Theorem finona1cl 43415

Description: The finite ordinals are closed under the add one operation. (Contributed by RP, 27-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
finona1cl	⊢ (𝑁 ∈ (On ∩ Fin) → (𝑁 +o 1o) ∈ (On ∩ Fin))

Proof of Theorem finona1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 8581	. . 3 ⊢ 1o ∈ ω
2		nnacl 8552	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 1o ∈ ω) → (𝑁 +o 1o) ∈ ω)
3	1, 2	mpan2 691	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝑁 +o 1o) ∈ ω)
4		onfin2 9157	. . 3 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
5	4	eleq2i 2820	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ω ↔ 𝑁 ∈ (On ∩ Fin))
6	4	eleq2i 2820	. 2 ⊢ ((𝑁 +o 1o) ∈ ω ↔ (𝑁 +o 1o) ∈ (On ∩ Fin))
7	3, 5, 6	3imtr3i 291	1 ⊢ (𝑁 ∈ (On ∩ Fin) → (𝑁 +o 1o) ∈ (On ∩ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3910  Oncon0 6320  (class class class)co 7369  ωcom 7822  1_oc1o 8404   +_o coa 8408  Fincfn 8895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-oadd 8415  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899

This theorem is referenced by: (None)