MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gcd0val Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gcd0val 15593
Description: The value, by convention, of the gcd operator when both operands are 0. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
gcd0val (0 gcd 0) = 0

Proof of Theorem gcd0val
StepHypRef Expression
1 0z 11716 . . 3 0 ∈ ℤ
2 gcdval 15592 . . 3 ((0 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 gcd 0) = if((0 = 0 ∧ 0 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 0 ∧ 𝑛 ∥ 0)}, ℝ, < )))
31, 1, 2mp2an 685 . 2 (0 gcd 0) = if((0 = 0 ∧ 0 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 0 ∧ 𝑛 ∥ 0)}, ℝ, < ))
4 eqid 2826 . . 3 0 = 0
5 iftrue 4313 . . 3 ((0 = 0 ∧ 0 = 0) → if((0 = 0 ∧ 0 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 0 ∧ 𝑛 ∥ 0)}, ℝ, < )) = 0)
64, 4, 5mp2an 685 . 2 if((0 = 0 ∧ 0 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 0 ∧ 𝑛 ∥ 0)}, ℝ, < )) = 0
73, 6eqtri 2850 1 (0 gcd 0) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  {crab 3122  ifcif 4307   class class class wbr 4874  (class class class)co 6906  supcsup 8616  cr 10252  0cc0 10253   < clt 10392  cz 11705  cdvds 15358   gcd cgcd 15590
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-i2m1 10321  ax-rnegex 10324  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4660  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-id 5251  df-po 5264  df-so 5265  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-sup 8618  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-ltxr 10397  df-neg 10589  df-z 11706  df-gcd 15591
This theorem is referenced by:  gcddvds  15599  gcdcl  15602  gcdeq0  15612  gcd0id  15614  bezout  15634  mulgcd  15639  nn0gcdsq  15832
  Copyright terms: Public domain W3C validator