MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnacl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnacl 8638
Description: Closure of addition of natural numbers. Proposition 8.9 of [TakeutiZaring] p. 59. Theorem 2.20 of [Schloeder] p. 6. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Assertion
Ref Expression
nnacl ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ ω)

Proof of Theorem nnacl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7434 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 +o 𝑥) = (𝐴 +o 𝐵))
21eleq1d 2814 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 +o 𝑥) ∈ ω ↔ (𝐴 +o 𝐵) ∈ ω))
32imbi2d 339 . . 3 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o 𝑥) ∈ ω) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o 𝐵) ∈ ω)))
4 oveq2 7434 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → (𝐴 +o 𝑥) = (𝐴 +o ∅))
54eleq1d 2814 . . . 4 (𝑥 = ∅ → ((𝐴 +o 𝑥) ∈ ω ↔ (𝐴 +o ∅) ∈ ω))
6 oveq2 7434 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 +o 𝑥) = (𝐴 +o 𝑦))
76eleq1d 2814 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 +o 𝑥) ∈ ω ↔ (𝐴 +o 𝑦) ∈ ω))
8 oveq2 7434 . . . . 5 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝐴 +o 𝑥) = (𝐴 +o suc 𝑦))
98eleq1d 2814 . . . 4 (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝐴 +o 𝑥) ∈ ω ↔ (𝐴 +o suc 𝑦) ∈ ω))
10 nna0 8631 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
1110eleq1d 2814 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 +o ∅) ∈ ω ↔ 𝐴 ∈ ω))
1211ibir 267 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o ∅) ∈ ω)
13 peano2 7902 . . . . . 6 ((𝐴 +o 𝑦) ∈ ω → suc (𝐴 +o 𝑦) ∈ ω)
14 nnasuc 8633 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 +o suc 𝑦) = suc (𝐴 +o 𝑦))
1514eleq1d 2814 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 +o suc 𝑦) ∈ ω ↔ suc (𝐴 +o 𝑦) ∈ ω))
1613, 15imbitrrid 245 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 +o 𝑦) ∈ ω → (𝐴 +o suc 𝑦) ∈ ω))
1716expcom 412 . . . 4 (𝑦 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 +o 𝑦) ∈ ω → (𝐴 +o suc 𝑦) ∈ ω)))
185, 7, 9, 12, 17finds2 7912 . . 3 (𝑥 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o 𝑥) ∈ ω))
193, 18vtoclga 3565 . 2 (𝐵 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o 𝐵) ∈ ω))
2019impcom 406 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  c0 4326  suc csuc 6376  (class class class)co 7426  ωcom 7876   +o coa 8490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-oadd 8497
This theorem is referenced by:  nnmcl  8639  nnacli  8641  nnarcl  8643  nnaord  8646  nnawordi  8648  nnaass  8649  nndi  8650  nnaword  8654  nnawordex  8664  oaabslem  8674  eldifsucnn  8691  unfilem1  9341  unfiOLD  9344  ttrcltr  9747  nnadju  10228  nnadjuALT  10229  ficardun  10231  ficardunOLD  10232  ficardun2  10233  ficardun2OLD  10234  pwsdompw  10235  addclpi  10923  hashgadd  14376  hashdom  14378  precsexlem6  28130  precsexlem7  28131  om2noseqlt  28192  finxpreclem4  36906  nnamecl  42747  naddcnff  42822  naddwordnexlem3  42860  finona1cl  42914
  Copyright terms: Public domain W3C validator