Theorem gcd0id 16078

Description: The gcd of 0 and an integer is the integer's absolute value. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
gcd0id	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))

Proof of Theorem gcd0id

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcd0val 16056	. . . 4 ⊢ (0 gcd 0) = 0
2		oveq2 7221	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (0 gcd 𝑁) = (0 gcd 0))
3		fveq2 6717	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (abs‘𝑁) = (abs‘0))
4		abs0 14849	. . . . 5 ⊢ (abs‘0) = 0
5	3, 4	eqtrdi 2794	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (abs‘𝑁) = 0)
6	1, 2, 5	3eqtr4a 2804	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))
7	6	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → (0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))
8		0z 12187	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
9		gcddvds 16062	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((0 gcd 𝑁) ∥ 0 ∧ (0 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
10	8, 9	mpan 690	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((0 gcd 𝑁) ∥ 0 ∧ (0 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
11	10	simprd 499	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
12	11	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (0 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
13		gcdcl 16065	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
14	8, 13	mpan 690	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
15	14	nn0zd 12280	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
16		dvdsleabs 15872	. . . . . 6 ⊢ (((0 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((0 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 → (0 gcd 𝑁) ≤ (abs‘𝑁)))
17	15, 16	syl3an1 1165	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((0 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 → (0 gcd 𝑁) ≤ (abs‘𝑁)))
18	17	3anidm12 1421	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((0 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 → (0 gcd 𝑁) ≤ (abs‘𝑁)))
19	12, 18	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (0 gcd 𝑁) ≤ (abs‘𝑁))
20		zabscl 14877	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℤ)
21		dvds0 15833	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘𝑁) ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∥ 0)
22	20, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∥ 0)
23		iddvds 15831	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)
24		absdvdsb 15836	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝑁 ↔ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁))
25	24	anidms 570	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∥ 𝑁 ↔ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁))
26	23, 25	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∥ 𝑁)
27	22, 26	jca 515	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁))
28	27	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁))
29		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = 0
30	29	biantrur 534	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 ↔ (0 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
31	30	necon3abii 2987	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ (0 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
32		dvdslegcd 16063	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((abs‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (0 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁) → (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁)))
33	32	ex 416	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (0 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁) → (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁))))
34	8, 33	mp3an2 1451	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (0 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁) → (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁))))
35	20, 34	mpancom 688	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ (0 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁) → (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁))))
36	31, 35	syl5bi 245	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ≠ 0 → (((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁) → (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁))))
37	36	imp 410	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁) → (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁)))
38	28, 37	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁))
39	15	zred 12282	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 gcd 𝑁) ∈ ℝ)
40	20	zred 12282	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℝ)
41	39, 40	letri3d 10974	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁) ↔ ((0 gcd 𝑁) ≤ (abs‘𝑁) ∧ (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁))))
42	41	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁) ↔ ((0 gcd 𝑁) ≤ (abs‘𝑁) ∧ (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁))))
43	19, 38, 42	mpbir2and 713	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))
44	7, 43	pm2.61dane 3029	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940   class class class wbr 5053  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  0cc0 10729   ≤ cle 10868  ℕ₀cn0 12090  ℤcz 12176  abscabs 14797   ∥ cdvds 15815   gcd cgcd 16053

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-sup 9058  df-inf 9059  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-seq 13575  df-exp 13636  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-dvds 15816  df-gcd 16054

This theorem is referenced by:  gcdid0  16079  nn0gcdsq  16308  dfphi2  16327  qqh0  31646  nn0rppwr  40041  nn0expgcd  40043