Theorem f1vrnfibi 9380

Description: A one-to-one function which is a set is finite if and only if its range is finite. See also f1dmvrnfibi 9379. (Contributed by AV, 10-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
f1vrnfibi	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) → (𝐹 ∈ Fin ↔ ran 𝐹 ∈ Fin))

Proof of Theorem f1vrnfibi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1dm 6809	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
2		dmexg 7924	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → dom 𝐹 ∈ V)
3		eleq1 2827	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = dom 𝐹 → (𝐴 ∈ V ↔ dom 𝐹 ∈ V))
4	3	eqcoms 2743	. . . . 5 ⊢ (dom 𝐹 = 𝐴 → (𝐴 ∈ V ↔ dom 𝐹 ∈ V))
5	2, 4	imbitrrid 246	. . . 4 ⊢ (dom 𝐹 = 𝐴 → (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V))
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V))
7	6	impcom 407	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) → 𝐴 ∈ V)
8		f1dmvrnfibi 9379	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) → (𝐹 ∈ Fin ↔ ran 𝐹 ∈ Fin))
9	7, 8	sylancom 588	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) → (𝐹 ∈ Fin ↔ ran 𝐹 ∈ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478  dom cdm 5689  ran crn 5690  –1-1→wf1 6560  Fincfn 8984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-1o 8505  df-en 8985  df-dom 8986  df-fin 8988

This theorem is referenced by:  negfi  12215  usgredgffibi  29356