MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bezout Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bezout 16490
Description: Bรฉzout's identity: For any integers ๐ด and ๐ต, there are integers ๐‘ฅ, ๐‘ฆ such that (๐ด gcd ๐ต) = ๐ด ยท ๐‘ฅ + ๐ต ยท ๐‘ฆ. This is Metamath 100 proof #60. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
bezout ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐ด gcd ๐ต) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ

Proof of Theorem bezout
Dummy variables ๐‘ก ๐‘ข ๐‘ฃ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2730 . . . . . . . 8 (๐‘ง = ๐‘ก โ†’ (๐‘ง = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†” ๐‘ก = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
212rexbidv 3213 . . . . . . 7 (๐‘ง = ๐‘ก โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘ก = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
3 oveq2 7412 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ข โ†’ (๐ด ยท ๐‘ฅ) = (๐ด ยท ๐‘ข))
43oveq1d 7419 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ข โ†’ ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) = ((๐ด ยท ๐‘ข) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))
54eqeq2d 2737 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ข โ†’ (๐‘ก = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†” ๐‘ก = ((๐ด ยท ๐‘ข) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
6 oveq2 7412 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = ๐‘ฃ โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฆ) = (๐ต ยท ๐‘ฃ))
76oveq2d 7420 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = ๐‘ฃ โ†’ ((๐ด ยท ๐‘ข) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) = ((๐ด ยท ๐‘ข) + (๐ต ยท ๐‘ฃ)))
87eqeq2d 2737 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ๐‘ฃ โ†’ (๐‘ก = ((๐ด ยท ๐‘ข) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†” ๐‘ก = ((๐ด ยท ๐‘ข) + (๐ต ยท ๐‘ฃ))))
95, 8cbvrex2vw 3233 . . . . . . 7 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘ก = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†” โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ค ๐‘ก = ((๐ด ยท ๐‘ข) + (๐ต ยท ๐‘ฃ)))
102, 9bitrdi 287 . . . . . 6 (๐‘ง = ๐‘ก โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†” โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ค ๐‘ก = ((๐ด ยท ๐‘ข) + (๐ต ยท ๐‘ฃ))))
1110cbvrabv 3436 . . . . 5 {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))} = {๐‘ก โˆˆ โ„• โˆฃ โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ค ๐‘ก = ((๐ด ยท ๐‘ข) + (๐ต ยท ๐‘ฃ))}
12 simpll 764 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
13 simplr 766 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
14 eqid 2726 . . . . 5 inf({๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))}, โ„, < ) = inf({๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))}, โ„, < )
15 simpr 484 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0)) โ†’ ยฌ (๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0))
1611, 12, 13, 14, 15bezoutlem4 16489 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0)) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))})
17 eqeq1 2730 . . . . . . 7 (๐‘ง = (๐ด gcd ๐ต) โ†’ (๐‘ง = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†” (๐ด gcd ๐ต) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
18172rexbidv 3213 . . . . . 6 (๐‘ง = (๐ด gcd ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐ด gcd ๐ต) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
1918elrab 3678 . . . . 5 ((๐ด gcd ๐ต) โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))} โ†” ((๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„• โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐ด gcd ๐ต) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
2019simprbi 496 . . . 4 ((๐ด gcd ๐ต) โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))} โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐ด gcd ๐ต) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))
2116, 20syl 17 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐ด gcd ๐ต) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))
2221ex 412 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ (๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐ด gcd ๐ต) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
23 0z 12570 . . . 4 0 โˆˆ โ„ค
24 00id 11390 . . . . 5 (0 + 0) = 0
25 0cn 11207 . . . . . . 7 0 โˆˆ โ„‚
2625mul01i 11405 . . . . . 6 (0 ยท 0) = 0
2726, 26oveq12i 7416 . . . . 5 ((0 ยท 0) + (0 ยท 0)) = (0 + 0)
28 gcd0val 16443 . . . . 5 (0 gcd 0) = 0
2924, 27, 283eqtr4ri 2765 . . . 4 (0 gcd 0) = ((0 ยท 0) + (0 ยท 0))
30 oveq2 7412 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (0 ยท ๐‘ฅ) = (0 ยท 0))
3130oveq1d 7419 . . . . . 6 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ((0 ยท ๐‘ฅ) + (0 ยท ๐‘ฆ)) = ((0 ยท 0) + (0 ยท ๐‘ฆ)))
3231eqeq2d 2737 . . . . 5 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ((0 gcd 0) = ((0 ยท ๐‘ฅ) + (0 ยท ๐‘ฆ)) โ†” (0 gcd 0) = ((0 ยท 0) + (0 ยท ๐‘ฆ))))
33 oveq2 7412 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = 0 โ†’ (0 ยท ๐‘ฆ) = (0 ยท 0))
3433oveq2d 7420 . . . . . 6 (๐‘ฆ = 0 โ†’ ((0 ยท 0) + (0 ยท ๐‘ฆ)) = ((0 ยท 0) + (0 ยท 0)))
3534eqeq2d 2737 . . . . 5 (๐‘ฆ = 0 โ†’ ((0 gcd 0) = ((0 ยท 0) + (0 ยท ๐‘ฆ)) โ†” (0 gcd 0) = ((0 ยท 0) + (0 ยท 0))))
3632, 35rspc2ev 3619 . . . 4 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง 0 โˆˆ โ„ค โˆง (0 gcd 0) = ((0 ยท 0) + (0 ยท 0))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (0 gcd 0) = ((0 ยท ๐‘ฅ) + (0 ยท ๐‘ฆ)))
3723, 23, 29, 36mp3an 1457 . . 3 โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (0 gcd 0) = ((0 ยท ๐‘ฅ) + (0 ยท ๐‘ฆ))
38 oveq12 7413 . . . . 5 ((๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) = (0 gcd 0))
39 oveq1 7411 . . . . . 6 (๐ด = 0 โ†’ (๐ด ยท ๐‘ฅ) = (0 ยท ๐‘ฅ))
40 oveq1 7411 . . . . . 6 (๐ต = 0 โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฆ) = (0 ยท ๐‘ฆ))
4139, 40oveqan12d 7423 . . . . 5 ((๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) = ((0 ยท ๐‘ฅ) + (0 ยท ๐‘ฆ)))
4238, 41eqeq12d 2742 . . . 4 ((๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†” (0 gcd 0) = ((0 ยท ๐‘ฅ) + (0 ยท ๐‘ฆ))))
43422rexbidv 3213 . . 3 ((๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐ด gcd ๐ต) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (0 gcd 0) = ((0 ยท ๐‘ฅ) + (0 ยท ๐‘ฆ))))
4437, 43mpbiri 258 . 2 ((๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐ด gcd ๐ต) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))
4522, 44pm2.61d2 181 1 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐ด gcd ๐ต) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3064  {crab 3426  (class class class)co 7404  infcinf 9435  โ„cr 11108  0cc0 11109   + caddc 11112   ยท cmul 11114   < clt 11249  โ„•cn 12213  โ„คcz 12559   gcd cgcd 16440
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14031  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16203  df-gcd 16441
This theorem is referenced by:  dvdsgcd  16491  dvdsmulgcd  16502  lcmgcdlem  16548  divgcdcoprm0  16607  odbezout  19476  ablfacrp  19986  pgpfac1lem3  19997  znunit  21454  2sqb  27316  ostth3  27522  primrootscoprmpow  41477  posbezout  41478
  Copyright terms: Public domain W3C validator