Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumfsup Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumfsup 32144
Description: Formulating an extended sum over integers using the recursive sequence builder. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Oct-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
esumfsup.1 𝑘𝐹
Assertion
Ref Expression
esumfsup (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘) = sup(ran seq1( +𝑒 , 𝐹), ℝ*, < ))

Proof of Theorem esumfsup
Dummy variables 𝑎 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 12420 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
2 seqfn 13803 . . . . . 6 (1 ∈ ℤ → seq1( +𝑒 , 𝐹) Fn (ℤ‘1))
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 seq1( +𝑒 , 𝐹) Fn (ℤ‘1)
4 nnuz 12691 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
54fneq2i 6567 . . . . 5 (seq1( +𝑒 , 𝐹) Fn ℕ ↔ seq1( +𝑒 , 𝐹) Fn (ℤ‘1))
63, 5mpbir 230 . . . 4 seq1( +𝑒 , 𝐹) Fn ℕ
7 iccssxr 13232 . . . . . 6 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
8 esumfsup.1 . . . . . . . 8 𝑘𝐹
98esumfzf 32143 . . . . . . 7 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛))
10 ovex 7346 . . . . . . . 8 (1...𝑛) ∈ V
11 nfcv 2905 . . . . . . . . . . 11 𝑘
12 nfcv 2905 . . . . . . . . . . 11 𝑘(0[,]+∞)
138, 11, 12nff 6631 . . . . . . . . . 10 𝑘 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)
14 nfv 1916 . . . . . . . . . 10 𝑘 𝑛 ∈ ℕ
1513, 14nfan 1901 . . . . . . . . 9 𝑘(𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ)
16 simpll 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
17 1nn 12054 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℕ
18 fzssnn 13370 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ ℕ → (1...𝑛) ⊆ ℕ)
1917, 18mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (1...𝑛) ⊆ ℕ)
20 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ (1...𝑛))
2119, 20sseldd 3931 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
2216, 21ffvelcdmd 6999 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
2322ex 413 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ (1...𝑛) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞)))
2415, 23ralrimi 3237 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
25 nfcv 2905 . . . . . . . . 9 𝑘(1...𝑛)
2625esumcl 32104 . . . . . . . 8 (((1...𝑛) ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
2710, 24, 26sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
289, 27eqeltrrd 2839 . . . . . 6 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) ∈ (0[,]+∞))
297, 28sselid 3928 . . . . 5 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ*)
3029ralrimiva 3140 . . . 4 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → ∀𝑛 ∈ ℕ (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ*)
31 fnfvrnss 7031 . . . 4 ((seq1( +𝑒 , 𝐹) Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ*) → ran seq1( +𝑒 , 𝐹) ⊆ ℝ*)
326, 30, 31sylancr 587 . . 3 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → ran seq1( +𝑒 , 𝐹) ⊆ ℝ*)
33 nnex 12049 . . . . 5 ℕ ∈ V
34 ffvelcdm 6996 . . . . . . 7 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
3534ex 413 . . . . . 6 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞)))
3613, 35ralrimi 3237 . . . . 5 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
3711esumcl 32104 . . . . 5 ((ℕ ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
3833, 36, 37sylancr 587 . . . 4 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
397, 38sselid 3928 . . 3 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
40 fvelrnb 6867 . . . . . . . . 9 (seq1( +𝑒 , 𝐹) Fn ℕ → (𝑥 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) = 𝑥))
416, 40mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → (𝑥 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) = 𝑥))
42 eqcom 2744 . . . . . . . . . 10 *𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) = 𝑥𝑥 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘))
439eqeq1d 2739 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) = 𝑥 ↔ (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) = 𝑥))
4442, 43bitr3id 284 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ↔ (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) = 𝑥))
4544rexbidva 3170 . . . . . . . 8 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) = 𝑥))
4641, 45bitr4d 281 . . . . . . 7 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → (𝑥 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)))
4746biimpa 477 . . . . . 6 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘))
4833a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ℕ ∈ V)
4934adantlr 712 . . . . . . . . 9 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
5017, 18mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1...𝑛) ⊆ ℕ)
5115, 48, 49, 50esummono 32128 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘))
5251ralrimiva 3140 . . . . . . 7 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → ∀𝑛 ∈ ℕ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘))
5352adantr 481 . . . . . 6 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹)) → ∀𝑛 ∈ ℕ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘))
5447, 53jca 512 . . . . 5 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹)) → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)))
55 r19.29r 3116 . . . . 5 ((∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ∧ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)))
