Theorem finona1cl 41630

Description: The finite ordinals are closed under the add one operation. (Contributed by RP, 27-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
finona1cl	⊢ (𝑁 ∈ (On ∩ Fin) → (𝑁 +o 1o) ∈ (On ∩ Fin))

Proof of Theorem finona1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 8579	. . 3 ⊢ 1o ∈ ω
2		nnacl 8551	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 1o ∈ ω) → (𝑁 +o 1o) ∈ ω)
3	1, 2	mpan2 690	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝑁 +o 1o) ∈ ω)
4		onfin2 9134	. . 3 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
5	4	eleq2i 2830	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ω ↔ 𝑁 ∈ (On ∩ Fin))
6	4	eleq2i 2830	. 2 ⊢ ((𝑁 +o 1o) ∈ ω ↔ (𝑁 +o 1o) ∈ (On ∩ Fin))
7	3, 5, 6	3imtr3i 291	1 ⊢ (𝑁 ∈ (On ∩ Fin) → (𝑁 +o 1o) ∈ (On ∩ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3908  Oncon0 6316  (class class class)co 7352  ωcom 7795  1_oc1o 8398   +_o coa 8402  Fincfn 8842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pr 5383  ax-un 7665

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7796  df-2nd 7915  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8310  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-oadd 8409  df-en 8843  df-dom 8844  df-sdom 8845  df-fin 8846

This theorem is referenced by: (None)