Theorem bezout 16619

Description: Bézout's identity: For any integers 𝐴 and 𝐵, there are integers 𝑥, 𝑦 such that (𝐴 gcd 𝐵) = 𝐴 · 𝑥 + 𝐵 · 𝑦. This is Metamath 100 proof #60. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bezout	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem bezout

Dummy variables 𝑡 𝑢 𝑣 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑡 → (𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ 𝑡 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
2	1	2rexbidv 3232	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑡 → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑡 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
3		oveq2 7424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑢))
4	3	oveq1d 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑦)))
5	4	eqeq2d 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝑡 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ 𝑡 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑦))))
6		oveq2 7424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝐵 · 𝑦) = (𝐵 · 𝑣))
7	6	oveq2d 7432	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑦)) = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)))
8	7	eqeq2d 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑡 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ 𝑡 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))))
9	5, 8	cbvrex2vw 3250	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑡 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑢 ∈ ℤ ∃𝑣 ∈ ℤ 𝑡 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)))
10	2, 9	bitrdi 290	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑡 → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑢 ∈ ℤ ∃𝑣 ∈ ℤ 𝑡 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))))
11	10	cbvrabv 3428	. . . . 5 ⊢ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))} = {𝑡 ∈ ℕ ∣ ∃𝑢 ∈ ℤ ∃𝑣 ∈ ℤ 𝑡 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))}
12		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → 𝐴 ∈ ℤ)
13		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → 𝐵 ∈ ℤ)
14		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ inf({𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))}, ℝ, < ) = inf({𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))}, ℝ, < )
15		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
16	11, 12, 13, 14, 15	bezoutlem4 16618	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))})
17		eqeq1 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝐴 gcd 𝐵) → (𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
18	17	2rexbidv 3232	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝐴 gcd 𝐵) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
19	18	elrab 3652	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))} ↔ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
20	19	simprbi 503	. . . 4 ⊢ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))} → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
21	16, 20	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
22	21	ex 418	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
23		0z 12613	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
24		00id 11396	. . . . 5 ⊢ (0 + 0) = 0
25		0cn 11209	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
26	25	mul01i 11411	. . . . . 6 ⊢ (0 · 0) = 0
27	26, 26	oveq12i 7428	. . . . 5 ⊢ ((0 · 0) + (0 · 0)) = (0 + 0)
28		gcd0val 16573	. . . . 5 ⊢ (0 gcd 0) = 0
29	24, 27, 28	3eqtr4ri 2799	. . . 4 ⊢ (0 gcd 0) = ((0 · 0) + (0 · 0))
30		oveq2 7424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (0 · 𝑥) = (0 · 0))
31	30	oveq1d 7431	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((0 · 𝑥) + (0 · 𝑦)) = ((0 · 0) + (0 · 𝑦)))
32	31	eqeq2d 2776	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → ((0 gcd 0) = ((0 · 𝑥) + (0 · 𝑦)) ↔ (0 gcd 0) = ((0 · 0) + (0 · 𝑦))))
33		oveq2 7424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 0 → (0 · 𝑦) = (0 · 0))
34	33	oveq2d 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0 → ((0 · 0) + (0 · 𝑦)) = ((0 · 0) + (0 · 0)))
35	34	eqeq2d 2776	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 0 → ((0 gcd 0) = ((0 · 0) + (0 · 𝑦)) ↔ (0 gcd 0) = ((0 · 0) + (0 · 0))))
36	32, 35	rspc2ev 3596	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (0 gcd 0) = ((0 · 0) + (0 · 0))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (0 gcd 0) = ((0 · 𝑥) + (0 · 𝑦)))
37	23, 23, 29, 36	mp3an 1490	. . 3 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (0 gcd 0) = ((0 · 𝑥) + (0 · 𝑦))
38		oveq12 7425	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 gcd 𝐵) = (0 gcd 0))
39		oveq1 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
40		oveq1 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐵 · 𝑦) = (0 · 𝑦))
41	39, 40	oveqan12d 7435	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) = ((0 · 𝑥) + (0 · 𝑦)))
42	38, 41	eqeq12d 2781	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ (0 gcd 0) = ((0 · 𝑥) + (0 · 𝑦))))
43	42	2rexbidv 3232	. . 3 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (0 gcd 0) = ((0 · 𝑥) + (0 · 𝑦))))
44	37, 43	mpbiri 261	. 2 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
45	22, 44	pm2.61d2 183	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3091  {crab 3418  (class class class)co 7416  infcinf 9404  ℝcr 11110  0cc0 11111   + caddc 11114   · cmul 11116   < clt 11254  ℕcn 12244  ℤcz 12602   gcd cgcd 16570

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9405  df-inf 9406  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12875  df-rp 13029  df-fl 13839  df-mod 13917  df-seq 14052  df-exp 14112  df-cj 15170  df-re 15171  df-im 15172  df-sqrt 15306  df-abs 15307  df-dvds 16329  df-gcd 16571

This theorem is used by:  dvdsgcd  16620  dvdsmulgcd  16632  lcmgcdlem  16682  divgcdcoprm0  16741  odbezout  19652  ablfacrp  20162  pgpfac1lem3  20173  znunit  21743  2sqb  27627  ostth3  27833  primrootscoprmpow  42899  posbezout  42900