mulgcd - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > mulgcd		Structured version Visualization version GIF version

Theorem mulgcd 16515

Description: Distribute multiplication by a nonnegative integer over gcd. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-May-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
mulgcd	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)))

**Proof of Theorem mulgcd**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12437	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∨ 𝐾 = 0))
2		simp1 1142	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℕ)
3	2	nnzd 12548	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
4		simp2 1143	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
5	3, 4	zmulcld 12637	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ)
6		simp3 1144	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
7	3, 6	zmulcld 12637	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ)
8	5, 7	gcdcld 16475	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ∈ ℕ₀)
9	2	nnnn0d 12496	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
10		gcdcl 16473	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ₀)
11	10	3adant1 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ₀)
12	9, 11	nn0mulcld 12501	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℕ₀)
13	8	nn0cnd 12498	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ∈ ℂ)
14	2	nncnd 12188	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℂ)
15	2	nnne0d 12225	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ≠ 0)
16	13, 14, 15	divcan2d 11931	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾)) = ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)))
17		gcddvds 16470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ) → (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑀) ∧ ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑁)))
18	5, 7, 17	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑀) ∧ ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑁)))
19	18	simpld 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑀))
20	16, 19	eqbrtrd 5101	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾)) ∥ (𝐾 · 𝑀))
21		dvdsmul1 16244	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐾 ∥ (𝐾 · 𝑀))
22	3, 4, 21	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∥ (𝐾 · 𝑀))
23		dvdsmul1 16244	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∥ (𝐾 · 𝑁))
24	3, 6, 23	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∥ (𝐾 · 𝑁))
25		dvdsgcd 16511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ (𝐾 · 𝑀) ∧ 𝐾 ∥ (𝐾 · 𝑁)) → 𝐾 ∥ ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁))))
26	3, 5, 7, 25	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ (𝐾 · 𝑀) ∧ 𝐾 ∥ (𝐾 · 𝑁)) → 𝐾 ∥ ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁))))
27	22, 24, 26	mp2and 705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∥ ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)))
28	8	nn0zd 12547	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ∈ ℤ)
29		dvdsval2 16222	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ↔ (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∈ ℤ))
30	3, 15, 28, 29	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ↔ (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∈ ℤ))
31	27, 30	mpbid 233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∈ ℤ)
32		dvdscmulr 16251	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝐾 · (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾)) ∥ (𝐾 · 𝑀) ↔ (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ 𝑀))
33	31, 4, 3, 15, 32	syl112anc 1382	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾)) ∥ (𝐾 · 𝑀) ↔ (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ 𝑀))
34	20, 33	mpbid 233	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ 𝑀)
35	18	simprd 496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑁))
36	16, 35	eqbrtrd 5101	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾)) ∥ (𝐾 · 𝑁))
37		dvdscmulr 16251	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝐾 · (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾)) ∥ (𝐾 · 𝑁) ↔ (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ 𝑁))
38	31, 6, 3, 15, 37	syl112anc 1382	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾)) ∥ (𝐾 · 𝑁) ↔ (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ 𝑁))
39	36, 38	mpbid 233	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ 𝑁)
40		dvdsgcd 16511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ 𝑀 ∧ (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ 𝑁) → (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
41	31, 4, 6, 40	syl3anc 1379	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ 𝑀 ∧ (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ 𝑁) → (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
42	34, 39, 41	mp2and 705	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ (𝑀 gcd 𝑁))
43	11	nn0zd 12547	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
44		dvdscmul 16249	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ (𝑀 gcd 𝑁) → (𝐾 · (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾)) ∥ (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁))))
45	31, 43, 3, 44	syl3anc 1379	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ (𝑀 gcd 𝑁) → (𝐾 · (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾)) ∥ (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁))))
46	42, 45	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾)) ∥ (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)))
47	16, 46	eqbrtrrd 5103	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ∥ (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)))
48		gcddvds 16470	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
49	48	3adant1 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
50	49	simpld 495	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀)
51		dvdscmul 16249	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 → (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑀)))
52	43, 4, 3, 51	syl3anc 1379	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 → (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑀)))
53	50, 52	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑀))
54	49	simprd 496	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
55		dvdscmul 16249	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 → (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑁)))
56	43, 6, 3, 55	syl3anc 1379	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 → (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑁)))
57	54, 56	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑁))
58	12	nn0zd 12547	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
59		dvdsgcd 16511	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ) → (((𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑀) ∧ (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑁)) → (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁))))
60	58, 5, 7, 59	syl3anc 1379	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑀) ∧ (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑁)) → (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁))))
61	53, 57, 60	mp2and 705	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)))
62		dvdseq 16281	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ∈ ℕ₀ ∧ (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℕ₀) ∧ (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ∥ (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∧ (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)))) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)))
63	8, 12, 47, 61, 62	syl22anc 844	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)))
64	63	3expib 1128	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁))))
65		gcd0val 16464	. . . . . . 7 ⊢ (0 gcd 0) = 0
66	10	3adant1 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ₀)
67	66	nn0cnd 12498	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℂ)
68	67	mul02d 11342	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 · (𝑀 gcd 𝑁)) = 0)
69	65, 68	eqtr4id 2794	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 gcd 0) = (0 · (𝑀 gcd 𝑁)))
70		simp1 1142	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 = 0)
71	70	oveq1d 7378	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑀) = (0 · 𝑀))
72		zcn 12527	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
73	72	3ad2ant2 1140	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
74	73	mul02d 11342	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 · 𝑀) = 0)
75	71, 74	eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑀) = 0)
76	70	oveq1d 7378	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑁) = (0 · 𝑁))
77		zcn 12527	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
78	77	3ad2ant3 1141	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
79	78	mul02d 11342	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 · 𝑁) = 0)
80	76, 79	eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑁) = 0)
81	75, 80	oveq12d 7381	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = (0 gcd 0))
82	70	oveq1d 7378	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) = (0 · (𝑀 gcd 𝑁)))
83	69, 81, 82	3eqtr4d 2785	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)))
84	83	3expib 1128	. . . 4 ⊢ (𝐾 = 0 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁))))
85	64, 84	jaoi 863	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∨ 𝐾 = 0) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁))))
86	1, 85	sylbi 218	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁))))
87	86	3impib 1122	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 207 ∧ wa 396 ∨ wo 853 ∧ w3a 1092 = wceq 1547 ∈ wcel 2119 ≠ wne 2935 class class class wbr 5079 (class class class)co 7363 ℂcc 11034 0cc0 11036 · cmul 11041 / cdiv 11805 ℕcn 12172 ℕ₀cn0 12435 ℤcz 12522 ∥ cdvds 16219 gcd cgcd 16461

