Theorem chp0mat 22907

Description: The characteristic polynomial of the zero matrix. (Contributed by AV, 18-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
chp0mat.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chp0mat.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
chp0mat.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chp0mat.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
chp0mat.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
chp0mat.m	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
chp0mat.0	⊢ 0 = (0g‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
chp0mat	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐶‘ 0 ) = ((♯‘𝑁) ↑ 𝑋))

Proof of Theorem chp0mat

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 486	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑁 ∈ Fin)
2		simpr 488	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ CRing)
3		crngring 20296	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
4		chp0mat.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5	4	matring 22504	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
6	3, 5	sylan2 602	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ Ring)
7		ringgrp 20289	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝐴 ∈ Grp)
8		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
9		chp0mat.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐴)
10	8, 9	grpidcl 19008	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐴))
11	6, 7, 10	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 0 ∈ (Base‘𝐴))
12		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
13	4, 12	mat0op 22480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)))
14	9, 13	eqtrid 2810	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 0 = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)))
15	3, 14	sylan2 602	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 0 = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)))
16	15	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 0 = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)))
17		eqidd 2764	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑖 ∧ 𝑦 = 𝑗)) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅))
18		simpl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
19	18	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑖 ∈ 𝑁)
20		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
21	20	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑗 ∈ 𝑁)
22		fvexd 6883	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (0g‘𝑅) ∈ V)
23	16, 17, 19, 21, 22	ovmpod 7549	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖 0 𝑗) = (0g‘𝑅))
24	23	a1d 25	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖 0 𝑗) = (0g‘𝑅)))
25	24	ralrimivva 3206	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖 0 𝑗) = (0g‘𝑅)))
26		chp0mat.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
27		chp0mat.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
28		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
29		chp0mat.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
30		chp0mat.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
31		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
32	26, 27, 4, 28, 8, 29, 12, 30, 31	chpdmat 22902	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 0 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖 0 𝑗) = (0g‘𝑅))) → (𝐶‘ 0 ) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑘 0 𝑘))))))
33	1, 2, 11, 25, 32	syl31anc 1393	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐶‘ 0 ) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑘 0 𝑘))))))
34	15	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 0 = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)))
35		eqidd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥 = 𝑘 ∧ 𝑦 = 𝑘)) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅))
36		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑁)
37		fvexd 6883	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (0g‘𝑅) ∈ V)
38	34, 35, 36, 36, 37	ovmpod 7549	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑘 0 𝑘) = (0g‘𝑅))
39	38	fveq2d 6872	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑘 0 𝑘)) = ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))
40	3	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ Ring)
41		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
42	27, 28, 12, 41	ply1scl0 22354	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑃))
43	40, 42	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑃))
44	43	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑃))
45	39, 44	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑘 0 𝑘)) = (0g‘𝑃))
46	45	oveq2d 7413	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑋(-g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑘 0 𝑘))) = (𝑋(-g‘𝑃)(0g‘𝑃)))
47	27	ply1ring 22310	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
48		ringgrp 20289	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
49	3, 47, 48	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Grp)
50	49	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ Grp)
51		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
52	29, 27, 51	vr1cl 22280	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
53	40, 52	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
54	50, 53	jca 519	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)))
55	54	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)))
56	51, 41, 31	grpsubid1 19068	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋(-g‘𝑃)(0g‘𝑃)) = 𝑋)
57	55, 56	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑋(-g‘𝑃)(0g‘𝑃)) = 𝑋)
58	46, 57	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑋(-g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑘 0 𝑘))) = 𝑋)
59	58	mpteq2dva 5194	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑘 0 𝑘)))) = (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋))
60	59	oveq2d 7413	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑘 0 𝑘))))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋)))
61	27	ply1crng 22261	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
62	30	crngmgp 20292	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
63		cmnmnd 19838	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
64	61, 62, 63	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Mnd)
65	64	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐺 ∈ Mnd)
66	3, 52	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
67	66	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
68	30, 51	mgpbas 20192	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝐺)
69	67, 68	eleqtrdi 2873	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
70		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
71		chp0mat.m	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
72	70, 71	gsumconst 19975	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋)) = ((♯‘𝑁) ↑ 𝑋))
73	65, 1, 69, 72	syl3anc 1391	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋)) = ((♯‘𝑁) ↑ 𝑋))
74	33, 60, 73	3eqtrd 2802	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐶‘ 0 ) = ((♯‘𝑁) ↑ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3077  Vcvv 3455   ↦ cmpt 5182  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397   ∈ cmpo 7399  Fincfn 8928  ♯chash 14344  Basecbs 17246  0_gc0g 17469   Σ_g cgsu 17470  Mndcmnd 18769  Grpcgrp 18976  -_gcsg 18978  ._gcmg 19110  CMndccmn 19821  mulGrpcmgp 20187  Ringcrg 20284  CRingccrg 20285  algSccascl 21905  var₁cv1 22239  Poly₁cpl1 22240   Mat cmat 22468   CharPlyMat cchpmat 22887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-addf 11153  ax-mulf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-xor 1533  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-ot 4592  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-isom 6531  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-of 7661  df-ofr 7662  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8142  df-tpos 8207  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-1o 8438  df-2o 8439  df-er 8679  df-map 8811  df-pm 8812  df-ixp 8881  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-fin 8932  df-fsupp 9309  df-sup 9389  df-oi 9459  df-card 9898  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-div 11846  df-nn 12212  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12483  df-xnn0 12556  df-z 12570  df-dec 12690  df-uz 12841  df-rp 12995  df-fz 13514  df-fzo 13661  df-seq 14016  df-exp 14076  df-hash 14345  df-word 14528  df-lsw 14577  df-concat 14585  df-s1 14611  df-substr 14656  df-pfx 14686  df-splice 14764  df-reverse 14773  df-s2 14862  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17247  df-ress 17268  df-plusg 17300  df-mulr 17301  df-starv 17302  df-sca 17303  df-vsca 17304  df-ip 17305  df-tset 17306  df-ple 17307  df-ds 17309  df-unif 17310  df-hom 17311  df-cco 17312  df-0g 17471  df-gsum 17472  df-prds 17477  df-pws 17479  df-mre 17615  df-mrc 17616  df-acs 17618  df-mgm 18675  df-sgrp 18754  df-mnd 18770  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-efmnd 18904  df-grp 18979  df-minusg 18980  df-sbg 18981  df-mulg 19111  df-subg 19166  df-ghm 19255  df-gim 19300  df-cntz 19358  df-oppg 19387  df-symg 19411  df-pmtr 19483  df-psgn 19532  df-cmn 19823  df-abl 19824  df-mgp 20188  df-rng 20200  df-ur 20233  df-ring 20286  df-cring 20287  df-oppr 20387  df-dvdsr 20407  df-unit 20408  df-invr 20438  df-dvr 20451  df-rhm 20522  df-subrng 20597  df-subrg 20621  df-drng 20782  df-lmod 20930  df-lss 21000  df-sra 21241  df-rgmod 21242  df-cnfld 21426  df-zring 21500  df-zrh 21556  df-dsmm 21785  df-frlm 21800  df-ascl 21908  df-psr 21962  df-mvr 21963  df-mpl 21964  df-opsr 21966  df-psr1 22243  df-vr1 22244  df-ply1 22245  df-mamu 22452  df-mat 22469  df-mdet 22646  df-mat2pmat 22768  df-chpmat 22888

This theorem is referenced by: (None)