MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpsubid1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpsubid1 19055
Description: Subtraction of the identity from a group element. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubid.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubid.o 0 = (0g𝐺)
grpsubid.m = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
grpsubid1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 0 ) = 𝑋)

Proof of Theorem grpsubid1
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 (𝑋𝐵𝑋𝐵)
2 grpsubid.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 grpsubid.o . . . 4 0 = (0g𝐺)
42, 3grpidcl 18995 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → 0𝐵)
5 eqid 2734 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐺)
6 eqid 2734 . . . 4 (invg𝐺) = (invg𝐺)
7 grpsubid.m . . . 4 = (-g𝐺)
82, 5, 6, 7grpsubval 19015 . . 3 ((𝑋𝐵0𝐵) → (𝑋 0 ) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘ 0 )))
91, 4, 8syl2anr 597 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 0 ) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘ 0 )))
103, 6grpinvid 19029 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → ((invg𝐺)‘ 0 ) = 0 )
1110adantr 480 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → ((invg𝐺)‘ 0 ) = 0 )
1211oveq2d 7446 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘ 0 )) = (𝑋(+g𝐺) 0 ))
132, 5, 3grprid 18998 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋(+g𝐺) 0 ) = 𝑋)
149, 12, 133eqtrd 2778 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 0 ) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  cfv 6562  (class class class)co 7430  Basecbs 17244  +gcplusg 17297  0gc0g 17485  Grpcgrp 18963  invgcminusg 18964  -gcsg 18965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-0g 17487  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968
This theorem is referenced by:  odmod  19578  sylow3lem1  19659  telgsums  20025  dprdfeq0  20056  rngqiprngimf1lem  21321  chp0mat  22867  tsmsxplem1  24176  tngnm  24687  ply1divex  26190  r1pid2  26215  ply1remlem  26218  fracfld  33289  r1pid2OLD  33608  irredminply  33721  qqhcn  33953  lcfrlem33  41557
  Copyright terms: Public domain W3C validator