Theorem dihf11lem 41438

Description: Functionality of the isomorphism H. (Contributed by NM, 6-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihf11.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihf11.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihf11.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihf11.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihf11.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dihf11lem	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼:𝐵⟶𝑆)

Proof of Theorem dihf11lem

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑢 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6844	. . . . . . 7 ⊢ (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ∈ V
2		riotaex 7316	. . . . . . 7 ⊢ (℩𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾)((¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑥) → 𝑢 = ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞)(LSSum‘𝑈)(((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥(meet‘𝐾)𝑊))))) ∈ V
3	1, 2	ifex 4527	. . . . . 6 ⊢ if(𝑥(le‘𝐾)𝑊, (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥), (℩𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾)((¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑥) → 𝑢 = ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞)(LSSum‘𝑈)(((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)))))) ∈ V
4	3	rgenw 3052	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐵 if(𝑥(le‘𝐾)𝑊, (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥), (℩𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾)((¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑥) → 𝑢 = ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞)(LSSum‘𝑈)(((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)))))) ∈ V
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 if(𝑥(le‘𝐾)𝑊, (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥), (℩𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾)((¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑥) → 𝑢 = ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞)(LSSum‘𝑈)(((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)))))) ∈ V)
6		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥(le‘𝐾)𝑊, (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥), (℩𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾)((¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑥) → 𝑢 = ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞)(LSSum‘𝑈)(((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥(meet‘𝐾)𝑊))))))) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥(le‘𝐾)𝑊, (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥), (℩𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾)((¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑥) → 𝑢 = ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞)(LSSum‘𝑈)(((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)))))))
7	6	mptfng 6628	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 if(𝑥(le‘𝐾)𝑊, (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥), (℩𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾)((¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑥) → 𝑢 = ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞)(LSSum‘𝑈)(((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)))))) ∈ V ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥(le‘𝐾)𝑊, (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥), (℩𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾)((¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑥) → 𝑢 = ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞)(LSSum‘𝑈)(((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥(meet‘𝐾)𝑊))))))) Fn 𝐵)
8	5, 7	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥(le‘𝐾)𝑊, (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥), (℩𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾)((¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑥) → 𝑢 = ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞)(LSSum‘𝑈)(((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥(meet‘𝐾)𝑊))))))) Fn 𝐵)
9		dihf11.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
10		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
11		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
12		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
13		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
14		dihf11.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
15		dihf11.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
16		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
17		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
18		dihf11.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
19		dihf11.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
20		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
21	9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20	dihfval 41403	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥(le‘𝐾)𝑊, (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥), (℩𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾)((¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑥) → 𝑢 = ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞)(LSSum‘𝑈)(((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥(meet‘𝐾)𝑊))))))))
22	21	fneq1d 6582	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼 Fn 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥(le‘𝐾)𝑊, (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥), (℩𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾)((¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑥) → 𝑢 = ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞)(LSSum‘𝑈)(((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥(meet‘𝐾)𝑊))))))) Fn 𝐵))
23	8, 22	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼 Fn 𝐵)
24	9, 14, 15, 18, 19	dihlss 41422	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑦) ∈ 𝑆)
25	24	ralrimiva 3125	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐼‘𝑦) ∈ 𝑆)
26		fnfvrnss 7063	. . 3 ⊢ ((𝐼 Fn 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐼‘𝑦) ∈ 𝑆) → ran 𝐼 ⊆ 𝑆)
27	23, 25, 26	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ran 𝐼 ⊆ 𝑆)
28		df-f 6493	. 2 ⊢ (𝐼:𝐵⟶𝑆 ↔ (𝐼 Fn 𝐵 ∧ ran 𝐼 ⊆ 𝑆))
29	23, 27, 28	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼:𝐵⟶𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048  Vcvv 3437   ⊆ wss 3898  ifcif 4476   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  ran crn 5622   Fn wfn 6484  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  ℩crio 7311  (class class class)co 7355  Basecbs 17127  lecple 17175  joincjn 18225  meetcmee 18226  LSSumclsm 19554  LSubSpclss 20873  Atomscatm 39435  HLchlt 39522  LHypclh 40156  DVecHcdvh 41250  DIsoBcdib 41310  DIsoCcdic 41344  DIsoHcdih 41400

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-riotaBAD 39125

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-tpos 8165  df-undef 8212  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-map 8761  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-n0 12393  df-z 12480  df-uz 12743  df-fz 13415  df-struct 17065  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ress 17149  df-plusg 17181  df-mulr 17182  df-sca 17184  df-vsca 17185  df-0g 17352  df-proset 18208  df-poset 18227  df-plt 18242  df-lub 18258  df-glb 18259  df-join 18260  df-meet 18261  df-p0 18337  df-p1 18338  df-lat 18346  df-clat 18413  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-submnd 18700  df-grp 18857  df-minusg 18858  df-sbg 18859  df-subg 19044  df-cntz 19237  df-lsm 19556  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20067  df-rng 20079  df-ur 20108  df-ring 20161  df-oppr 20264  df-dvdsr 20284  df-unit 20285  df-invr 20315  df-dvr 20328  df-drng 20655  df-lmod 20804  df-lss 20874  df-lsp 20914  df-lvec 21046  df-oposet 39348  df-ol 39350  df-oml 39351  df-covers 39438  df-ats 39439  df-atl 39470  df-cvlat 39494  df-hlat 39523  df-llines 39670  df-lplanes 39671  df-lvols 39672  df-lines 39673  df-psubsp 39675  df-pmap 39676  df-padd 39968  df-lhyp 40160  df-laut 40161  df-ldil 40276  df-ltrn 40277  df-trl 40331  df-tendo 40927  df-edring 40929  df-disoa 41201  df-dvech 41251  df-dib 41311  df-dic 41345  df-dih 41401

This theorem is referenced by:  dihf11  41439