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1802 ax-4 1816 ax-5 1917 ax-6 1974 ax-7 2015 ax-8 2121 ax-9 2129 ax-10 2152 ax-11 2168 ax-12 2189 ax-ext 2712 ax-sep 5225 ax-nul 5235 ax-pow 5301 ax-pr 5369 ax-un 7685 ax-cnex 11092 ax-resscn 11093 ax-1cn 11094 ax-icn 11095 ax-addcl 11096 ax-addrcl 11097 ax-mulcl 11098 ax-mulrcl 11099 ax-mulcom 11100 ax-addass 11101 ax-mulass 11102 ax-distr 11103 ax-i2m1 11104 ax-1ne0 11105 ax-1rid 11106 ax-rnegex 11107 ax-rrecex 11108 ax-cnre 11109 ax-pre-lttri 11110 ax-pre-lttrn 11111 ax-pre-ltadd 11112 ax-pre-mulgt0 11113 ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions: df-bi 208 df-an 397 df-or 854 df-3or 1093 df-3an 1094 df-tru 1550 df-fal 1560 df-ex 1787 df-nf 1791 df-sb 2074 df-mo 2543 df-eu 2573 df-clab 2719 df-cleq 2732 df-clel 2815 df-nfc 2889 df-ne 2936 df-nel 3040 df-ral 3055 df-rex 3065 df-rmo 3345 df-reu 3346 df-rab 3393 df-v 3434 df-sbc 3731 df-csb 3839 df-dif 3893 df-un 3895 df-in 3897 df-ss 3907 df-pss 3910 df-nul 4269 df-if 4462 df-pw 4538 df-sn 4563 df-pr 4565 df-op 4569 df-uni 4846 df-iun 4930 df-br 5080 df-opab 5142 df-mpt 5161 df-tr 5187 df-id 5520 df-eprel 5525 df-po 5533 df-so 5534 df-fr 5578 df-we 5580 df-xp 5631 df-rel 5632 df-cnv 5633 df-co 5634 df-dm 5635 df-rn 5636 df-res 5637 df-ima 5638 df-pred 6259 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6494 df-fn 6495 df-f 6496 df-f1 6497 df-fo 6498 df-f1o 6499 df-fv 6500 df-riota 7320 df-ov 7366 df-oprab 7367 df-mpo 7368 df-om 7814 df-2nd 7939 df-frecs 8228 df-wrecs 8259 df-recs 8308 df-rdg 8346 df-er 8640 df-en 8891 df-dom 8892 df-sdom 8893 df-sup 9352 df-inf 9353 df-pnf 11179 df-mnf 11180 df-xr 11181 df-ltxr 11182 df-le 11183 df-sub 11377 df-neg 11378 df-div 11806 df-nn 12173 df-2 12242 df-3 12243 df-n0 12436 df-z 12523 df-uz 12787 df-rp 12941 df-fl 13749 df-mod 13827 df-seq 13962 df-exp 14022 df-cj 15059 df-re 15060 df-im 15061 df-sqrt 15195 df-abs 15196 df-dvds 16220 df-gcd 16462

This theorem is referenced by: absmulgcd 16516 mulgcdr 16517 mulgcddvds 16622 qredeu 16625 coprimeprodsq 16777 pythagtriplem4 16788 odadd2 19822 2sqlem8 27414

W3C validator