Theorem finona1cl 42948

Description: The finite ordinals are closed under the add one operation. (Contributed by RP, 27-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
finona1cl	⊢ (𝑁 ∈ (On ∩ Fin) → (𝑁 +o 1o) ∈ (On ∩ Fin))

Proof of Theorem finona1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 8659	. . 3 ⊢ 1o ∈ ω
2		nnacl 8630	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 1o ∈ ω) → (𝑁 +o 1o) ∈ ω)
3	1, 2	mpan2 689	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝑁 +o 1o) ∈ ω)
4		onfin2 9254	. . 3 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
5	4	eleq2i 2817	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ω ↔ 𝑁 ∈ (On ∩ Fin))
6	4	eleq2i 2817	. 2 ⊢ ((𝑁 +o 1o) ∈ ω ↔ (𝑁 +o 1o) ∈ (On ∩ Fin))
7	3, 5, 6	3imtr3i 290	1 ⊢ (𝑁 ∈ (On ∩ Fin) → (𝑁 +o 1o) ∈ (On ∩ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3938  Oncon0 6364  (class class class)co 7416  ωcom 7868  1_oc1o 8478   +_o coa 8482  Fincfn 8962

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pr 5423  ax-un 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-oadd 8489  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966

This theorem is referenced by: (None)