Theorem subumgr 27242

Description: A subgraph of a multigraph is a multigraph. (Contributed by AV, 26-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
subumgr	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑆 SubGraph 𝐺) → 𝑆 ∈ UMGraph)

Proof of Theorem subumgr

Dummy variables 𝑥 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘𝑆)
2		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝑆) = (iEdg‘𝑆)
4		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
5		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝑆) = (Edg‘𝑆)
6	1, 2, 3, 4, 5	subgrprop2 27228	. . 3 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → ((Vtx‘𝑆) ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ (iEdg‘𝑆) ⊆ (iEdg‘𝐺) ∧ (Edg‘𝑆) ⊆ 𝒫 (Vtx‘𝑆)))
7		umgruhgr 27061	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
8		subgruhgrfun 27236	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑆 SubGraph 𝐺) → Fun (iEdg‘𝑆))
9	7, 8	sylan 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑆 SubGraph 𝐺) → Fun (iEdg‘𝑆))
10	9	ancoms 462	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) → Fun (iEdg‘𝑆))
11	10	funfnd 6380	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) → (iEdg‘𝑆) Fn dom (iEdg‘𝑆))
12	11	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((((Vtx‘𝑆) ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ (iEdg‘𝑆) ⊆ (iEdg‘𝐺) ∧ (Edg‘𝑆) ⊆ 𝒫 (Vtx‘𝑆)) ∧ (𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph)) → (iEdg‘𝑆) Fn dom (iEdg‘𝑆))
13		simplrl 777	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((Vtx‘𝑆) ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ (iEdg‘𝑆) ⊆ (iEdg‘𝐺) ∧ (Edg‘𝑆) ⊆ 𝒫 (Vtx‘𝑆)) ∧ (𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph)) ∧ 𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝑆)) → 𝑆 SubGraph 𝐺)
14		simplrr 778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((Vtx‘𝑆) ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ (iEdg‘𝑆) ⊆ (iEdg‘𝐺) ∧ (Edg‘𝑆) ⊆ 𝒫 (Vtx‘𝑆)) ∧ (𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph)) ∧ 𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝑆)) → 𝐺 ∈ UMGraph)
15		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((Vtx‘𝑆) ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ (iEdg‘𝑆) ⊆ (iEdg‘𝐺) ∧ (Edg‘𝑆) ⊆ 𝒫 (Vtx‘𝑆)) ∧ (𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph)) ∧ 𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝑆)) → 𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝑆))
16	1, 3	subumgredg2 27239	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝑆)) → ((iEdg‘𝑆)‘𝑥) ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝑆) ∣ (♯‘𝑒) = 2})
17	13, 14, 15, 16	syl3anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ (((((Vtx‘𝑆) ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ (iEdg‘𝑆) ⊆ (iEdg‘𝐺) ∧ (Edg‘𝑆) ⊆ 𝒫 (Vtx‘𝑆)) ∧ (𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph)) ∧ 𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝑆)) → ((iEdg‘𝑆)‘𝑥) ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝑆) ∣ (♯‘𝑒) = 2})
18	17	ralrimiva 3097	. . . . . . 7 ⊢ ((((Vtx‘𝑆) ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ (iEdg‘𝑆) ⊆ (iEdg‘𝐺) ∧ (Edg‘𝑆) ⊆ 𝒫 (Vtx‘𝑆)) ∧ (𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph)) → ∀𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝑆)((iEdg‘𝑆)‘𝑥) ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝑆) ∣ (♯‘𝑒) = 2})
19		fnfvrnss 6906	. . . . . . 7 ⊢ (((iEdg‘𝑆) Fn dom (iEdg‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝑆)((iEdg‘𝑆)‘𝑥) ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝑆) ∣ (♯‘𝑒) = 2}) → ran (iEdg‘𝑆) ⊆ {𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝑆) ∣ (♯‘𝑒) = 2})
