Theorem hdmaprnN 41248

Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 21, As=B. (Contributed by NM, 30-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmaprn.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmaprn.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprn.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmaprn.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprn.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
hdmaprnN	⊢ (𝜑 → ran 𝑆 = 𝐷)

Proof of Theorem hdmaprnN

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmaprn.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		eqid 2726	. . . 4 ⊢ ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
4		hdmaprn.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
5		hdmaprn.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	1, 2, 3, 4, 5	hdmapfnN 41213	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 Fn (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
7		hdmaprn.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8		hdmaprn.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
9	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) → 𝑠 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
11	1, 2, 3, 7, 8, 4, 9, 10	hdmapcl 41214	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) → (𝑆‘𝑠) ∈ 𝐷)
12	11	ralrimiva 3140	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))(𝑆‘𝑠) ∈ 𝐷)
13		fnfvrnss 7116	. . 3 ⊢ ((𝑆 Fn (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ∧ ∀𝑠 ∈ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))(𝑆‘𝑠) ∈ 𝐷) → ran 𝑆 ⊆ 𝐷)
14	6, 12, 13	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝑆 ⊆ 𝐷)
15		eqid 2726	. . 3 ⊢ (LSpan‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (LSpan‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
16		eqid 2726	. . 3 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
17		eqid 2726	. . 3 ⊢ (LSpan‘𝐶) = (LSpan‘𝐶)
18		eqid 2726	. . 3 ⊢ ((mapd‘𝐾)‘𝑊) = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
19	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐷) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
20		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐷) → 𝑠 ∈ 𝐷)
21	1, 2, 3, 15, 7, 8, 16, 17, 18, 4, 19, 20	hdmaprnlem17N 41247	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐷) → 𝑠 ∈ ran 𝑆)
22	14, 21	eqelssd 3998	1 ⊢ (𝜑 → ran 𝑆 = 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3055   ⊆ wss 3943  ran crn 5670   Fn wfn 6532  ‘cfv 6537  Basecbs 17153  0_gc0g 17394  LSpanclspn 20818  HLchlt 38733  LHypclh 39368  DVecHcdvh 40462  LCDualclcd 40970  mapdcmpd 41008  HDMapchdma 41176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-riotaBAD 38336

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-undef 8259  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-0g 17396  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-cntz 19233  df-oppg 19262  df-lsm 19556  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-dvr 20303  df-drng 20589  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-lvec 20951  df-lsatoms 38359  df-lshyp 38360  df-lcv 38402  df-lfl 38441  df-lkr 38469  df-ldual 38507  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-llines 38882  df-lplanes 38883  df-lvols 38884  df-lines 38885  df-psubsp 38887  df-pmap 38888  df-padd 39180  df-lhyp 39372  df-laut 39373  df-ldil 39488  df-ltrn 39489  df-trl 39543  df-tgrp 40127  df-tendo 40139  df-edring 40141  df-dveca 40387  df-disoa 40413  df-dvech 40463  df-dib 40523  df-dic 40557  df-dih 40613  df-doch 40732  df-djh 40779  df-lcdual 40971  df-mapd 41009  df-hvmap 41141  df-hdmap1 41177  df-hdmap 41178

This theorem is referenced by:  hdmapf1oN  41249  hgmaprnlem4N  41283