Theorem nnacl 8534

Description: Closure of addition of natural numbers. Proposition 8.9 of [TakeutiZaring] p. 59. Theorem 2.20 of [Schloeder] p. 6. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nnacl	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ ω)

Proof of Theorem nnacl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7362	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 +o 𝑥) = (𝐴 +o 𝐵))
2	1	eleq1d 2818	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 +o 𝑥) ∈ ω ↔ (𝐴 +o 𝐵) ∈ ω))
3	2	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o 𝑥) ∈ ω) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o 𝐵) ∈ ω)))
4		oveq2 7362	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝐴 +o 𝑥) = (𝐴 +o ∅))
5	4	eleq1d 2818	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝐴 +o 𝑥) ∈ ω ↔ (𝐴 +o ∅) ∈ ω))
6		oveq2 7362	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 +o 𝑥) = (𝐴 +o 𝑦))
7	6	eleq1d 2818	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 +o 𝑥) ∈ ω ↔ (𝐴 +o 𝑦) ∈ ω))
8		oveq2 7362	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → (𝐴 +o 𝑥) = (𝐴 +o suc 𝑦))
9	8	eleq1d 2818	. . . 4 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝐴 +o 𝑥) ∈ ω ↔ (𝐴 +o suc 𝑦) ∈ ω))
10		nna0 8527	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
11	10	eleq1d 2818	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 +o ∅) ∈ ω ↔ 𝐴 ∈ ω))
12	11	ibir 268	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o ∅) ∈ ω)
13		peano2 7828	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 +o 𝑦) ∈ ω → suc (𝐴 +o 𝑦) ∈ ω)
14		nnasuc 8529	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 +o suc 𝑦) = suc (𝐴 +o 𝑦))
15	14	eleq1d 2818	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 +o suc 𝑦) ∈ ω ↔ suc (𝐴 +o 𝑦) ∈ ω))
16	13, 15	imbitrrid 246	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 +o 𝑦) ∈ ω → (𝐴 +o suc 𝑦) ∈ ω))
17	16	expcom 413	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 +o 𝑦) ∈ ω → (𝐴 +o suc 𝑦) ∈ ω)))
18	5, 7, 9, 12, 17	finds2 7836	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o 𝑥) ∈ ω))
19	3, 18	vtoclga 3529	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o 𝐵) ∈ ω))
20	19	impcom 407	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∅c0 4282  suc csuc 6315  (class class class)co 7354  ωcom 7804   +_o coa 8390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7676

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-oadd 8397

This theorem is referenced by:  nnmcl  8535  nnacli  8537  nnarcl  8539  nnaord  8542  nnawordi  8544  nnaass  8545  nndi  8546  nnaword  8550  nnawordex  8560  oaabslem  8570  eldifsucnn  8587  omnaddcl  8626  unfilem1  9198  ttrcltr  9615  nnadju  10098  nnadjuALT  10099  ficardun  10101  ficardun2  10102  pwsdompw  10103  addclpi  10792  hashgadd  14288  hashdom  14290  precsexlem6  28153  precsexlem7  28154  om2noseqlt  28232  finxpreclem4  37461  nnamecl  43407  naddcnff  43482  naddwordnexlem3  43519  finona1cl  43573