Theorem grpsubid1 18955

Description: Subtraction of the identity from a group element. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
grpsubid.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubid1	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 0 ) = 𝑋)

Proof of Theorem grpsubid1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		grpsubid.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpsubid.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4	2, 3	grpidcl 18895	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
5		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
6		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
7		grpsubid.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
8	2, 5, 6, 7	grpsubval 18915	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 0 ) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘ 0 )))
9	1, 4, 8	syl2anr 597	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 0 ) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘ 0 )))
10	3, 6	grpinvid 18929	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((invg‘𝐺)‘ 0 ) = 0 )
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘ 0 ) = 0 )
12	11	oveq2d 7374	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘ 0 )) = (𝑋(+g‘𝐺) 0 ))
13	2, 5, 3	grprid 18898	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝐺) 0 ) = 𝑋)
14	9, 12, 13	3eqtrd 2775	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 0 ) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  +_gcplusg 17177  0_gc0g 17359  Grpcgrp 18863  inv_gcminusg 18864  -_gcsg 18865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868

This theorem is referenced by:  odmod  19475  sylow3lem1  19556  telgsums  19922  dprdfeq0  19953  rngqiprngimf1lem  21249  chp0mat  22790  tsmsxplem1  24097  tngnm  24595  ply1divex  26098  r1pid2  26123  ply1remlem  26126  conjga  33252  fracfld  33390  r1pid2OLD  33690  irredminply  33873  qqhcn  34148  lcfrlem33  41831