MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chp0mat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chp0mat 21370
Description: The characteristic polynomial of the zero matrix. (Contributed by AV, 18-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chp0mat.c 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chp0mat.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
chp0mat.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chp0mat.x 𝑋 = (var1𝑅)
chp0mat.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
chp0mat.m = (.g𝐺)
chp0mat.0 0 = (0g𝐴)
Assertion
Ref Expression
chp0mat ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐶0 ) = ((♯‘𝑁) 𝑋))

Proof of Theorem chp0mat
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑁 ∈ Fin)
2 simpr 485 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ CRing)
3 crngring 19230 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
4 chp0mat.a . . . . . 6 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
54matring 20968 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
63, 5sylan2 592 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ Ring)
7 ringgrp 19224 . . . 4 (𝐴 ∈ Ring → 𝐴 ∈ Grp)
8 eqid 2824 . . . . 5 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
9 chp0mat.0 . . . . 5 0 = (0g𝐴)
108, 9grpidcl 18063 . . . 4 (𝐴 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐴))
116, 7, 103syl 18 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 0 ∈ (Base‘𝐴))
12 eqid 2824 . . . . . . . . . 10 (0g𝑅) = (0g𝑅)
134, 12mat0op 20944 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g𝐴) = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ (0g𝑅)))
149, 13syl5eq 2872 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 0 = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ (0g𝑅)))
153, 14sylan2 592 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 0 = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ (0g𝑅)))
1615adantr 481 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 0 = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ (0g𝑅)))
17 eqidd 2825 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑖𝑦 = 𝑗)) → (0g𝑅) = (0g𝑅))
18 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
1918adantl 482 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑖𝑁)
20 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
2120adantl 482 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑗𝑁)
22 fvexd 6681 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (0g𝑅) ∈ V)
2316, 17, 19, 21, 22ovmpod 7295 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖 0 𝑗) = (0g𝑅))
2423a1d 25 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖𝑗 → (𝑖 0 𝑗) = (0g𝑅)))
2524ralrimivva 3195 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖 0 𝑗) = (0g𝑅)))
26 chp0mat.c . . . 4 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
27 chp0mat.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
28 eqid 2824 . . . 4 (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
29 chp0mat.x . . . 4 𝑋 = (var1𝑅)
30 chp0mat.g . . . 4 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
31 eqid 2824 . . . 4 (-g𝑃) = (-g𝑃)
3226, 27, 4, 28, 8, 29, 12, 30, 31chpdmat 21365 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 0 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖 0 𝑗) = (0g𝑅))) → (𝐶0 ) = (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑋(-g𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑘 0 𝑘))))))
331, 2, 11, 25, 32syl31anc 1367 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐶0 ) = (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑋(-g𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑘 0 𝑘))))))
3415adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘𝑁) → 0 = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ (0g𝑅)))
35 eqidd 2825 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑥 = 𝑘𝑦 = 𝑘)) → (0g𝑅) = (0g𝑅))
36 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑘𝑁)
37 fvexd 6681 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘𝑁) → (0g𝑅) ∈ V)
3834, 35, 36, 36, 37ovmpod 7295 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑘 0 𝑘) = (0g𝑅))
3938fveq2d 6670 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑘 0 𝑘)) = ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)))
403adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ Ring)
41 eqid 2824 . . . . . . . . . 10 (0g𝑃) = (0g𝑃)
4227, 28, 12, 41ply1scl0 20375 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)) = (0g𝑃))
4340, 42syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)) = (0g𝑃))
4443adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)) = (0g𝑃))
