Theorem f1vrnfibi 9245

Description: A one-to-one function which is a set is finite if and only if its range is finite. See also f1dmvrnfibi 9244. (Contributed by AV, 10-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
f1vrnfibi	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) → (𝐹 ∈ Fin ↔ ran 𝐹 ∈ Fin))

Proof of Theorem f1vrnfibi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1dm 6734	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
2		dmexg 7845	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → dom 𝐹 ∈ V)
3		eleq1 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = dom 𝐹 → (𝐴 ∈ V ↔ dom 𝐹 ∈ V))
4	3	eqcoms 2745	. . . . 5 ⊢ (dom 𝐹 = 𝐴 → (𝐴 ∈ V ↔ dom 𝐹 ∈ V))
5	2, 4	imbitrrid 246	. . . 4 ⊢ (dom 𝐹 = 𝐴 → (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V))
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V))
7	6	impcom 407	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) → 𝐴 ∈ V)
8		f1dmvrnfibi 9244	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) → (𝐹 ∈ Fin ↔ ran 𝐹 ∈ Fin))
9	7, 8	sylancom 589	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) → (𝐹 ∈ Fin ↔ ran 𝐹 ∈ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  dom cdm 5624  ran crn 5625  –1-1→wf1 6489  Fincfn 8886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-1o 8398  df-en 8887  df-dom 8888  df-fin 8890

This theorem is referenced by:  negfi  12096  usgredgffibi  29407