Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmulccn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rmulccn 32846
Description: Multiplication by a real constant is a continuous function. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rmulccn.1 𝐽 = (topGen‘ran (,))
rmulccn.2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
rmulccn (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem rmulccn
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
21cnfldtopon 24281 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
32a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
43cnmptid 23147 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
5 rmulccn.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
65recnd 11238 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
73, 3, 6cnmptc 23148 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
8 ax-mulf 11186 . . . . . . . . 9 · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
9 ffn 6714 . . . . . . . . 9 ( · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → · Fn (ℂ × ℂ))
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8 · Fn (ℂ × ℂ)
11 fnov 7535 . . . . . . . 8 ( · Fn (ℂ × ℂ) ↔ · = (𝑦 ∈ ℂ, 𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑦 · 𝑧)))
1210, 11mpbi 229 . . . . . . 7 · = (𝑦 ∈ ℂ, 𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑦 · 𝑧))
131mulcn 24365 . . . . . . 7 · ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
1412, 13eqeltrri 2831 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℂ, 𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑦 · 𝑧)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
1514a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ, 𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑦 · 𝑧)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
16 oveq12 7413 . . . . 5 ((𝑦 = 𝑥𝑧 = 𝐶) → (𝑦 · 𝑧) = (𝑥 · 𝐶))
173, 4, 7, 3, 3, 15, 16cnmpt12 23153 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
18 ax-resscn 11163 . . . 4 ℝ ⊆ ℂ
192toponunii 22400 . . . . 5 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
2019cnrest 22771 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
2117, 18, 20sylancl 587 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
22 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
236adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
2422, 23mulcld 11230 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝐶) ∈ ℂ)
2524ralrimiva 3147 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑥 · 𝐶) ∈ ℂ)
26 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶))
2726fnmpt 6687 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ ℂ (𝑥 · 𝐶) ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) Fn ℂ)
2825, 27syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) Fn ℂ)
29 fnssres 6670 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) Fn ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) Fn ℝ)
3028, 18, 29sylancl 587 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) Fn ℝ)
31 simpr 486 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
32 fvres 6907 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ℝ → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ)‘𝑤) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶))‘𝑤))
33 recn 11196 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℂ)
34 oveq1 7411 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 · 𝐶) = (𝑤 · 𝐶))
35 ovex 7437 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 · 𝐶) ∈ V
3634, 26, 35fvmpt 6994 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶))‘𝑤) = (𝑤 · 𝐶))
3733, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶))‘𝑤) = (𝑤 · 𝐶))
3832, 37eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ ℝ → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ)‘𝑤) = (𝑤 · 𝐶))
3931, 38syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ)‘𝑤) = (𝑤 · 𝐶))
405adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
4131, 40remulcld 11240 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → (𝑤 · 𝐶) ∈ ℝ)
4239, 41eqeltrd 2834 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ)‘𝑤) ∈ ℝ)
4342ralrimiva 3147 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℝ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ)‘𝑤) ∈ ℝ)
44 fnfvrnss 7115 . . . . 5 ((((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) Fn ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ)‘𝑤) ∈ ℝ) → ran ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ⊆ ℝ)
4530, 43, 44syl2anc 585 . . . 4 (𝜑 → ran ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ⊆ ℝ)
4618a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
47 cnrest2 22772 . . . 4 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
483, 45, 46, 47syl3anc 1372 . . 3 (𝜑 → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
4921, 48mpbid 231 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
50 resmpt 6035 . . 3 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 · 𝐶)))
5118, 50ax-mp 5 . 2 ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 · 𝐶))
52 rmulccn.1 . . . . 5 𝐽 = (topGen‘ran (,))
531tgioo2 24301 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
5452, 53eqtri 2761 . . . 4 𝐽 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
5554, 54oveq12i 7416 . . 3 (𝐽 Cn 𝐽) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
5655eqcomi 2742 . 2 (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)) = (𝐽 Cn 𝐽)
5749, 51, 563eltr3g 2850 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3062  wss 3947  cmpt 5230   × cxp 5673  ran crn 5676  cres 5677   Fn wfn 6535  wf 6536  cfv 6540  (class class class)co 7404  cmpo 7406  cc 11104  cr 11105   · cmul 11111  (,)cioo 13320  t crest 17362  TopOpenctopn 17363  topGenctg 17379  fldccnfld 20929  TopOnctopon 22394   Cn ccn 22710   ×t ctx 23046
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19643  df-psmet 20921  df-xmet 20922  df-met 20923  df-bl 20924  df-mopn 20925  df-cnfld 20930  df-top 22378  df-topon 22395  df-topsp 22417  df-bases 22431  df-cn 22713  df-cnp 22714  df-tx 23048  df-hmeo 23241  df-xms 23808  df-ms 23809  df-tms 23810
This theorem is referenced by:  rrvmulc  33390
  Copyright terms: Public domain W3C validator