Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmulccn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rmulccn 33206
Description: Multiplication by a real constant is a continuous function. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rmulccn.1 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
rmulccn.2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
rmulccn (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘₯ Β· 𝐢)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐢   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐽(π‘₯)
Proof of Theorem rmulccn
Dummy variables 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2730 . . . . . . 7 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
21cnfldtopon 24519 . . . . . 6 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
32a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
43cnmptid 23385 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ π‘₯) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
5 rmulccn.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
65recnd 11246 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
73, 3, 6cnmptc 23386 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 𝐢) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
8 ax-mulf 11192 . . . . . . . . 9 Β· :(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„‚
9 ffn 6716 . . . . . . . . 9 ( Β· :(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„‚ β†’ Β· Fn (β„‚ Γ— β„‚))
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8 Β· Fn (β„‚ Γ— β„‚)
11 fnov 7542 . . . . . . . 8 ( Β· Fn (β„‚ Γ— β„‚) ↔ Β· = (𝑦 ∈ β„‚, 𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑦 Β· 𝑧)))
1210, 11mpbi 229 . . . . . . 7 Β· = (𝑦 ∈ β„‚, 𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑦 Β· 𝑧))
131mulcn 24603 . . . . . . 7 Β· ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
1412, 13eqeltrri 2828 . . . . . 6 (𝑦 ∈ β„‚, 𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑦 Β· 𝑧)) ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
1514a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ β„‚, 𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑦 Β· 𝑧)) ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
16 oveq12 7420 . . . . 5 ((𝑦 = π‘₯ ∧ 𝑧 = 𝐢) β†’ (𝑦 Β· 𝑧) = (π‘₯ Β· 𝐢))
173, 4, 7, 3, 3, 15, 16cnmpt12 23391 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯ Β· 𝐢)) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
18 ax-resscn 11169 . . . 4 ℝ βŠ† β„‚
192toponunii 22638 . . . . 5 β„‚ = βˆͺ (TopOpenβ€˜β„‚fld)
2019cnrest 23009 . . . 4 (((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯ Β· 𝐢)) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)) ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯ Β· 𝐢)) β†Ύ ℝ) ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
2117, 18, 20sylancl 584 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯ Β· 𝐢)) β†Ύ ℝ) ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
22 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
236adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
2422, 23mulcld 11238 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ Β· 𝐢) ∈ β„‚)
2524ralrimiva 3144 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ (π‘₯ Β· 𝐢) ∈ β„‚)
26 eqid 2730 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯ Β· 𝐢)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯ Β· 𝐢))
2726fnmpt 6689 . . . . . . 7 (βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ (π‘₯ Β· 𝐢) ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯ Β· 𝐢)) Fn β„‚)
2825, 27syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯ Β· 𝐢)) Fn β„‚)
29 fnssres 6672 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯ Β· 𝐢)) Fn β„‚ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯ Β· 𝐢)) β†Ύ ℝ) Fn ℝ)
3028, 18, 29sylancl 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯ Β· 𝐢)) β†Ύ ℝ) Fn ℝ)
31 simpr 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
32 fvres 6909 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯ Β· 𝐢)) β†Ύ ℝ)β€˜π‘€) = ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯ Β· 𝐢))β€˜π‘€))
33 recn 11202 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℝ β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
34 oveq1 7418 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (π‘₯ Β· 𝐢) = (𝑀 Β· 𝐢))
35 ovex 7444 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 Β· 𝐢) ∈ V
3634, 26, 35fvmpt 6997 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„‚ β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯ Β· 𝐢))β€˜π‘€) = (𝑀 Β· 𝐢))
3733, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℝ β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯ Β· 𝐢))β€˜π‘€) = (𝑀 Β· 𝐢))
3832, 37eqtrd 2770 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯ Β· 𝐢)) β†Ύ ℝ)β€˜π‘€) = (𝑀 Β· 𝐢))
3931, 38syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ (((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯ Β· 𝐢)) β†Ύ ℝ)β€˜π‘€) = (𝑀 Β· 𝐢))
405adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
4131, 40remulcld 11248 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ (𝑀 Β· 𝐢) ∈ ℝ)
4239, 41eqeltrd 2831 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ (((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯ Β· 𝐢)) β†Ύ ℝ)β€˜π‘€) ∈ ℝ)
4342ralrimiva 3144 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ ℝ (((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯ Β· 𝐢)) β†Ύ ℝ)β€˜π‘€) ∈ ℝ)
44 fnfvrnss 7121 . . . . 5 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯ Β· 𝐢)) β†Ύ ℝ) Fn ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ (((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯ Β· 𝐢)) β†Ύ ℝ)β€˜π‘€) ∈ ℝ) β†’ ran ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯ Β· 𝐢)) β†Ύ ℝ) βŠ† ℝ)
4530, 43, 44syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯ Β· 𝐢)) β†Ύ ℝ) βŠ† ℝ)
4618a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
47 cnrest2 23010 . . . 4 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ ran ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯ Β· 𝐢)) β†Ύ ℝ) βŠ† ℝ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ (((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯ Β· 𝐢)) β†Ύ ℝ) ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)) ↔ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯ Β· 𝐢)) β†Ύ ℝ) ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))))
483, 45, 46, 47syl3anc 1369 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯ Β· 𝐢)) β†Ύ ℝ) ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)) ↔ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯ Β· 𝐢)) β†Ύ ℝ) ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))))
4921, 48mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯ Β· 𝐢)) β†Ύ ℝ) ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)))
50 resmpt 6036 . . 3 (ℝ βŠ† β„‚ β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯ Β· 𝐢)) β†Ύ ℝ) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘₯ Β· 𝐢)))
5118, 50ax-mp 5 . 2 ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯ Β· 𝐢)) β†Ύ ℝ) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘₯ Β· 𝐢))
52 rmulccn.1 . . . . 5 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
531tgioo2 24539 . . . . 5 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
5452, 53eqtri 2758 . . . 4 𝐽 = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
5554, 54oveq12i 7423 . . 3 (𝐽 Cn 𝐽) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))
5655eqcomi 2739 . 2 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)) = (𝐽 Cn 𝐽)
5749, 51, 563eltr3g 2847 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘₯ Β· 𝐢)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059   βŠ† wss 3947   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  β„‚cc 11110  β„cr 11111   Β· cmul 11117  (,)cioo 13328   β†Ύt crest 17370  TopOpenctopn 17371  topGenctg 17387  β„‚fldccnfld 21144  TopOnctopon 22632   Cn ccn 22948   Γ—t ctx 23284
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048
This theorem is referenced by:  rrvmulc  33750
  Copyright terms: Public domain W3C validator