Theorem f1vrnfibi 9251

Description: A one-to-one function which is a set is finite if and only if its range is finite. See also f1dmvrnfibi 9250. (Contributed by AV, 10-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
f1vrnfibi	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) → (𝐹 ∈ Fin ↔ ran 𝐹 ∈ Fin))

Proof of Theorem f1vrnfibi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1dm 6728	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
2		dmexg 7841	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → dom 𝐹 ∈ V)
3		eleq1 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = dom 𝐹 → (𝐴 ∈ V ↔ dom 𝐹 ∈ V))
4	3	eqcoms 2737	. . . . 5 ⊢ (dom 𝐹 = 𝐴 → (𝐴 ∈ V ↔ dom 𝐹 ∈ V))
5	2, 4	imbitrrid 246	. . . 4 ⊢ (dom 𝐹 = 𝐴 → (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V))
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V))
7	6	impcom 407	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) → 𝐴 ∈ V)
8		f1dmvrnfibi 9250	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) → (𝐹 ∈ Fin ↔ ran 𝐹 ∈ Fin))
9	7, 8	sylancom 588	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) → (𝐹 ∈ Fin ↔ ran 𝐹 ∈ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438  dom cdm 5623  ran crn 5624  –1-1→wf1 6483  Fincfn 8879

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-1o 8395  df-en 8880  df-dom 8881  df-fin 8883

This theorem is referenced by:  negfi  12092  usgredgffibi  29287