MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gcd0id Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gcd0id 15727
Description: The gcd of 0 and an integer is the integer's absolute value. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
gcd0id (𝑁 ∈ ℤ → (0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))

Proof of Theorem gcd0id
StepHypRef Expression
1 gcd0val 15706 . . . 4 (0 gcd 0) = 0
2 oveq2 6984 . . . 4 (𝑁 = 0 → (0 gcd 𝑁) = (0 gcd 0))
3 fveq2 6499 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (abs‘𝑁) = (abs‘0))
4 abs0 14506 . . . . 5 (abs‘0) = 0
53, 4syl6eq 2831 . . . 4 (𝑁 = 0 → (abs‘𝑁) = 0)
61, 2, 53eqtr4a 2841 . . 3 (𝑁 = 0 → (0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))
76adantl 474 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → (0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))
8 0z 11804 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
9 gcddvds 15712 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((0 gcd 𝑁) ∥ 0 ∧ (0 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
108, 9mpan 677 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → ((0 gcd 𝑁) ∥ 0 ∧ (0 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
1110simprd 488 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (0 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
1211adantr 473 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (0 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
13 gcdcl 15715 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
148, 13mpan 677 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (0 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
1514nn0zd 11898 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (0 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
16 dvdsleabs 15521 . . . . . 6 (((0 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((0 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 → (0 gcd 𝑁) ≤ (abs‘𝑁)))
1715, 16syl3an1 1143 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((0 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 → (0 gcd 𝑁) ≤ (abs‘𝑁)))
18173anidm12 1399 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((0 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 → (0 gcd 𝑁) ≤ (abs‘𝑁)))
1912, 18mpd 15 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (0 gcd 𝑁) ≤ (abs‘𝑁))
20 zabscl 14534 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℤ)
21 dvds0 15485 . . . . . . 7 ((abs‘𝑁) ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∥ 0)
2220, 21syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∥ 0)
23 iddvds 15483 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁𝑁)
24 absdvdsb 15488 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁𝑁 ↔ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁))
2524anidms 559 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁𝑁 ↔ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁))
2623, 25mpbid 224 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∥ 𝑁)
2722, 26jca 504 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → ((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁))
2827adantr 473 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁))
29 eqid 2779 . . . . . . . 8 0 = 0
3029biantrur 523 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 ↔ (0 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
3130necon3abii 3014 . . . . . 6 (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ (0 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
32 dvdslegcd 15713 . . . . . . . . 9 ((((abs‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (0 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁) → (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁)))
3332ex 405 . . . . . . . 8 (((abs‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (0 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁) → (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁))))
348, 33mp3an2 1428 . . . . . . 7 (((abs‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (0 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁) → (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁))))
3520, 34mpancom 675 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ (0 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁) → (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁))))
3631, 35syl5bi 234 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ≠ 0 → (((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁) → (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁))))
3736imp 398 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁) → (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁)))
3828, 37mpd 15 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁))
3915zred 11900 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (0 gcd 𝑁) ∈ ℝ)
4020zred 11900 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℝ)
4139, 40letri3d 10582 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → ((0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁) ↔ ((0 gcd 𝑁) ≤ (abs‘𝑁) ∧ (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁))))
4241adantr 473 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁) ↔ ((0 gcd 𝑁) ≤ (abs‘𝑁) ∧ (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁))))
4319, 38, 42mpbir2and 700 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))
447, 43pm2.61dane 3056 1 (𝑁 ∈ ℤ → (0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2968   class class class wbr 4929  cfv 6188  (class class class)co 6976  0cc0 10335  cle 10475  0cn0 11707  cz 11793  abscabs 14454  cdvds 15467   gcd cgcd 15703
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-sup 8701  df-inf 8702  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-rp 12205  df-seq 13185  df-exp 13245  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-dvds 15468  df-gcd 15704
This theorem is referenced by:  gcdid0  15728  nn0gcdsq  15948  dfphi2  15967  qqh0  30866  nn0rppwr  38611  nn0expgcd  38613
  Copyright terms: Public domain W3C validator