Theorem odmod 19790

Description: Reduce the argument of a group multiple by modding out the order of the element. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcl.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
odid.4	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
odmod	⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))

Proof of Theorem odmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl3 1212	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	zred 12830	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
3		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
4	3	nnrpd 13189	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ+)
5		modval 14038	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) = (𝑁 − ((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))))))
6	2, 4, 5	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) = (𝑁 − ((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))))))
7	6	oveq1d 7458	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 − ((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))))) · 𝐴))
8		simpl1 1210	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ Grp)
9	3	nnzd 12746	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ)
10	2, 3	nndivred 12419	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 / (𝑂‘𝐴)) ∈ ℝ)
11	10	flcld 13965	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) ∈ ℤ)
12	9, 11	zmulcld 12836	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) ∈ ℤ)
13		simpl2 1211	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ 𝑋)
14		odcl.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
15		odid.3	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
16		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
17	14, 15, 16	mulgsubdir 19353	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑁 − ((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))))) · 𝐴) = ((𝑁 · 𝐴)(-g‘𝐺)(((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) · 𝐴)))
18	8, 1, 12, 13, 17	syl13anc 1400	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 − ((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))))) · 𝐴) = ((𝑁 · 𝐴)(-g‘𝐺)(((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) · 𝐴)))
19		nncn 12370	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ → (𝑂‘𝐴) ∈ ℂ)
20		zcn 12725	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) ∈ ℂ)
21		mulcom 11313	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑂‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) ∈ ℂ) → ((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · (𝑂‘𝐴)))
22	19, 20, 21	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · (𝑂‘𝐴)))
23	3, 11, 22	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · (𝑂‘𝐴)))
24	23	oveq1d 7458	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) · 𝐴) = (((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · (𝑂‘𝐴)) · 𝐴))
25	14, 15	mulgass 19350	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) ∈ ℤ ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · ((𝑂‘𝐴) · 𝐴)))
26	8, 11, 9, 13, 25	syl13anc 1400	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · ((𝑂‘𝐴) · 𝐴)))
27		odcl.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
28		odid.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
29	14, 27, 15, 28	odid 19782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 )
30	13, 29	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 )
31	30	oveq2d 7459	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · ((𝑂‘𝐴) · 𝐴)) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · 0 ))
32	14, 15, 28	mulgz 19341	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · 0 ) = 0 )
33	8, 11, 32	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · 0 ) = 0 )
34	31, 33	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · ((𝑂‘𝐴) · 𝐴)) = 0 )
35	24, 26, 34	3eqtrd 2802	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) · 𝐴) = 0 )
36	35	oveq2d 7459	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝐴)(-g‘𝐺)(((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) · 𝐴)) = ((𝑁 · 𝐴)(-g‘𝐺) 0 ))
37	14, 15	mulgcl 19330	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋)
38	8, 1, 13, 37	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋)
39	14, 28, 16	grpsubid1 19264	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋) → ((𝑁 · 𝐴)(-g‘𝐺) 0 ) = (𝑁 · 𝐴))
40	8, 38, 39	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝐴)(-g‘𝐺) 0 ) = (𝑁 · 𝐴))
41	36, 40	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝐴)(-g‘𝐺)(((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) · 𝐴)) = (𝑁 · 𝐴))
42	7, 18, 41	3eqtrd 2802	1 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  ℝcr 11226   · cmul 11232   − cmin 11568   / cdiv 12000  ℕcn 12362  ℤcz 12720  ℝ⁺crp 13147  ⌊cfl 13957   mod cmo 14036  Basecbs 17416  0_gc0g 17639  Grpcgrp 19173  -_gcsg 19175  ._gcmg 19306  odcod 19768

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-sup 9461  df-inf 9462  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-rp 13148  df-fz 13667  df-fl 13959  df-mod 14037  df-seq 14172  df-0g 17641  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-sbg 19178  df-mulg 19307  df-od 19772

This theorem is used by:  oddvds  19791  odf1o2  19817