Theorem odmod 19615

Description: Reduce the argument of a group multiple by modding out the order of the element. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcl.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
odid.4	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
odmod	⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))

Proof of Theorem odmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl3 1210	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	zred 12699	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
3		simpr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
4	3	nnrpd 13057	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ+)
5		modval 13904	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) = (𝑁 − ((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))))))
6	2, 4, 5	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) = (𝑁 − ((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))))))
7	6	oveq1d 7425	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((𝑁 − ((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))))) · 𝐴))
8		simpl1 1208	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ Grp)
9	3	nnzd 12616	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ)
10	2, 3	nndivred 12289	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 / (𝑂‘𝐴)) ∈ ℝ)
11	10	flcld 13831	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) ∈ ℤ)
12	9, 11	zmulcld 12705	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) ∈ ℤ)
13		simpl2 1209	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ 𝑋)
14		odcl.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
15		odid.3	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
16		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
17	14, 15, 16	mulgsubdir 19179	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑁 − ((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))))) · 𝐴) = ((𝑁 · 𝐴)(-g‘𝐺)(((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) · 𝐴)))
18	8, 1, 12, 13, 17	syl13anc 1397	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 − ((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))))) · 𝐴) = ((𝑁 · 𝐴)(-g‘𝐺)(((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) · 𝐴)))
19		nncn 12240	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ → (𝑂‘𝐴) ∈ ℂ)
20		zcn 12595	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) ∈ ℂ)
21		mulcom 11185	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑂‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) ∈ ℂ) → ((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · (𝑂‘𝐴)))
22	19, 20, 21	syl2an 607	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · (𝑂‘𝐴)))
23	3, 11, 22	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · (𝑂‘𝐴)))
24	23	oveq1d 7425	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) · 𝐴) = (((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · (𝑂‘𝐴)) · 𝐴))
25	14, 15	mulgass 19176	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) ∈ ℤ ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · ((𝑂‘𝐴) · 𝐴)))
26	8, 11, 9, 13, 25	syl13anc 1397	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · ((𝑂‘𝐴) · 𝐴)))
27		odcl.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
28		odid.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
29	14, 27, 15, 28	odid 19607	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 )
30	13, 29	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 )
31	30	oveq2d 7426	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · ((𝑂‘𝐴) · 𝐴)) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · 0 ))
32	14, 15, 28	mulgz 19167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · 0 ) = 0 )
33	8, 11, 32	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · 0 ) = 0 )
34	31, 33	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · ((𝑂‘𝐴) · 𝐴)) = 0 )
35	24, 26, 34	3eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) · 𝐴) = 0 )
36	35	oveq2d 7426	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝐴)(-g‘𝐺)(((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) · 𝐴)) = ((𝑁 · 𝐴)(-g‘𝐺) 0 ))
37	14, 15	mulgcl 19156	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋)
38	8, 1, 13, 37	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋)
39	14, 28, 16	grpsubid1 19090	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋) → ((𝑁 · 𝐴)(-g‘𝐺) 0 ) = (𝑁 · 𝐴))
40	8, 38, 39	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝐴)(-g‘𝐺) 0 ) = (𝑁 · 𝐴))
41	36, 40	eqtrd 2796	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝐴)(-g‘𝐺)(((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) · 𝐴)) = (𝑁 · 𝐴))
42	7, 18, 41	3eqtrd 2800	1 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11097  ℝcr 11098   · cmul 11104   − cmin 11440   / cdiv 11870  ℕcn 12232  ℤcz 12590  ℝ⁺crp 13015  ⌊cfl 13823   mod cmo 13902  Basecbs 17268  0_gc0g 17491  Grpcgrp 18999  -_gcsg 19001  ._gcmg 19132  odcod 19593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9401  df-inf 9402  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-fz 13535  df-fl 13825  df-mod 13903  df-seq 14038  df-0g 17493  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-mulg 19133  df-od 19597

This theorem is referenced by:  oddvds  19616  odf1o2  19642