Theorem dihf11lem 39480

Description: Functionality of the isomorphism H. (Contributed by NM, 6-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihf11.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihf11.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihf11.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihf11.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihf11.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dihf11lem	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼:𝐵⟶𝑆)

Proof of Theorem dihf11lem

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑢 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6817	. . . . . . 7 ⊢ (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥) ∈ V
2		riotaex 7268	. . . . . . 7 ⊢ (℩𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾)((¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑥) → 𝑢 = ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞)(LSSum‘𝑈)(((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥(meet‘𝐾)𝑊))))) ∈ V
3	1, 2	ifex 4515	. . . . . 6 ⊢ if(𝑥(le‘𝐾)𝑊, (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥), (℩𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾)((¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑥) → 𝑢 = ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞)(LSSum‘𝑈)(((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)))))) ∈ V
4	3	rgenw 3066	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐵 if(𝑥(le‘𝐾)𝑊, (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥), (℩𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾)((¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑥) → 𝑢 = ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞)(LSSum‘𝑈)(((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)))))) ∈ V
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 if(𝑥(le‘𝐾)𝑊, (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥), (℩𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾)((¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑥) → 𝑢 = ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞)(LSSum‘𝑈)(((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)))))) ∈ V)
6		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥(le‘𝐾)𝑊, (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥), (℩𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾)((¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑥) → 𝑢 = ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞)(LSSum‘𝑈)(((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥(meet‘𝐾)𝑊))))))) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥(le‘𝐾)𝑊, (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥), (℩𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾)((¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑥) → 𝑢 = ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞)(LSSum‘𝑈)(((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)))))))
7	6	mptfng 6602	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 if(𝑥(le‘𝐾)𝑊, (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥), (℩𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾)((¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑥) → 𝑢 = ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞)(LSSum‘𝑈)(((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)))))) ∈ V ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥(le‘𝐾)𝑊, (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥), (℩𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾)((¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑥) → 𝑢 = ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞)(LSSum‘𝑈)(((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥(meet‘𝐾)𝑊))))))) Fn 𝐵)
8	5, 7	sylib 217	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥(le‘𝐾)𝑊, (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥), (℩𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾)((¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑥) → 𝑢 = ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞)(LSSum‘𝑈)(((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥(meet‘𝐾)𝑊))))))) Fn 𝐵)
9		dihf11.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
10		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
11		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
12		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
13		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
14		dihf11.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
15		dihf11.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
16		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
17		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
18		dihf11.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
19		dihf11.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
20		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
21	9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20	dihfval 39445	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥(le‘𝐾)𝑊, (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥), (℩𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾)((¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑥) → 𝑢 = ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞)(LSSum‘𝑈)(((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥(meet‘𝐾)𝑊))))))))
22	21	fneq1d 6557	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼 Fn 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥(le‘𝐾)𝑊, (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥), (℩𝑢 ∈ 𝑆 ∀𝑞 ∈ (Atoms‘𝐾)((¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑥(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑥) → 𝑢 = ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞)(LSSum‘𝑈)(((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥(meet‘𝐾)𝑊))))))) Fn 𝐵))
23	8, 22	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼 Fn 𝐵)
24	9, 14, 15, 18, 19	dihlss 39464	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑦) ∈ 𝑆)
25	24	ralrimiva 3140	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐼‘𝑦) ∈ 𝑆)
26		fnfvrnss 7026	. . 3 ⊢ ((𝐼 Fn 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐼‘𝑦) ∈ 𝑆) → ran 𝐼 ⊆ 𝑆)
27	23, 25, 26	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ran 𝐼 ⊆ 𝑆)
28		df-f 6462	. 2 ⊢ (𝐼:𝐵⟶𝑆 ↔ (𝐼 Fn 𝐵 ∧ ran 𝐼 ⊆ 𝑆))
29	23, 27, 28	sylanbrc 584	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼:𝐵⟶𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∀wral 3062  Vcvv 3437   ⊆ wss 3892  ifcif 4465   class class class wbr 5081   ↦ cmpt 5164  ran crn 5601   Fn wfn 6453  ⟶wf 6454  ‘cfv 6458  ℩crio 7263  (class class class)co 7307  Basecbs 16961  lecple 17018  joincjn 18078  meetcmee 18079  LSSumclsm 19288  LSubSpclss 20242  Atomscatm 37477  HLchlt 37564  LHypclh 38198  DVecHcdvh 39292  DIsoBcdib 39352  DIsoCcdic 39386  DIsoHcdih 39442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998  ax-riotaBAD 37167

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3304  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-iin 4934  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-tpos 8073  df-undef 8120  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-er 8529  df-map 8648  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-nn 12024  df-2 12086  df-3 12087  df-4 12088  df-5 12089  df-6 12090  df-n0 12284  df-z 12370  df-uz 12633  df-fz 13290  df-struct 16897  df-sets 16914  df-slot 16932  df-ndx 16944  df-base 16962  df-ress 16991  df-plusg 17024  df-mulr 17025  df-sca 17027  df-vsca 17028  df-0g 17201  df-proset 18062  df-poset 18080  df-plt 18097  df-lub 18113  df-glb 18114  df-join 18115  df-meet 18116  df-p0 18192  df-p1 18193  df-lat 18199  df-clat 18266  df-mgm 18375  df-sgrp 18424  df-mnd 18435  df-submnd 18480  df-grp 18629  df-minusg 18630  df-sbg 18631  df-subg 18801  df-cntz 18972  df-lsm 19290  df-cmn 19437  df-abl 19438  df-mgp 19770  df-ur 19787  df-ring 19834  df-oppr 19911  df-dvdsr 19932  df-unit 19933  df-invr 19963  df-dvr 19974  df-drng 20042  df-lmod 20174  df-lss 20243  df-lsp 20283  df-lvec 20414  df-oposet 37390  df-ol 37392  df-oml 37393  df-covers 37480  df-ats 37481  df-atl 37512  df-cvlat 37536  df-hlat 37565  df-llines 37712  df-lplanes 37713  df-lvols 37714  df-lines 37715  df-psubsp 37717  df-pmap 37718  df-padd 38010  df-lhyp 38202  df-laut 38203  df-ldil 38318  df-ltrn 38319  df-trl 38373  df-tendo 38969  df-edring 38971  df-disoa 39243  df-dvech 39293  df-dib 39353  df-dic 39387  df-dih 39443

This theorem is referenced by:  dihf11  39481