Theorem chp0mat 21743

Description: The characteristic polynomial of the zero matrix. (Contributed by AV, 18-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
chp0mat.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chp0mat.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
chp0mat.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chp0mat.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
chp0mat.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
chp0mat.m	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
chp0mat.0	⊢ 0 = (0g‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
chp0mat	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐶‘ 0 ) = ((♯‘𝑁) ↑ 𝑋))

Proof of Theorem chp0mat

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 486	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑁 ∈ Fin)
2		simpr 488	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ CRing)
3		crngring 19574	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
4		chp0mat.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5	4	matring 21340	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
6	3, 5	sylan2 596	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ Ring)
7		ringgrp 19567	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝐴 ∈ Grp)
8		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
9		chp0mat.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐴)
10	8, 9	grpidcl 18395	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐴))
11	6, 7, 10	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 0 ∈ (Base‘𝐴))
12		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
13	4, 12	mat0op 21316	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)))
14	9, 13	syl5eq 2790	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 0 = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)))
15	3, 14	sylan2 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 0 = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)))
16	15	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 0 = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)))
17		eqidd 2738	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑥 = 𝑖 ∧ 𝑦 = 𝑗)) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅))
18		simpl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
19	18	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑖 ∈ 𝑁)
20		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
21	20	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑗 ∈ 𝑁)
22		fvexd 6732	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (0g‘𝑅) ∈ V)
23	16, 17, 19, 21, 22	ovmpod 7361	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖 0 𝑗) = (0g‘𝑅))
24	23	a1d 25	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖 0 𝑗) = (0g‘𝑅)))
25	24	ralrimivva 3112	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖 0 𝑗) = (0g‘𝑅)))
26		chp0mat.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
27		chp0mat.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
28		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
29		chp0mat.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
30		chp0mat.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
31		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
32	26, 27, 4, 28, 8, 29, 12, 30, 31	chpdmat 21738	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 0 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖 0 𝑗) = (0g‘𝑅))) → (𝐶‘ 0 ) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑘 0 𝑘))))))
33	1, 2, 11, 25, 32	syl31anc 1375	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐶‘ 0 ) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑘 0 𝑘))))))
34	15	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 0 = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)))
35		eqidd 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥 = 𝑘 ∧ 𝑦 = 𝑘)) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅))
36		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑁)
37		fvexd 6732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (0g‘𝑅) ∈ V)
38	34, 35, 36, 36, 37	ovmpod 7361	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑘 0 𝑘) = (0g‘𝑅))
39	38	fveq2d 6721	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑘 0 𝑘)) = ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))
40	3	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ Ring)
41		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
42	27, 28, 12, 41	ply1scl0 21211	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑃))
43	40, 42	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑃))
44	43	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑃))
45	39, 44	eqtrd 2777	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑘 0 𝑘)) = (0g‘𝑃))
46	45	oveq2d 7229	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑋(-g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑘 0 𝑘))) = (𝑋(-g‘𝑃)(0g‘𝑃)))
47	27	ply1ring 21169	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
48		ringgrp 19567	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
49	3, 47, 48	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Grp)
50	49	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ Grp)
51		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
52	29, 27, 51	vr1cl 21138	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
53	40, 52	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
54	50, 53	jca 515	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)))
55	54	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)))
56	51, 41, 31	grpsubid1 18448	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋(-g‘𝑃)(0g‘𝑃)) = 𝑋)
57	55, 56	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑋(-g‘𝑃)(0g‘𝑃)) = 𝑋)
58	46, 57	eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑋(-g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑘 0 𝑘))) = 𝑋)
59	58	mpteq2dva 5150	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑘 0 𝑘)))) = (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋))
60	59	oveq2d 7229	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋(-g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑘 0 𝑘))))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋)))
61	27	ply1crng 21119	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
62	30	crngmgp 19570	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
63		cmnmnd 19186	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
64	61, 62, 63	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Mnd)
65	64	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐺 ∈ Mnd)
66	3, 52	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
67	66	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
68	30, 51	mgpbas 19510	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝐺)
69	67, 68	eleqtrdi 2848	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
70		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
71		chp0mat.m	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
72	70, 71	gsumconst 19319	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋)) = ((♯‘𝑁) ↑ 𝑋))
73	65, 1, 69, 72	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋)) = ((♯‘𝑁) ↑ 𝑋))
74	33, 60, 73	3eqtrd 2781	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐶‘ 0 ) = ((♯‘𝑁) ↑ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  Vcvv 3408   ↦ cmpt 5135  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213   ∈ cmpo 7215  Fincfn 8626  ♯chash 13896  Basecbs 16760  0_gc0g 16944   Σ_g cgsu 16945  Mndcmnd 18173  Grpcgrp 18365  -_gcsg 18367  ._gcmg 18488  CMndccmn 19170  mulGrpcmgp 19504  Ringcrg 19562  CRingccrg 19563  algSccascl 20814  var₁cv1 21097  Poly₁cpl1 21098   Mat cmat 21304   CharPlyMat cchpmat 21723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-addf 10808  ax-mulf 10809

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-xor 1508  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-ot 4550  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-ofr 7470  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-tpos 7968  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-sup 9058  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-xnn0 12163  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-rp 12587  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-seq 13575  df-exp 13636  df-hash 13897  df-word 14070  df-lsw 14118  df-concat 14126  df-s1 14153  df-substr 14206  df-pfx 14236  df-splice 14315  df-reverse 14324  df-s2 14413  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-hom 16826  df-cco 16827  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-prds 16952  df-pws 16954  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-mhm 18218  df-submnd 18219  df-efmnd 18296  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-sbg 18370  df-mulg 18489  df-subg 18540  df-ghm 18620  df-gim 18663  df-cntz 18711  df-oppg 18738  df-symg 18760  df-pmtr 18834  df-psgn 18883  df-cmn 19172  df-abl 19173  df-mgp 19505  df-ur 19517  df-ring 19564  df-cring 19565  df-oppr 19641  df-dvdsr 19659  df-unit 19660  df-invr 19690  df-dvr 19701  df-rnghom 19735  df-drng 19769  df-subrg 19798  df-lmod 19901  df-lss 19969  df-sra 20209  df-rgmod 20210  df-cnfld 20364  df-zring 20436  df-zrh 20470  df-dsmm 20694  df-frlm 20709  df-ascl 20817  df-psr 20868  df-mvr 20869  df-mpl 20870  df-opsr 20872  df-psr1 21101  df-vr1 21102  df-ply1 21103  df-mamu 21283  df-mat 21305  df-mdet 21482  df-mat2pmat 21604  df-chpmat 21724

This theorem is referenced by: (None)