Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hgmaprnN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hgmaprnN 39102
Description: Part of proof of part 16 in [Baer] p. 50 line 23, Fs=G, except that we use the original vector space scalars for the range. (Contributed by NM, 7-Jun-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hgmaprn.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hgmaprn.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hgmaprn.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hgmaprn.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
hgmaprn.g 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmaprn.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
Assertion
Ref Expression
hgmaprnN (𝜑 → ran 𝐺 = 𝐵)

Proof of Theorem hgmaprnN
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hgmaprn.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hgmaprn.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 hgmaprn.r . . . . 5 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
4 hgmaprn.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
5 hgmaprn.g . . . . 5 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
6 hgmaprn.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
71, 2, 3, 4, 5, 6hgmapfnN 39089 . . . 4 (𝜑𝐺 Fn 𝐵)
8 eqid 2824 . . . . . 6 ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
9 eqid 2824 . . . . . 6 (Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
10 eqid 2824 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) = (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
116adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
12 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝑧𝐵)
131, 2, 3, 4, 8, 9, 10, 5, 11, 12hgmapdcl 39091 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝐺𝑧) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
1413ralrimiva 3176 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑧𝐵 (𝐺𝑧) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
15 fnfvrnss 6867 . . . 4 ((𝐺 Fn 𝐵 ∧ ∀𝑧𝐵 (𝐺𝑧) ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))) → ran 𝐺 ⊆ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
167, 14, 15syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → ran 𝐺 ⊆ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
17 eqid 2824 . . . 4 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
18 eqid 2824 . . . 4 ( ·𝑠𝑈) = ( ·𝑠𝑈)
19 eqid 2824 . . . 4 (0g𝑈) = (0g𝑈)
20 eqid 2824 . . . 4 (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
21 eqid 2824 . . . 4 ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
22 eqid 2824 . . . 4 (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
23 eqid 2824 . . . 4 ((HDMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
246adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
25 simpr 488 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))) → 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
261, 2, 17, 3, 4, 18, 19, 8, 20, 9, 10, 21, 22, 23, 5, 24, 25hgmaprnlem5N 39101 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))) → 𝑧 ∈ ran 𝐺)
2716, 26eqelssd 3972 . 2 (𝜑 → ran 𝐺 = (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
281, 2, 3, 4, 8, 9, 10, 6lcdsbase 38801 . 2 (𝜑 → (Base‘(Scalar‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) = 𝐵)
2927, 28eqtrd 2859 1 (𝜑 → ran 𝐺 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3132  wss 3918  ran crn 5539   Fn wfn 6333  cfv 6338  Basecbs 16474  Scalarcsca 16559   ·𝑠 cvsca 16560  0gc0g 16704  HLchlt 36551  LHypclh 37185  DVecHcdvh 38279  LCDualclcd 38787  HDMapchdma 38993  HGMapchg 39084
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5173  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446  ax-cnex 10580  ax-resscn 10581  ax-1cn 10582  ax-icn 10583  ax-addcl 10584  ax-addrcl 10585  ax-mulcl 10586  ax-mulrcl 10587  ax-mulcom 10588  ax-addass 10589  ax-mulass 10590  ax-distr 10591  ax-i2m1 10592  ax-1ne0 10593  ax-1rid 10594  ax-rnegex 10595  ax-rrecex 10596  ax-cnre 10597  ax-pre-lttri 10598  ax-pre-lttrn 10599  ax-pre-ltadd 10600  ax-pre-mulgt0 10601  ax-riotaBAD 36154
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-ot 4557  df-uni 4822  df-int 4860  df-iun 4904  df-iin 4905  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-tr 5156  df-id 5443  df-eprel 5448  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5497  df-we 5499  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-tpos 7877  df-undef 7924  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-oadd 8091  df-er 8274  df-map 8393  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-pnf 10664  df-mnf 10665  df-xr 10666  df-ltxr 10667  df-le 10668  df-sub 10859  df-neg 10860  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-0g 16706  df-mre 16848  df-mrc 16849  df-acs 16851  df-proset 17529  df-poset 17547  df-plt 17559  df-lub 17575  df-glb 17576  df-join 17577  df-meet 17578  df-p0 17640  df-p1 17641  df-lat 17647  df-clat 17709  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17948  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-subg 18267  df-cntz 18438  df-oppg 18465  df-lsm 18752  df-cmn 18899  df-abl 18900  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-oppr 19364  df-dvdsr 19382  df-unit 19383  df-invr 19413  df-dvr 19424  df-drng 19492  df-lmod 19624  df-lss 19692  df-lsp 19732  df-lvec 19863  df-lsatoms 36177  df-lshyp 36178  df-lcv 36220  df-lfl 36259  df-lkr 36287  df-ldual 36325  df-oposet 36377  df-ol 36379  df-oml 36380  df-covers 36467  df-ats 36468  df-atl 36499  df-cvlat 36523  df-hlat 36552  df-llines 36699  df-lplanes 36700  df-lvols 36701  df-lines 36702  df-psubsp 36704  df-pmap 36705  df-padd 36997  df-lhyp 37189  df-laut 37190  df-ldil 37305  df-ltrn 37306  df-trl 37360  df-tgrp 37944  df-tendo 37956  df-edring 37958  df-dveca 38204  df-disoa 38230  df-dvech 38280  df-dib 38340  df-dic 38374  df-dih 38430  df-doch 38549  df-djh 38596  df-lcdual 38788  df-mapd 38826  df-hvmap 38958  df-hdmap1 38994  df-hdmap 38995  df-hgmap 39085
This theorem is referenced by:  hgmapf1oN  39104
  Copyright terms: Public domain W3C validator