Theorem chp0mat 22668

Description: The characteristic polynomial of the zero matrix. (Contributed by AV, 18-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
chp0mat.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chp0mat.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
chp0mat.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chp0mat.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
chp0mat.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
chp0mat.m	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
chp0mat.0	⊢ 0 = (0g‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
chp0mat	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐶‘ 0 ) = ((♯‘𝑁) ↑ 𝑋))

Proof of Theorem chp0mat

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑁 ∈ Fin)
2		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ CRing)
3		crngring 20146	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
4		chp0mat.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5	4	matring 22265	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
6	3, 5	sylan2 592	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ Ring)
7		ringgrp 20139	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝐴 ∈ Grp)
8		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
9		chp0mat.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐴)
10	8, 9	grpidcl 18893	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐴))
11	6, 7, 10	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 0 ∈ (Base‘𝐴))
12		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
13	4, 12	mat0op 22241	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)))
14	9, 13	eqtrid 2783	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 0 = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)))
15	3, 14	sylan2 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 0 = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)))
16	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 0 = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)))
17		eqidd 2732	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑖 ∧ 𝑦 = 𝑗)) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅))
18		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
19	18	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑖 ∈ 𝑁)
20		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
21	20	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑗 ∈ 𝑁)
22		fvexd 6906	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (0g‘𝑅) ∈ V)
23	16, 17, 19, 21, 22	ovmpod 7563	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖 0 𝑗) = (0g‘𝑅))
24	23	a1d 25	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖 0 𝑗) = (0g‘𝑅)))
25	24	ralrimivva 3199	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖 0 𝑗) = (0g‘𝑅)))
26		chp0mat.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
27		chp0mat.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
28		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
29		chp0mat.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
30		chp0mat.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
31		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
32	26, 27, 4, 28, 8, 29, 12, 30, 31	chpdmat 22663	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 0 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖 0 𝑗) = (0g‘𝑅))) → (𝐶‘ 0 ) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑘 0 𝑘))))))
33	1, 2, 11, 25, 32	syl31anc 1372	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐶‘ 0 ) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑘 0 𝑘))))))
34	15	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 0 = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)))
35		eqidd 2732	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥 = 𝑘 ∧ 𝑦 = 𝑘)) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅))
36		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑁)
37		fvexd 6906	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (0g‘𝑅) ∈ V)
38	34, 35, 36, 36, 37	ovmpod 7563	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑘 0 𝑘) = (0g‘𝑅))
39	38	fveq2d 6895	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑘 0 𝑘)) = ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))
40	3	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ Ring)
41		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
42	27, 28, 12, 41	ply1scl0 22132	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑃))
43	40, 42	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑃))
44	43	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑃))
45	39, 44	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑘 0 𝑘)) = (0g‘𝑃))
46	45	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑋(-g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑘 0 𝑘))) = (𝑋(-g‘𝑃)(0g‘𝑃)))
47	27	ply1ring 22090	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
48		ringgrp 20139	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
49	3, 47, 48	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Grp)
50	49	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ Grp)
51		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
52	29, 27, 51	vr1cl 22060	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
53	40, 52	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
54	50, 53	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)))
55	54	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)))
56	51, 41, 31	grpsubid1 18951	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋(-g‘𝑃)(0g‘𝑃)) = 𝑋)
57	55, 56	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑋(-g‘𝑃)(0g‘𝑃)) = 𝑋)
58	46, 57	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑋(-g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑘 0 𝑘))) = 𝑋)
59	58	mpteq2dva 5248	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑘 0 𝑘)))) = (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋))
60	59	oveq2d 7428	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑘 0 𝑘))))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋)))
61	27	ply1crng 22041	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
62	30	crngmgp 20142	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
63		cmnmnd 19713	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
64	61, 62, 63	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Mnd)
65	64	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐺 ∈ Mnd)
66	3, 52	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
67	66	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
68	30, 51	mgpbas 20041	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝐺)
69	67, 68	eleqtrdi 2842	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
70		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
71		chp0mat.m	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
72	70, 71	gsumconst 19850	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋)) = ((♯‘𝑁) ↑ 𝑋))
73	65, 1, 69, 72	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋)) = ((♯‘𝑁) ↑ 𝑋))
74	33, 60, 73	3eqtrd 2775	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐶‘ 0 ) = ((♯‘𝑁) ↑ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  Vcvv 3473   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  Fincfn 8945  ♯chash 14297  Basecbs 17151  0_gc0g 17392   Σ_g cgsu 17393  Mndcmnd 18665  Grpcgrp 18861  -_gcsg 18863  ._gcmg 18993  CMndccmn 19696  mulGrpcmgp 20035  Ringcrg 20134  CRingccrg 20135  algSccascl 21717  var₁cv1 22019  Poly₁cpl1 22020   Mat cmat 22227   CharPlyMat cchpmat 22648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-addf 11195  ax-mulf 11196

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1509  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-tpos 8217  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-sup 9443  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-rp 12982  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-word 14472  df-lsw 14520  df-concat 14528  df-s1 14553  df-substr 14598  df-pfx 14628  df-splice 14707  df-reverse 14716  df-s2 14806  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-prds 17400  df-pws 17402  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-submnd 18712  df-efmnd 18792  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18994  df-subg 19046  df-ghm 19135  df-gim 19180  df-cntz 19229  df-oppg 19258  df-symg 19283  df-pmtr 19358  df-psgn 19407  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-cring 20137  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-dvr 20299  df-rhm 20370  df-subrng 20442  df-subrg 20467  df-drng 20585  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-sra 21019  df-rgmod 21020  df-cnfld 21234  df-zring 21307  df-zrh 21363  df-dsmm 21597  df-frlm 21612  df-ascl 21720  df-psr 21772  df-mvr 21773  df-mpl 21774  df-opsr 21776  df-psr1 22023  df-vr1 22024  df-ply1 22025  df-mamu 22206  df-mat 22228  df-mdet 22407  df-mat2pmat 22529  df-chpmat 22649

This theorem is referenced by: (None)