Theorem grpsubid1 18935

Description: Subtraction of the identity from a group element. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
grpsubid.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubid1	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 0 ) = 𝑋)

Proof of Theorem grpsubid1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		grpsubid.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpsubid.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4	2, 3	grpidcl 18875	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
5		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
6		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
7		grpsubid.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
8	2, 5, 6, 7	grpsubval 18895	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 0 ) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘ 0 )))
9	1, 4, 8	syl2anr 597	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 0 ) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘ 0 )))
10	3, 6	grpinvid 18909	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((invg‘𝐺)‘ 0 ) = 0 )
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘ 0 ) = 0 )
12	11	oveq2d 7362	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘ 0 )) = (𝑋(+g‘𝐺) 0 ))
13	2, 5, 3	grprid 18878	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝐺) 0 ) = 𝑋)
14	9, 12, 13	3eqtrd 2770	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 0 ) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17117  +_gcplusg 17158  0_gc0g 17340  Grpcgrp 18843  inv_gcminusg 18844  -_gcsg 18845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-0g 17342  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-grp 18846  df-minusg 18847  df-sbg 18848

This theorem is referenced by:  odmod  19456  sylow3lem1  19537  telgsums  19903  dprdfeq0  19934  rngqiprngimf1lem  21229  chp0mat  22759  tsmsxplem1  24066  tngnm  24564  ply1divex  26067  r1pid2  26092  ply1remlem  26095  conjga  33134  fracfld  33269  r1pid2OLD  33564  irredminply  33724  qqhcn  33999  lcfrlem33  41613