MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpsubid1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpsubid1 18985
Description: Subtraction of the identity from a group element. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubid.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubid.o 0 = (0g𝐺)
grpsubid.m = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
grpsubid1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 0 ) = 𝑋)

Proof of Theorem grpsubid1
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 (𝑋𝐵𝑋𝐵)
2 grpsubid.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 grpsubid.o . . . 4 0 = (0g𝐺)
42, 3grpidcl 18926 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → 0𝐵)
5 eqid 2725 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐺)
6 eqid 2725 . . . 4 (invg𝐺) = (invg𝐺)
7 grpsubid.m . . . 4 = (-g𝐺)
82, 5, 6, 7grpsubval 18946 . . 3 ((𝑋𝐵0𝐵) → (𝑋 0 ) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘ 0 )))
91, 4, 8syl2anr 595 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 0 ) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘ 0 )))
103, 6grpinvid 18960 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → ((invg𝐺)‘ 0 ) = 0 )
1110adantr 479 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → ((invg𝐺)‘ 0 ) = 0 )
1211oveq2d 7432 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘ 0 )) = (𝑋(+g𝐺) 0 ))
132, 5, 3grprid 18929 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋(+g𝐺) 0 ) = 𝑋)
149, 12, 133eqtrd 2769 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 0 ) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  0gc0g 17420  Grpcgrp 18894  invgcminusg 18895  -gcsg 18896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899
This theorem is referenced by:  odmod  19505  sylow3lem1  19586  telgsums  19952  dprdfeq0  19983  rngqiprngimf1lem  21188  chp0mat  22766  tsmsxplem1  24075  tngnm  24586  ply1divex  26090  ply1remlem  26117  fracfld  33043  r1pid2  33336  irredminply  33441  qqhcn  33649  lcfrlem33  41104
  Copyright terms: Public domain W3C validator