Theorem rmulccn 34092

Description: Multiplication by a real constant is a continuous function. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-May-2017.) Avoid ax-mulf 11113. (Revised by GG, 16-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rmulccn.1	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
rmulccn.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rmulccn	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem rmulccn

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	cnfldtopon 24761	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
4	3	cnmptid 23640	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
5		rmulccn.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6	5	recnd 11168	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
7	3, 3, 6	cnmptc 23641	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐶) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
8	1	mpomulcn 24848	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ, 𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑦 · 𝑧)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ, 𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑦 · 𝑧)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
10		oveq12 7371	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 = 𝑥 ∧ 𝑧 = 𝐶) → (𝑦 · 𝑧) = (𝑥 · 𝐶))
11	3, 4, 7, 3, 3, 9, 10	cnmpt12 23646	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
12		ax-resscn 11090	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
13		unicntop 24764	. . . . 5 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
14	13	cnrest 23264	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
15	11, 12, 14	sylancl 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
16		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
17	6	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
18	16, 17	mulcld 11160	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝐶) ∈ ℂ)
19	18	ralrimiva 3130	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑥 · 𝐶) ∈ ℂ)
20		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶))
21	20	fnmpt 6634	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℂ (𝑥 · 𝐶) ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) Fn ℂ)
22	19, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) Fn ℂ)
23	12	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
24	22, 23	fnssresd 6618	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) Fn ℝ)
25		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
26		oveq1 7369	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 · 𝐶) = (𝑤 · 𝐶))
27		resmpt 5998	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 · 𝐶)))
28	12, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 · 𝐶))
29		ovex 7395	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 · 𝐶) ∈ V
30	26, 28, 29	fvmpt 6943	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ)‘𝑤) = (𝑤 · 𝐶))
31	25, 30	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ)‘𝑤) = (𝑤 · 𝐶))
32	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
33	25, 32	remulcld 11170	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑤 · 𝐶) ∈ ℝ)
34	31, 33	eqeltrd 2837	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ)‘𝑤) ∈ ℝ)
35	34	ralrimiva 3130	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℝ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ)‘𝑤) ∈ ℝ)
36		fnfvrnss 7069	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) Fn ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ)‘𝑤) ∈ ℝ) → ran ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ⊆ ℝ)
37	24, 35, 36	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ⊆ ℝ)
38		cnrest2 23265	. . . 4 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
39	2, 37, 23, 38	mp3an2i 1469	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
40	15, 39	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ↾ ℝ) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
41		rmulccn.1	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
42		tgioo4 24784	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
43	41, 42	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ 𝐽 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
44	43, 43	oveq12i 7374	. . 3 ⊢ (𝐽 Cn 𝐽) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
45	44	eqcomi 2746	. 2 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)) = (𝐽 Cn 𝐽)
46	40, 28, 45	3eltr3g 2853	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ⊆ wss 3890   ↦ cmpt 5167  ran crn 5627   ↾ cres 5628   Fn wfn 6489  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362   ∈ cmpo 7364  ℂcc 11031  ℝcr 11032   · cmul 11038  (,)cioo 13293   ↾_t crest 17378  TopOpenctopn 17379  topGenctg 17395  ℂ_fldccnfld 21348  TopOnctopon 22889   Cn ccn 23203   ×_t ctx 23539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7626  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-supp 8106  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-er 8638  df-map 8770  df-ixp 8841  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-fsupp 9270  df-fi 9319  df-sup 9350  df-inf 9351  df-oi 9420  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-xneg 13058  df-xadd 13059  df-xmul 13060  df-ioo 13297  df-icc 13300  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-exp 14019  df-hash 14288  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-hom 17239  df-cco 17240  df-rest 17380  df-topn 17381  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-topgen 17401  df-pt 17402  df-prds 17405  df-xrs 17461  df-qtop 17466  df-imas 17467  df-xps 17469  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-mulg 19039  df-cntz 19287  df-cmn 19752  df-psmet 21340  df-xmet 21341  df-met 21342  df-bl 21343  df-mopn 21344  df-cnfld 21349  df-top 22873  df-topon 22890  df-topsp 22912  df-bases 22925  df-cn 23206  df-cnp 23207  df-tx 23541  df-hmeo 23734  df-xms 24299  df-ms 24300  df-tms 24301

This theorem is referenced by:  rrvmulc  34617