Theorem gcd0val 16507

Description: The value, by convention, of the gcd operator when both operands are 0. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
gcd0val	⊢ (0 gcd 0) = 0

Proof of Theorem gcd0val

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12569	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		gcdval 16506	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 gcd 0) = if((0 = 0 ∧ 0 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 0 ∧ 𝑛 ∥ 0)}, ℝ, < )))
3	1, 1, 2	mp2an 700	. 2 ⊢ (0 gcd 0) = if((0 = 0 ∧ 0 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 0 ∧ 𝑛 ∥ 0)}, ℝ, < ))
4		eqid 2756	. . 3 ⊢ 0 = 0
5		iftrue 4480	. . 3 ⊢ ((0 = 0 ∧ 0 = 0) → if((0 = 0 ∧ 0 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 0 ∧ 𝑛 ∥ 0)}, ℝ, < )) = 0)
6	4, 4, 5	mp2an 700	. 2 ⊢ if((0 = 0 ∧ 0 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 0 ∧ 𝑛 ∥ 0)}, ℝ, < )) = 0
7	3, 6	eqtri 2779	1 ⊢ (0 gcd 0) = 0

Syntax hints:   ∧ wa 398   = wceq 1554   ∈ wcel 2136  {crab 3408  ifcif 4474   class class class wbr 5094  (class class class)co 7385  supcsup 9376  ℝcr 11062  0cc0 11063   < clt 11206  ℤcz 12558   ∥ cdvds 16262   gcd cgcd 16504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-i2m1 11131  ax-rnegex 11134  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-id 5535  df-po 5548  df-so 5549  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-sup 9378  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-ltxr 11211  df-neg 11407  df-z 12559  df-gcd 16505

This theorem is referenced by:  gcddvds  16513  gcdcl  16516  gcdeq0  16527  gcd0id  16529  bezout  16553  mulgcd  16558  nn0rppwr  16571  nn0expgcd  16574  nn0gcdsq  16763