MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0gcdsq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0gcdsq 16627
Description: Squaring commutes with GCD, in particular two coprime numbers have coprime squares. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
nn0gcdsq ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)))

Proof of Theorem nn0gcdsq
StepHypRef Expression
1 elnn0 12415 . 2 (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
2 elnn0 12415 . 2 (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0))
3 sqgcd 16441 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)))
4 nncn 12161 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
5 abssq 15191 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → ((abs‘𝐵)↑2) = (abs‘(𝐵↑2)))
64, 5syl 17 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ → ((abs‘𝐵)↑2) = (abs‘(𝐵↑2)))
7 nnz 12520 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
8 gcd0id 16399 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℤ → (0 gcd 𝐵) = (abs‘𝐵))
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ → (0 gcd 𝐵) = (abs‘𝐵))
109oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ → ((0 gcd 𝐵)↑2) = ((abs‘𝐵)↑2))
11 sq0 14096 . . . . . . . . 9 (0↑2) = 0
1211a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ → (0↑2) = 0)
1312oveq1d 7372 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ → ((0↑2) gcd (𝐵↑2)) = (0 gcd (𝐵↑2)))
14 zsqcl 14034 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
15 gcd0id 16399 . . . . . . . 8 ((𝐵↑2) ∈ ℤ → (0 gcd (𝐵↑2)) = (abs‘(𝐵↑2)))
167, 14, 153syl 18 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ → (0 gcd (𝐵↑2)) = (abs‘(𝐵↑2)))
1713, 16eqtrd 2776 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ → ((0↑2) gcd (𝐵↑2)) = (abs‘(𝐵↑2)))
186, 10, 173eqtr4d 2786 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℕ → ((0 gcd 𝐵)↑2) = ((0↑2) gcd (𝐵↑2)))
1918adantl 482 . . . 4 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((0 gcd 𝐵)↑2) = ((0↑2) gcd (𝐵↑2)))
20 oveq1 7364 . . . . . . 7 (𝐴 = 0 → (𝐴 gcd 𝐵) = (0 gcd 𝐵))
2120oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝐴 = 0 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = ((0 gcd 𝐵)↑2))
22 oveq1 7364 . . . . . . 7 (𝐴 = 0 → (𝐴↑2) = (0↑2))
2322oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝐴 = 0 → ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = ((0↑2) gcd (𝐵↑2)))
2421, 23eqeq12d 2752 . . . . 5 (𝐴 = 0 → (((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) ↔ ((0 gcd 𝐵)↑2) = ((0↑2) gcd (𝐵↑2))))
2524adantr 481 . . . 4 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) ↔ ((0 gcd 𝐵)↑2) = ((0↑2) gcd (𝐵↑2))))
2619, 25mpbird 256 . . 3 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)))
27 nncn 12161 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
28 abssq 15191 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴)↑2) = (abs‘(𝐴↑2)))
2927, 28syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → ((abs‘𝐴)↑2) = (abs‘(𝐴↑2)))
30 nnz 12520 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
31 gcdid0 16400 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 gcd 0) = (abs‘𝐴))
3230, 31syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 gcd 0) = (abs‘𝐴))
3332oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐴 gcd 0)↑2) = ((abs‘𝐴)↑2))
3411a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → (0↑2) = 0)
3534oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐴↑2) gcd (0↑2)) = ((𝐴↑2) gcd 0))
36 zsqcl 14034 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
37 gcdid0 16400 . . . . . . . 8 ((𝐴↑2) ∈ ℤ → ((𝐴↑2) gcd 0) = (abs‘(𝐴↑2)))
3830, 36, 373syl 18 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐴↑2) gcd 0) = (abs‘(𝐴↑2)))
3935, 38eqtrd 2776 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐴↑2) gcd (0↑2)) = (abs‘(𝐴↑2)))
4029, 33, 393eqtr4d 2786 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐴 gcd 0)↑2) = ((𝐴↑2) gcd (0↑2)))
4140adantr 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 gcd 0)↑2) = ((𝐴↑2) gcd (0↑2)))
42 oveq2 7365 . . . . . . 7 (𝐵 = 0 → (𝐴 gcd 𝐵) = (𝐴 gcd 0))
4342oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝐵 = 0 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = ((𝐴 gcd 0)↑2))
44 oveq1 7364 . . . . . . 7 (𝐵 = 0 → (𝐵↑2) = (0↑2))
4544oveq2d 7373 . . . . . 6 (𝐵 = 0 → ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = ((𝐴↑2) gcd (0↑2)))
4643, 45eqeq12d 2752 . . . . 5 (𝐵 = 0 → (((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) ↔ ((𝐴 gcd 0)↑2) = ((𝐴↑2) gcd (0↑2))))
4746adantl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 = 0) → (((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) ↔ ((𝐴 gcd 0)↑2) = ((𝐴↑2) gcd (0↑2))))
4841, 47mpbird 256 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)))
49 gcd0val 16377 . . . . . 6 (0 gcd 0) = 0
5049oveq1i 7367 . . . . 5 ((0 gcd 0)↑2) = (0↑2)
5111, 11oveq12i 7369 . . . . . 6 ((0↑2) gcd (0↑2)) = (0 gcd 0)
5251, 49eqtri 2764 . . . . 5 ((0↑2) gcd (0↑2)) = 0
5311, 50, 523eqtr4i 2774 . . . 4 ((0 gcd 0)↑2) = ((0↑2) gcd (0↑2))
54 oveq12 7366 . . . . 5 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 gcd 𝐵) = (0 gcd 0))
5554oveq1d 7372 . . . 4 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = ((0 gcd 0)↑2))
5622, 44oveqan12d 7376 . . . 4 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = ((0↑2) gcd (0↑2)))
5753, 55, 563eqtr4a 2802 . . 3 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)))
583, 26, 48, 57ccase 1036 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0)) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)))
591, 2, 58syl2anb 598 1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  0cc0 11051  cn 12153  2c2 12208  0cn0 12413  cz 12499  cexp 13967  abscabs 15119   gcd cgcd 16374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-dvds 16137  df-gcd 16375
This theorem is referenced by:  zgcdsq  16628
  Copyright terms: Public domain W3C validator