MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgcd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgcd 16497
Description: Distribute multiplication by a nonnegative integer over gcd. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
mulgcd ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) = (๐พ ยท (๐‘€ gcd ๐‘)))

Proof of Theorem mulgcd
StepHypRef Expression
1 elnn0 12481 . . 3 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†” (๐พ โˆˆ โ„• โˆจ ๐พ = 0))
2 simp1 1135 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
32nnzd 12592 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
4 simp2 1136 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
53, 4zmulcld 12679 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
6 simp3 1137 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
73, 6zmulcld 12679 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
85, 7gcdcld 16456 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) โˆˆ โ„•0)
92nnnn0d 12539 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
10 gcdcl 16454 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) โˆˆ โ„•0)
11103adant1 1129 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) โˆˆ โ„•0)
129, 11nn0mulcld 12544 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„•0)
138nn0cnd 12541 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
142nncnd 12235 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
152nnne0d 12269 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐พ โ‰  0)
1613, 14, 15divcan2d 11999 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ ยท (((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) / ๐พ)) = ((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)))
17 gcddvds 16451 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐พ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) โˆฅ (๐พ ยท ๐‘€) โˆง ((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) โˆฅ (๐พ ยท ๐‘)))
185, 7, 17syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) โˆฅ (๐พ ยท ๐‘€) โˆง ((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) โˆฅ (๐พ ยท ๐‘)))
1918simpld 494 . . . . . . . . . . 11 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) โˆฅ (๐พ ยท ๐‘€))
2016, 19eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . 10 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ ยท (((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) / ๐พ)) โˆฅ (๐พ ยท ๐‘€))
21 dvdsmul1 16228 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐พ โˆฅ (๐พ ยท ๐‘€))
223, 4, 21syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐พ โˆฅ (๐พ ยท ๐‘€))
23 dvdsmul1 16228 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐พ โˆฅ (๐พ ยท ๐‘))
243, 6, 23syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐พ โˆฅ (๐พ ยท ๐‘))
25 dvdsgcd 16493 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ โˆฅ (๐พ ยท ๐‘€) โˆง ๐พ โˆฅ (๐พ ยท ๐‘)) โ†’ ๐พ โˆฅ ((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘))))
263, 5, 7, 25syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ โˆฅ (๐พ ยท ๐‘€) โˆง ๐พ โˆฅ (๐พ ยท ๐‘)) โ†’ ๐พ โˆฅ ((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘))))
2722, 24, 26mp2and 696 . . . . . . . . . . . 12 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐พ โˆฅ ((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)))
288nn0zd 12591 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) โˆˆ โ„ค)
29 dvdsval2 16207 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0 โˆง ((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โˆฅ ((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) โ†” (((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) / ๐พ) โˆˆ โ„ค))
303, 15, 28, 29syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โˆฅ ((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) โ†” (((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) / ๐พ) โˆˆ โ„ค))
3127, 30mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) / ๐พ) โˆˆ โ„ค)
32 dvdscmulr 16235 . . . . . . . . . . 11 (((((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) / ๐พ) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0)) โ†’ ((๐พ ยท (((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) / ๐พ)) โˆฅ (๐พ ยท ๐‘€) โ†” (((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) / ๐พ) โˆฅ ๐‘€))
3331, 4, 3, 15, 32syl112anc 1373 . . . . . . . . . 10 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท (((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) / ๐พ)) โˆฅ (๐พ ยท ๐‘€) โ†” (((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) / ๐พ) โˆฅ ๐‘€))
3420, 33mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) / ๐พ) โˆฅ ๐‘€)
3518simprd 495 . . . . . . . . . . 11 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) โˆฅ (๐พ ยท ๐‘))
3616, 35eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . 10 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ ยท (((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) / ๐พ)) โˆฅ (๐พ ยท ๐‘))
37 dvdscmulr 16235 . . . . . . . . . . 11 (((((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) / ๐พ) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0)) โ†’ ((๐พ ยท (((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) / ๐พ)) โˆฅ (๐พ ยท ๐‘) โ†” (((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) / ๐พ) โˆฅ ๐‘))
3831, 6, 3, 15, 37syl112anc 1373 . . . . . . . . . 10 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท (((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) / ๐พ)) โˆฅ (๐พ ยท ๐‘) โ†” (((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) / ๐พ) โˆฅ ๐‘))
3936, 38mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) / ๐พ) โˆฅ ๐‘)
40 dvdsgcd 16493 . . . . . . . . . 10 (((((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) / ๐พ) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) / ๐พ) โˆฅ ๐‘€ โˆง (((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) / ๐พ) โˆฅ ๐‘) โ†’ (((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) / ๐พ) โˆฅ (๐‘€ gcd ๐‘)))
4131, 4, 6, 40syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) / ๐พ) โˆฅ ๐‘€ โˆง (((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) / ๐พ) โˆฅ ๐‘) โ†’ (((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) / ๐พ) โˆฅ (๐‘€ gcd ๐‘)))
4234, 39, 41mp2and 696 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) / ๐พ) โˆฅ (๐‘€ gcd ๐‘))
4311nn0zd 12591 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) โˆˆ โ„ค)
44 dvdscmul 16233 . . . . . . . . 9 (((((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) / ๐พ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) / ๐พ) โˆฅ (๐‘€ gcd ๐‘) โ†’ (๐พ ยท (((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) / ๐พ)) โˆฅ (๐พ ยท (๐‘€ gcd ๐‘))))
