Theorem bezout 16568

Description: Bézout's identity: For any integers 𝐴 and 𝐵, there are integers 𝑥, 𝑦 such that (𝐴 gcd 𝐵) = 𝐴 · 𝑥 + 𝐵 · 𝑦. This is Metamath 100 proof #60. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bezout	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem bezout

Dummy variables 𝑡 𝑢 𝑣 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑡 → (𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ 𝑡 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
2	1	2rexbidv 3226	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑡 → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑡 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
3		oveq2 7399	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑢))
4	3	oveq1d 7406	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑦)))
5	4	eqeq2d 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝑡 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ 𝑡 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑦))))
6		oveq2 7399	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝐵 · 𝑦) = (𝐵 · 𝑣))
7	6	oveq2d 7407	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑦)) = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)))
8	7	eqeq2d 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑡 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ 𝑡 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))))
9	5, 8	cbvrex2vw 3244	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑡 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑢 ∈ ℤ ∃𝑣 ∈ ℤ 𝑡 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)))
10	2, 9	bitrdi 289	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑡 → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑢 ∈ ℤ ∃𝑣 ∈ ℤ 𝑡 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))))
11	10	cbvrabv 3423	. . . . 5 ⊢ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))} = {𝑡 ∈ ℕ ∣ ∃𝑢 ∈ ℤ ∃𝑣 ∈ ℤ 𝑡 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))}
12		simpll 776	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → 𝐴 ∈ ℤ)
13		simplr 778	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → 𝐵 ∈ ℤ)
14		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ inf({𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))}, ℝ, < ) = inf({𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))}, ℝ, < )
15		simpr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
16	11, 12, 13, 14, 15	bezoutlem4 16567	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))})
17		eqeq1 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝐴 gcd 𝐵) → (𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
18	17	2rexbidv 3226	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝐴 gcd 𝐵) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
19	18	elrab 3649	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))} ↔ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
20	19	simprbi 501	. . . 4 ⊢ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))} → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
21	16, 20	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
22	21	ex 416	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
23		0z 12573	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
24		00id 11352	. . . . 5 ⊢ (0 + 0) = 0
25		0cn 11165	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
26	25	mul01i 11367	. . . . . 6 ⊢ (0 · 0) = 0
27	26, 26	oveq12i 7403	. . . . 5 ⊢ ((0 · 0) + (0 · 0)) = (0 + 0)
28		gcd0val 16522	. . . . 5 ⊢ (0 gcd 0) = 0
29	24, 27, 28	3eqtr4ri 2795	. . . 4 ⊢ (0 gcd 0) = ((0 · 0) + (0 · 0))
30		oveq2 7399	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (0 · 𝑥) = (0 · 0))
31	30	oveq1d 7406	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((0 · 𝑥) + (0 · 𝑦)) = ((0 · 0) + (0 · 𝑦)))
32	31	eqeq2d 2772	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → ((0 gcd 0) = ((0 · 𝑥) + (0 · 𝑦)) ↔ (0 gcd 0) = ((0 · 0) + (0 · 𝑦))))
33		oveq2 7399	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 0 → (0 · 𝑦) = (0 · 0))
34	33	oveq2d 7407	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0 → ((0 · 0) + (0 · 𝑦)) = ((0 · 0) + (0 · 0)))
35	34	eqeq2d 2772	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 0 → ((0 gcd 0) = ((0 · 0) + (0 · 𝑦)) ↔ (0 gcd 0) = ((0 · 0) + (0 · 0))))
36	32, 35	rspc2ev 3593	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (0 gcd 0) = ((0 · 0) + (0 · 0))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (0 gcd 0) = ((0 · 𝑥) + (0 · 𝑦)))
37	23, 23, 29, 36	mp3an 1481	. . 3 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (0 gcd 0) = ((0 · 𝑥) + (0 · 𝑦))
38		oveq12 7400	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 gcd 𝐵) = (0 gcd 0))
39		oveq1 7398	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
40		oveq1 7398	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐵 · 𝑦) = (0 · 𝑦))
41	39, 40	oveqan12d 7410	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) = ((0 · 𝑥) + (0 · 𝑦)))
42	38, 41	eqeq12d 2777	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ (0 gcd 0) = ((0 · 𝑥) + (0 · 𝑦))))
43	42	2rexbidv 3226	. . 3 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (0 gcd 0) = ((0 · 𝑥) + (0 · 𝑦))))
44	37, 43	mpbiri 260	. 2 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
45	22, 44	pm2.61d2 182	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∃wrex 3085  {crab 3413  (class class class)co 7391  infcinf 9381  ℝcr 11066  0cc0 11067   + caddc 11070   · cmul 11072   < clt 11210  ℕcn 12204  ℤcz 12562   gcd cgcd 16519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9382  df-inf 9383  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-rp 12988  df-fl 13796  df-mod 13874  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-dvds 16278  df-gcd 16520

This theorem is referenced by:  dvdsgcd  16569  dvdsmulgcd  16581  lcmgcdlem  16631  divgcdcoprm0  16690  odbezout  19589  ablfacrp  20099  pgpfac1lem3  20110  znunit  21603  2sqb  27484  ostth3  27690  primrootscoprmpow  42677  posbezout  42678