 18828  df-symg 19329
This theorem is referenced by:  symg2bas  19354  snsymgefmndeq  19356  psgnsn  19482  m1detdiag  22519
  Copyright terms: Public domain W3C validator