MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1vrnfibi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1vrnfibi 8539
Description: A one-to-one function which is a set is finite if and only if its range is finite. See also f1dmvrnfibi 8538. (Contributed by AV, 10-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
f1vrnfibi ((𝐹𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) → (𝐹 ∈ Fin ↔ ran 𝐹 ∈ Fin))

Proof of Theorem f1vrnfibi
StepHypRef Expression
1 f1dm 6355 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
2 dmexg 7375 . . . . 5 (𝐹𝑉 → dom 𝐹 ∈ V)
3 eleq1 2847 . . . . . 6 (𝐴 = dom 𝐹 → (𝐴 ∈ V ↔ dom 𝐹 ∈ V))
43eqcoms 2786 . . . . 5 (dom 𝐹 = 𝐴 → (𝐴 ∈ V ↔ dom 𝐹 ∈ V))
52, 4syl5ibr 238 . . . 4 (dom 𝐹 = 𝐴 → (𝐹𝑉𝐴 ∈ V))
61, 5syl 17 . . 3 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (𝐹𝑉𝐴 ∈ V))
76impcom 398 . 2 ((𝐹𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐴 ∈ V)
8 f1dmvrnfibi 8538 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (𝐹 ∈ Fin ↔ ran 𝐹 ∈ Fin))
97, 8sylancom 582 1 ((𝐹𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) → (𝐹 ∈ Fin ↔ ran 𝐹 ∈ Fin))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  Vcvv 3398  dom cdm 5355  ran crn 5356  1-1wf1 6132  Fincfn 8241
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-fin 8245
This theorem is referenced by:  negfi  11325  usgredgffibi  26671
  Copyright terms: Public domain W3C validator