Theorem gcd0val 16445

Description: The value, by convention, of the gcd operator when both operands are 0. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
gcd0val	⊢ (0 gcd 0) = 0

Proof of Theorem gcd0val

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12576	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		gcdval 16444	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 gcd 0) = if((0 = 0 ∧ 0 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 0 ∧ 𝑛 ∥ 0)}, ℝ, < )))
3	1, 1, 2	mp2an 689	. 2 ⊢ (0 gcd 0) = if((0 = 0 ∧ 0 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 0 ∧ 𝑛 ∥ 0)}, ℝ, < ))
4		eqid 2731	. . 3 ⊢ 0 = 0
5		iftrue 4534	. . 3 ⊢ ((0 = 0 ∧ 0 = 0) → if((0 = 0 ∧ 0 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 0 ∧ 𝑛 ∥ 0)}, ℝ, < )) = 0)
6	4, 4, 5	mp2an 689	. 2 ⊢ if((0 = 0 ∧ 0 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 0 ∧ 𝑛 ∥ 0)}, ℝ, < )) = 0
7	3, 6	eqtri 2759	1 ⊢ (0 gcd 0) = 0

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {crab 3431  ifcif 4528   class class class wbr 5148  (class class class)co 7412  supcsup 9441  ℝcr 11115  0cc0 11116   < clt 11255  ℤcz 12565   ∥ cdvds 16204   gcd cgcd 16442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-i2m1 11184  ax-rnegex 11187  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9443  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-ltxr 11260  df-neg 11454  df-z 12566  df-gcd 16443

This theorem is referenced by:  gcddvds  16451  gcdcl  16454  gcdeq0  16465  gcd0id  16467  bezout  16492  mulgcd  16497  nn0gcdsq  16695  nn0rppwr  41687  nn0expgcd  41689