Theorem rmulccn 34034

Description: Multiplication by a real constant is a continuous function. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-May-2017.) Avoid ax-mulf 11104. (Revised by GG, 16-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rmulccn.1	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
rmulccn.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rmulccn	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem rmulccn

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	cnfldtopon 24724	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
4	3	cnmptid 23603	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
5		rmulccn.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6	5	recnd 11158	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
7	3, 3, 6	cnmptc 23604	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
8	1	mpomulcn 24812	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ, 𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑦 · 𝑧)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ, 𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑦 · 𝑧)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
10		oveq12 7365	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 = 𝑥 ∧ 𝑧 = 𝐶) → (𝑦 · 𝑧) = (𝑥 · 𝐶))
11	3, 4, 7, 3, 3, 9, 10	cnmpt12 23609	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
12		ax-resscn 11081	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
13		unicntop 24727	. . . . 5 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
14	13	cnrest 23227	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
15	11, 12, 14	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
16		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
17	6	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
18	16, 17	mulcld 11150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝐶) ∈ ℂ)
19	18	ralrimiva 3126	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑥 · 𝐶) ∈ ℂ)
20		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶))
21	20	fnmpt 6630	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℂ (𝑥 · 𝐶) ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) Fn ℂ)
22	19, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) Fn ℂ)
23	12	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
24	22, 23	fnssresd 6614	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) Fn ℝ)
25		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
26		oveq1 7363	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 · 𝐶) = (𝑤 · 𝐶))
27		resmpt 5994	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 · 𝐶)))
28	12, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 · 𝐶))
29		ovex 7389	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 · 𝐶) ∈ V
30	26, 28, 29	fvmpt 6939	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ)‘𝑤) = (𝑤 · 𝐶))
31	25, 30	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ)‘𝑤) = (𝑤 · 𝐶))
32	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
33	25, 32	remulcld 11160	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑤 · 𝐶) ∈ ℝ)
34	31, 33	eqeltrd 2834	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ)‘𝑤) ∈ ℝ)
35	34	ralrimiva 3126	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℝ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ)‘𝑤) ∈ ℝ)
36		fnfvrnss 7064	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) Fn ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ)‘𝑤) ∈ ℝ) → ran ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ⊆ ℝ)
37	24, 35, 36	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ⊆ ℝ)
38		cnrest2 23228	. . . 4 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
39	2, 37, 23, 38	mp3an2i 1468	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
40	15, 39	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
41		rmulccn.1	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
42		tgioo4 24747	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
43	41, 42	eqtri 2757	. . . 4 ⊢ 𝐽 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
44	43, 43	oveq12i 7368	. . 3 ⊢ (𝐽 Cn 𝐽) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
45	44	eqcomi 2743	. 2 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)) = (𝐽 Cn 𝐽)
46	40, 28, 45	3eltr3g 2850	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049   ⊆ wss 3899   ↦ cmpt 5177  ran crn 5623   ↾ cres 5624   Fn wfn 6485  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   ∈ cmpo 7358  ℂcc 11022  ℝcr 11023   · cmul 11029  (,)cioo 13259   ↾_t crest 17338  TopOpenctopn 17339  topGenctg 17355  ℂ_fldccnfld 21307  TopOnctopon 22852   Cn ccn 23166   ×_t ctx 23502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8763  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-fi 9312  df-sup 9343  df-inf 9344  df-oi 9413  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-xneg 13024  df-xadd 13025  df-xmul 13026  df-ioo 13263  df-icc 13266  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-seq 13923  df-exp 13983  df-hash 14252  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-unif 17198  df-hom 17199  df-cco 17200  df-rest 17340  df-topn 17341  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-topgen 17361  df-pt 17362  df-prds 17365  df-xrs 17421  df-qtop 17426  df-imas 17427  df-xps 17429  df-mre 17503  df-mrc 17504  df-acs 17506  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18707  df-mulg 18996  df-cntz 19244  df-cmn 19709  df-psmet 21299  df-xmet 21300  df-met 21301  df-bl 21302  df-mopn 21303  df-cnfld 21308  df-top 22836  df-topon 22853  df-topsp 22875  df-bases 22888  df-cn 23169  df-cnp 23170  df-tx 23504  df-hmeo 23697  df-xms 24262  df-ms 24263  df-tms 24264

This theorem is referenced by:  rrvmulc  34559