Theorem nnacl 8575

Description: Closure of addition of natural numbers. Proposition 8.9 of [TakeutiZaring] p. 59. Theorem 2.20 of [Schloeder] p. 6. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nnacl	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ ω)

Proof of Theorem nnacl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7399	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 +o 𝑥) = (𝐴 +o 𝐵))
2	1	eleq1d 2846	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 +o 𝑥) ∈ ω ↔ (𝐴 +o 𝐵) ∈ ω))
3	2	imbi2d 342	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o 𝑥) ∈ ω) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o 𝐵) ∈ ω)))
4		oveq2 7399	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝐴 +o 𝑥) = (𝐴 +o ∅))
5	4	eleq1d 2846	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝐴 +o 𝑥) ∈ ω ↔ (𝐴 +o ∅) ∈ ω))
6		oveq2 7399	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 +o 𝑥) = (𝐴 +o 𝑦))
7	6	eleq1d 2846	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 +o 𝑥) ∈ ω ↔ (𝐴 +o 𝑦) ∈ ω))
8		oveq2 7399	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → (𝐴 +o 𝑥) = (𝐴 +o suc 𝑦))
9	8	eleq1d 2846	. . . 4 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝐴 +o 𝑥) ∈ ω ↔ (𝐴 +o suc 𝑦) ∈ ω))
10		nna0 8568	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
11	10	eleq1d 2846	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 +o ∅) ∈ ω ↔ 𝐴 ∈ ω))
12	11	ibir 270	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o ∅) ∈ ω)
13		peano2 7865	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 +o 𝑦) ∈ ω → suc (𝐴 +o 𝑦) ∈ ω)
14		nnasuc 8570	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 +o suc 𝑦) = suc (𝐴 +o 𝑦))
15	14	eleq1d 2846	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 +o suc 𝑦) ∈ ω ↔ suc (𝐴 +o 𝑦) ∈ ω))
16	13, 15	imbitrrid 248	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 +o 𝑦) ∈ ω → (𝐴 +o suc 𝑦) ∈ ω))
17	16	expcom 417	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 +o 𝑦) ∈ ω → (𝐴 +o suc 𝑦) ∈ ω)))
18	5, 7, 9, 12, 17	finds2 7874	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o 𝑥) ∈ ω))
19	3, 18	vtoclga 3540	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o 𝐵) ∈ ω))
20	19	impcom 411	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∅c0 4283  suc csuc 6343  (class class class)co 7391  ωcom 7841   +_o coa 8428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5387  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-oadd 8435

This theorem is referenced by:  nnmcl  8576  nnacli  8578  nnarcl  8580  nnaord  8583  nnawordi  8585  nnaass  8586  nndi  8587  nnaword  8591  nnawordex  8601  oaabslem  8611  eldifsucnn  8628  omnaddcl  8668  unfilem1  9243  ttrcltr  9665  nnadju  10148  nnadjuALT  10149  ficardun  10151  ficardun2  10152  pwsdompw  10153  addclpi  10844  hashgadd  14384  hashdom  14386  precsexlem6  28293  precsexlem7  28294  om2noseqlt  28380  mh-inf3f1  36862  finxpreclem4  37849  nnamecl  43825  naddcnff  43900  naddwordnexlem3  43937  finona1cl  43990