MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srgfcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srgfcl 18724
Description: Functionality of the multiplication operation of a ring. (Contributed by Steve Rodriguez, 9-Sep-2007.) (Revised by AV, 24-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
srgfcl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
srgfcl.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
srgfcl ((𝑅 ∈ SRing ∧ · Fn (𝐵 × 𝐵)) → · :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)

Proof of Theorem srgfcl
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 471 . 2 ((𝑅 ∈ SRing ∧ · Fn (𝐵 × 𝐵)) → · Fn (𝐵 × 𝐵))
2 srgfcl.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 srgfcl.t . . . . . . . 8 · = (.r𝑅)
42, 3srgcl 18721 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵)
543expb 1113 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵)
65ralrimivva 3120 . . . . 5 (𝑅 ∈ SRing → ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵)
7 fveq2 6333 . . . . . . . 8 (𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → ( ·𝑐) = ( · ‘⟨𝑎, 𝑏⟩))
87eleq1d 2835 . . . . . . 7 (𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (( ·𝑐) ∈ 𝐵 ↔ ( · ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) ∈ 𝐵))
9 df-ov 6797 . . . . . . . . 9 (𝑎 · 𝑏) = ( · ‘⟨𝑎, 𝑏⟩)
109eqcomi 2780 . . . . . . . 8 ( · ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) = (𝑎 · 𝑏)
1110eleq1i 2841 . . . . . . 7 (( · ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) ∈ 𝐵 ↔ (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵)
128, 11syl6bb 276 . . . . . 6 (𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (( ·𝑐) ∈ 𝐵 ↔ (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵))
1312ralxp 5403 . . . . 5 (∀𝑐 ∈ (𝐵 × 𝐵)( ·𝑐) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵)
146, 13sylibr 224 . . . 4 (𝑅 ∈ SRing → ∀𝑐 ∈ (𝐵 × 𝐵)( ·𝑐) ∈ 𝐵)
1514adantr 466 . . 3 ((𝑅 ∈ SRing ∧ · Fn (𝐵 × 𝐵)) → ∀𝑐 ∈ (𝐵 × 𝐵)( ·𝑐) ∈ 𝐵)
16 fnfvrnss 6533 . . 3 (( · Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∀𝑐 ∈ (𝐵 × 𝐵)( ·𝑐) ∈ 𝐵) → ran ·𝐵)
171, 15, 16syl2anc 567 . 2 ((𝑅 ∈ SRing ∧ · Fn (𝐵 × 𝐵)) → ran ·𝐵)
18 df-f 6036 . 2 ( · :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵 ↔ ( · Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ran ·𝐵))
191, 17, 18sylanbrc 566 1 ((𝑅 ∈ SRing ∧ · Fn (𝐵 × 𝐵)) → · :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wss 3724  cop 4323   × cxp 5248  ran crn 5251   Fn wfn 6027  wf 6028  cfv 6032  (class class class)co 6794  Basecbs 16065  .rcmulr 16151  SRingcsrg 18714
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-cnex 10195  ax-resscn 10196  ax-1cn 10197  ax-icn 10198  ax-addcl 10199  ax-addrcl 10200  ax-mulcl 10201  ax-mulrcl 10202  ax-mulcom 10203  ax-addass 10204  ax-mulass 10205  ax-distr 10206  ax-i2m1 10207  ax-1ne0 10208  ax-1rid 10209  ax-rnegex 10210  ax-rrecex 10211  ax-cnre 10212  ax-pre-lttri 10213  ax-pre-lttrn 10214  ax-pre-ltadd 10215  ax-pre-mulgt0 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5824  df-ord 5870  df-on 5871  df-lim 5872  df-suc 5873  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-riota 6755  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-om 7214  df-wrecs 7560  df-recs 7622  df-rdg 7660  df-er 7897  df-en 8111  df-dom 8112  df-sdom 8113  df-pnf 10279  df-mnf 10280  df-xr 10281  df-ltxr 10282  df-le 10283  df-sub 10471  df-neg 10472  df-nn 11224  df-2 11282  df-ndx 16068  df-slot 16069  df-base 16071  df-sets 16072  df-plusg 16163  df-mgm 17451  df-sgrp 17493  df-mnd 17504  df-mgp 18699  df-srg 18715
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator