mulgcd - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > mulgcd		Structured version Visualization version GIF version

Theorem mulgcd 16518

Description: Distribute multiplication by a nonnegative integer over gcd. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-May-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
mulgcd	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)))

**Proof of Theorem mulgcd**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12444	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∨ 𝐾 = 0))
2		simp1 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℕ)
3	2	nnzd 12556	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
4		simp2 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
5	3, 4	zmulcld 12644	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ)
6		simp3 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
7	3, 6	zmulcld 12644	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ)
8	5, 7	gcdcld 16478	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ∈ ℕ₀)
9	2	nnnn0d 12503	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
10		gcdcl 16476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ₀)
11	10	3adant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ₀)
12	9, 11	nn0mulcld 12508	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℕ₀)
13	8	nn0cnd 12505	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ∈ ℂ)
14	2	nncnd 12202	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℂ)
15	2	nnne0d 12236	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ≠ 0)
16	13, 14, 15	divcan2d 11960	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾)) = ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)))
17		gcddvds 16473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ) → (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑀) ∧ ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑁)))
18	5, 7, 17	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑀) ∧ ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑁)))
19	18	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑀))
20	16, 19	eqbrtrd 5129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾)) ∥ (𝐾 · 𝑀))
21		dvdsmul1 16247	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐾 ∥ (𝐾 · 𝑀))
22	3, 4, 21	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∥ (𝐾 · 𝑀))
23		dvdsmul1 16247	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∥ (𝐾 · 𝑁))
24	3, 6, 23	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∥ (𝐾 · 𝑁))
25		dvdsgcd 16514	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ (𝐾 · 𝑀) ∧ 𝐾 ∥ (𝐾 · 𝑁)) → 𝐾 ∥ ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁))))
26	3, 5, 7, 25	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ (𝐾 · 𝑀) ∧ 𝐾 ∥ (𝐾 · 𝑁)) → 𝐾 ∥ ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁))))
27	22, 24, 26	mp2and 699	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∥ ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)))
28	8	nn0zd 12555	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ∈ ℤ)
29		dvdsval2 16225	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0 ∧ ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ↔ (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∈ ℤ))
30	3, 15, 28, 29	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ↔ (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∈ ℤ))
31	27, 30	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∈ ℤ)
32		dvdscmulr 16254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝐾 · (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾)) ∥ (𝐾 · 𝑀) ↔ (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ 𝑀))
33	31, 4, 3, 15, 32	syl112anc 1376	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾)) ∥ (𝐾 · 𝑀) ↔ (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ 𝑀))
34	20, 33	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ 𝑀)
35	18	simprd 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑁))
36	16, 35	eqbrtrd 5129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾)) ∥ (𝐾 · 𝑁))
37		dvdscmulr 16254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝐾 · (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾)) ∥ (𝐾 · 𝑁) ↔ (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ 𝑁))
38	31, 6, 3, 15, 37	syl112anc 1376	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾)) ∥ (𝐾 · 𝑁) ↔ (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ 𝑁))
39	36, 38	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ 𝑁)
40		dvdsgcd 16514	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ 𝑀 ∧ (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ 𝑁) → (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
41	31, 4, 6, 40	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ 𝑀 ∧ (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ 𝑁) → (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
42	34, 39, 41	mp2and 699	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ (𝑀 gcd 𝑁))
43	11	nn0zd 12555	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
44		dvdscmul 16252	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ (𝑀 gcd 𝑁) → (𝐾 · (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾)) ∥ (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁))))
45	31, 43, 3, 44	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾) ∥ (𝑀 gcd 𝑁) → (𝐾 · (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾)) ∥ (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁))))
46	42, 45	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) / 𝐾)) ∥ (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)))
47	16, 46	eqbrtrrd 5131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ∥ (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)))
48		gcddvds 16473	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
49	48	3adant1 1130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
50	49	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀)
51		dvdscmul 16252	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 → (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑀)))
52	43, 4, 3, 51	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 → (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑀)))
53	50, 52	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑀))
54	49	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
55		dvdscmul 16252	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 → (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑁)))
56	43, 6, 3, 55	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 → (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑁)))
57	54, 56	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑁))
58	12	nn0zd 12555	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
59		dvdsgcd 16514	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ) → (((𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑀) ∧ (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑁)) → (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁))))
60	58, 5, 7, 59	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑀) ∧ (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 · 𝑁)) → (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁))))
61	53, 57, 60	mp2and 699	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)))
62		dvdseq 16284	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ∈ ℕ₀ ∧ (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℕ₀) ∧ (((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) ∥ (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∧ (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)))) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)))
63	8, 12, 47, 61, 62	syl22anc 838	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)))
64	63	3expib 1122	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁))))
65		gcd0val 16467	. . . . . . 7 ⊢ (0 gcd 0) = 0
66	10	3adant1 1130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ₀)
67	66	nn0cnd 12505	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℂ)
68	67	mul02d 11372	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 · (𝑀 gcd 𝑁)) = 0)
69	65, 68	eqtr4id 2783	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 gcd 0) = (0 · (𝑀 gcd 𝑁)))
70		simp1 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 = 0)
71	70	oveq1d 7402	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑀) = (0 · 𝑀))
72		zcn 12534	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
73	72	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
74	73	mul02d 11372	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 · 𝑀) = 0)
75	71, 74	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑀) = 0)
76	70	oveq1d 7402	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑁) = (0 · 𝑁))
77		zcn 12534	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
78	77	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
79	78	mul02d 11372	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 · 𝑁) = 0)
80	76, 79	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑁) = 0)
81	75, 80	oveq12d 7405	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = (0 gcd 0))
82	70	oveq1d 7402	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)) = (0 · (𝑀 gcd 𝑁)))
83	69, 81, 82	3eqtr4d 2774	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)))
84	83	3expib 1122	. . . 4 ⊢ (𝐾 = 0 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁))))
85	64, 84	jaoi 857	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∨ 𝐾 = 0) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁))))
86	1, 85	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁))))
87	86	3impib 1116	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = (𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ wo 847 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2925 class class class wbr 5107 (class class class)co 7387 ℂcc 11066 0cc0 11068 · cmul 11073 / cdiv 11835 ℕcn 12186 ℕ₀cn0 12442 ℤcz 12529 ∥ cdvds 16222 gcd cgcd 16464

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-sep 5251 ax-nul 5261 ax-pow 5320 ax-pr 5387 ax-un 7711 ax-cnex 11124 ax-resscn 11125 ax-1cn 11126 ax-icn 11127 ax-addcl 11128 ax-addrcl 11129 ax-mulcl 11130 ax-mulrcl 11131 ax-mulcom 11132 ax-addass 11133 ax-mulass 11134 ax-distr 11135 ax-i2m1 11136 ax-1ne0 11137 ax-1rid 11138 ax-rnegex 11139 ax-rrecex 11140 ax-cnre 11141 ax-pre-lttri 11142 ax-pre-lttrn 11143 ax-pre-ltadd 11144 ax-pre-mulgt0 11145 ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-nel 3030 df-ral 3045 df-rex 3054 df-rmo 3354 df-reu 3355 df-rab 3406 df-v 3449 df-sbc 3754 df-csb 3863 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-pss 3934 df-nul 4297 df-if 4489 df-pw 4565 df-sn 4590 df-pr 4592 df-op 4596 df-uni 4872 df-iun 4957 df-br 5108 df-opab 5170 df-mpt 5189 df-tr 5215 df-id 5533 df-eprel 5538 df-po 5546 df-so 5547 df-fr 5591 df-we 5593 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-rn 5649 df-res 5650 df-ima 5651 df-pred 6274 df-ord 6335 df-on 6336 df-lim 6337 df-suc 6338 df-iota 6464 df-fun 6513 df-fn 6514 df-f 6515 df-f1 6516 df-fo 6517 df-f1o 6518 df-fv 6519 df-riota 7344 df-ov 7390 df-oprab 7391 df-mpo 7392 df-om 7843 df-2nd 7969 df-frecs 8260 df-wrecs 8291 df-recs 8340 df-rdg 8378 df-er 8671 df-en 8919 df-dom 8920 df-sdom 8921 df-sup 9393 df-inf 9394 df-pnf 11210 df-mnf 11211 df-xr 11212 df-ltxr 11213 df-le 11214 df-sub 11407 df-neg 11408 df-div 11836 df-nn 12187 df-2 12249 df-3 12250 df-n0 12443 df-z 12530 df-uz 12794 df-rp 12952 df-fl 13754 df-mod 13832 df-seq 13967 df-exp 14027 df-cj 15065 df-re 15066 df-im 15067 df-sqrt 15201 df-abs 15202 df-dvds 16223 df-gcd 16465

This theorem is referenced by: absmulgcd 16519 mulgcdr 16520 mulgcddvds 16625 qredeu 16628 coprimeprodsq 16779 pythagtriplem4 16790 odadd2 19779 2sqlem8 27337

W3C validator