Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chp0mat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chp0mat 21461
 Description: The characteristic polynomial of the zero matrix. (Contributed by AV, 18-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chp0mat.c 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chp0mat.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
chp0mat.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chp0mat.x 𝑋 = (var1𝑅)
chp0mat.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
chp0mat.m = (.g𝐺)
chp0mat.0 0 = (0g𝐴)
Assertion
Ref Expression
chp0mat ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐶0 ) = ((♯‘𝑁) 𝑋))

Proof of Theorem chp0mat
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 486 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑁 ∈ Fin)
2 simpr 488 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ CRing)
3 crngring 19306 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
4 chp0mat.a . . . . . 6 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
54matring 21058 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
63, 5sylan2 595 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ Ring)
7 ringgrp 19299 . . . 4 (𝐴 ∈ Ring → 𝐴 ∈ Grp)
8 eqid 2798 . . . . 5 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
9 chp0mat.0 . . . . 5 0 = (0g𝐴)
108, 9grpidcl 18127 . . . 4 (𝐴 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐴))
116, 7, 103syl 18 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 0 ∈ (Base‘𝐴))
12 eqid 2798 . . . . . . . . . 10 (0g𝑅) = (0g𝑅)
134, 12mat0op 21034 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g𝐴) = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ (0g𝑅)))
149, 13syl5eq 2845 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 0 = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ (0g𝑅)))
153, 14sylan2 595 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 0 = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ (0g𝑅)))
1615adantr 484 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 0 = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ (0g𝑅)))
17 eqidd 2799 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑖𝑦 = 𝑗)) → (0g𝑅) = (0g𝑅))
18 simpl 486 . . . . . . 7 ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
1918adantl 485 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑖𝑁)
20 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
2120adantl 485 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑗𝑁)
22 fvexd 6661 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (0g𝑅) ∈ V)
2316, 17, 19, 21, 22ovmpod 7283 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖 0 𝑗) = (0g𝑅))
2423a1d 25 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖𝑗 → (𝑖 0 𝑗) = (0g𝑅)))
2524ralrimivva 3156 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖 0 𝑗) = (0g𝑅)))
26 chp0mat.c . . . 4 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
27 chp0mat.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
28 eqid 2798 . . . 4 (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
29 chp0mat.x . . . 4 𝑋 = (var1𝑅)
30 chp0mat.g . . . 4 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
31 eqid 2798 . . . 4 (-g𝑃) = (-g𝑃)
3226, 27, 4, 28, 8, 29, 12, 30, 31chpdmat 21456 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 0 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖 0 𝑗) = (0g𝑅))) → (𝐶0 ) = (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑋(-g𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑘 0 𝑘))))))
331, 2, 11, 25, 32syl31anc 1370 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐶0 ) = (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑋(-g𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑘 0 𝑘))))))
3415adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘𝑁) → 0 = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ (0g𝑅)))
35 eqidd 2799 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑥 = 𝑘𝑦 = 𝑘)) → (0g𝑅) = (0g𝑅))
36 simpr 488 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑘𝑁)
37 fvexd 6661 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘𝑁) → (0g𝑅) ∈ V)
3834, 35, 36, 36, 37ovmpod 7283 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑘 0 𝑘) = (0g𝑅))
3938fveq2d 6650 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑘 0 𝑘)) = ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)))
403adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ Ring)
41 eqid 2798 . . . . . . . . . 10 (0g𝑃) = (0g𝑃)
4227, 28, 12, 41ply1scl0 20929 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)) = (0g𝑃))
4340, 42syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)) = (0g𝑃))
4443adantr 484 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)) = (0g𝑃))
4539, 44eqtrd 2833 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑘 0 𝑘)) = (0g𝑃))
4645oveq2d 7152 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑋(-g𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑘 0 𝑘))) = (𝑋(-g𝑃)(0g𝑃)))