4531, 43, 3, 44syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) / ๐พ) โˆฅ (๐‘€ gcd ๐‘) โ†’ (๐พ ยท (((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) / ๐พ)) โˆฅ (๐พ ยท (๐‘€ gcd ๐‘))))
4642, 45mpd 15 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ ยท (((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) / ๐พ)) โˆฅ (๐พ ยท (๐‘€ gcd ๐‘)))
4716, 46eqbrtrrd 5172 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) โˆฅ (๐พ ยท (๐‘€ gcd ๐‘)))
48 gcddvds 16451 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘€ โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘))
49483adant1 1129 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘€ โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘))
5049simpld 494 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘€)
51 dvdscmul 16233 . . . . . . . . 9 (((๐‘€ gcd ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘€ โ†’ (๐พ ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆฅ (๐พ ยท ๐‘€)))
5243, 4, 3, 51syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘€ โ†’ (๐พ ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆฅ (๐พ ยท ๐‘€)))
5350, 52mpd 15 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆฅ (๐พ ยท ๐‘€))
5449simprd 495 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘)
55 dvdscmul 16233 . . . . . . . . 9 (((๐‘€ gcd ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘ โ†’ (๐พ ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆฅ (๐พ ยท ๐‘)))
5643, 6, 3, 55syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘ โ†’ (๐พ ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆฅ (๐พ ยท ๐‘)))
5754, 56mpd 15 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆฅ (๐พ ยท ๐‘))
5812nn0zd 12591 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„ค)
59 dvdsgcd 16493 . . . . . . . 8 (((๐พ ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐พ ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆฅ (๐พ ยท ๐‘€) โˆง (๐พ ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆฅ (๐พ ยท ๐‘)) โ†’ (๐พ ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆฅ ((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘))))
6058, 5, 7, 59syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐พ ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆฅ (๐พ ยท ๐‘€) โˆง (๐พ ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆฅ (๐พ ยท ๐‘)) โ†’ (๐พ ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆฅ ((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘))))
6153, 57, 60mp2and 696 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆฅ ((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)))
62 dvdseq 16264 . . . . . 6 (((((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐พ ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆˆ โ„•0) โˆง (((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) โˆฅ (๐พ ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆง (๐พ ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆฅ ((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)))) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) = (๐พ ยท (๐‘€ gcd ๐‘)))
638, 12, 47, 61, 62syl22anc 836 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) = (๐พ ยท (๐‘€ gcd ๐‘)))
64633expib 1121 . . . 4 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) = (๐พ ยท (๐‘€ gcd ๐‘))))
65 gcd0val 16445 . . . . . . 7 (0 gcd 0) = 0
66103adant1 1129 . . . . . . . . 9 ((๐พ = 0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) โˆˆ โ„•0)
6766nn0cnd 12541 . . . . . . . 8 ((๐พ = 0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) โˆˆ โ„‚)
6867mul02d 11419 . . . . . . 7 ((๐พ = 0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = 0)
6965, 68eqtr4id 2790 . . . . . 6 ((๐พ = 0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 gcd 0) = (0 ยท (๐‘€ gcd ๐‘)))
70 simp1 1135 . . . . . . . . 9 ((๐พ = 0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐พ = 0)
7170oveq1d 7427 . . . . . . . 8 ((๐พ = 0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ ยท ๐‘€) = (0 ยท ๐‘€))
72 zcn 12570 . . . . . . . . . 10 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
73723ad2ant2 1133 . . . . . . . . 9 ((๐พ = 0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
7473mul02d 11419 . . . . . . . 8 ((๐พ = 0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 ยท ๐‘€) = 0)
7571, 74eqtrd 2771 . . . . . . 7 ((๐พ = 0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ ยท ๐‘€) = 0)
7670oveq1d 7427 . . . . . . . 8 ((๐พ = 0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ ยท ๐‘) = (0 ยท ๐‘))
77 zcn 12570 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
78773ad2ant3 1134 . . . . . . . . 9 ((๐พ = 0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
7978mul02d 11419 . . . . . . . 8 ((๐พ = 0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 ยท ๐‘) = 0)
8076, 79eqtrd 2771 . . . . . . 7 ((๐พ = 0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ ยท ๐‘) = 0)
8175, 80oveq12d 7430 . . . . . 6 ((๐พ = 0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) = (0 gcd 0))
8270oveq1d 7427 . . . . . 6 ((๐พ = 0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = (0 ยท (๐‘€ gcd ๐‘)))
8369, 81, 823eqtr4d 2781 . . . . 5 ((๐พ = 0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) = (๐พ ยท (๐‘€ gcd ๐‘)))
84833expib 1121 . . . 4 (๐พ = 0 โ†’ ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) = (๐พ ยท (๐‘€ gcd ๐‘))))
8564, 84jaoi 854 . . 3 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆจ ๐พ = 0) โ†’ ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) = (๐พ ยท (๐‘€ gcd ๐‘))))
861, 85sylbi 216 . 2 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) = (๐พ ยท (๐‘€ gcd ๐‘))))
87863impib 1115 1 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) = (๐พ ยท (๐‘€ gcd ๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   โˆง w3a 1086   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   โ‰  wne 2939   class class class wbr 5148  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11114  0cc0 11116   ยท cmul 11121   / cdiv 11878  โ„•cn 12219  โ„•0cn0 12479  โ„คcz 12565   โˆฅ cdvds 16204   gcd cgcd 16442
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-fl 13764  df-mod 13842  df-seq 13974  df-exp 14035  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-dvds 16205  df-gcd 16443
This theorem is referenced by:  absmulgcd  16498  mulgcdr  16499  mulgcddvds  16599  qredeu  16602  coprimeprodsq  16748  pythagtriplem4  16759  odadd2  19765  2sqlem8  27272
  Copyright terms: Public domain W3C validator