MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bezout Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bezout 16524
Description: Bรฉzout's identity: For any integers ๐ด and ๐ต, there are integers ๐‘ฅ, ๐‘ฆ such that (๐ด gcd ๐ต) = ๐ด ยท ๐‘ฅ + ๐ต ยท ๐‘ฆ. This is Metamath 100 proof #60. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
bezout ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐ด gcd ๐ต) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ

Proof of Theorem bezout
Dummy variables ๐‘ก ๐‘ข ๐‘ฃ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2731 . . . . . . . 8 (๐‘ง = ๐‘ก โ†’ (๐‘ง = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†” ๐‘ก = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
212rexbidv 3215 . . . . . . 7 (๐‘ง = ๐‘ก โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘ก = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
3 oveq2 7432 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ข โ†’ (๐ด ยท ๐‘ฅ) = (๐ด ยท ๐‘ข))
43oveq1d 7439 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ข โ†’ ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) = ((๐ด ยท ๐‘ข) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))
54eqeq2d 2738 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ข โ†’ (๐‘ก = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†” ๐‘ก = ((๐ด ยท ๐‘ข) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
6 oveq2 7432 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = ๐‘ฃ โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฆ) = (๐ต ยท ๐‘ฃ))
76oveq2d 7440 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = ๐‘ฃ โ†’ ((๐ด ยท ๐‘ข) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) = ((๐ด ยท ๐‘ข) + (๐ต ยท ๐‘ฃ)))
87eqeq2d 2738 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ๐‘ฃ โ†’ (๐‘ก = ((๐ด ยท ๐‘ข) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†” ๐‘ก = ((๐ด ยท ๐‘ข) + (๐ต ยท ๐‘ฃ))))
95, 8cbvrex2vw 3235 . . . . . . 7 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘ก = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†” โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ค ๐‘ก = ((๐ด ยท ๐‘ข) + (๐ต ยท ๐‘ฃ)))
102, 9bitrdi 286 . . . . . 6 (๐‘ง = ๐‘ก โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†” โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ค ๐‘ก = ((๐ด ยท ๐‘ข) + (๐ต ยท ๐‘ฃ))))
1110cbvrabv 3439 . . . . 5 {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))} = {๐‘ก โˆˆ โ„• โˆฃ โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ค ๐‘ก = ((๐ด ยท ๐‘ข) + (๐ต ยท ๐‘ฃ))}
12 simpll 765 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
13 simplr 767 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
14 eqid 2727 . . . . 5 inf({๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))}, โ„, < ) = inf({๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))}, โ„, < )
15 simpr 483 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0)) โ†’ ยฌ (๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0))
1611, 12, 13, 14, 15bezoutlem4 16523 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0)) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))})
17 eqeq1 2731 . . . . . . 7 (๐‘ง = (๐ด gcd ๐ต) โ†’ (๐‘ง = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†” (๐ด gcd ๐ต) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
18172rexbidv 3215 . . . . . 6 (๐‘ง = (๐ด gcd ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐ด gcd ๐ต) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
1918elrab 3682 . . . . 5 ((๐ด gcd ๐ต) โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))} โ†” ((๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„• โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐ด gcd ๐ต) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
2019simprbi 495 . . . 4 ((๐ด gcd ๐ต) โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))} โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐ด gcd ๐ต) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))
2116, 20syl 17 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐ด gcd ๐ต) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))
2221ex 411 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ (๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐ด gcd ๐ต) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
23 0z 12605 . . . 4 0 โˆˆ โ„ค
24 00id 11425 . . . . 5 (0 + 0) = 0
25 0cn 11242 . . . . . . 7 0 โˆˆ โ„‚
2625mul01i 11440 . . . . . 6 (0 ยท 0) = 0
2726, 26oveq12i 7436 . . . . 5 ((0 ยท 0) + (0 ยท 0)) = (0 + 0)
28 gcd0val 16477 . . . . 5 (0 gcd 0) = 0
2924, 27, 283eqtr4ri 2766 . . . 4 (0 gcd 0) = ((0 ยท 0) + (0 ยท 0))
30 oveq2 7432 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (0 ยท ๐‘ฅ) = (0 ยท 0))
3130oveq1d 7439 . . . . . 6 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ((0 ยท ๐‘ฅ) + (0 ยท ๐‘ฆ)) = ((0 ยท 0) + (0 ยท ๐‘ฆ)))
3231eqeq2d 2738 . . . . 5 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ((0 gcd 0) = ((0 ยท ๐‘ฅ) + (0 ยท ๐‘ฆ)) โ†” (0 gcd 0) = ((0 ยท 0) + (0 ยท ๐‘ฆ))))
33 oveq2 7432 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = 0 โ†’ (0 ยท ๐‘ฆ) = (0 ยท 0))
3433oveq2d 7440 . . . . . 6 (๐‘ฆ = 0 โ†’ ((0 ยท 0) + (0 ยท ๐‘ฆ)) = ((0 ยท 0) + (0 ยท 0)))
3534eqeq2d 2738 . . . . 5 (๐‘ฆ = 0 โ†’ ((0 gcd 0) = ((0 ยท 0) + (0 ยท ๐‘ฆ)) โ†” (0 gcd 0) = ((0 ยท 0) + (0 ยท 0))))
3632, 35rspc2ev 3622 . . . 4 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง 0 โˆˆ โ„ค โˆง (0 gcd 0) = ((0 ยท 0) + (0 ยท 0))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (0 gcd 0) = ((0 ยท ๐‘ฅ) + (0 ยท ๐‘ฆ)))
3723, 23, 29, 36mp3an 1457 . . 3 โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (0 gcd 0) = ((0 ยท ๐‘ฅ) + (0 ยท ๐‘ฆ))
38 oveq12 7433 . . . . 5 ((๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) = (0 gcd 0))
39 oveq1 7431 . . . . . 6 (๐ด = 0 โ†’ (๐ด ยท ๐‘ฅ) = (0 ยท ๐‘ฅ))
40 oveq1 7431 . . . . . 6 (๐ต = 0 โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฆ) = (0 ยท ๐‘ฆ))
4139, 40oveqan12d 7443 . . . . 5 ((๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) = ((0 ยท ๐‘ฅ) + (0 ยท ๐‘ฆ)))
4238, 41eqeq12d 2743 . . . 4 ((๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†” (0 gcd 0) = ((0 ยท ๐‘ฅ) + (0 ยท ๐‘ฆ))))
43422rexbidv 3215 . . 3 ((๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐ด gcd ๐ต) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (0 gcd 0) = ((0 ยท ๐‘ฅ) + (0 ยท ๐‘ฆ))))
4437, 43mpbiri 257 . 2 ((๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐ด gcd ๐ต) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))
4522, 44pm2.61d2 181 1 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐ด gcd ๐ต) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3066  {crab 3428  (class class class)co 7424  infcinf 9470  โ„cr 11143  0cc0 11144   + caddc 11147   ยท cmul 11149   < clt 11284  โ„•cn 12248  โ„คcz 12594   gcd cgcd 16474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fl 13795  df-mod 13873  df-seq 14005  df-exp 14065  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-dvds 16237  df-gcd 16475
This theorem is referenced by:  dvdsgcd  16525  dvdsmulgcd  16536  lcmgcdlem  16582  divgcdcoprm0  16641  odbezout  19518  ablfacrp  20028  pgpfac1lem3  20039  znunit  21502  2sqb  27383  ostth3  27589  primrootscoprmpow  41574  posbezout  41575
  Copyright terms: Public domain W3C validator