Theorem dihf11lem 42303

Description: Functionality of the isomorphism H. (Contributed by NM, 6-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihf11.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihf11.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihf11.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihf11.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihf11.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dihf11lem	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼:𝐵⟶𝑆)

Proof of Theorem dihf11lem

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑢 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6896	. . . . . . 7 ⊢ (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ∈ V
2		riotaex 7379	. . . . . . 7 ⊢ (℩𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾)((¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑥) → 𝑢 = ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞)(LSSum‘𝑈)(((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥(meet‘𝐾)𝑊))))) ∈ V
3	1, 2	ifex 4533	. . . . . 6 ⊢ if(𝑥(le‘𝐾)𝑊, (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥), (℩𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾)((¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑥) → 𝑢 = ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞)(LSSum‘𝑈)(((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)))))) ∈ V
4	3	rgenw 3081	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐵 if(𝑥(le‘𝐾)𝑊, (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥), (℩𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾)((¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑥) → 𝑢 = ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞)(LSSum‘𝑈)(((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)))))) ∈ V
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 if(𝑥(le‘𝐾)𝑊, (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥), (℩𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾)((¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑥) → 𝑢 = ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞)(LSSum‘𝑈)(((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)))))) ∈ V)
6		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥(le‘𝐾)𝑊, (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥), (℩𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾)((¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑥) → 𝑢 = ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞)(LSSum‘𝑈)(((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥(meet‘𝐾)𝑊))))))) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥(le‘𝐾)𝑊, (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥), (℩𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾)((¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑥) → 𝑢 = ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞)(LSSum‘𝑈)(((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)))))))
7	6	mptfng 6676	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 if(𝑥(le‘𝐾)𝑊, (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥), (℩𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾)((¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑥) → 𝑢 = ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞)(LSSum‘𝑈)(((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)))))) ∈ V ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥(le‘𝐾)𝑊, (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥), (℩𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾)((¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑥) → 𝑢 = ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞)(LSSum‘𝑈)(((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥(meet‘𝐾)𝑊))))))) Fn 𝐵)
8	5, 7	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥(le‘𝐾)𝑊, (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥), (℩𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾)((¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑥) → 𝑢 = ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞)(LSSum‘𝑈)(((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥(meet‘𝐾)𝑊))))))) Fn 𝐵)
9		dihf11.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
10		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
11		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
12		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
13		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
14		dihf11.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
15		dihf11.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
16		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
17		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
18		dihf11.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
19		dihf11.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
20		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
21	9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20	dihfval 42268	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥(le‘𝐾)𝑊, (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥), (℩𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾)((¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑥) → 𝑢 = ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞)(LSSum‘𝑈)(((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥(meet‘𝐾)𝑊))))))))
22	21	fneq1d 6630	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼 Fn 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥(le‘𝐾)𝑊, (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥), (℩𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾)((¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑥) → 𝑢 = ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞)(LSSum‘𝑈)(((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥(meet‘𝐾)𝑊))))))) Fn 𝐵))
23	8, 22	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼 Fn 𝐵)
24	9, 14, 15, 18, 19	dihlss 42287	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑦) ∈ 𝑆)
25	24	ralrimiva 3155	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐼‘𝑦) ∈ 𝑆)
26		fnfvrnss 7119	. . 3 ⊢ ((𝐼 Fn 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐼‘𝑦) ∈ 𝑆) → ran 𝐼 ⊆ 𝑆)
27	23, 25, 26	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ran 𝐼 ⊆ 𝑆)
28		df-f 6541	. 2 ⊢ (𝐼:𝐵⟶𝑆 ↔ (𝐼 Fn 𝐵 ∧ ran 𝐼 ⊆ 𝑆))
29	23, 27, 28	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼:𝐵⟶𝑆)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899  ifcif 4482   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ran crn 5652   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  ℩crio 7374  (class class class)co 7418  Basecbs 17380  lecple 17428  joincjn 18478  meetcmee 18479  LSSumclsm 19841  LSubSpclss 21199  Atomscatm 40300  HLchlt 40387  LHypclh 41021  DVecHcdvh 42115  DIsoBcdib 42175  DIsoCcdic 42209  DIsoHcdih 42265

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-riotaBAD 39990

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8236  df-undef 8283  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-map 8842  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-0g 17605  df-proset 18461  df-poset 18480  df-plt 18495  df-lub 18511  df-glb 18512  df-join 18513  df-meet 18514  df-p0 18590  df-p1 18591  df-lat 18599  df-clat 18666  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-submnd 18972  df-grp 19140  df-minusg 19141  df-sbg 19142  df-subg 19326  df-cntz 19524  df-lsm 19843  df-cmn 19989  df-abl 19990  df-mgp 20354  df-rng 20368  df-ur 20401  df-ring 20454  df-oppr 20560  df-dvdsr 20580  df-unit 20581  df-invr 20611  df-dvr 20624  df-drng 20975  df-lmod 21130  df-lss 21200  df-lsp 21240  df-lvec 21371  df-oposet 40213  df-ol 40215  df-oml 40216  df-covers 40303  df-ats 40304  df-atl 40335  df-cvlat 40359  df-hlat 40388  df-llines 40535  df-lplanes 40536  df-lvols 40537  df-lines 40538  df-psubsp 40540  df-pmap 40541  df-padd 40833  df-lhyp 41025  df-laut 41026  df-ldil 41141  df-ltrn 41142  df-trl 41196  df-tendo 41792  df-edring 41794  df-disoa 42066  df-dvech 42116  df-dib 42176  df-dic 42210  df-dih 42266

This theorem is used by:  dihf11  42304