Theorem symg1bas 19304

Description: The symmetric group on a singleton is the symmetric group S₁ consisting of the identity only. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
symg1bas.1	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symg1bas.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
symg1bas.0	⊢ 𝐴 = {𝐼}

Assertion

Ref	Expression
symg1bas	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})

Proof of Theorem symg1bas

Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symg1bas.1	. . 3 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2		symg1bas.2	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3	1, 2	symgbas 19285	. 2 ⊢ 𝐵 = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴}
4		symg1bas.0	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {𝐼}
5		eqidd 2732	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = {𝐼} → 𝑝 = 𝑝)
6		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = {𝐼} → 𝐴 = {𝐼})
7	5, 6, 6	f1oeq123d 6757	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = {𝐼} → (𝑝:𝐴–1-1-onto→𝐴 ↔ 𝑝:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼}))
8	4, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑝:𝐴–1-1-onto→𝐴 ↔ 𝑝:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼})
9		f1of 6763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼} → 𝑝:{𝐼}⟶{𝐼})
10		fsng 7070	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝑝:{𝐼}⟶{𝐼} ↔ 𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩}))
11	10	anidms 566	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑝:{𝐼}⟶{𝐼} ↔ 𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩}))
12	9, 11	imbitrid 244	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑝:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼} → 𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩}))
13		f1osng 6804	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → {⟨𝐼, 𝐼⟩}:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼})
14	13	anidms 566	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {⟨𝐼, 𝐼⟩}:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼})
15		f1oeq1 6751	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → (𝑝:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼} ↔ {⟨𝐼, 𝐼⟩}:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼}))
16	14, 15	syl5ibrcom 247	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → 𝑝:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼}))
17	12, 16	impbid 212	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑝:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼} ↔ 𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩}))
18	8, 17	bitrid 283	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑝:𝐴–1-1-onto→𝐴 ↔ 𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩}))
19		vex 3440	. . . . 5 ⊢ 𝑝 ∈ V
20		f1oeq1 6751	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝑝 → (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴 ↔ 𝑝:𝐴–1-1-onto→𝐴))
21	19, 20	elab 3635	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴} ↔ 𝑝:𝐴–1-1-onto→𝐴)
22		velsn 4592	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↔ 𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩})
23	18, 21, 22	3bitr4g 314	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑝 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴} ↔ 𝑝 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}}))
24	23	eqrdv 2729	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴} = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
25	3, 24	eqtrid 2778	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {cab 2709  {csn 4576  ⟨cop 4582  ⟶wf 6477  –1-1-onto→wf1o 6480  ‘cfv 6481  Basecbs 17120  SymGrpcsymg 19282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-tset 17180  df-efmnd 18777  df-symg 19283

This theorem is referenced by:  symg2bas  19306  snsymgefmndeq  19308  psgnsn  19433  m1detdiag  22513