Theorem gcddvds 16442

Description: The gcd of two integers divides each of them. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
gcddvds	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))

Proof of Theorem gcddvds

Dummy variables 𝑛 𝐾 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12511	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		dvds0 16210	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∥ 0)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ∥ 0
4		breq2 5104	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 = 0 → (0 ∥ 𝑀 ↔ 0 ∥ 0))
5		breq2 5104	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (0 ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ 0))
6	4, 5	bi2anan9 639	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁) ↔ (0 ∥ 0 ∧ 0 ∥ 0)))
7		anidm 564	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∥ 0 ∧ 0 ∥ 0) ↔ 0 ∥ 0)
8	6, 7	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁) ↔ 0 ∥ 0))
9	3, 8	mpbiri 258	. . . 4 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁))
10		oveq12 7377	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 gcd 𝑁) = (0 gcd 0))
11		gcd0val 16436	. . . . . . 7 ⊢ (0 gcd 0) = 0
12	10, 11	eqtrdi 2788	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 gcd 𝑁) = 0)
13	12	breq1d 5110	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ↔ 0 ∥ 𝑀))
14	12	breq1d 5110	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ 𝑁))
15	13, 14	anbi12d 633	. . . 4 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁) ↔ (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁)))
16	9, 15	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
17	16	adantl 481	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
18		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ {𝑛 ∈ ℤ ∣ ∀𝑧 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛 ∥ 𝑧} = {𝑛 ∈ ℤ ∣ ∀𝑧 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛 ∥ 𝑧}
19		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 𝑀 ∧ 𝑛 ∥ 𝑁)} = {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 𝑀 ∧ 𝑛 ∥ 𝑁)}
20	18, 19	gcdcllem3 16440	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 𝑀 ∧ 𝑛 ∥ 𝑁)}, ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ (sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 𝑀 ∧ 𝑛 ∥ 𝑁)}, ℝ, < ) ∥ 𝑀 ∧ sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 𝑀 ∧ 𝑛 ∥ 𝑁)}, ℝ, < ) ∥ 𝑁) ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝐾 ≤ sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 𝑀 ∧ 𝑛 ∥ 𝑁)}, ℝ, < ))))
21	20	simp2d 1144	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 𝑀 ∧ 𝑛 ∥ 𝑁)}, ℝ, < ) ∥ 𝑀 ∧ sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 𝑀 ∧ 𝑛 ∥ 𝑁)}, ℝ, < ) ∥ 𝑁))
22		gcdn0val 16437	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 𝑀 ∧ 𝑛 ∥ 𝑁)}, ℝ, < ))
23	22	breq1d 5110	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ↔ sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 𝑀 ∧ 𝑛 ∥ 𝑁)}, ℝ, < ) ∥ 𝑀))
24	22	breq1d 5110	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 ↔ sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 𝑀 ∧ 𝑛 ∥ 𝑁)}, ℝ, < ) ∥ 𝑁))
25	23, 24	anbi12d 633	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁) ↔ (sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 𝑀 ∧ 𝑛 ∥ 𝑁)}, ℝ, < ) ∥ 𝑀 ∧ sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 𝑀 ∧ 𝑛 ∥ 𝑁)}, ℝ, < ) ∥ 𝑁)))
26	21, 25	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
27	17, 26	pm2.61dan 813	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  {crab 3401  {cpr 4584   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  supcsup 9355  ℝcr 11037  0cc0 11038   < clt 11178   ≤ cle 11179  ℕcn 12157  ℤcz 12500   ∥ cdvds 16191   gcd cgcd 16433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-dvds 16192  df-gcd 16434

This theorem is referenced by:  zeqzmulgcd  16449  divgcdz  16450  divgcdnn  16454  gcd0id  16458  gcdneg  16461  gcdaddmlem  16463  gcd1  16467  bezoutlem4  16481  dvdsgcdb  16484  dfgcd2  16485  mulgcd  16487  gcdzeq  16491  dvdsmulgcd  16495  sqgcd  16501  expgcd  16502  dvdssqlem  16505  bezoutr  16507  gcddvdslcm  16541  lcmgcdlem  16545  lcmgcdeq  16551  coprmgcdb  16588  mulgcddvds  16594  rpmulgcd2  16595  qredeu  16597  rpdvds  16599  divgcdcoprm0  16604  divgcdodd  16649  coprm  16650  rpexp  16661  divnumden  16687  phimullem  16718  hashgcdlem  16727  hashgcdeq  16729  phisum  16730  pythagtriplem4  16759  pythagtriplem19  16773  pcgcd1  16817  pc2dvds  16819  pockthlem  16845  odmulg  19497  odadd1  19789  odadd2  19790  znunit  21530  znrrg  21532  mpodvdsmulf1o  27172  dvdsmulf1o  27174  2sqlem8  27405  2sqcoprm  27414  qqhval2lem  34158  aks4d1p8d1  42443  gcdle1d  42689  gcdle2d  42690  dvdsexpnn  42692  fltdvdsabdvdsc  42985  goldbachthlem2  47895  divgcdoddALTV  48031