Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmulccn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rmulccn 31347
 Description: Multiplication by a real constant is a continuous function. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rmulccn.1 𝐽 = (topGen‘ran (,))
rmulccn.2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
rmulccn (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem rmulccn
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2798 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
21cnfldtopon 23429 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
32a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
43cnmptid 22307 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
5 rmulccn.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
65recnd 10676 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
73, 3, 6cnmptc 22308 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
8 ax-mulf 10624 . . . . . . . . 9 · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
9 ffn 6495 . . . . . . . . 9 ( · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → · Fn (ℂ × ℂ))
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8 · Fn (ℂ × ℂ)
11 fnov 7272 . . . . . . . 8 ( · Fn (ℂ × ℂ) ↔ · = (𝑦 ∈ ℂ, 𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑦 · 𝑧)))
1210, 11mpbi 233 . . . . . . 7 · = (𝑦 ∈ ℂ, 𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑦 · 𝑧))
131mulcn 23513 . . . . . . 7 · ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
1412, 13eqeltrri 2887 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℂ, 𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑦 · 𝑧)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
1514a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ, 𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑦 · 𝑧)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
16 oveq12 7154 . . . . 5 ((𝑦 = 𝑥𝑧 = 𝐶) → (𝑦 · 𝑧) = (𝑥 · 𝐶))
173, 4, 7, 3, 3, 15, 16cnmpt12 22313 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
18 ax-resscn 10601 . . . 4 ℝ ⊆ ℂ
192toponunii 21562 . . . . 5 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
2019cnrest 21931 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
2117, 18, 20sylancl 589 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
22 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
236adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
2422, 23mulcld 10668 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝐶) ∈ ℂ)
2524ralrimiva 3149 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑥 · 𝐶) ∈ ℂ)
26 eqid 2798 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶))
2726fnmpt 6468 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ ℂ (𝑥 · 𝐶) ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) Fn ℂ)
2825, 27syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) Fn ℂ)
29 fnssres 6450 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) Fn ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) Fn ℝ)
3028, 18, 29sylancl 589 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) Fn ℝ)
31 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
32 fvres 6674 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ℝ → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ)‘𝑤) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶))‘𝑤))
33 recn 10634 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℂ)
34 oveq1 7152 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 · 𝐶) = (𝑤 · 𝐶))
35 ovex 7178 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 · 𝐶) ∈ V
3634, 26, 35fvmpt 6755 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶))‘𝑤) = (𝑤 · 𝐶))
3733, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶))‘𝑤) = (𝑤 · 𝐶))
3832, 37eqtrd 2833 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ ℝ → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ)‘𝑤) = (𝑤 · 𝐶))
3931, 38syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ)‘𝑤) = (𝑤 · 𝐶))
405adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
4131, 40remulcld 10678 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → (𝑤 · 𝐶) ∈ ℝ)
4239, 41eqeltrd 2890 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ)‘𝑤) ∈ ℝ)
4342ralrimiva 3149 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℝ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ)‘𝑤) ∈ ℝ)
44 fnfvrnss 6871 . . . . 5 ((((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) Fn ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ)‘𝑤) ∈ ℝ) → ran ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ⊆ ℝ)
4530, 43, 44syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → ran ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ⊆ ℝ)
4618a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
47 cnrest2 21932 . . . 4 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
483, 45, 46, 47syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
4921, 48mpbid 235 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
50 resmpt 5876 . . 3 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 · 𝐶)))
5118, 50ax-mp 5 . 2 ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 · 𝐶))
52 rmulccn.1 . . . . 5 𝐽 = (topGen‘ran (,))
531tgioo2 23449 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
5452, 53eqtri 2821 . . . 4 𝐽 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
5554, 54oveq12i 7157 . . 3 (𝐽 Cn 𝐽) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
5655eqcomi 2807 . 2 (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)) = (𝐽 Cn 𝐽)
5749, 51, 563eltr3g 2906 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106   ⊆ wss 3883   ↦ cmpt 5114   × cxp 5521  ran crn 5524   ↾ cres 5525   Fn wfn 6327  ⟶wf 6328  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145   ∈ cmpo 7147  ℂcc 10542  ℝcr 10543   · cmul 10549  (,)cioo 12746   ↾t crest 16706  TopOpenctopn 16707  topGenctg 16723  ℂfldccnfld 20112  TopOnctopon 21556   Cn ccn 21870   ×t ctx 22206 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621  ax-pre-sup 10622  ax-mulf 10624 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-iin 4888  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-isom 6341  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7400  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-2o 8104  df-oadd 8107  df-er 8290  df-map 8409  df-ixp 8463  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-fsupp 8836  df-fi 8877  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-div 11305  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-4 11708  df-5 11709  df-6 11710  df-7 11711  df-8 11712  df-9 11713  df-n0 11904  df-z 11990  df-dec 12107  df-uz 12252  df-q 12357  df-rp 12398  df-xneg 12515  df-xadd 12516  df-xmul 12517  df-ioo 12750  df-icc 12753  df-fz 12906  df-fzo 13049  df-seq 13385  df-exp 13446  df-hash 13707  df-cj 14470  df-re 14471  df-im 14472  df-sqrt 14606  df-abs 14607  df-struct 16497  df-ndx 16498  df-slot 16499  df-base 16501  df-sets 16502  df-ress 16503  df-plusg 16590  df-mulr 16591  df-starv 16592  df-sca 16593  df-vsca 16594  df-ip 16595  df-tset 16596  df-ple 16597  df-ds 16599  df-unif 16600  df-hom 16601  df-cco 16602  df-rest 16708  df-topn 16709  df-0g 16727  df-gsum 16728  df-topgen 16729  df-pt 16730  df-prds 16733  df-xrs 16787  df-qtop 16792  df-imas 16793  df-xps 16795  df-mre 16869  df-mrc 16870  df-acs 16872  df-mgm 17864  df-sgrp 17913  df-mnd 17924  df-submnd 17969  df-mulg 18238  df-cntz 18460  df-cmn 18921  df-psmet 20104  df-xmet 20105  df-met 20106  df-bl 20107  df-mopn 20108  df-cnfld 20113  df-top 21540  df-topon 21557  df-topsp 21579  df-bases 21592  df-cn 21873  df-cnp 21874  df-tx 22208  df-hmeo 22401  df-xms 22968  df-ms 22969  df-tms 22970 This theorem is referenced by:  rrvmulc  31887
 Copyright terms: Public domain W3C validator