Theorem nnacl 8598

Description: Closure of addition of natural numbers. Proposition 8.9 of [TakeutiZaring] p. 59. Theorem 2.20 of [Schloeder] p. 6. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nnacl	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ ω)

Proof of Theorem nnacl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7420	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 +o 𝑥) = (𝐴 +o 𝐵))
2	1	eleq1d 2848	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 +o 𝑥) ∈ ω ↔ (𝐴 +o 𝐵) ∈ ω))
3	2	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o 𝑥) ∈ ω) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o 𝐵) ∈ ω)))
4		oveq2 7420	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝐴 +o 𝑥) = (𝐴 +o ∅))
5	4	eleq1d 2848	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝐴 +o 𝑥) ∈ ω ↔ (𝐴 +o ∅) ∈ ω))
6		oveq2 7420	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 +o 𝑥) = (𝐴 +o 𝑦))
7	6	eleq1d 2848	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 +o 𝑥) ∈ ω ↔ (𝐴 +o 𝑦) ∈ ω))
8		oveq2 7420	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → (𝐴 +o 𝑥) = (𝐴 +o suc 𝑦))
9	8	eleq1d 2848	. . . 4 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝐴 +o 𝑥) ∈ ω ↔ (𝐴 +o suc 𝑦) ∈ ω))
10		nna0 8591	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
11	10	eleq1d 2848	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 +o ∅) ∈ ω ↔ 𝐴 ∈ ω))
12	11	ibir 271	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o ∅) ∈ ω)
13		peano2 7887	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 +o 𝑦) ∈ ω → suc (𝐴 +o 𝑦) ∈ ω)
14		nnasuc 8593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 +o suc 𝑦) = suc (𝐴 +o 𝑦))
15	14	eleq1d 2848	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 +o suc 𝑦) ∈ ω ↔ suc (𝐴 +o 𝑦) ∈ ω))
16	13, 15	imbitrrid 249	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 +o 𝑦) ∈ ω → (𝐴 +o suc 𝑦) ∈ ω))
17	16	expcom 418	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 +o 𝑦) ∈ ω → (𝐴 +o suc 𝑦) ∈ ω)))
18	5, 7, 9, 12, 17	finds2 7896	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o 𝑥) ∈ ω))
19	3, 18	vtoclga 3542	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o 𝐵) ∈ ω))
20	19	impcom 412	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∅c0 4287  suc csuc 6364  (class class class)co 7412  ωcom 7863   +_o coa 8451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-oadd 8458

This theorem is referenced by:  nnmcl  8599  nnacli  8601  nnarcl  8603  nnaord  8606  nnawordi  8608  nnaass  8609  nndi  8610  nnaword  8614  nnawordex  8624  oaabslem  8634  eldifsucnn  8651  omnaddcl  8691  unfilem1  9266  ttrcltr  9686  nnadju  10182  nnadjuALT  10183  ficardun  10185  ficardun2  10186  pwsdompw  10187  addclpi  10878  hashgadd  14415  hashdom  14417  precsexlem6  28386  precsexlem7  28387  om2noseqlt  28473  mh-inf3f1  37033  finxpreclem4  38021  nnamecl  43997  naddcnff  44072  naddwordnexlem3  44109  finona1cl  44162  hashnna  45711