4539, 44eqtrd 2860 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑘 0 𝑘)) = (0g𝑃))
4645oveq2d 7167 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑋(-g𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑘 0 𝑘))) = (𝑋(-g𝑃)(0g𝑃)))
4727ply1ring 20333 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
48 ringgrp 19224 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
493, 47, 483syl 18 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Grp)
5049adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ Grp)
51 eqid 2824 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
5229, 27, 51vr1cl 20302 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
5340, 52syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
5450, 53jca 512 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)))
5554adantr 481 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)))
5651, 41, 31grpsubid1 18116 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋(-g𝑃)(0g𝑃)) = 𝑋)
5755, 56syl 17 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑋(-g𝑃)(0g𝑃)) = 𝑋)
5846, 57eqtrd 2860 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑋(-g𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑘 0 𝑘))) = 𝑋)
5958mpteq2dva 5157 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑘𝑁 ↦ (𝑋(-g𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑘 0 𝑘)))) = (𝑘𝑁𝑋))
6059oveq2d 7167 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑋(-g𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑘 0 𝑘))))) = (𝐺 Σg (𝑘𝑁𝑋)))
6127ply1crng 20283 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
6230crngmgp 19227 . . . . 5 (𝑃 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
63 cmnmnd 18844 . . . . 5 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
6461, 62, 633syl 18 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Mnd)
6564adantl 482 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐺 ∈ Mnd)
663, 52syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
6766adantl 482 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
6830, 51mgpbas 19167 . . . 4 (Base‘𝑃) = (Base‘𝐺)
6967, 68syl6eleq 2927 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
70 eqid 2824 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
71 chp0mat.m . . . 4 = (.g𝐺)
7270, 71gsumconst 18976 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg (𝑘𝑁𝑋)) = ((♯‘𝑁) 𝑋))
7365, 1, 69, 72syl3anc 1365 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐺 Σg (𝑘𝑁𝑋)) = ((♯‘𝑁) 𝑋))
7433, 60, 733eqtrd 2864 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐶0 ) = ((♯‘𝑁) 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2106  wne 3020  wral 3142  Vcvv 3499  cmpt 5142  cfv 6351  (class class class)co 7151  cmpo 7153  Fincfn 8501  chash 13683  Basecbs 16475  0gc0g 16705   Σg cgsu 16706  Mndcmnd 17902  Grpcgrp 18035  -gcsg 18037  .gcmg 18156  CMndccmn 18828  mulGrpcmgp 19161  Ringcrg 19219  CRingccrg 19220  algSccascl 20005  var1cv1 20261  Poly1cpl1 20262   Mat cmat 20932   CharPlyMat cchpmat 21350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-ext 2796  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-xor 1498  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-ot 4572  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7402  df-ofr 7403  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-tpos 7886  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-pm 8402  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-sup 8898  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-rp 12383  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-seq 13363  df-exp 13423  df-hash 13684  df-word 13855  df-lsw 13908  df-concat 13916  df-s1 13943  df-substr 13996  df-pfx 14026  df-splice 14105  df-reverse 14114  df-s2 14203  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-prds 16713  df-pws 16715  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-mhm 17946  df-submnd 17947  df-grp 18038  df-minusg 18039  df-sbg 18040  df-mulg 18157  df-subg 18208  df-ghm 18288  df-gim 18331  df-cntz 18379  df-oppg 18406  df-symg 18428  df-pmtr 18492  df-psgn 18541  df-cmn 18830  df-abl 18831  df-mgp 19162  df-ur 19174  df-ring 19221  df-cring 19222  df-oppr 19295  df-dvdsr 19313  df-unit 19314  df-invr 19344  df-dvr 19355  df-rnghom 19389  df-drng 19426  df-subrg 19455  df-lmod 19558  df-lss 19626  df-sra 19866  df-rgmod 19867  df-ascl 20008  df-psr 20057  df-mvr 20058  df-mpl 20059  df-opsr 20061  df-psr1 20265  df-vr1 20266  df-ply1 20267  df-cnfld 20462  df-zring 20534  df-zrh 20567  df-dsmm 20792  df-frlm 20807  df-mamu 20911  df-mat 20933  df-mdet 21110  df-mat2pmat 21231  df-chpmat 21351
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator