Theorem gcd0id 16486

Description: The gcd of 0 and an integer is the integer's absolute value. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
gcd0id	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))

Proof of Theorem gcd0id

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcd0val 16464	. . . 4 ⊢ (0 gcd 0) = 0
2		oveq2 7371	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (0 gcd 𝑁) = (0 gcd 0))
3		fveq2 6834	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (abs‘𝑁) = (abs‘0))
4		abs0 15245	. . . . 5 ⊢ (abs‘0) = 0
5	3, 4	eqtrdi 2791	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (abs‘𝑁) = 0)
6	1, 2, 5	3eqtr4a 2801	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))
7	6	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → (0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))
8		0z 12533	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
9		gcddvds 16470	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((0 gcd 𝑁) ∥ 0 ∧ (0 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
10	8, 9	mpan 696	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((0 gcd 𝑁) ∥ 0 ∧ (0 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
11	10	simprd 496	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
12	11	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (0 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
13		gcdcl 16473	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
14	8, 13	mpan 696	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
15	14	nn0zd 12547	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
16		dvdsleabs 16278	. . . . . 6 ⊢ (((0 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((0 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 → (0 gcd 𝑁) ≤ (abs‘𝑁)))
17	15, 16	syl3an1 1169	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((0 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 → (0 gcd 𝑁) ≤ (abs‘𝑁)))
18	17	3anidm12 1427	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((0 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 → (0 gcd 𝑁) ≤ (abs‘𝑁)))
19	12, 18	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (0 gcd 𝑁) ≤ (abs‘𝑁))
20		zabscl 15273	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℤ)
21		dvds0 16238	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘𝑁) ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∥ 0)
22	20, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∥ 0)
23		iddvds 16236	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)
24		absdvdsb 16241	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝑁 ↔ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁))
25	24	anidms 571	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∥ 𝑁 ↔ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁))
26	23, 25	mpbid 233	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∥ 𝑁)
27	22, 26	jca 516	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁))
28	27	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁))
29		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = 0
30	29	biantrur 535	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 ↔ (0 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
31	30	necon3abii 2981	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ (0 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
32		dvdslegcd 16471	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((abs‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (0 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁) → (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁)))
33	32	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (0 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁) → (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁))))
34	8, 33	mp3an2 1457	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (0 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁) → (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁))))
35	20, 34	mpancom 694	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ (0 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁) → (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁))))
36	31, 35	biimtrid 243	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ≠ 0 → (((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁) → (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁))))
37	36	imp 407	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁) → (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁)))
38	28, 37	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁))
39	15	zred 12631	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 gcd 𝑁) ∈ ℝ)
40	20	zred 12631	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℝ)
41	39, 40	letri3d 11286	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁) ↔ ((0 gcd 𝑁) ≤ (abs‘𝑁) ∧ (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁))))
42	41	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁) ↔ ((0 gcd 𝑁) ≤ (abs‘𝑁) ∧ (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁))))
43	19, 38, 42	mpbir2and 719	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))
44	7, 43	pm2.61dane 3022	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  0cc0 11036   ≤ cle 11178  ℕ₀cn0 12435  ℤcz 12522  abscabs 15194   ∥ cdvds 16219   gcd cgcd 16461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9352  df-inf 9353  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-rp 12941  df-seq 13962  df-exp 14022  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-dvds 16220  df-gcd 16462

This theorem is referenced by:  gcdid0  16487  nn0rppwr  16528  nn0expgcd  16531  nn0gcdsq  16720  dfphi2  16742  qqh0  34175