Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmaprnN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmaprnN 38886
Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 21, As=B. (Contributed by NM, 30-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmaprn.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmaprn.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprn.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmaprn.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprn.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
Assertion
Ref Expression
hdmaprnN (𝜑 → ran 𝑆 = 𝐷)

Proof of Theorem hdmaprnN
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hdmaprn.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 eqid 2826 . . . 4 ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 eqid 2826 . . . 4 (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
4 hdmaprn.s . . . 4 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
5 hdmaprn.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
61, 2, 3, 4, 5hdmapfnN 38851 . . 3 (𝜑𝑆 Fn (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
7 hdmaprn.c . . . . 5 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8 hdmaprn.d . . . . 5 𝐷 = (Base‘𝐶)
95adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
10 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) → 𝑠 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
111, 2, 3, 7, 8, 4, 9, 10hdmapcl 38852 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) → (𝑆𝑠) ∈ 𝐷)
1211ralrimiva 3187 . . 3 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))(𝑆𝑠) ∈ 𝐷)
13 fnfvrnss 6882 . . 3 ((𝑆 Fn (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ∧ ∀𝑠 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))(𝑆𝑠) ∈ 𝐷) → ran 𝑆𝐷)
146, 12, 13syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ran 𝑆𝐷)
15 eqid 2826 . . 3 (LSpan‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (LSpan‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
16 eqid 2826 . . 3 (0g𝐶) = (0g𝐶)
17 eqid 2826 . . 3 (LSpan‘𝐶) = (LSpan‘𝐶)
18 eqid 2826 . . 3 ((mapd‘𝐾)‘𝑊) = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
195adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑠𝐷) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
20 simpr 485 . . 3 ((𝜑𝑠𝐷) → 𝑠𝐷)
211, 2, 3, 15, 7, 8, 16, 17, 18, 4, 19, 20hdmaprnlem17N 38885 . 2 ((𝜑𝑠𝐷) → 𝑠 ∈ ran 𝑆)
2214, 21eqelssd 3992 1 (𝜑 → ran 𝑆 = 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3143  wss 3940  ran crn 5555   Fn wfn 6349  cfv 6354  Basecbs 16478  0gc0g 16708  LSpanclspn 19679  HLchlt 36372  LHypclh 37006  DVecHcdvh 38100  LCDualclcd 38608  mapdcmpd 38646  HDMapchdma 38814
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-riotaBAD 35975
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-ot 4573  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-tpos 7888  df-undef 7935  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8284  df-map 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12888  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-0g 16710  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-proset 17533  df-poset 17551  df-plt 17563  df-lub 17579  df-glb 17580  df-join 17581  df-meet 17582  df-p0 17644  df-p1 17645  df-lat 17651  df-clat 17713  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-grp 18051  df-minusg 18052  df-sbg 18053  df-subg 18221  df-cntz 18392  df-oppg 18419  df-lsm 18697  df-cmn 18844  df-abl 18845  df-mgp 19176  df-ur 19188  df-ring 19235  df-oppr 19309  df-dvdsr 19327  df-unit 19328  df-invr 19358  df-dvr 19369  df-drng 19440  df-lmod 19572  df-lss 19640  df-lsp 19680  df-lvec 19811  df-lsatoms 35998  df-lshyp 35999  df-lcv 36041  df-lfl 36080  df-lkr 36108  df-ldual 36146  df-oposet 36198  df-ol 36200  df-oml 36201  df-covers 36288  df-ats 36289  df-atl 36320  df-cvlat 36344  df-hlat 36373  df-llines 36520  df-lplanes 36521  df-lvols 36522  df-lines 36523  df-psubsp 36525  df-pmap 36526  df-padd 36818  df-lhyp 37010  df-laut 37011  df-ldil 37126  df-ltrn 37127  df-trl 37181  df-tgrp 37765  df-tendo 37777  df-edring 37779  df-dveca 38025  df-disoa 38051  df-dvech 38101  df-dib 38161  df-dic 38195  df-dih 38251  df-doch 38370  df-djh 38417  df-lcdual 38609  df-mapd 38647  df-hvmap 38779  df-hdmap1 38815  df-hdmap 38816
This theorem is referenced by:  hdmapf1oN  38887  hgmaprnlem4N  38921
  Copyright terms: Public domain W3C validator