MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmmp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmmp 10956
Description: Domain of multiplication on positive reals. (Contributed by NM, 18-Nov-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
dmmp dom ยทP = (P ร— P)

Proof of Theorem dmmp
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ฃ ๐‘ข are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-mp 10927 . 2 ยทP = (๐‘ฅ โˆˆ P, ๐‘ฆ โˆˆ P โ†ฆ {๐‘ง โˆฃ โˆƒ๐‘ข โˆˆ ๐‘ฅ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘ฆ ๐‘ง = (๐‘ข ยทQ ๐‘ฃ)})
2 mulclnq 10890 . 2 ((๐‘ข โˆˆ Q โˆง ๐‘ฃ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ข ยทQ ๐‘ฃ) โˆˆ Q)
31, 2genpdm 10945 1 dom ยทP = (P ร— P)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   ร— cxp 5636  dom cdm 5638   ยทQ cmq 10799  Pcnp 10802   ยทP cmp 10805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-ni 10815  df-mi 10817  df-lti 10818  df-mpq 10852  df-enq 10854  df-nq 10855  df-erq 10856  df-mq 10858  df-1nq 10859  df-np 10924  df-mp 10927
This theorem is referenced by:  mulcompr  10966  mulasspr  10967  distrpr  10971
  Copyright terms: Public domain W3C validator