Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hgmaprnN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hgmaprnN 41414
Description: Part of proof of part 16 in [Baer] p. 50 line 23, Fs=G, except that we use the original vector space scalars for the range. (Contributed by NM, 7-Jun-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hgmaprn.h ๐ป = (LHypโ€˜๐พ)
hgmaprn.u ๐‘ˆ = ((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š)
hgmaprn.r ๐‘… = (Scalarโ€˜๐‘ˆ)
hgmaprn.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
hgmaprn.g ๐บ = ((HGMapโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š)
hgmaprn.k (๐œ‘ โ†’ (๐พ โˆˆ HL โˆง ๐‘Š โˆˆ ๐ป))
Assertion
Ref Expression
hgmaprnN (๐œ‘ โ†’ ran ๐บ = ๐ต)

Proof of Theorem hgmaprnN
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hgmaprn.h . . . . 5 ๐ป = (LHypโ€˜๐พ)
2 hgmaprn.u . . . . 5 ๐‘ˆ = ((DVecHโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š)
3 hgmaprn.r . . . . 5 ๐‘… = (Scalarโ€˜๐‘ˆ)
4 hgmaprn.b . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
5 hgmaprn.g . . . . 5 ๐บ = ((HGMapโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š)
6 hgmaprn.k . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โˆˆ HL โˆง ๐‘Š โˆˆ ๐ป))
71, 2, 3, 4, 5, 6hgmapfnN 41401 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐บ Fn ๐ต)
8 eqid 2728 . . . . . 6 ((LCDualโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š) = ((LCDualโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š)
9 eqid 2728 . . . . . 6 (Scalarโ€˜((LCDualโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š)) = (Scalarโ€˜((LCDualโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š))
10 eqid 2728 . . . . . 6 (Baseโ€˜(Scalarโ€˜((LCDualโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š))) = (Baseโ€˜(Scalarโ€˜((LCDualโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š)))
116adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐พ โˆˆ HL โˆง ๐‘Š โˆˆ ๐ป))
12 simpr 483 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ง โˆˆ ๐ต)
131, 2, 3, 4, 8, 9, 10, 5, 11, 12hgmapdcl 41403 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ง) โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜((LCDualโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š))))
1413ralrimiva 3143 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐บโ€˜๐‘ง) โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜((LCDualโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š))))
15 fnfvrnss 7136 . . . 4 ((๐บ Fn ๐ต โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐บโ€˜๐‘ง) โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜((LCDualโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š)))) โ†’ ran ๐บ โІ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜((LCDualโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š))))
167, 14, 15syl2anc 582 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ran ๐บ โІ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜((LCDualโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š))))
17 eqid 2728 . . . 4 (Baseโ€˜๐‘ˆ) = (Baseโ€˜๐‘ˆ)
18 eqid 2728 . . . 4 ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ˆ) = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ˆ)
19 eqid 2728 . . . 4 (0gโ€˜๐‘ˆ) = (0gโ€˜๐‘ˆ)
20 eqid 2728 . . . 4 (Baseโ€˜((LCDualโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š)) = (Baseโ€˜((LCDualโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š))
21 eqid 2728 . . . 4 ( ยท๐‘  โ€˜((LCDualโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š)) = ( ยท๐‘  โ€˜((LCDualโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š))
22 eqid 2728 . . . 4 (0gโ€˜((LCDualโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š)) = (0gโ€˜((LCDualโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š))
23 eqid 2728 . . . 4 ((HDMapโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š) = ((HDMapโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š)
246adantr 479 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜((LCDualโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š)))) โ†’ (๐พ โˆˆ HL โˆง ๐‘Š โˆˆ ๐ป))
25 simpr 483 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜((LCDualโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š)))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜((LCDualโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š))))
261, 2, 17, 3, 4, 18, 19, 8, 20, 9, 10, 21, 22, 23, 5, 24, 25hgmaprnlem5N 41413 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜((LCDualโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š)))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ ran ๐บ)
2716, 26eqelssd 4003 . 2 (๐œ‘ โ†’ ran ๐บ = (Baseโ€˜(Scalarโ€˜((LCDualโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š))))
281, 2, 3, 4, 8, 9, 10, 6lcdsbase 41113 . 2 (๐œ‘ โ†’ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜((LCDualโ€˜๐พ)โ€˜๐‘Š))) = ๐ต)
2927, 28eqtrd 2768 1 (๐œ‘ โ†’ ran ๐บ = ๐ต)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3058   โІ wss 3949  ran crn 5683   Fn wfn 6548  โ€˜cfv 6553  Basecbs 17189  Scalarcsca 17245   ยท๐‘  cvsca 17246  0gc0g 17430  HLchlt 38862  LHypclh 39497  DVecHcdvh 40591  LCDualclcd 41099  HDMapchdma 41305  HGMapchg 41396
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-riotaBAD 38465
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-ot 4641  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8240  df-undef 8287  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-fz 13527  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-0g 17432  df-mre 17575  df-mrc 17576  df-acs 17578  df-proset 18296  df-poset 18314  df-plt 18331  df-lub 18347  df-glb 18348  df-join 18349  df-meet 18350  df-p0 18426  df-p1 18427  df-lat 18433  df-clat 18500  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-submnd 18750  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-subg 19092  df-cntz 19282  df-oppg 19311  df-lsm 19605  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-ring 20189  df-oppr 20287  df-dvdsr 20310  df-unit 20311  df-invr 20341  df-dvr 20354  df-drng 20640  df-lmod 20759  df-lss 20830  df-lsp 20870  df-lvec 21002  df-lsatoms 38488  df-lshyp 38489  df-lcv 38531  df-lfl 38570  df-lkr 38598  df-ldual 38636  df-oposet 38688  df-ol 38690  df-oml 38691  df-covers 38778  df-ats 38779  df-atl 38810  df-cvlat 38834  df-hlat 38863  df-llines 39011  df-lplanes 39012  df-lvols 39013  df-lines 39014  df-psubsp 39016  df-pmap 39017  df-padd 39309  df-lhyp 39501  df-laut 39502  df-ldil 39617  df-ltrn 39618  df-trl 39672  df-tgrp 40256  df-tendo 40268  df-edring 40270  df-dveca 40516  df-disoa 40542  df-dvech 40592  df-dib 40652  df-dic 40686  df-dih 40742  df-doch 40861  df-djh 40908  df-lcdual 41100  df-mapd 41138  df-hvmap 41270  df-hdmap1 41306  df-hdmap 41307  df-hgmap 41397
This theorem is referenced by:  hgmapf1oN  41416
  Copyright terms: Public domain W3C validator