4727ply1ring 20887 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
48 ringgrp 19299 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
493, 47, 483syl 18 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Grp)
5049adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ Grp)
51 eqid 2798 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
5229, 27, 51vr1cl 20856 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
5340, 52syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
5450, 53jca 515 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)))
5554adantr 484 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)))
5651, 41, 31grpsubid1 18180 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋(-g𝑃)(0g𝑃)) = 𝑋)
5755, 56syl 17 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑋(-g𝑃)(0g𝑃)) = 𝑋)
5846, 57eqtrd 2833 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑋(-g𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑘 0 𝑘))) = 𝑋)
5958mpteq2dva 5126 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑘𝑁 ↦ (𝑋(-g𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑘 0 𝑘)))) = (𝑘𝑁𝑋))
6059oveq2d 7152 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑋(-g𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑘 0 𝑘))))) = (𝐺 Σg (𝑘𝑁𝑋)))
6127ply1crng 20837 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
6230crngmgp 19302 . . . . 5 (𝑃 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
63 cmnmnd 18918 . . . . 5 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
6461, 62, 633syl 18 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Mnd)
6564adantl 485 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐺 ∈ Mnd)
663, 52syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
6766adantl 485 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
6830, 51mgpbas 19242 . . . 4 (Base‘𝑃) = (Base‘𝐺)
6967, 68eleqtrdi 2900 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
70 eqid 2798 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
71 chp0mat.m . . . 4 = (.g𝐺)
7270, 71gsumconst 19051 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg (𝑘𝑁𝑋)) = ((♯‘𝑁) 𝑋))
7365, 1, 69, 72syl3anc 1368 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐺 Σg (𝑘𝑁𝑋)) = ((♯‘𝑁) 𝑋))
7433, 60, 733eqtrd 2837 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐶0 ) = ((♯‘𝑁) 𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  Vcvv 3441   ↦ cmpt 5111  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136   ∈ cmpo 7138  Fincfn 8495  ♯chash 13689  Basecbs 16478  0gc0g 16708   Σg cgsu 16709  Mndcmnd 17906  Grpcgrp 18098  -gcsg 18100  .gcmg 18220  CMndccmn 18902  mulGrpcmgp 19236  Ringcrg 19294  CRingccrg 19295  algSccascl 20546  var1cv1 20815  Poly1cpl1 20816   Mat cmat 21022   CharPlyMat cchpmat 21441 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-addf 10608  ax-mulf 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1503  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-ot 4534  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-se 5480  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-isom 6334  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-of 7391  df-ofr 7392  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-supp 7817  df-tpos 7878  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-2o 8089  df-oadd 8092  df-er 8275  df-map 8394  df-pm 8395  df-ixp 8448  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-fsupp 8821  df-sup 8893  df-oi 8961  df-card 9355  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-4 11693  df-5 11694  df-6 11695  df-7 11696  df-8 11697  df-9 11698  df-n0 11889  df-xnn0 11959  df-z 11973  df-dec 12090  df-uz 12235  df-rp 12381  df-fz 12889  df-fzo 13032  df-seq 13368  df-exp 13429  df-hash 13690  df-word 13861  df-lsw 13909  df-concat 13917  df-s1 13944  df-substr 13997  df-pfx 14027  df-splice 14106  df-reverse 14115  df-s2 14204  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-prds 16716  df-pws 16718  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-submnd 17952  df-efmnd 18029  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-mulg 18221  df-subg 18272  df-ghm 18352  df-gim 18395  df-cntz 18443  df-oppg 18470  df-symg 18492  df-pmtr 18566  df-psgn 18615  df-cmn 18904  df-abl 18905  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-ring 19296  df-cring 19297  df-oppr 19373  df-dvdsr 19391  df-unit 19392  df-invr 19422  df-dvr 19433  df-rnghom 19467  df-drng 19501  df-subrg 19530  df-lmod 19633  df-lss 19701  df-sra 19941  df-rgmod 19942  df-cnfld 20096  df-zring 20168  df-zrh 20202  df-dsmm 20426  df-frlm 20441  df-ascl 20549  df-psr 20600  df-mvr 20601  df-mpl 20602  df-opsr 20604  df-psr1 20819  df-vr1 20820  df-ply1 20821  df-mamu 21001  df-mat 21023  df-mdet 21200  df-mat2pmat 21322  df-chpmat 21442 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator