MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srgfcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srgfcl 20143
Description: Functionality of the multiplication operation of a ring. (Contributed by Steve Rodriguez, 9-Sep-2007.) (Revised by AV, 24-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
srgfcl.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
srgfcl.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
srgfcl ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ยท Fn (๐ต ร— ๐ต)) โ†’ ยท :(๐ต ร— ๐ต)โŸถ๐ต)

Proof of Theorem srgfcl
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 483 . 2 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ยท Fn (๐ต ร— ๐ต)) โ†’ ยท Fn (๐ต ร— ๐ต))
2 srgfcl.b . . . . . . . 8 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
3 srgfcl.t . . . . . . . 8 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
42, 3srgcl 20140 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โˆˆ ๐ต)
543expb 1117 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โˆˆ ๐ต)
65ralrimivva 3198 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต (๐‘Ž ยท ๐‘) โˆˆ ๐ต)
7 fveq2 6902 . . . . . . . 8 (๐‘ = โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โ†’ ( ยท โ€˜๐‘) = ( ยท โ€˜โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ))
87eleq1d 2814 . . . . . . 7 (๐‘ = โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โ†’ (( ยท โ€˜๐‘) โˆˆ ๐ต โ†” ( ยท โ€˜โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ) โˆˆ ๐ต))
9 df-ov 7429 . . . . . . . . 9 (๐‘Ž ยท ๐‘) = ( ยท โ€˜โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ)
109eqcomi 2737 . . . . . . . 8 ( ยท โ€˜โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ) = (๐‘Ž ยท ๐‘)
1110eleq1i 2820 . . . . . . 7 (( ยท โ€˜โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ) โˆˆ ๐ต โ†” (๐‘Ž ยท ๐‘) โˆˆ ๐ต)
128, 11bitrdi 286 . . . . . 6 (๐‘ = โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โ†’ (( ยท โ€˜๐‘) โˆˆ ๐ต โ†” (๐‘Ž ยท ๐‘) โˆˆ ๐ต))
1312ralxp 5848 . . . . 5 (โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต)( ยท โ€˜๐‘) โˆˆ ๐ต โ†” โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต (๐‘Ž ยท ๐‘) โˆˆ ๐ต)
146, 13sylibr 233 . . . 4 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต)( ยท โ€˜๐‘) โˆˆ ๐ต)
1514adantr 479 . . 3 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ยท Fn (๐ต ร— ๐ต)) โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต)( ยท โ€˜๐‘) โˆˆ ๐ต)
16 fnfvrnss 7136 . . 3 (( ยท Fn (๐ต ร— ๐ต) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต)( ยท โ€˜๐‘) โˆˆ ๐ต) โ†’ ran ยท โІ ๐ต)
171, 15, 16syl2anc 582 . 2 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ยท Fn (๐ต ร— ๐ต)) โ†’ ran ยท โІ ๐ต)
18 df-f 6557 . 2 ( ยท :(๐ต ร— ๐ต)โŸถ๐ต โ†” ( ยท Fn (๐ต ร— ๐ต) โˆง ran ยท โІ ๐ต))
191, 17, 18sylanbrc 581 1 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ยท Fn (๐ต ร— ๐ต)) โ†’ ยท :(๐ต ร— ๐ต)โŸถ๐ต)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3058   โІ wss 3949  โŸจcop 4638   ร— cxp 5680  ran crn 5683   Fn wfn 6548  โŸถwf 6549  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  .rcmulr 17241  SRingcsrg 20133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-plusg 17253  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mgp 20082  df-srg 20134
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator