Theorem nn0gcdsq 16684

Description: Squaring commutes with GCD, in particular two coprime numbers have coprime squares. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0gcdsq	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)))

Proof of Theorem nn0gcdsq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12408	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
2		elnn0 12408	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0))
3		sqgcd 16494	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)))
4		nncn 12158	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
5		abssq 15234	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((abs‘𝐵)↑2) = (abs‘(𝐵↑2)))
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → ((abs‘𝐵)↑2) = (abs‘(𝐵↑2)))
7		nnz 12514	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
8		gcd0id 16451	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (0 gcd 𝐵) = (abs‘𝐵))
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (0 gcd 𝐵) = (abs‘𝐵))
10	9	oveq1d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → ((0 gcd 𝐵)↑2) = ((abs‘𝐵)↑2))
11		sq0 14120	. . . . . . . . 9 ⊢ (0↑2) = 0
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (0↑2) = 0)
13	12	oveq1d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → ((0↑2) gcd (𝐵↑2)) = (0 gcd (𝐵↑2)))
14		zsqcl 14057	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
15		gcd0id 16451	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵↑2) ∈ ℤ → (0 gcd (𝐵↑2)) = (abs‘(𝐵↑2)))
16	7, 14, 15	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (0 gcd (𝐵↑2)) = (abs‘(𝐵↑2)))
17	13, 16	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → ((0↑2) gcd (𝐵↑2)) = (abs‘(𝐵↑2)))
18	6, 10, 17	3eqtr4d 2782	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → ((0 gcd 𝐵)↑2) = ((0↑2) gcd (𝐵↑2)))
19	18	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((0 gcd 𝐵)↑2) = ((0↑2) gcd (𝐵↑2)))
20		oveq1 7368	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 gcd 𝐵) = (0 gcd 𝐵))
21	20	oveq1d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = ((0 gcd 𝐵)↑2))
22		oveq1 7368	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑2) = (0↑2))
23	22	oveq1d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = ((0↑2) gcd (𝐵↑2)))
24	21, 23	eqeq12d 2753	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → (((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) ↔ ((0 gcd 𝐵)↑2) = ((0↑2) gcd (𝐵↑2))))
25	24	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) ↔ ((0 gcd 𝐵)↑2) = ((0↑2) gcd (𝐵↑2))))
26	19, 25	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)))
27		nncn 12158	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
28		abssq 15234	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴)↑2) = (abs‘(𝐴↑2)))
29	27, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((abs‘𝐴)↑2) = (abs‘(𝐴↑2)))
30		nnz 12514	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
31		gcdid0 16452	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 gcd 0) = (abs‘𝐴))
32	30, 31	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 gcd 0) = (abs‘𝐴))
33	32	oveq1d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐴 gcd 0)↑2) = ((abs‘𝐴)↑2))
34	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (0↑2) = 0)
35	34	oveq2d 7377	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐴↑2) gcd (0↑2)) = ((𝐴↑2) gcd 0))
36		zsqcl 14057	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
37		gcdid0 16452	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴↑2) ∈ ℤ → ((𝐴↑2) gcd 0) = (abs‘(𝐴↑2)))
38	30, 36, 37	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐴↑2) gcd 0) = (abs‘(𝐴↑2)))
39	35, 38	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐴↑2) gcd (0↑2)) = (abs‘(𝐴↑2)))
40	29, 33, 39	3eqtr4d 2782	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐴 gcd 0)↑2) = ((𝐴↑2) gcd (0↑2)))
41	40	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 gcd 0)↑2) = ((𝐴↑2) gcd (0↑2)))
42		oveq2 7369	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐴 gcd 𝐵) = (𝐴 gcd 0))
43	42	oveq1d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 0 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = ((𝐴 gcd 0)↑2))
44		oveq1 7368	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐵↑2) = (0↑2))
45	44	oveq2d 7377	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 0 → ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = ((𝐴↑2) gcd (0↑2)))
46	43, 45	eqeq12d 2753	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 0 → (((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) ↔ ((𝐴 gcd 0)↑2) = ((𝐴↑2) gcd (0↑2))))
47	46	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 = 0) → (((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) ↔ ((𝐴 gcd 0)↑2) = ((𝐴↑2) gcd (0↑2))))
48	41, 47	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)))
49		gcd0val 16429	. . . . . 6 ⊢ (0 gcd 0) = 0
50	49	oveq1i 7371	. . . . 5 ⊢ ((0 gcd 0)↑2) = (0↑2)
51	11, 11	oveq12i 7373	. . . . . 6 ⊢ ((0↑2) gcd (0↑2)) = (0 gcd 0)
52	51, 49	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ ((0↑2) gcd (0↑2)) = 0
53	11, 50, 52	3eqtr4i 2770	. . . 4 ⊢ ((0 gcd 0)↑2) = ((0↑2) gcd (0↑2))
54		oveq12 7370	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 gcd 𝐵) = (0 gcd 0))
55	54	oveq1d 7376	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = ((0 gcd 0)↑2))
56	22, 44	oveqan12d 7380	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = ((0↑2) gcd (0↑2)))
57	53, 55, 56	3eqtr4a 2798	. . 3 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)))
58	3, 26, 48, 57	ccase 1038	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0)) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)))
59	1, 2, 58	syl2anb 599	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℂcc 11029  0cc0 11031  ℕcn 12150  2c2 12205  ℕ₀cn0 12406  ℤcz 12493  ↑cexp 13989  abscabs 15162   gcd cgcd 16426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108  ax-pre-sup 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-sup 9350  df-inf 9351  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-n0 12407  df-z 12494  df-uz 12757  df-rp 12911  df-fl 13717  df-mod 13795  df-seq 13930  df-exp 13990  df-cj 15027  df-re 15028  df-im 15029  df-sqrt 15163  df-abs 15164  df-dvds 16185  df-gcd 16427

This theorem is referenced by:  zgcdsq  16685