Theorem f1vrnfibi 9383

Description: A one-to-one function which is a set is finite if and only if its range is finite. See also f1dmvrnfibi 9382. (Contributed by AV, 10-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
f1vrnfibi	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) → (𝐹 ∈ Fin ↔ ran 𝐹 ∈ Fin))

Proof of Theorem f1vrnfibi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1dm 6807	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
2		dmexg 7924	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → dom 𝐹 ∈ V)
3		eleq1 2828	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = dom 𝐹 → (𝐴 ∈ V ↔ dom 𝐹 ∈ V))
4	3	eqcoms 2744	. . . . 5 ⊢ (dom 𝐹 = 𝐴 → (𝐴 ∈ V ↔ dom 𝐹 ∈ V))
5	2, 4	imbitrrid 246	. . . 4 ⊢ (dom 𝐹 = 𝐴 → (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V))
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V))
7	6	impcom 407	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) → 𝐴 ∈ V)
8		f1dmvrnfibi 9382	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) → (𝐹 ∈ Fin ↔ ran 𝐹 ∈ Fin))
9	7, 8	sylancom 588	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) → (𝐹 ∈ Fin ↔ ran 𝐹 ∈ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3479  dom cdm 5684  ran crn 5685  –1-1→wf1 6557  Fincfn 8986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-1o 8507  df-en 8987  df-dom 8988  df-fin 8990

This theorem is referenced by:  negfi  12218  usgredgffibi  29342