MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odmod 18665
Description: Reduce the argument of a group multiple by modding out the order of the element. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3 · = (.g𝐺)
odid.4 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
odmod (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))

Proof of Theorem odmod
StepHypRef Expression
1 simpl3 1190 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
21zred 12075 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
3 simpr 488 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ)
43nnrpd 12417 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂𝐴) ∈ ℝ+)
5 modval 13234 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑁 mod (𝑂𝐴)) = (𝑁 − ((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))))))
62, 4, 5syl2anc 587 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (𝑂𝐴)) = (𝑁 − ((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))))))
76oveq1d 7155 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 − ((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))))) · 𝐴))
8 simpl1 1188 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ Grp)
93nnzd 12074 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂𝐴) ∈ ℤ)
102, 3nndivred 11679 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 / (𝑂𝐴)) ∈ ℝ)
1110flcld 13163 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) ∈ ℤ)
129, 11zmulcld 12081 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) ∈ ℤ)
13 simpl2 1189 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 𝐴𝑋)
14 odcl.1 . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
15 odid.3 . . . 4 · = (.g𝐺)
16 eqid 2822 . . . 4 (-g𝐺) = (-g𝐺)
1714, 15, 16mulgsubdir 18258 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑋)) → ((𝑁 − ((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))))) · 𝐴) = ((𝑁 · 𝐴)(-g𝐺)(((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) · 𝐴)))
188, 1, 12, 13, 17syl13anc 1369 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 − ((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))))) · 𝐴) = ((𝑁 · 𝐴)(-g𝐺)(((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) · 𝐴)))
19 nncn 11633 . . . . . . . 8 ((𝑂𝐴) ∈ ℕ → (𝑂𝐴) ∈ ℂ)
20 zcn 11974 . . . . . . . 8 ((⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) ∈ ℂ)
21 mulcom 10612 . . . . . . . 8 (((𝑂𝐴) ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) ∈ ℂ) → ((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) · (𝑂𝐴)))
2219, 20, 21syl2an 598 . . . . . . 7 (((𝑂𝐴) ∈ ℕ ∧ (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) ∈ ℤ) → ((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) · (𝑂𝐴)))
233, 11, 22syl2anc 587 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) · (𝑂𝐴)))
2423oveq1d 7155 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) · 𝐴) = (((⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) · (𝑂𝐴)) · 𝐴))
2514, 15mulgass 18255 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) ∈ ℤ ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑋)) → (((⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) · (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) · ((𝑂𝐴) · 𝐴)))
268, 11, 9, 13, 25syl13anc 1369 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) · (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) · ((𝑂𝐴) · 𝐴)))
27 odcl.2 . . . . . . . . 9 𝑂 = (od‘𝐺)
28 odid.4 . . . . . . . . 9 0 = (0g𝐺)
2914, 27, 15, 28odid 18657 . . . . . . . 8 (𝐴𝑋 → ((𝑂𝐴) · 𝐴) = 0 )
3013, 29syl 17 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂𝐴) · 𝐴) = 0 )
3130oveq2d 7156 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) · ((𝑂𝐴) · 𝐴)) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) · 0 ))
3214, 15, 28mulgz 18246 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) · 0 ) = 0 )
338, 11, 32syl2anc 587 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) · 0 ) = 0 )
3431, 33eqtrd 2857 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) · ((𝑂𝐴) · 𝐴)) = 0 )
3524, 26, 343eqtrd 2861 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) · 𝐴) = 0 )
3635oveq2d 7156 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝐴)(-g𝐺)(((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) · 𝐴)) = ((𝑁 · 𝐴)(-g𝐺) 0 ))
3714, 15mulgcl 18236 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋)
388, 1, 13, 37syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋)
3914, 28, 16grpsubid1 18175 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋) → ((𝑁 · 𝐴)(-g𝐺) 0 ) = (𝑁 · 𝐴))
408, 38, 39syl2anc 587 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝐴)(-g𝐺) 0 ) = (𝑁 · 𝐴))
4136, 40eqtrd 2857 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝐴)(-g𝐺)(((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) · 𝐴)) = (𝑁 · 𝐴))
427, 18, 413eqtrd 2861 1 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114  cfv 6334  (class class class)co 7140  cc 10524  cr 10525   · cmul 10531  cmin 10859   / cdiv 11286  cn 11625  cz 11969  +crp 12377  cfl 13155   mod cmo 13232  Basecbs 16474  0gc0g 16704  Grpcgrp 18094  -gcsg 18096  .gcmg 18215  odcod 18643
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-0g 16706  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-mulg 18216  df-od 18647
This theorem is referenced by:  oddvds  18666  odf1o2  18689
  Copyright terms: Public domain W3C validator