Theorem bezout 16481

Description: Bézout's identity: For any integers 𝐴 and 𝐵, there are integers 𝑥, 𝑦 such that (𝐴 gcd 𝐵) = 𝐴 · 𝑥 + 𝐵 · 𝑦. This is Metamath 100 proof #60. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bezout	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem bezout

Dummy variables 𝑡 𝑢 𝑣 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑡 → (𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ 𝑡 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
2	1	2rexbidv 3219	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑡 → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑡 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
3		oveq2 7413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑢))
4	3	oveq1d 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑦)))
5	4	eqeq2d 2743	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝑡 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ 𝑡 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑦))))
6		oveq2 7413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝐵 · 𝑦) = (𝐵 · 𝑣))
7	6	oveq2d 7421	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑦)) = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)))
8	7	eqeq2d 2743	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑡 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ 𝑡 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))))
9	5, 8	cbvrex2vw 3239	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑡 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑢 ∈ ℤ ∃𝑣 ∈ ℤ 𝑡 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)))
10	2, 9	bitrdi 286	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑡 → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑢 ∈ ℤ ∃𝑣 ∈ ℤ 𝑡 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))))
11	10	cbvrabv 3442	. . . . 5 ⊢ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))} = {𝑡 ∈ ℕ ∣ ∃𝑢 ∈ ℤ ∃𝑣 ∈ ℤ 𝑡 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))}
12		simpll 765	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → 𝐴 ∈ ℤ)
13		simplr 767	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → 𝐵 ∈ ℤ)
14		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ inf({𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))}, ℝ, < ) = inf({𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))}, ℝ, < )
15		simpr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
16	11, 12, 13, 14, 15	bezoutlem4 16480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))})
17		eqeq1 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝐴 gcd 𝐵) → (𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
18	17	2rexbidv 3219	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝐴 gcd 𝐵) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
19	18	elrab 3682	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))} ↔ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
20	19	simprbi 497	. . . 4 ⊢ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))} → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
21	16, 20	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
22	21	ex 413	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
23		0z 12565	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
24		00id 11385	. . . . 5 ⊢ (0 + 0) = 0
25		0cn 11202	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
26	25	mul01i 11400	. . . . . 6 ⊢ (0 · 0) = 0
27	26, 26	oveq12i 7417	. . . . 5 ⊢ ((0 · 0) + (0 · 0)) = (0 + 0)
28		gcd0val 16434	. . . . 5 ⊢ (0 gcd 0) = 0
29	24, 27, 28	3eqtr4ri 2771	. . . 4 ⊢ (0 gcd 0) = ((0 · 0) + (0 · 0))
30		oveq2 7413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (0 · 𝑥) = (0 · 0))
31	30	oveq1d 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((0 · 𝑥) + (0 · 𝑦)) = ((0 · 0) + (0 · 𝑦)))
32	31	eqeq2d 2743	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → ((0 gcd 0) = ((0 · 𝑥) + (0 · 𝑦)) ↔ (0 gcd 0) = ((0 · 0) + (0 · 𝑦))))
33		oveq2 7413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 0 → (0 · 𝑦) = (0 · 0))
34	33	oveq2d 7421	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0 → ((0 · 0) + (0 · 𝑦)) = ((0 · 0) + (0 · 0)))
35	34	eqeq2d 2743	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 0 → ((0 gcd 0) = ((0 · 0) + (0 · 𝑦)) ↔ (0 gcd 0) = ((0 · 0) + (0 · 0))))
36	32, 35	rspc2ev 3623	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (0 gcd 0) = ((0 · 0) + (0 · 0))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (0 gcd 0) = ((0 · 𝑥) + (0 · 𝑦)))
37	23, 23, 29, 36	mp3an 1461	. . 3 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (0 gcd 0) = ((0 · 𝑥) + (0 · 𝑦))
38		oveq12 7414	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 gcd 𝐵) = (0 gcd 0))
39		oveq1 7412	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
40		oveq1 7412	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐵 · 𝑦) = (0 · 𝑦))
41	39, 40	oveqan12d 7424	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) = ((0 · 𝑥) + (0 · 𝑦)))
42	38, 41	eqeq12d 2748	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ (0 gcd 0) = ((0 · 𝑥) + (0 · 𝑦))))
43	42	2rexbidv 3219	. . 3 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (0 gcd 0) = ((0 · 𝑥) + (0 · 𝑦))))
44	37, 43	mpbiri 257	. 2 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
45	22, 44	pm2.61d2 181	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3070  {crab 3432  (class class class)co 7405  infcinf 9432  ℝcr 11105  0cc0 11106   + caddc 11109   · cmul 11111   < clt 11244  ℕcn 12208  ℤcz 12554   gcd cgcd 16431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-dvds 16194  df-gcd 16432

This theorem is referenced by:  dvdsgcd  16482  dvdsmulgcd  16493  lcmgcdlem  16539  divgcdcoprm0  16598  odbezout  19420  ablfacrp  19930  pgpfac1lem3  19941  znunit  21110  2sqb  26924  ostth3  27130