MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chp0mat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chp0mat 21022
Description: The characteristic polynomial of the zero matrix. (Contributed by AV, 18-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chp0mat.c 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chp0mat.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
chp0mat.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chp0mat.x 𝑋 = (var1𝑅)
chp0mat.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
chp0mat.m = (.g𝐺)
chp0mat.0 0 = (0g𝐴)
Assertion
Ref Expression
chp0mat ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐶0 ) = ((♯‘𝑁) 𝑋))

Proof of Theorem chp0mat
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 476 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑁 ∈ Fin)
2 simpr 479 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ CRing)
3 crngring 18913 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
4 chp0mat.a . . . . . 6 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
54matring 20617 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
63, 5sylan2 588 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ Ring)
7 ringgrp 18907 . . . 4 (𝐴 ∈ Ring → 𝐴 ∈ Grp)
8 eqid 2826 . . . . 5 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
9 chp0mat.0 . . . . 5 0 = (0g𝐴)
108, 9grpidcl 17805 . . . 4 (𝐴 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐴))
116, 7, 103syl 18 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 0 ∈ (Base‘𝐴))
12 eqid 2826 . . . . . . . . . 10 (0g𝑅) = (0g𝑅)
134, 12mat0op 20593 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g𝐴) = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ (0g𝑅)))
149, 13syl5eq 2874 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 0 = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ (0g𝑅)))
153, 14sylan2 588 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 0 = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ (0g𝑅)))
1615adantr 474 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 0 = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ (0g𝑅)))
17 eqidd 2827 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑖𝑦 = 𝑗)) → (0g𝑅) = (0g𝑅))
18 simpl 476 . . . . . . 7 ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
1918adantl 475 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑖𝑁)
20 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
2120adantl 475 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑗𝑁)
22 fvexd 6449 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (0g𝑅) ∈ V)
2316, 17, 19, 21, 22ovmpt2d 7049 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖 0 𝑗) = (0g𝑅))
2423a1d 25 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖𝑗 → (𝑖 0 𝑗) = (0g𝑅)))
2524ralrimivva 3181 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖 0 𝑗) = (0g𝑅)))
26 chp0mat.c . . . 4 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
27 chp0mat.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
28 eqid 2826 . . . 4 (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
29 chp0mat.x . . . 4 𝑋 = (var1𝑅)
30 chp0mat.g . . . 4 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
31 eqid 2826 . . . 4 (-g𝑃) = (-g𝑃)
3226, 27, 4, 28, 8, 29, 12, 30, 31chpdmat 21017 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 0 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖 0 𝑗) = (0g𝑅))) → (𝐶0 ) = (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑋(-g𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑘 0 𝑘))))))
331, 2, 11, 25, 32syl31anc 1498 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐶0 ) = (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑋(-g𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑘 0 𝑘))))))
3415adantr 474 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘𝑁) → 0 = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ (0g𝑅)))
35 eqidd 2827 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑥 = 𝑘𝑦 = 𝑘)) → (0g𝑅) = (0g𝑅))
36 simpr 479 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑘𝑁)
37 fvexd 6449 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘𝑁) → (0g𝑅) ∈ V)
3834, 35, 36, 36, 37ovmpt2d 7049 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑘 0 𝑘) = (0g𝑅))
3938fveq2d 6438 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑘 0 𝑘)) = ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)))
403adantl 475 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ Ring)
41 eqid 2826 . . . . . . . . . 10 (0g𝑃) = (0g𝑃)
4227, 28, 12, 41ply1scl0 20021 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)) = (0g𝑃))
4340, 42syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)) = (0g𝑃))
4443adantr 474 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)) = (0g𝑃))
4539, 44eqtrd 2862 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑘 0 𝑘)) = (0g𝑃))
4645oveq2d 6922 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑋(-g𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑘 0 𝑘))) = (𝑋(-g𝑃)(0g𝑃)))
4727ply1ring 19979 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
