MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmmp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmmp 10170
Description: Domain of multiplication on positive reals. (Contributed by NM, 18-Nov-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
dmmp dom ·P = (P × P)

Proof of Theorem dmmp
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-mp 10141 . 2 ·P = (𝑥P, 𝑦P ↦ {𝑧 ∣ ∃𝑢𝑥𝑣𝑦 𝑧 = (𝑢 ·Q 𝑣)})
2 mulclnq 10104 . 2 ((𝑢Q𝑣Q) → (𝑢 ·Q 𝑣) ∈ Q)
31, 2genpdm 10159 1 dom ·P = (P × P)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1601   × cxp 5353  dom cdm 5355   ·Q cmq 10013  Pcnp 10016   ·P cmp 10019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-omul 7848  df-er 8026  df-ni 10029  df-mi 10031  df-lti 10032  df-mpq 10066  df-enq 10068  df-nq 10069  df-erq 10070  df-mq 10072  df-1nq 10073  df-np 10138  df-mp 10141
This theorem is referenced by:  mulcompr  10180  mulasspr  10181  distrpr  10185
  Copyright terms: Public domain W3C validator