Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmaprnN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmaprnN 37643
Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 21, As=B. (Contributed by NM, 30-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmaprn.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmaprn.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprn.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmaprn.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprn.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
Assertion
Ref Expression
hdmaprnN (𝜑 → ran 𝑆 = 𝐷)

Proof of Theorem hdmaprnN
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hdmaprn.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 eqid 2804 . . . 4 ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 eqid 2804 . . . 4 (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
4 hdmaprn.s . . . 4 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
5 hdmaprn.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
61, 2, 3, 4, 5hdmapfnN 37608 . . 3 (𝜑𝑆 Fn (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
7 hdmaprn.c . . . . 5 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8 hdmaprn.d . . . . 5 𝐷 = (Base‘𝐶)
95adantr 468 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
10 simpr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) → 𝑠 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
111, 2, 3, 7, 8, 4, 9, 10hdmapcl 37609 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) → (𝑆𝑠) ∈ 𝐷)
1211ralrimiva 3152 . . 3 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))(𝑆𝑠) ∈ 𝐷)
13 fnfvrnss 6610 . . 3 ((𝑆 Fn (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ∧ ∀𝑠 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))(𝑆𝑠) ∈ 𝐷) → ran 𝑆𝐷)
146, 12, 13syl2anc 575 . 2 (𝜑 → ran 𝑆𝐷)
15 eqid 2804 . . 3 (LSpan‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (LSpan‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
16 eqid 2804 . . 3 (0g𝐶) = (0g𝐶)
17 eqid 2804 . . 3 (LSpan‘𝐶) = (LSpan‘𝐶)
18 eqid 2804 . . 3 ((mapd‘𝐾)‘𝑊) = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
195adantr 468 . . 3 ((𝜑𝑠𝐷) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
20 simpr 473 . . 3 ((𝜑𝑠𝐷) → 𝑠𝐷)
211, 2, 3, 15, 7, 8, 16, 17, 18, 4, 19, 20hdmaprnlem17N 37642 . 2 ((𝜑𝑠𝐷) → 𝑠 ∈ ran 𝑆)
2214, 21eqelssd 3817 1 (𝜑 → ran 𝑆 = 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1637  wcel 2156  wral 3094  wss 3767  ran crn 5310   Fn wfn 6094  cfv 6099  Basecbs 16066  0gc0g 16303  LSpanclspn 19176  HLchlt 35128  LHypclh 35762  DVecHcdvh 36857  LCDualclcd 37365  mapdcmpd 37403  HDMapchdma 37571
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2782  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5094  ax-un 7177  ax-cnex 10275  ax-resscn 10276  ax-1cn 10277  ax-icn 10278  ax-addcl 10279  ax-addrcl 10280  ax-mulcl 10281  ax-mulrcl 10282  ax-mulcom 10283  ax-addass 10284  ax-mulass 10285  ax-distr 10286  ax-i2m1 10287  ax-1ne0 10288  ax-1rid 10289  ax-rnegex 10290  ax-rrecex 10291  ax-cnre 10292  ax-pre-lttri 10293  ax-pre-lttrn 10294  ax-pre-ltadd 10295  ax-pre-mulgt0 10296  ax-riotaBAD 34730
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2791  df-cleq 2797  df-clel 2800  df-nfc 2935  df-ne 2977  df-nel 3080  df-ral 3099  df-rex 3100  df-reu 3101  df-rmo 3102  df-rab 3103  df-v 3391  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4115  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-ot 4377  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4843  df-opab 4905  df-mpt 4922  df-tr 4945  df-id 5217  df-eprel 5222  df-po 5230  df-so 5231  df-fr 5268  df-we 5270  df-xp 5315  df-rel 5316  df-cnv 5317  df-co 5318  df-dm 5319  df-rn 5320  df-res 5321  df-ima 5322  df-pred 5891  df-ord 5937  df-on 5938  df-lim 5939  df-suc 5940  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6833  df-ov 6875  df-oprab 6876  df-mpt2 6877  df-of 7125  df-om 7294  df-1st 7396  df-2nd 7397  df-tpos 7585  df-undef 7632  df-wrecs 7640  df-recs 7702  df-rdg 7740  df-1o 7794  df-oadd 7798  df-er 7977  df-map 8092  df-en 8191  df-dom 8192  df-sdom 8193  df-fin 8194  df-pnf 10359  df-mnf 10360  df-xr 10361  df-ltxr 10362  df-le 10363  df-sub 10551  df-neg 10552  df-nn 11304  df-2 11362  df-3 11363  df-4 11364  df-5 11365  df-6 11366  df-n0 11558  df-z 11642  df-uz 11903  df-fz 12548  df-struct 16068  df-ndx 16069  df-slot 16070  df-base 16072  df-sets 16073  df-ress 16074  df-plusg 16164  df-mulr 16165  df-sca 16167  df-vsca 16168  df-0g 16305  df-mre 16449  df-mrc 16450  df-acs 16452  df-proset 17131  df-poset 17149  df-plt 17161  df-lub 17177  df-glb 17178  df-join 17179  df-meet 17180  df-p0 17242  df-p1 17243  df-lat 17249  df-clat 17311  df-mgm 17445  df-sgrp 17487  df-mnd 17498  df-submnd 17539  df-grp 17628  df-minusg 17629  df-sbg 17630  df-subg 17791  df-cntz 17949  df-oppg 17975  df-lsm 18250  df-cmn 18394  df-abl 18395  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-oppr 18823  df-dvdsr 18841  df-unit 18842  df-invr 18872  df-dvr 18883  df-drng 18951  df-lmod 19067  df-lss 19135  df-lsp 19177  df-lvec 19308  df-lsatoms 34754  df-lshyp 34755  df-lcv 34797  df-lfl 34836  df-lkr 34864  df-ldual 34902  df-oposet 34954  df-ol 34956  df-oml 34957  df-covers 35044  df-ats 35045  df-atl 35076  df-cvlat 35100  df-hlat 35129  df-llines 35276  df-lplanes 35277  df-lvols 35278  df-lines 35279  df-psubsp 35281  df-pmap 35282  df-padd 35574  df-lhyp 35766  df-laut 35767  df-ldil 35882  df-ltrn 35883  df-trl 35938  df-tgrp 36522  df-tendo 36534  df-edring 36536  df-dveca 36782  df-disoa 36808  df-dvech 36858  df-dib 36918  df-dic 36952  df-dih 37008  df-doch 37127  df-djh 37174  df-lcdual 37366  df-mapd 37404  df-hvmap 37536  df-hdmap1 37572  df-hdmap 37573
This theorem is referenced by:  hdmapf1oN  37644  hgmaprnlem4N  37678
  Copyright terms: Public domain W3C validator