Theorem grpsubid1 19240

Description: Subtraction of the identity from a group element. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
grpsubid.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubid1	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 0 ) = 𝑋)

Proof of Theorem grpsubid1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		grpsubid.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpsubid.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4	2, 3	grpidcl 19181	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
5		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
6		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
7		grpsubid.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
8	2, 5, 6, 7	grpsubval 19201	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 0 ) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘ 0 )))
9	1, 4, 8	syl2anr 609	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 0 ) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘ 0 )))
10	3, 6	grpinvid 19215	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((invg‘𝐺)‘ 0 ) = 0 )
11	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘ 0 ) = 0 )
12	11	oveq2d 7436	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘ 0 )) = (𝑋(+g‘𝐺) 0 ))
13	2, 5, 3	grprid 19184	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝐺) 0 ) = 𝑋)
14	9, 12, 13	3eqtrd 2799	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 0 ) = 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17392  +_gcplusg 17433  0_gc0g 17615  Grpcgrp 19149  inv_gcminusg 19150  -_gcsg 19151

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-0g 17617  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-grp 19152  df-minusg 19153  df-sbg 19154

This theorem is used by:  odmod  19765  sylow3lem1  19846  telgsums  20212  dprdfeq0  20243  rngqiprngimf1lem  21595  chp0mat  23169  tsmsxplem1  24477  tngnm  24975  ply1divex  26460  r1pid2  26485  ply1remlem  26488  conjga  33777  fracfld  33916  irredminply  34394  qqhcn  34669  lcfrlem33  42725