![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > srgfcl | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Functionality of the multiplication operation of a ring. (Contributed by Steve Rodriguez, 9-Sep-2007.) (Revised by AV, 24-Aug-2021.) |
Ref | Expression |
---|---|
srgfcl.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ ) |
srgfcl.t | โข ยท = (.rโ๐ ) |
Ref | Expression |
---|---|
srgfcl | โข ((๐ โ SRing โง ยท Fn (๐ต ร ๐ต)) โ ยท :(๐ต ร ๐ต)โถ๐ต) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | simpr 483 | . 2 โข ((๐ โ SRing โง ยท Fn (๐ต ร ๐ต)) โ ยท Fn (๐ต ร ๐ต)) | |
2 | srgfcl.b | . . . . . . . 8 โข ๐ต = (Baseโ๐ ) | |
3 | srgfcl.t | . . . . . . . 8 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
4 | 2, 3 | srgcl 20140 | . . . . . . 7 โข ((๐ โ SRing โง ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท ๐) โ ๐ต) |
5 | 4 | 3expb 1117 | . . . . . 6 โข ((๐ โ SRing โง (๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต)) โ (๐ ยท ๐) โ ๐ต) |
6 | 5 | ralrimivva 3198 | . . . . 5 โข (๐ โ SRing โ โ๐ โ ๐ต โ๐ โ ๐ต (๐ ยท ๐) โ ๐ต) |
7 | fveq2 6902 | . . . . . . . 8 โข (๐ = โจ๐, ๐โฉ โ ( ยท โ๐) = ( ยท โโจ๐, ๐โฉ)) | |
8 | 7 | eleq1d 2814 | . . . . . . 7 โข (๐ = โจ๐, ๐โฉ โ (( ยท โ๐) โ ๐ต โ ( ยท โโจ๐, ๐โฉ) โ ๐ต)) |
9 | df-ov 7429 | . . . . . . . . 9 โข (๐ ยท ๐) = ( ยท โโจ๐, ๐โฉ) | |
10 | 9 | eqcomi 2737 | . . . . . . . 8 โข ( ยท โโจ๐, ๐โฉ) = (๐ ยท ๐) |
11 | 10 | eleq1i 2820 | . . . . . . 7 โข (( ยท โโจ๐, ๐โฉ) โ ๐ต โ (๐ ยท ๐) โ ๐ต) |
12 | 8, 11 | bitrdi 286 | . . . . . 6 โข (๐ = โจ๐, ๐โฉ โ (( ยท โ๐) โ ๐ต โ (๐ ยท ๐) โ ๐ต)) |
13 | 12 | ralxp 5848 | . . . . 5 โข (โ๐ โ (๐ต ร ๐ต)( ยท โ๐) โ ๐ต โ โ๐ โ ๐ต โ๐ โ ๐ต (๐ ยท ๐) โ ๐ต) |
14 | 6, 13 | sylibr 233 | . . . 4 โข (๐ โ SRing โ โ๐ โ (๐ต ร ๐ต)( ยท โ๐) โ ๐ต) |
15 | 14 | adantr 479 | . . 3 โข ((๐ โ SRing โง ยท Fn (๐ต ร ๐ต)) โ โ๐ โ (๐ต ร ๐ต)( ยท โ๐) โ ๐ต) |
16 | fnfvrnss 7136 | . . 3 โข (( ยท Fn (๐ต ร ๐ต) โง โ๐ โ (๐ต ร ๐ต)( ยท โ๐) โ ๐ต) โ ran ยท โ ๐ต) | |
17 | 1, 15, 16 | syl2anc 582 | . 2 โข ((๐ โ SRing โง ยท Fn (๐ต ร ๐ต)) โ ran ยท โ ๐ต) |
18 | df-f 6557 | . 2 โข ( ยท :(๐ต ร ๐ต)โถ๐ต โ ( ยท Fn (๐ต ร ๐ต) โง ran ยท โ ๐ต)) | |
19 | 1, 17, 18 | sylanbrc 581 | 1 โข ((๐ โ SRing โง ยท Fn (๐ต ร ๐ต)) โ ยท :(๐ต ร ๐ต)โถ๐ต) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 394 = wceq 1533 โ wcel 2098 โwral 3058 โ wss 3949 โจcop 4638 ร cxp 5680 ran crn 5683 Fn wfn 6548 โถwf 6549 โcfv 6553 (class class class)co 7426 Basecbs 17187 .rcmulr 17241 SRingcsrg 20133 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2699 ax-sep 5303 ax-nul 5310 ax-pow 5369 ax-pr 5433 ax-un 7746 ax-cnex 11202 ax-resscn 11203 ax-1cn 11204 ax-icn 11205 ax-addcl 11206 ax-addrcl 11207 ax-mulcl 11208 ax-mulrcl 11209 ax-mulcom 11210 ax-addass 11211 ax-mulass 11212 ax-distr 11213 ax-i2m1 11214 ax-1ne0 11215 ax-1rid 11216 ax-rnegex 11217 ax-rrecex 11218 ax-cnre 11219 ax-pre-lttri 11220 ax-pre-lttrn 11221 ax-pre-ltadd 11222 ax-pre-mulgt0 11223 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3475 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4327 df-if 4533 df-pw 4608 df-sn 4633 df-pr 4635 df-op 4639 df-uni 4913 df-iun 5002 df-br 5153 df-opab 5215 df-mpt 5236 df-tr 5270 df-id 5580 df-eprel 5586 df-po 5594 df-so 5595 df-fr 5637 df-we 5639 df-xp 5688 df-rel 5689 df-cnv 5690 df-co 5691 df-dm 5692 df-rn 5693 df-res 5694 df-ima 5695 df-pred 6310 df-ord 6377 df-on 6378 df-lim 6379 df-suc 6380 df-iota 6505 df-fun 6555 df-fn 6556 df-f 6557 df-f1 6558 df-fo 6559 df-f1o 6560 df-fv 6561 df-riota 7382 df-ov 7429 df-oprab 7430 df-mpo 7431 df-om 7877 df-2nd 8000 df-frecs 8293 df-wrecs 8324 df-recs 8398 df-rdg 8437 df-er 8731 df-en 8971 df-dom 8972 df-sdom 8973 df-pnf 11288 df-mnf 11289 df-xr 11290 df-ltxr 11291 df-le 11292 df-sub 11484 df-neg 11485 df-nn 12251 df-2 12313 df-sets 17140 df-slot 17158 df-ndx 17170 df-base 17188 df-plusg 17253 df-mgm 18607 df-sgrp 18686 df-mnd 18702 df-mgp 20082 df-srg 20134 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |