MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symg1bas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symg1bas 18521
Description: The symmetric group on a singleton is the symmetric group S1 consisting of the identity only. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
symg1bas.1 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symg1bas.2 𝐵 = (Base‘𝐺)
symg1bas.0 𝐴 = {𝐼}
Assertion
Ref Expression
symg1bas (𝐼𝑉𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})

Proof of Theorem symg1bas
Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symg1bas.1 . . 3 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2 symg1bas.2 . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
31, 2symgbas 18501 . 2 𝐵 = {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐴}
4 symg1bas.0 . . . . . 6 𝐴 = {𝐼}
5 eqidd 2825 . . . . . . 7 (𝐴 = {𝐼} → 𝑝 = 𝑝)
6 id 22 . . . . . . 7 (𝐴 = {𝐼} → 𝐴 = {𝐼})
75, 6, 6f1oeq123d 6603 . . . . . 6 (𝐴 = {𝐼} → (𝑝:𝐴1-1-onto𝐴𝑝:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼}))
84, 7ax-mp 5 . . . . 5 (𝑝:𝐴1-1-onto𝐴𝑝:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼})
9 f1of 6608 . . . . . . 7 (𝑝:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼} → 𝑝:{𝐼}⟶{𝐼})
10 fsng 6892 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐼𝑉) → (𝑝:{𝐼}⟶{𝐼} ↔ 𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩}))
1110anidms 570 . . . . . . 7 (𝐼𝑉 → (𝑝:{𝐼}⟶{𝐼} ↔ 𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩}))
129, 11syl5ib 247 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (𝑝:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼} → 𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩}))
13 f1osng 6648 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐼𝑉) → {⟨𝐼, 𝐼⟩}:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼})
1413anidms 570 . . . . . . 7 (𝐼𝑉 → {⟨𝐼, 𝐼⟩}:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼})
15 f1oeq1 6597 . . . . . . 7 (𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → (𝑝:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼} ↔ {⟨𝐼, 𝐼⟩}:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼}))
1614, 15syl5ibrcom 250 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → 𝑝:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼}))
1712, 16impbid 215 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (𝑝:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼} ↔ 𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩}))
188, 17syl5bb 286 . . . 4 (𝐼𝑉 → (𝑝:𝐴1-1-onto𝐴𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩}))
19 vex 3483 . . . . 5 𝑝 ∈ V
20 f1oeq1 6597 . . . . 5 (𝑓 = 𝑝 → (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴𝑝:𝐴1-1-onto𝐴))
2119, 20elab 3653 . . . 4 (𝑝 ∈ {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐴} ↔ 𝑝:𝐴1-1-onto𝐴)
22 velsn 4566 . . . 4 (𝑝 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↔ 𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩})
2318, 21, 223bitr4g 317 . . 3 (𝐼𝑉 → (𝑝 ∈ {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐴} ↔ 𝑝 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}}))
2423eqrdv 2822 . 2 (𝐼𝑉 → {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐴} = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
253, 24syl5eq 2871 1 (𝐼𝑉𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209   = wceq 1538  wcel 2115  {cab 2802  {csn 4550  cop 4556  wf 6341  1-1-ontowf1o 6344  cfv 6345  Basecbs 16485  SymGrpcsymg 18497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7577  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-oadd 8104  df-er 8287  df-map 8406  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11637  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-fz 12897  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-tset 16586  df-efmnd 18036  df-symg 18498
This theorem is referenced by:  symg2bas  18523  snsymgefmndeq  18525  psgnsn  18650  m1detdiag  21211
  Copyright terms: Public domain W3C validator