MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gcddvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gcddvds 15839
Description: The gcd of two integers divides each of them. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
gcddvds ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))

Proof of Theorem gcddvds
Dummy variables 𝑛 𝐾 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0z 11978 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
2 dvds0 15614 . . . . . 6 (0 ∈ ℤ → 0 ∥ 0)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 0 ∥ 0
4 breq2 5051 . . . . . . 7 (𝑀 = 0 → (0 ∥ 𝑀 ↔ 0 ∥ 0))
5 breq2 5051 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → (0 ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ 0))
64, 5bi2anan9 638 . . . . . 6 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁) ↔ (0 ∥ 0 ∧ 0 ∥ 0)))
7 anidm 568 . . . . . 6 ((0 ∥ 0 ∧ 0 ∥ 0) ↔ 0 ∥ 0)
86, 7syl6bb 290 . . . . 5 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁) ↔ 0 ∥ 0))
93, 8mpbiri 261 . . . 4 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁))
10 oveq12 7147 . . . . . . 7 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 gcd 𝑁) = (0 gcd 0))
11 gcd0val 15833 . . . . . . 7 (0 gcd 0) = 0
1210, 11syl6eq 2875 . . . . . 6 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 gcd 𝑁) = 0)
1312breq1d 5057 . . . . 5 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ↔ 0 ∥ 𝑀))
1412breq1d 5057 . . . . 5 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ 𝑁))
1513, 14anbi12d 633 . . . 4 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁) ↔ (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁)))
169, 15mpbird 260 . . 3 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
1716adantl 485 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
18 eqid 2824 . . . . 5 {𝑛 ∈ ℤ ∣ ∀𝑧 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛𝑧} = {𝑛 ∈ ℤ ∣ ∀𝑧 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛𝑧}
19 eqid 2824 . . . . 5 {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)} = {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}
2018, 19gcdcllem3 15837 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ (sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < ) ∥ 𝑀 ∧ sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < ) ∥ 𝑁) ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑀𝐾𝑁) → 𝐾 ≤ sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < ))))
2120simp2d 1140 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < ) ∥ 𝑀 ∧ sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < ) ∥ 𝑁))
22 gcdn0val 15834 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < ))
2322breq1d 5057 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ↔ sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < ) ∥ 𝑀))
2422breq1d 5057 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 ↔ sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < ) ∥ 𝑁))
2523, 24anbi12d 633 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁) ↔ (sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < ) ∥ 𝑀 ∧ sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < ) ∥ 𝑁)))
2621, 25mpbird 260 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
2717, 26pm2.61dan 812 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3132  {crab 3136  {cpr 4550   class class class wbr 5047  (class class class)co 7138  supcsup 8888  cr 10521  0cc0 10522   < clt 10660  cle 10661  cn 11623  cz 11967  cdvds 15596   gcd cgcd 15830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599  ax-pre-sup 10600
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-div 11283  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-n0 11884  df-z 11968  df-uz 12230  df-rp 12376  df-seq 13363  df-exp 13424  df-cj 14447  df-re 14448  df-im 14449  df-sqrt 14583  df-abs 14584  df-dvds 15597  df-gcd 15831
This theorem is referenced by:  zeqzmulgcd  15846  divgcdz  15847  divgcdnn  15850  gcd0id  15854  gcdneg  15857  gcdaddmlem  15859  gcd1  15863  bezoutlem4  15877  dvdsgcdb  15880  dfgcd2  15881  mulgcd  15883  gcdzeq  15889  dvdsmulgcd  15892  sqgcd  15896  dvdssqlem  15897  bezoutr  15899  gcddvdslcm  15933  lcmgcdlem  15937  lcmgcdeq  15943  coprmgcdb  15980  mulgcddvds  15986  rpmulgcd2  15987  qredeu  15989  rpdvds  15991  divgcdcoprm0  15996  divgcdodd  16041  coprm  16042  rpexp  16051  divnumden  16075  phimullem  16103  hashgcdlem  16112  hashgcdeq  16113  phisum  16114  pythagtriplem4  16143  pythagtriplem19  16157  pcgcd1  16200  pc2dvds  16202  pockthlem  16228  odmulg  18672  odadd1  18957  odadd2  18958  znunit  20696  znrrg  20698  dvdsmulf1o  25768  2sqlem8  25999  2sqcoprm  26008  qqhval2lem  31240  expgcd  39342  goldbachthlem2  43905  divgcdoddALTV  44042
  Copyright terms: Public domain W3C validator