MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gcd0val Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gcd0val 16534
Description: The value, by convention, of the gcd operator when both operands are 0. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
gcd0val (0 gcd 0) = 0

Proof of Theorem gcd0val
StepHypRef Expression
1 0z 12624 . . 3 0 ∈ ℤ
2 gcdval 16533 . . 3 ((0 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 gcd 0) = if((0 = 0 ∧ 0 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 0 ∧ 𝑛 ∥ 0)}, ℝ, < )))
31, 1, 2mp2an 692 . 2 (0 gcd 0) = if((0 = 0 ∧ 0 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 0 ∧ 𝑛 ∥ 0)}, ℝ, < ))
4 eqid 2737 . . 3 0 = 0
5 iftrue 4531 . . 3 ((0 = 0 ∧ 0 = 0) → if((0 = 0 ∧ 0 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 0 ∧ 𝑛 ∥ 0)}, ℝ, < )) = 0)
64, 4, 5mp2an 692 . 2 if((0 = 0 ∧ 0 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 0 ∧ 𝑛 ∥ 0)}, ℝ, < )) = 0
73, 6eqtri 2765 1 (0 gcd 0) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  {crab 3436  ifcif 4525   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  supcsup 9480  cr 11154  0cc0 11155   < clt 11295  cz 12613  cdvds 16290   gcd cgcd 16531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-i2m1 11223  ax-rnegex 11226  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-neg 11495  df-z 12614  df-gcd 16532
This theorem is referenced by:  gcddvds  16540  gcdcl  16543  gcdeq0  16554  gcd0id  16556  bezout  16580  mulgcd  16585  nn0rppwr  16598  nn0expgcd  16601  nn0gcdsq  16789
  Copyright terms: Public domain W3C validator