Theorem f1vrnfibi 9242

Description: A one-to-one function which is a set is finite if and only if its range is finite. See also f1dmvrnfibi 9241. (Contributed by AV, 10-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
f1vrnfibi	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) → (𝐹 ∈ Fin ↔ ran 𝐹 ∈ Fin))

Proof of Theorem f1vrnfibi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1dm 6734	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
2		dmexg 7843	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → dom 𝐹 ∈ V)
3		eleq1 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = dom 𝐹 → (𝐴 ∈ V ↔ dom 𝐹 ∈ V))
4	3	eqcoms 2744	. . . . 5 ⊢ (dom 𝐹 = 𝐴 → (𝐴 ∈ V ↔ dom 𝐹 ∈ V))
5	2, 4	imbitrrid 246	. . . 4 ⊢ (dom 𝐹 = 𝐴 → (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V))
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V))
7	6	impcom 407	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) → 𝐴 ∈ V)
8		f1dmvrnfibi 9241	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) → (𝐹 ∈ Fin ↔ ran 𝐹 ∈ Fin))
9	7, 8	sylancom 588	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) → (𝐹 ∈ Fin ↔ ran 𝐹 ∈ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440  dom cdm 5624  ran crn 5625  –1-1→wf1 6489  Fincfn 8883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-1o 8397  df-en 8884  df-dom 8885  df-fin 8887

This theorem is referenced by:  negfi  12091  usgredgffibi  29397