Theorem bezout 16473

Description: Bézout's identity: For any integers 𝐴 and 𝐵, there are integers 𝑥, 𝑦 such that (𝐴 gcd 𝐵) = 𝐴 · 𝑥 + 𝐵 · 𝑦. This is Metamath 100 proof #60. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bezout	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem bezout

Dummy variables 𝑡 𝑢 𝑣 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑡 → (𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ 𝑡 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
2	1	2rexbidv 3194	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑡 → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑡 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
3		oveq2 7361	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑢))
4	3	oveq1d 7368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑦)))
5	4	eqeq2d 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝑡 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ 𝑡 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑦))))
6		oveq2 7361	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝐵 · 𝑦) = (𝐵 · 𝑣))
7	6	oveq2d 7369	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑦)) = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)))
8	7	eqeq2d 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑡 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ 𝑡 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))))
9	5, 8	cbvrex2vw 3212	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑡 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑢 ∈ ℤ ∃𝑣 ∈ ℤ 𝑡 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)))
10	2, 9	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑡 → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑢 ∈ ℤ ∃𝑣 ∈ ℤ 𝑡 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))))
11	10	cbvrabv 3407	. . . . 5 ⊢ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))} = {𝑡 ∈ ℕ ∣ ∃𝑢 ∈ ℤ ∃𝑣 ∈ ℤ 𝑡 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))}
12		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → 𝐴 ∈ ℤ)
13		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → 𝐵 ∈ ℤ)
14		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ inf({𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))}, ℝ, < ) = inf({𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))}, ℝ, < )
15		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
16	11, 12, 13, 14, 15	bezoutlem4 16472	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))})
17		eqeq1 2733	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝐴 gcd 𝐵) → (𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
18	17	2rexbidv 3194	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝐴 gcd 𝐵) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
19	18	elrab 3650	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))} ↔ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
20	19	simprbi 496	. . . 4 ⊢ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))} → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
21	16, 20	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
22	21	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
23		0z 12501	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
24		00id 11310	. . . . 5 ⊢ (0 + 0) = 0
25		0cn 11126	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
26	25	mul01i 11325	. . . . . 6 ⊢ (0 · 0) = 0
27	26, 26	oveq12i 7365	. . . . 5 ⊢ ((0 · 0) + (0 · 0)) = (0 + 0)
28		gcd0val 16427	. . . . 5 ⊢ (0 gcd 0) = 0
29	24, 27, 28	3eqtr4ri 2763	. . . 4 ⊢ (0 gcd 0) = ((0 · 0) + (0 · 0))
30		oveq2 7361	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (0 · 𝑥) = (0 · 0))
31	30	oveq1d 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((0 · 𝑥) + (0 · 𝑦)) = ((0 · 0) + (0 · 𝑦)))
32	31	eqeq2d 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → ((0 gcd 0) = ((0 · 𝑥) + (0 · 𝑦)) ↔ (0 gcd 0) = ((0 · 0) + (0 · 𝑦))))
33		oveq2 7361	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 0 → (0 · 𝑦) = (0 · 0))
34	33	oveq2d 7369	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0 → ((0 · 0) + (0 · 𝑦)) = ((0 · 0) + (0 · 0)))
35	34	eqeq2d 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 0 → ((0 gcd 0) = ((0 · 0) + (0 · 𝑦)) ↔ (0 gcd 0) = ((0 · 0) + (0 · 0))))
36	32, 35	rspc2ev 3592	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (0 gcd 0) = ((0 · 0) + (0 · 0))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (0 gcd 0) = ((0 · 𝑥) + (0 · 𝑦)))
37	23, 23, 29, 36	mp3an 1463	. . 3 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (0 gcd 0) = ((0 · 𝑥) + (0 · 𝑦))
38		oveq12 7362	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 gcd 𝐵) = (0 gcd 0))
39		oveq1 7360	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
40		oveq1 7360	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐵 · 𝑦) = (0 · 𝑦))
41	39, 40	oveqan12d 7372	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) = ((0 · 𝑥) + (0 · 𝑦)))
42	38, 41	eqeq12d 2745	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ (0 gcd 0) = ((0 · 𝑥) + (0 · 𝑦))))
43	42	2rexbidv 3194	. . 3 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (0 gcd 0) = ((0 · 𝑥) + (0 · 𝑦))))
44	37, 43	mpbiri 258	. 2 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
45	22, 44	pm2.61d2 181	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  {crab 3396  (class class class)co 7353  infcinf 9350  ℝcr 11027  0cc0 11028   + caddc 11031   · cmul 11033   < clt 11168  ℕcn 12147  ℤcz 12490   gcd cgcd 16424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9351  df-inf 9352  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12755  df-rp 12913  df-fl 13715  df-mod 13793  df-seq 13928  df-exp 13988  df-cj 15025  df-re 15026  df-im 15027  df-sqrt 15161  df-abs 15162  df-dvds 16183  df-gcd 16425

This theorem is referenced by:  dvdsgcd  16474  dvdsmulgcd  16486  lcmgcdlem  16536  divgcdcoprm0  16595  odbezout  19456  ablfacrp  19966  pgpfac1lem3  19977  znunit  21489  2sqb  27360  ostth3  27566  primrootscoprmpow  42092  posbezout  42093