Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmulccn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rmulccn 33866
Description: Multiplication by a real constant is a continuous function. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-May-2017.) Avoid ax-mulf 11260. (Revised by GG, 16-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rmulccn.1 𝐽 = (topGen‘ran (,))
rmulccn.2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
rmulccn (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem rmulccn
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2734 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
21cnfldtopon 24817 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
32a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
43cnmptid 23683 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
5 rmulccn.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
65recnd 11314 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
73, 3, 6cnmptc 23684 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
81mpomulcn 24903 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℂ, 𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑦 · 𝑧)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
98a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ, 𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑦 · 𝑧)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
10 oveq12 7454 . . . . 5 ((𝑦 = 𝑥𝑧 = 𝐶) → (𝑦 · 𝑧) = (𝑥 · 𝐶))
113, 4, 7, 3, 3, 9, 10cnmpt12 23689 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
12 ax-resscn 11237 . . . 4 ℝ ⊆ ℂ
13 unicntop 24820 . . . . 5 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
1413cnrest 23307 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
1511, 12, 14sylancl 585 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
16 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
176adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
1816, 17mulcld 11306 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝐶) ∈ ℂ)
1918ralrimiva 3148 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑥 · 𝐶) ∈ ℂ)
20 eqid 2734 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶))
2120fnmpt 6719 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ ℂ (𝑥 · 𝐶) ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) Fn ℂ)
2219, 21syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) Fn ℂ)
2312a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
2422, 23fnssresd 6703 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) Fn ℝ)
25 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
26 oveq1 7452 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 · 𝐶) = (𝑤 · 𝐶))
27 resmpt 6065 . . . . . . . . . 10 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 · 𝐶)))
2812, 27ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 · 𝐶))
29 ovex 7478 . . . . . . . . 9 (𝑤 · 𝐶) ∈ V
3026, 28, 29fvmpt 7027 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ ℝ → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ)‘𝑤) = (𝑤 · 𝐶))
3125, 30syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ)‘𝑤) = (𝑤 · 𝐶))
325adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
3325, 32remulcld 11316 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → (𝑤 · 𝐶) ∈ ℝ)
3431, 33eqeltrd 2838 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ)‘𝑤) ∈ ℝ)
3534ralrimiva 3148 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℝ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ)‘𝑤) ∈ ℝ)
36 fnfvrnss 7153 . . . . 5 ((((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) Fn ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ)‘𝑤) ∈ ℝ) → ran ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ⊆ ℝ)
3724, 35, 36syl2anc 583 . . . 4 (𝜑 → ran ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ⊆ ℝ)
38 cnrest2 23308 . . . 4 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
392, 37, 23, 38mp3an2i 1466 . . 3 (𝜑 → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
4015, 39mpbid 232 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
41 rmulccn.1 . . . . 5 𝐽 = (topGen‘ran (,))
421tgioo2 24837 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
4341, 42eqtri 2762 . . . 4 𝐽 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
4443, 43oveq12i 7457 . . 3 (𝐽 Cn 𝐽) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
4544eqcomi 2743 . 2 (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)) = (𝐽 Cn 𝐽)
4640, 28, 453eltr3g 2854 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2103  wral 3063  wss 3970  cmpt 5252  ran crn 5700  cres 5701   Fn wfn 6567  cfv 6572  (class class class)co 7445  cmpo 7447  cc 11178  cr 11179   · cmul 11185  (,)cioo 13403  t crest 17475  TopOpenctopn 17476  topGenctg 17492  fldccnfld 21382  TopOnctopon 22930   Cn ccn 23246   ×t ctx 23582
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257  ax-pre-sup 11258
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4973  df-iun 5021  df-iin 5022  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-se 5655  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-isom 6581  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-of 7710  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-supp 8198  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-2o 8519  df-er 8759  df-map 8882  df-ixp 8952  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003  df-fsupp 9428  df-fi 9476  df-sup 9507  df-inf 9508  df-oi 9575  df-card 10004  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-div 11944  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12550  df-z 12636  df-dec 12755  df-uz 12900  df-q 13010  df-rp 13054  df-xneg 13171  df-xadd 13172  df-xmul 13173  df-ioo 13407  df-icc 13410  df-fz 13564  df-fzo 13708  df-seq 14049  df-exp 14109  df-hash 14376  df-cj 15144  df-re 15145  df-im 15146  df-sqrt 15280  df-abs 15281  df-struct 17189  df-sets 17206  df-slot 17224  df-ndx 17236  df-base 17254  df-ress 17283  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-hom 17330  df-cco 17331  df-rest 17477  df-topn 17478  df-0g 17496  df-gsum 17497  df-topgen 17498  df-pt 17499  df-prds 17502  df-xrs 17557  df-qtop 17562  df-imas 17563  df-xps 17565  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18673  df-sgrp 18752  df-mnd 18768  df-submnd 18814  df-mulg 19103  df-cntz 19352  df-cmn 19819  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-cnfld 21383  df-top 22914  df-topon 22931  df-topsp 22953  df-bases 22967  df-cn 23249  df-cnp 23250  df-tx 23584  df-hmeo 23777  df-xms 24344  df-ms 24345  df-tms 24346
This theorem is referenced by:  rrvmulc  34410
  Copyright terms: Public domain W3C validator