Theorem dihf11lem 42417

Description: Functionality of the isomorphism H. (Contributed by NM, 6-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihf11.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihf11.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihf11.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihf11.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihf11.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dihf11lem	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼:𝐵⟶𝑆)

Proof of Theorem dihf11lem

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑢 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6899	. . . . . . 7 ⊢ (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ∈ V
2		riotaex 7382	. . . . . . 7 ⊢ (℩𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾)((¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑥) → 𝑢 = ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞)(LSSum‘𝑈)(((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥(meet‘𝐾)𝑊))))) ∈ V
3	1, 2	ifex 4532	. . . . . 6 ⊢ if(𝑥(le‘𝐾)𝑊, (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥), (℩𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾)((¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑥) → 𝑢 = ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞)(LSSum‘𝑈)(((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)))))) ∈ V
4	3	rgenw 3080	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐵 if(𝑥(le‘𝐾)𝑊, (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥), (℩𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾)((¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑥) → 𝑢 = ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞)(LSSum‘𝑈)(((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)))))) ∈ V
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 if(𝑥(le‘𝐾)𝑊, (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥), (℩𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾)((¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑥) → 𝑢 = ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞)(LSSum‘𝑈)(((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)))))) ∈ V)
6		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥(le‘𝐾)𝑊, (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥), (℩𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾)((¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑥) → 𝑢 = ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞)(LSSum‘𝑈)(((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥(meet‘𝐾)𝑊))))))) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥(le‘𝐾)𝑊, (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥), (℩𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾)((¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑥) → 𝑢 = ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞)(LSSum‘𝑈)(((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)))))))
7	6	mptfng 6679	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 if(𝑥(le‘𝐾)𝑊, (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥), (℩𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾)((¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑥) → 𝑢 = ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞)(LSSum‘𝑈)(((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)))))) ∈ V ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥(le‘𝐾)𝑊, (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥), (℩𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾)((¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑥) → 𝑢 = ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞)(LSSum‘𝑈)(((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥(meet‘𝐾)𝑊))))))) Fn 𝐵)
8	5, 7	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥(le‘𝐾)𝑊, (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥), (℩𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾)((¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑥) → 𝑢 = ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞)(LSSum‘𝑈)(((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥(meet‘𝐾)𝑊))))))) Fn 𝐵)
9		dihf11.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
10		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
11		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
12		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
13		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
14		dihf11.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
15		dihf11.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
16		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
17		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
18		dihf11.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
19		dihf11.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
20		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
21	9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20	dihfval 42382	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥(le‘𝐾)𝑊, (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥), (℩𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾)((¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑥) → 𝑢 = ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞)(LSSum‘𝑈)(((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥(meet‘𝐾)𝑊))))))))
22	21	fneq1d 6633	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼 Fn 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥(le‘𝐾)𝑊, (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥), (℩𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾)((¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑥) → 𝑢 = ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞)(LSSum‘𝑈)(((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥(meet‘𝐾)𝑊))))))) Fn 𝐵))
23	8, 22	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼 Fn 𝐵)
24	9, 14, 15, 18, 19	dihlss 42401	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑦) ∈ 𝑆)
25	24	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐼‘𝑦) ∈ 𝑆)
26		fnfvrnss 7122	. . 3 ⊢ ((𝐼 Fn 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐼‘𝑦) ∈ 𝑆) → ran 𝐼 ⊆ 𝑆)
27	23, 25, 26	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ran 𝐼 ⊆ 𝑆)
28		df-f 6543	. 2 ⊢ (𝐼:𝐵⟶𝑆 ↔ (𝐼 Fn 𝐵 ∧ ran 𝐼 ⊆ 𝑆))
29	23, 27, 28	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼:𝐵⟶𝑆)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895  ifcif 4481   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ran crn 5651   Fn wfn 6534  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  ℩crio 7377  (class class class)co 7421  Basecbs 17393  lecple 17441  joincjn 18491  meetcmee 18492  LSSumclsm 19854  LSubSpclss 21212  Atomscatm 40414  HLchlt 40501  LHypclh 41135  DVecHcdvh 42229  DIsoBcdib 42289  DIsoCcdic 42323  DIsoHcdih 42379

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-riotaBAD 40104

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-tpos 8247  df-undef 8294  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-map 8853  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-fz 13644  df-struct 17331  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-sca 17450  df-vsca 17451  df-0g 17618  df-proset 18474  df-poset 18493  df-plt 18508  df-lub 18524  df-glb 18525  df-join 18526  df-meet 18527  df-p0 18603  df-p1 18604  df-lat 18612  df-clat 18679  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-submnd 18985  df-grp 19153  df-minusg 19154  df-sbg 19155  df-subg 19339  df-cntz 19537  df-lsm 19856  df-cmn 20002  df-abl 20003  df-mgp 20367  df-rng 20381  df-ur 20414  df-ring 20467  df-oppr 20573  df-dvdsr 20593  df-unit 20594  df-invr 20624  df-dvr 20637  df-drng 20988  df-lmod 21143  df-lss 21213  df-lsp 21253  df-lvec 21384  df-oposet 40327  df-ol 40329  df-oml 40330  df-covers 40417  df-ats 40418  df-atl 40449  df-cvlat 40473  df-hlat 40502  df-llines 40649  df-lplanes 40650  df-lvols 40651  df-lines 40652  df-psubsp 40654  df-pmap 40655  df-padd 40947  df-lhyp 41139  df-laut 41140  df-ldil 41255  df-ltrn 41256  df-trl 41310  df-tendo 41906  df-edring 41908  df-disoa 42180  df-dvech 42230  df-dib 42290  df-dic 42324  df-dih 42380

This theorem is used by:  dihf11  42418