Theorem gcd0val 16400

Description: The value, by convention, of the gcd operator when both operands are 0. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
gcd0val	⊢ (0 gcd 0) = 0

Proof of Theorem gcd0val

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12471	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		gcdval 16399	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 gcd 0) = if((0 = 0 ∧ 0 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 0 ∧ 𝑛 ∥ 0)}, ℝ, < )))
3	1, 1, 2	mp2an 692	. 2 ⊢ (0 gcd 0) = if((0 = 0 ∧ 0 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 0 ∧ 𝑛 ∥ 0)}, ℝ, < ))
4		eqid 2730	. . 3 ⊢ 0 = 0
5		iftrue 4479	. . 3 ⊢ ((0 = 0 ∧ 0 = 0) → if((0 = 0 ∧ 0 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 0 ∧ 𝑛 ∥ 0)}, ℝ, < )) = 0)
6	4, 4, 5	mp2an 692	. 2 ⊢ if((0 = 0 ∧ 0 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 0 ∧ 𝑛 ∥ 0)}, ℝ, < )) = 0
7	3, 6	eqtri 2753	1 ⊢ (0 gcd 0) = 0

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  {crab 3393  ifcif 4473   class class class wbr 5089  (class class class)co 7341  supcsup 9319  ℝcr 10997  0cc0 10998   < clt 11138  ℤcz 12460   ∥ cdvds 16155   gcd cgcd 16397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-i2m1 11066  ax-rnegex 11069  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-sup 9321  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-ltxr 11143  df-neg 11339  df-z 12461  df-gcd 16398

This theorem is referenced by:  gcddvds  16406  gcdcl  16409  gcdeq0  16420  gcd0id  16422  bezout  16446  mulgcd  16451  nn0rppwr  16464  nn0expgcd  16467  nn0gcdsq  16655