Theorem gcd0id 16497

Description: The gcd of 0 and an integer is the integer's absolute value. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
gcd0id	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))

Proof of Theorem gcd0id

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcd0val 16475	. . . 4 ⊢ (0 gcd 0) = 0
2		oveq2 7427	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (0 gcd 𝑁) = (0 gcd 0))
3		fveq2 6896	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (abs‘𝑁) = (abs‘0))
4		abs0 15268	. . . . 5 ⊢ (abs‘0) = 0
5	3, 4	eqtrdi 2781	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (abs‘𝑁) = 0)
6	1, 2, 5	3eqtr4a 2791	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))
7	6	adantl 480	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → (0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))
8		0z 12602	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
9		gcddvds 16481	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((0 gcd 𝑁) ∥ 0 ∧ (0 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
10	8, 9	mpan 688	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((0 gcd 𝑁) ∥ 0 ∧ (0 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
11	10	simprd 494	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
12	11	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (0 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
13		gcdcl 16484	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
14	8, 13	mpan 688	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
15	14	nn0zd 12617	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
16		dvdsleabs 16291	. . . . . 6 ⊢ (((0 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((0 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 → (0 gcd 𝑁) ≤ (abs‘𝑁)))
17	15, 16	syl3an1 1160	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((0 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 → (0 gcd 𝑁) ≤ (abs‘𝑁)))
18	17	3anidm12 1416	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((0 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 → (0 gcd 𝑁) ≤ (abs‘𝑁)))
19	12, 18	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (0 gcd 𝑁) ≤ (abs‘𝑁))
20		zabscl 15296	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℤ)
21		dvds0 16252	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘𝑁) ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∥ 0)
22	20, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∥ 0)
23		iddvds 16250	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)
24		absdvdsb 16255	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝑁 ↔ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁))
25	24	anidms 565	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∥ 𝑁 ↔ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁))
26	23, 25	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∥ 𝑁)
27	22, 26	jca 510	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁))
28	27	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁))
29		eqid 2725	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = 0
30	29	biantrur 529	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 ↔ (0 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
31	30	necon3abii 2976	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ (0 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
32		dvdslegcd 16482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((abs‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (0 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁) → (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁)))
33	32	ex 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (0 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁) → (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁))))
34	8, 33	mp3an2 1445	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (0 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁) → (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁))))
35	20, 34	mpancom 686	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ (0 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁) → (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁))))
36	31, 35	biimtrid 241	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ≠ 0 → (((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁) → (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁))))
37	36	imp 405	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (((abs‘𝑁) ∥ 0 ∧ (abs‘𝑁) ∥ 𝑁) → (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁)))
38	28, 37	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁))
39	15	zred 12699	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 gcd 𝑁) ∈ ℝ)
40	20	zred 12699	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℝ)
41	39, 40	letri3d 11388	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁) ↔ ((0 gcd 𝑁) ≤ (abs‘𝑁) ∧ (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁))))
42	41	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁) ↔ ((0 gcd 𝑁) ≤ (abs‘𝑁) ∧ (abs‘𝑁) ≤ (0 gcd 𝑁))))
43	19, 38, 42	mpbir2and 711	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))
44	7, 43	pm2.61dane 3018	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929   class class class wbr 5149  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  0cc0 11140   ≤ cle 11281  ℕ₀cn0 12505  ℤcz 12591  abscabs 15217   ∥ cdvds 16234   gcd cgcd 16472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9467  df-inf 9468  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-seq 14003  df-exp 14063  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-dvds 16235  df-gcd 16473

This theorem is referenced by:  gcdid0  16498  nn0gcdsq  16727  dfphi2  16746  qqh0  33716  nn0rppwr  42028  nn0expgcd  42030