MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpsubid1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpsubid1 17813
Description: Subtraction of the identity from a group element. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubid.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubid.o 0 = (0g𝐺)
grpsubid.m = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
grpsubid1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 0 ) = 𝑋)

Proof of Theorem grpsubid1
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 (𝑋𝐵𝑋𝐵)
2 grpsubid.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 grpsubid.o . . . 4 0 = (0g𝐺)
42, 3grpidcl 17763 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → 0𝐵)
5 eqid 2797 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐺)
6 eqid 2797 . . . 4 (invg𝐺) = (invg𝐺)
7 grpsubid.m . . . 4 = (-g𝐺)
82, 5, 6, 7grpsubval 17778 . . 3 ((𝑋𝐵0𝐵) → (𝑋 0 ) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘ 0 )))
91, 4, 8syl2anr 591 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 0 ) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘ 0 )))
103, 6grpinvid 17789 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → ((invg𝐺)‘ 0 ) = 0 )
1110adantr 473 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → ((invg𝐺)‘ 0 ) = 0 )
1211oveq2d 6892 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘ 0 )) = (𝑋(+g𝐺) 0 ))
132, 5, 3grprid 17766 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋(+g𝐺) 0 ) = 𝑋)
149, 12, 133eqtrd 2835 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 0 ) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  cfv 6099  (class class class)co 6876  Basecbs 16181  +gcplusg 16264  0gc0g 16412  Grpcgrp 17735  invgcminusg 17736  -gcsg 17737
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-op 4373  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-id 5218  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-0g 16414  df-mgm 17554  df-sgrp 17596  df-mnd 17607  df-grp 17738  df-minusg 17739  df-sbg 17740
This theorem is referenced by:  odmod  18275  sylow3lem1  18352  telgsums  18703  dprdfeq0  18734  chp0mat  20976  tsmsxplem1  22281  tngnm  22780  ply1divex  24234  ply1remlem  24260  qqhcn  30543  lcfrlem33  37588
  Copyright terms: Public domain W3C validator