Theorem symg1bas 18913

Description: The symmetric group on a singleton is the symmetric group S₁ consisting of the identity only. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
symg1bas.1	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symg1bas.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
symg1bas.0	⊢ 𝐴 = {𝐼}

Assertion

Ref	Expression
symg1bas	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})

Proof of Theorem symg1bas

Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symg1bas.1	. . 3 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2		symg1bas.2	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3	1, 2	symgbas 18893	. 2 ⊢ 𝐵 = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴}
4		symg1bas.0	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {𝐼}
5		eqidd 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = {𝐼} → 𝑝 = 𝑝)
6		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = {𝐼} → 𝐴 = {𝐼})
7	5, 6, 6	f1oeq123d 6694	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = {𝐼} → (𝑝:𝐴–1-1-onto→𝐴 ↔ 𝑝:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼}))
8	4, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑝:𝐴–1-1-onto→𝐴 ↔ 𝑝:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼})
9		f1of 6700	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼} → 𝑝:{𝐼}⟶{𝐼})
10		fsng 6991	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝑝:{𝐼}⟶{𝐼} ↔ 𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩}))
11	10	anidms 566	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑝:{𝐼}⟶{𝐼} ↔ 𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩}))
12	9, 11	syl5ib 243	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑝:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼} → 𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩}))
13		f1osng 6740	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → {⟨𝐼, 𝐼⟩}:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼})
14	13	anidms 566	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {⟨𝐼, 𝐼⟩}:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼})
15		f1oeq1 6688	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → (𝑝:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼} ↔ {⟨𝐼, 𝐼⟩}:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼}))
16	14, 15	syl5ibrcom 246	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → 𝑝:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼}))
17	12, 16	impbid 211	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑝:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼} ↔ 𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩}))
18	8, 17	syl5bb 282	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑝:𝐴–1-1-onto→𝐴 ↔ 𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩}))
19		vex 3426	. . . . 5 ⊢ 𝑝 ∈ V
20		f1oeq1 6688	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝑝 → (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴 ↔ 𝑝:𝐴–1-1-onto→𝐴))
21	19, 20	elab 3602	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴} ↔ 𝑝:𝐴–1-1-onto→𝐴)
22		velsn 4574	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↔ 𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩})
23	18, 21, 22	3bitr4g 313	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑝 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴} ↔ 𝑝 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}}))
24	23	eqrdv 2736	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴} = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
25	3, 24	eqtrid 2790	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {cab 2715  {csn 4558  ⟨cop 4564  ⟶wf 6414  –1-1-onto→wf1o 6417  ‘cfv 6418  Basecbs 16840  SymGrpcsymg 18889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-tset 16907  df-efmnd 18423  df-symg 18890

This theorem is referenced by:  symg2bas  18915  snsymgefmndeq  18917  psgnsn  19043  m1detdiag  21654