20	12, 18, 19	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ ((((Vtx‘𝑆) ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ (iEdg‘𝑆) ⊆ (iEdg‘𝐺) ∧ (Edg‘𝑆) ⊆ 𝒫 (Vtx‘𝑆)) ∧ (𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph)) → ran (iEdg‘𝑆) ⊆ {𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝑆) ∣ (♯‘𝑒) = 2})
21		df-f 6353	. . . . . 6 ⊢ ((iEdg‘𝑆):dom (iEdg‘𝑆)⟶{𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝑆) ∣ (♯‘𝑒) = 2} ↔ ((iEdg‘𝑆) Fn dom (iEdg‘𝑆) ∧ ran (iEdg‘𝑆) ⊆ {𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝑆) ∣ (♯‘𝑒) = 2}))
22	12, 20, 21	sylanbrc 586	. . . . 5 ⊢ ((((Vtx‘𝑆) ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ (iEdg‘𝑆) ⊆ (iEdg‘𝐺) ∧ (Edg‘𝑆) ⊆ 𝒫 (Vtx‘𝑆)) ∧ (𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph)) → (iEdg‘𝑆):dom (iEdg‘𝑆)⟶{𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝑆) ∣ (♯‘𝑒) = 2})
23		subgrv 27224	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V))
24	1, 3	isumgrs 27053	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ V → (𝑆 ∈ UMGraph ↔ (iEdg‘𝑆):dom (iEdg‘𝑆)⟶{𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝑆) ∣ (♯‘𝑒) = 2}))
25	24	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝑆 ∈ UMGraph ↔ (iEdg‘𝑆):dom (iEdg‘𝑆)⟶{𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝑆) ∣ (♯‘𝑒) = 2}))
26	23, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → (𝑆 ∈ UMGraph ↔ (iEdg‘𝑆):dom (iEdg‘𝑆)⟶{𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝑆) ∣ (♯‘𝑒) = 2}))
27	26	ad2antrl 728	. . . . 5 ⊢ ((((Vtx‘𝑆) ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ (iEdg‘𝑆) ⊆ (iEdg‘𝐺) ∧ (Edg‘𝑆) ⊆ 𝒫 (Vtx‘𝑆)) ∧ (𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph)) → (𝑆 ∈ UMGraph ↔ (iEdg‘𝑆):dom (iEdg‘𝑆)⟶{𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝑆) ∣ (♯‘𝑒) = 2}))
28	22, 27	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((((Vtx‘𝑆) ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ (iEdg‘𝑆) ⊆ (iEdg‘𝐺) ∧ (Edg‘𝑆) ⊆ 𝒫 (Vtx‘𝑆)) ∧ (𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph)) → 𝑆 ∈ UMGraph)
29	28	ex 416	. . 3 ⊢ (((Vtx‘𝑆) ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ (iEdg‘𝑆) ⊆ (iEdg‘𝐺) ∧ (Edg‘𝑆) ⊆ 𝒫 (Vtx‘𝑆)) → ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) → 𝑆 ∈ UMGraph))
30	6, 29	syl 17	. 2 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) → 𝑆 ∈ UMGraph))
31	30	anabsi8 672	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑆 SubGraph 𝐺) → 𝑆 ∈ UMGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3054  {crab 3058  Vcvv 3400   ⊆ wss 3853  𝒫 cpw 4498   class class class wbr 5040  dom cdm 5535  ran crn 5536  Fun wfun 6343   Fn wfn 6344  ⟶wf 6345  ‘cfv 6349  2c2 11783  ♯chash 13794  Vtxcvtx 26953  iEdgciedg 26954  Edgcedg 27004  UHGraphcuhgr 27013  UMGraphcumgr 27038   SubGraph csubgr 27221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-pre-mulgt0 10704

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6185  df-on 6186  df-lim 6187  df-suc 6188  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-om 7612  df-1st 7726  df-2nd 7727  df-wrecs 7988  df-recs 8049  df-rdg 8087  df-1o 8143  df-er 8332  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-fin 8571  df-card 9453  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-sub 10962  df-neg 10963  df-nn 11729  df-2 11791  df-n0 11989  df-z 12075  df-uz 12337  df-fz 12994  df-hash 13795  df-edg 27005  df-uhgr 27015  df-upgr 27039  df-umgr 27040  df-subgr 27222

This theorem is referenced by:  umgrspan  27248