Theorem chp0mat 23074

Description: The characteristic polynomial of the zero matrix. (Contributed by AV, 18-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
chp0mat.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chp0mat.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
chp0mat.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chp0mat.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
chp0mat.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
chp0mat.m	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
chp0mat.0	⊢ 0 = (0g‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
chp0mat	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐶‘ 0 ) = ((♯‘𝑁) ↑ 𝑋))

Proof of Theorem chp0mat

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑁 ∈ Fin)
2		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ CRing)
3		crngring 20387	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
4		chp0mat.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5	4	matring 22668	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
6	3, 5	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ Ring)
7		ringgrp 20380	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝐴 ∈ Grp)
8		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
9		chp0mat.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐴)
10	8, 9	grpidcl 19092	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐴))
11	6, 7, 10	3syl 19	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 0 ∈ (Base‘𝐴))
12		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
13	4, 12	mat0op 22644	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)))
14	9, 13	eqtrid 2807	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 0 = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)))
15	3, 14	sylan2 605	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 0 = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)))
16	15	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 0 = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)))
17		eqidd 2761	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑖 ∧ 𝑦 = 𝑗)) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅))
18		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
19	18	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑖 ∈ 𝑁)
20		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
21	20	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑗 ∈ 𝑁)
22		fvexd 6894	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (0g‘𝑅) ∈ V)
23	16, 17, 19, 21, 22	ovmpod 7566	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖 0 𝑗) = (0g‘𝑅))
24	23	a1d 26	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖 0 𝑗) = (0g‘𝑅)))
25	24	ralrimivva 3205	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖 0 𝑗) = (0g‘𝑅)))
26		chp0mat.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
27		chp0mat.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
28		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
29		chp0mat.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
30		chp0mat.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
31		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
32	26, 27, 4, 28, 8, 29, 12, 30, 31	chpdmat 23069	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 0 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖 0 𝑗) = (0g‘𝑅))) → (𝐶‘ 0 ) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑘 0 𝑘))))))
33	1, 2, 11, 25, 32	syl31anc 1400	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐶‘ 0 ) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑘 0 𝑘))))))
34	15	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 0 = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)))
35		eqidd 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥 = 𝑘 ∧ 𝑦 = 𝑘)) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅))
36		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑁)
37		fvexd 6894	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (0g‘𝑅) ∈ V)
38	34, 35, 36, 36, 37	ovmpod 7566	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑘 0 𝑘) = (0g‘𝑅))
39	38	fveq2d 6883	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑘 0 𝑘)) = ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))
40	3	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ Ring)
41		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
42	27, 28, 12, 41	ply1scl0 22519	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑃))
43	40, 42	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑃))
44	43	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑃))
45	39, 44	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑘 0 𝑘)) = (0g‘𝑃))
46	45	oveq2d 7430	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑋(-g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑘 0 𝑘))) = (𝑋(-g‘𝑃)(0g‘𝑃)))
47	27	ply1ring 22475	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
48		ringgrp 20380	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
49	3, 47, 48	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Grp)
50	49	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ Grp)
51		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
52	29, 27, 51	vr1cl 22445	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
53	40, 52	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
54	50, 53	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)))
55	54	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)))
56	51, 41, 31	grpsubid1 19151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋(-g‘𝑃)(0g‘𝑃)) = 𝑋)
57	55, 56	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑋(-g‘𝑃)(0g‘𝑃)) = 𝑋)
58	46, 57	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑋(-g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑘 0 𝑘))) = 𝑋)
59	58	mpteq2dva 5198	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑘 0 𝑘)))) = (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋))
60	59	oveq2d 7430	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑘 0 𝑘))))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋)))
61	27	ply1crng 22426	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
62	30	crngmgp 20383	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
63		cmnmnd 19927	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
64	61, 62, 63	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Mnd)
65	64	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐺 ∈ Mnd)
66	3, 52	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
67	66	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
68	30, 51	mgpbas 20281	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝐺)
69	67, 68	eleqtrdi 2870	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
70		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
71		chp0mat.m	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
72	70, 71	gsumconst 20064	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋)) = ((♯‘𝑁) ↑ 𝑋))
73	65, 1, 69, 72	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋)) = ((♯‘𝑁) ↑ 𝑋))
74	33, 60, 73	3eqtrd 2799	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐶‘ 0 ) = ((♯‘𝑁) ↑ 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   ∈ cmpo 7416  Fincfn 8955  ♯chash 14397  Basecbs 17304  0_gc0g 17527   Σ_g cgsu 17528  Mndcmnd 18839  Grpcgrp 19060  -_gcsg 19062  ._gcmg 19193  CMndccmn 19910  mulGrpcmgp 20276  Ringcrg 20375  CRingccrg 20376  algSccascl 22070  var₁cv1 22404  Poly₁cpl1 22405   Mat cmat 22632   CharPlyMat cchpmat 23054

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-addf 11206  ax-mulf 11207

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1542  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-tpos 8225  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-rp 13046  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-seq 14069  df-exp 14129  df-hash 14398  df-word 14582  df-lsw 14631  df-concat 14639  df-s1 14666  df-substr 14712  df-pfx 14744  df-splice 14822  df-reverse 14831  df-s2 14922  df-struct 17242  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-mulr 17359  df-starv 17360  df-sca 17361  df-vsca 17362  df-ip 17363  df-tset 17364  df-ple 17365  df-ds 17367  df-unif 17368  df-hom 17369  df-cco 17370  df-0g 17529  df-gsum 17530  df-prds 17535  df-pws 17537  df-mre 17673  df-mrc 17674  df-acs 17676  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-mhm 18894  df-submnd 18895  df-efmnd 18981  df-grp 19063  df-minusg 19064  df-sbg 19065  df-mulg 19194  df-subg 19249  df-ghm 19344  df-gim 19389  df-cntz 19447  df-oppg 19476  df-symg 19500  df-pmtr 19572  df-psgn 19621  df-cmn 19912  df-abl 19913  df-mgp 20277  df-rng 20291  df-ur 20324  df-ring 20377  df-cring 20378  df-oppr 20481  df-dvdsr 20501  df-unit 20502  df-invr 20532  df-dvr 20545  df-rhm 20616  df-subrng 20711  df-subrg 20735  df-drng 20895  df-lmod 21049  df-lss 21119  df-sra 21360  df-rgmod 21361  df-cnfld 21589  df-zring 21663  df-zrh 21719  df-dsmm 21948  df-frlm 21963  df-ascl 22073  df-psr 22127  df-mvr 22128  df-mpl 22129  df-opsr 22131  df-psr1 22408  df-vr1 22409  df-ply1 22410  df-mamu 22616  df-mat 22633  df-mdet 22810  df-mat2pmat 22935  df-chpmat 23055

This theorem is used by: (None)