Theorem gcdcl 16554

Description: Closure of the gcd operator. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
gcdcl	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem gcdcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq12 7409	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 gcd 𝑁) = (0 gcd 0))
2		gcd0val 16545	. . . . 5 ⊢ (0 gcd 0) = 0
3	1, 2	eqtrdi 2816	. . . 4 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 gcd 𝑁) = 0)
4		0nn0 12510	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
5	3, 4	eqeltrdi 2873	. . 3 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
6	5	adantl 486	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
7		gcdn0cl 16550	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
8	7	nnnn0d 12556	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
9	6, 8	pm2.61dan 824	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7400  0cc0 11088  ℕ₀cn0 12495  ℤcz 12582   gcd cgcd 16542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-rp 13008  df-seq 14029  df-exp 14089  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-dvds 16301  df-gcd 16543

This theorem is referenced by:  gcdcld  16556  zeqzmulgcd  16558  gcdf  16560  gcdn0gt0  16566  gcd0id  16567  gcdneg  16570  gcdaddmlem  16572  dvdsgcdb  16593  dfgcd2  16594  gcdass  16595  mulgcd  16596  absmulgcd  16597  mulgcdr  16598  gcddiv  16599  gcdzeq  16600  dvdssqlem  16614  bezoutr  16616  bezoutr1  16617  gcddvdslcm  16650  lcmgcdlem  16654  lcmgcd  16655  6lcm4e12  16664  qredeu  16706  divgcdcoprm0  16713  divgcdcoprmex  16714  cncongr2  16716  divnumden  16797  coprimeprodsq  16858  pc2dvds  16929  dfgcd3  37828  goldbachthlem2  48153