48 ringgrp 18907 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
493, 47, 483syl 18 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Grp)
5049adantl 475 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ Grp)
51 eqid 2826 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
5229, 27, 51vr1cl 19948 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
5340, 52syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
5450, 53jca 509 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)))
5554adantr 474 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)))
5651, 41, 31grpsubid1 17855 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋(-g𝑃)(0g𝑃)) = 𝑋)
5755, 56syl 17 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑋(-g𝑃)(0g𝑃)) = 𝑋)
5846, 57eqtrd 2862 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑋(-g𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑘 0 𝑘))) = 𝑋)
5958mpteq2dva 4968 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑘𝑁 ↦ (𝑋(-g𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑘 0 𝑘)))) = (𝑘𝑁𝑋))
6059oveq2d 6922 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑋(-g𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑘 0 𝑘))))) = (𝐺 Σg (𝑘𝑁𝑋)))
6127ply1crng 19929 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
6230crngmgp 18910 . . . . 5 (𝑃 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
63 cmnmnd 18562 . . . . 5 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
6461, 62, 633syl 18 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Mnd)
6564adantl 475 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐺 ∈ Mnd)
663, 52syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
6766adantl 475 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
6830, 51mgpbas 18850 . . . 4 (Base‘𝑃) = (Base‘𝐺)
6967, 68syl6eleq 2917 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
70 eqid 2826 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
71 chp0mat.m . . . 4 = (.g𝐺)
7270, 71gsumconst 18688 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg (𝑘𝑁𝑋)) = ((♯‘𝑁) 𝑋))
7365, 1, 69, 72syl3anc 1496 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐺 Σg (𝑘𝑁𝑋)) = ((♯‘𝑁) 𝑋))
7433, 60, 733eqtrd 2866 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐶0 ) = ((♯‘𝑁) 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  wne 3000  wral 3118  Vcvv 3415  cmpt 4953  cfv 6124  (class class class)co 6906  cmpt2 6908  Fincfn 8223  chash 13411  Basecbs 16223  0gc0g 16454   Σg cgsu 16455  Mndcmnd 17648  Grpcgrp 17777  -gcsg 17779  .gcmg 17895  CMndccmn 18547  mulGrpcmgp 18844  Ringcrg 18902  CRingccrg 18903  algSccascl 19673  var1cv1 19907  Poly1cpl1 19908   Mat cmat 20581   CharPlyMat cchpmat 21002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-inf2 8816  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-addf 10332  ax-mulf 10333
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-xor 1640  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-ot 4407  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-iin 4744  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-se 5303  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-isom 6133  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-of 7158  df-ofr 7159  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-supp 7561  df-tpos 7618  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-2o 7828  df-oadd 7831  df-er 8010  df-map 8125  df-pm 8126  df-ixp 8177  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-fsupp 8546  df-sup 8618  df-oi 8685  df-card 9079  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419  df-7 11420  df-8 11421  df-9 11422  df-n0 11620  df-xnn0 11692  df-z 11706  df-dec 11823  df-uz 11970  df-rp 12114  df-fz 12621  df-fzo 12762  df-seq 13097  df-exp 13156  df-hash 13412  df-word 13576  df-lsw 13624  df-concat 13632  df-s1 13657  df-substr 13702  df-pfx 13751  df-splice 13858  df-reverse 13876  df-s2 13970  df-struct 16225  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-ress 16231  df-plusg 16319  df-mulr 16320  df-starv 16321  df-sca 16322  df-vsca 16323  df-ip 16324  df-tset 16325  df-ple 16326  df-ds 16328  df-unif 16329  df-hom 16330  df-cco 16331  df-0g 16456  df-gsum 16457  df-prds 16462  df-pws 16464  df-mre 16600  df-mrc 16601  df-acs 16603  df-mgm 17596  df-sgrp 17638  df-mnd 17649  df-mhm 17689  df-submnd 17690  df-grp 17780  df-minusg 17781  df-sbg 17782  df-mulg 17896  df-subg 17943  df-ghm 18010  df-gim 18053  df-cntz 18101  df-oppg 18127  df-symg 18149  df-pmtr 18213  df-psgn 18262  df-cmn 18549  df-abl 18550  df-mgp 18845  df-ur 18857  df-ring 18904  df-cring 18905  df-oppr 18978  df-dvdsr 18996  df-unit 18997  df-invr 19027  df-dvr 19038  df-rnghom 19072  df-drng 19106  df-subrg 19135  df-lmod 19222  df-lss 19290  df-sra 19534  df-rgmod 19535  df-ascl 19676  df-psr 19718  df-mvr 19719  df-mpl 19720  df-opsr 19722  df-psr1 19911  df-vr1 19912  df-ply1 19913  df-cnfld 20108  df-zring 20180  df-zrh 20213  df-dsmm 20440  df-frlm 20455  df-mamu 20558  df-mat 20582  df-mdet 20760  df-mat2pmat 20883  df-chpmat 21003
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator