Theorem srgfcl 19796

Description: Functionality of the multiplication operation of a ring. (Contributed by Steve Rodriguez, 9-Sep-2007.) (Revised by AV, 24-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgfcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
srgfcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
srgfcl	⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ · Fn (𝐵 × 𝐵)) → · :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)

Proof of Theorem srgfcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 486	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ · Fn (𝐵 × 𝐵)) → · Fn (𝐵 × 𝐵))
2		srgfcl.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		srgfcl.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4	2, 3	srgcl 19793	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵)
5	4	3expb 1120	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵)
6	5	ralrimivva 3194	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵)
7		fveq2 6804	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → ( · ‘𝑐) = ( · ‘⟨𝑎, 𝑏⟩))
8	7	eleq1d 2821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (( · ‘𝑐) ∈ 𝐵 ↔ ( · ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) ∈ 𝐵))
9		df-ov 7310	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 · 𝑏) = ( · ‘⟨𝑎, 𝑏⟩)
10	9	eqcomi 2745	. . . . . . . 8 ⊢ ( · ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) = (𝑎 · 𝑏)
11	10	eleq1i 2827	. . . . . . 7 ⊢ (( · ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) ∈ 𝐵 ↔ (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵)
12	8, 11	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (( · ‘𝑐) ∈ 𝐵 ↔ (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵))
13	12	ralxp 5763	. . . . 5 ⊢ (∀𝑐 ∈ (𝐵 × 𝐵)( · ‘𝑐) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵)
14	6, 13	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ∀𝑐 ∈ (𝐵 × 𝐵)( · ‘𝑐) ∈ 𝐵)
15	14	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ · Fn (𝐵 × 𝐵)) → ∀𝑐 ∈ (𝐵 × 𝐵)( · ‘𝑐) ∈ 𝐵)
16		fnfvrnss 7026	. . 3 ⊢ (( · Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∀𝑐 ∈ (𝐵 × 𝐵)( · ‘𝑐) ∈ 𝐵) → ran · ⊆ 𝐵)
17	1, 15, 16	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ · Fn (𝐵 × 𝐵)) → ran · ⊆ 𝐵)
18		df-f 6462	. 2 ⊢ ( · :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵 ↔ ( · Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ran · ⊆ 𝐵))
19	1, 17, 18	sylanbrc 584	1 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ · Fn (𝐵 × 𝐵)) → · :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∀wral 3062   ⊆ wss 3892  ⟨cop 4571   × cxp 5598  ran crn 5601   Fn wfn 6453  ⟶wf 6454  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307  Basecbs 16957  ._rcmulr 17008  SRingcsrg 19786

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-nn 12020  df-2 12082  df-sets 16910  df-slot 16928  df-ndx 16940  df-base 16958  df-plusg 17020  df-mgm 18371  df-sgrp 18420  df-mnd 18431  df-mgp 19766  df-srg 19787

This theorem is referenced by: (None)