56 breq1 5088 . . . . . . 7 (𝑥 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) → (𝑥 ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘) ↔ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)))
5756biimpar 478 . . . . . 6 ((𝑥 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ∧ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) → 𝑥 ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘))
5857rexlimivw 3145 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ∧ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) → 𝑥 ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘))
5954, 55, 583syl 18 . . . 4 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹)) → 𝑥 ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘))
6059ralrimiva 3140 . . 3 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → ∀𝑥 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹)𝑥 ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘))
61 nfv 1916 . . . . . . . . . . 11 𝑘 𝑥 ∈ ℝ
6213, 61nfan 1901 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ)
63 nfcv 2905 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑥
64 nfcv 2905 . . . . . . . . . . 11 𝑘 <
6511nfesum1 32114 . . . . . . . . . . 11 𝑘Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)
6663, 64, 65nfbr 5132 . . . . . . . . . 10 𝑘 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)
6762, 66nfan 1901 . . . . . . . . 9 𝑘((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘))
6833a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) → ℕ ∈ V)
69 simplll 772 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
7069, 34sylancom 588 . . . . . . . . 9 ((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
71 simplr 766 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) → 𝑥 ∈ ℝ)
7271rexrd 11095 . . . . . . . . 9 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
73 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) → 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘))
7467, 68, 70, 72, 73esumlub 32134 . . . . . . . 8 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)𝑥 < Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘))
75 ssnnssfz 31216 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑎 ⊆ (1...𝑛))
76 r19.42v 3184 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑛 ∈ ℕ (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ⊆ (1...𝑛)) ↔ (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑎 ⊆ (1...𝑛)))
77 nfv 1916 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘 𝑎 ⊆ (1...𝑛)
7867, 77nfan 1901 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘(((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ⊆ (1...𝑛))
7910a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ⊆ (1...𝑛)) → (1...𝑛) ∈ V)
80 simp-4l 780 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ⊆ (1...𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
8117, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1...𝑛) ⊆ ℕ
82 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ⊆ (1...𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ (1...𝑛))
8381, 82sselid 3928 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ⊆ (1...𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
8480, 83ffvelcdmd 6999 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ⊆ (1...𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
85 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ⊆ (1...𝑛)) → 𝑎 ⊆ (1...𝑛))
8678, 79, 84, 85esummono 32128 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ⊆ (1...𝑛)) → Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘))
8786reximi 3084 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑛 ∈ ℕ (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ⊆ (1...𝑛)) → ∃𝑛 ∈ ℕ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘))
8876, 87sylbir 234 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑎 ⊆ (1...𝑛)) → ∃𝑛 ∈ ℕ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘))
8975, 88sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) → ∃𝑛 ∈ ℕ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘))
9089ralrimiva 3140 . . . . . . . 8 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) → ∀𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)∃𝑛 ∈ ℕ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘))
91 r19.29r 3116 . . . . . . . . 9 ((∃𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)𝑥 < Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∧ ∀𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)∃𝑛 ∈ ℕ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)(𝑥 < Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)))
92 r19.42v 3184 . . . . . . . . . 10 (∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥 < Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∧ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)) ↔ (𝑥 < Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)))
9392rexbii 3094 . . . . . . . . 9 (∃𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥 < Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∧ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)(𝑥 < Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)))
9491, 93sylibr 233 . . . . . . . 8 ((∃𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)𝑥 < Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∧ ∀𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)∃𝑛 ∈ ℕ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥 < Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∧ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)))
9574, 90, 94syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥 < Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∧ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)))
96 simp-4r 781 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
9796rexrd 11095 . . . . . . . . . 10 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ*)
98 vex 3445 . . . . . . . . . . . 12 𝑎 ∈ V
99 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘𝑎
10099nfel1 2921 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)
10167, 100nfan 1901 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘(((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin))
102101, 14nfan 1901 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ)
103 simp-5l 782 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑎) → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
104 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑎) → 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin))
105 inss1 4172 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝒫 ℕ ∩ Fin) ⊆ 𝒫 ℕ
106105sseli 3926 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) → 𝑎 ∈ 𝒫 ℕ)
107 elpwi 4550 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 ∈ 𝒫 ℕ → 𝑎 ⊆ ℕ)
108104, 106, 1073syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑎) → 𝑎 ⊆ ℕ)
109 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑎) → 𝑘𝑎)
110108, 109sseldd 3931 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑎) → 𝑘 ∈ ℕ)
111103, 110ffvelcdmd 6999 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑎) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
112111ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑘𝑎 → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞)))
113102, 112ralrimi 3237 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘𝑎 (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
11499esumcl 32104 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ V ∧ ∀𝑘𝑎 (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
11598, 113, 114sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
1167, 115sselid 3928 . . . . . . . . . 10 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
117 simp-5l 782 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
118 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ (1...𝑛))
11981, 118sselid 3928 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
120117, 119ffvelcdmd 6999 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
121120ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ (1...𝑛) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞)))
122102, 121ralrimi 3237 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
12310, 122, 26sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
1247, 123sselid 3928 . . . . . . . . . 10 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
125 xrltletr 12961 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℝ*) → ((𝑥 < Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∧ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)) → 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)))
12697, 116, 124, 125syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑥 < Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∧ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)) → 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)))
127126reximdva 3162 . . . . . . . 8 ((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥 < Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∧ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)))
128127rexlimdva 3149 . . . . . . 7 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) → (∃𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥 < Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∧ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)))
12995, 128mpd 15 . . . . . 6 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘))
130 fvelrnb 6867 . . . . . . . . . 10 (seq1( +𝑒 , 𝐹) Fn ℕ → (𝑦 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) = 𝑦))
1316, 130mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → (𝑦 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) = 𝑦))
132 eqcom 2744 . . . . . . . . . . 11 *𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) = 𝑦𝑦 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘))
1339eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) = 𝑦 ↔ (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) = 𝑦))
134132, 133bitr3id 284 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑦 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ↔ (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) = 𝑦))
135134rexbidva 3170 . . . . . . . . 9 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) = 𝑦))
136131, 135bitr4d 281 . . . . . . . 8 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → (𝑦 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)))
137 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑦 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)) → 𝑦 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘))
138137breq2d 5097 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑦 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)) → (𝑥 < 𝑦𝑥 < Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)))
13927, 136, 138rexxfr2d 5347 . . . . . . 7 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → (∃𝑦 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹)𝑥 < 𝑦 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)))
140139ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) → (∃𝑦 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹)𝑥 < 𝑦 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)))
141129, 140mpbird 256 . . . . 5 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) → ∃𝑦 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹)𝑥 < 𝑦)
142141ex 413 . . . 4 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘) → ∃𝑦 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹)𝑥 < 𝑦))
143142ralrimiva 3140 . . 3 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘) → ∃𝑦 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹)𝑥 < 𝑦))
144 supxr2 13118 . . 3 (((ran seq1( +𝑒 , 𝐹) ⊆ ℝ* ∧ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘) ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑥 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹)𝑥 ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘) → ∃𝑦 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹)𝑥 < 𝑦))) → sup(ran seq1( +𝑒 , 𝐹), ℝ*, < ) = Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘))
14532, 39, 60, 143, 144syl22anc 836 . 2 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → sup(ran seq1( +𝑒 , 𝐹), ℝ*, < ) = Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘))
146145eqcomd 2743 1 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘) = sup(ran seq1( +𝑒 , 𝐹), ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  wnfc 2885  wral 3062  wrex 3071  Vcvv 3441  cin 3895  wss 3896  𝒫 cpw 4543   class class class wbr 5085  ran crn 5606   Fn wfn 6458  wf 6459  cfv 6463  (class class class)co 7313  Fincfn 8779  supcsup 9267  cr 10940  0cc0 10941  1c1 10942  +∞cpnf 11076  *cxr 11078   < clt 11079  cle 11080  cn 12043  cz 12389  cuz 12652   +𝑒 cxad 12916  [,]cicc 13152  ...cfz 13309  seqcseq 13791  Σ*cesum 32101
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5222  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626  ax-inf2 9467  ax-cnex 10997  ax-resscn 10998  ax-1cn 10999  ax-icn 11000  ax-addcl 11001  ax-addrcl 11002  ax-mulcl 11003  ax-mulrcl 11004  ax-mulcom 11005  ax-addass 11006  ax-mulass 11007  ax-distr 11008  ax-i2m1 11009  ax-1ne0 11010  ax-1rid 11011  ax-rnegex 11012  ax-rrecex 11013  ax-cnre 11014  ax-pre-lttri 11015  ax-pre-lttrn 11016  ax-pre-ltadd 11017  ax-pre-mulgt0 11018  ax-pre-sup 11019  ax-addf 11020  ax-mulf 11021
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4849  df-int 4891  df-iun 4937  df-iin 4938  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-tr 5203  df-id 5505  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5560  df-se 5561  df-we 5562  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-pred 6222  df-ord 6289  df-on 6290  df-lim 6291  df-suc 6292  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-isom 6472  df-riota 7270  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-mpo 7318  df-of 7571  df-om 7756  df-1st 7874  df-2nd 7875  df-supp 8023  df-frecs 8142  df-wrecs 8173  df-recs 8247  df-rdg 8286  df-1o 8342  df-2o 8343  df-er 8544  df-map 8663  df-pm 8664  df-ixp 8732  df-en 8780  df-dom 8781  df-sdom 8782  df-fin 8783  df-fsupp 9197  df-fi 9238  df-sup 9269  df-inf 9270  df-oi 9337  df-card 9765  df-pnf 11081  df-mnf 11082  df-xr 11083  df-ltxr 11084  df-le 11085  df-sub 11277  df-neg 11278  df-div 11703  df-nn 12044  df-2 12106  df-3 12107  df-4 12108  df-5 12109  df-6 12110  df-7 12111  df-8 12112  df-9 12113  df-n0 12304  df-z 12390  df-dec 12508  df-uz 12653  df-q 12759  df-rp 12801  df-xneg 12918  df-xadd 12919  df-xmul 12920  df-ioo 13153  df-ioc 13154  df-ico 13155  df-icc 13156  df-fz 13310  df-fzo 13453  df-fl 13582  df-mod 13660  df-seq 13792  df-exp 13853  df-fac 14058  df-bc 14087  df-hash 14115  df-shft 14847  df-cj 14879  df-re 14880  df-im 14881  df-sqrt 15015  df-abs 15016  df-limsup 15249  df-clim 15266  df-rlim 15267  df-sum 15467  df-ef 15846  df-sin 15848  df-cos 15849  df-pi 15851  df-struct 16915  df-sets 16932  df-slot 16950  df-ndx 16962  df-base 16980  df-ress 17009  df-plusg 17042  df-mulr 17043  df-starv 17044  df-sca 17045  df-vsca 17046  df-ip 17047  df-tset 17048  df-ple 17049  df-ds 17051  df-unif 17052  df-hom 17053  df-cco 17054  df-rest 17200  df-topn 17201  df-0g 17219  df-gsum 17220  df-topgen 17221  df-pt 17222  df-prds 17225  df-ordt 17279  df-xrs 17280  df-qtop 17285  df-imas 17286  df-xps 17288  df-mre 17362  df-mrc 17363  df-acs 17365  df-ps 18351  df-tsr 18352  df-plusf 18392  df-mgm 18393  df-sgrp 18442  df-mnd 18453  df-mhm 18497  df-submnd 18498  df-grp 18647  df-minusg 18648  df-sbg 18649  df-mulg 18768  df-subg 18819  df-cntz 18990  df-cmn 19455  df-abl 19456  df-mgp 19788  df-ur 19805  df-ring 19852  df-cring 19853  df-subrg 20093  df-abv 20148  df-lmod 20196  df-scaf 20197  df-sra 20505  df-rgmod 20506  df-psmet 20660  df-xmet 20661  df-met 20662  df-bl 20663  df-mopn 20664  df-fbas 20665  df-fg 20666  df-cnfld 20669  df-top 22114  df-topon 22131  df-topsp 22153  df-bases 22167  df-cld 22241  df-ntr 22242  df-cls 22243  df-nei 22320  df-lp 22358  df-perf 22359  df-cn 22449  df-cnp 22450  df-haus 22537  df-tx 22784  df-hmeo 22977  df-fil 23068  df-fm 23160  df-flim 23161  df-flf 23162  df-tmd 23294  df-tgp 23295  df-tsms 23349  df-trg 23382  df-xms 23544  df-ms 23545  df-tms 23546  df-nm 23809  df-ngp 23810  df-nrg 23812  df-nlm 23813  df-ii 24111  df-cncf 24112  df-limc 25101  df-dv 25102  df-log 25783  df-esum 32102
This theorem is referenced by:  esumfsupre  32145  esumsup  32163
  Copyright terms: Public domain W3C validator