Theorem srgfcl 19749

Description: Functionality of the multiplication operation of a ring. (Contributed by Steve Rodriguez, 9-Sep-2007.) (Revised by AV, 24-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgfcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
srgfcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
srgfcl	⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ · Fn (𝐵 × 𝐵)) → · :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)

Proof of Theorem srgfcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 485	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ · Fn (𝐵 × 𝐵)) → · Fn (𝐵 × 𝐵))
2		srgfcl.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		srgfcl.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4	2, 3	srgcl 19746	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵)
5	4	3expb 1119	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵)
6	5	ralrimivva 3117	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵)
7		fveq2 6771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → ( · ‘𝑐) = ( · ‘⟨𝑎, 𝑏⟩))
8	7	eleq1d 2825	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (( · ‘𝑐) ∈ 𝐵 ↔ ( · ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) ∈ 𝐵))
9		df-ov 7274	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 · 𝑏) = ( · ‘⟨𝑎, 𝑏⟩)
10	9	eqcomi 2749	. . . . . . . 8 ⊢ ( · ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) = (𝑎 · 𝑏)
11	10	eleq1i 2831	. . . . . . 7 ⊢ (( · ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) ∈ 𝐵 ↔ (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵)
12	8, 11	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (( · ‘𝑐) ∈ 𝐵 ↔ (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵))
13	12	ralxp 5749	. . . . 5 ⊢ (∀𝑐 ∈ (𝐵 × 𝐵)( · ‘𝑐) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵)
14	6, 13	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ∀𝑐 ∈ (𝐵 × 𝐵)( · ‘𝑐) ∈ 𝐵)
15	14	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ · Fn (𝐵 × 𝐵)) → ∀𝑐 ∈ (𝐵 × 𝐵)( · ‘𝑐) ∈ 𝐵)
16		fnfvrnss 6991	. . 3 ⊢ (( · Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∀𝑐 ∈ (𝐵 × 𝐵)( · ‘𝑐) ∈ 𝐵) → ran · ⊆ 𝐵)
17	1, 15, 16	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ · Fn (𝐵 × 𝐵)) → ran · ⊆ 𝐵)
18		df-f 6436	. 2 ⊢ ( · :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵 ↔ ( · Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ran · ⊆ 𝐵))
19	1, 17, 18	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ · Fn (𝐵 × 𝐵)) → · :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  ∀wral 3066   ⊆ wss 3892  ⟨cop 4573   × cxp 5588  ran crn 5591   Fn wfn 6427  ⟶wf 6428  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271  Basecbs 16910  ._rcmulr 16961  SRingcsrg 19739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-plusg 16973  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-mgp 19719  df-srg 19740

This theorem is referenced by: (None)