MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  telgsums Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem telgsums 19777
Description: Telescoping finitely supported group sum ranging over nonnegative integers, using explicit substitution. (Contributed by AV, 24-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
telgsums.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
telgsums.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
telgsums.m = (-g𝐺)
telgsums.0 0 = (0g𝐺)
telgsums.f (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵)
telgsums.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
telgsums.u (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ))
Assertion
Ref Expression
telgsums (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = 0 / 𝑘𝐶)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑘   𝐶,𝑖   𝑖,𝐺   𝑆,𝑖,𝑘   0 ,𝑖,𝑘   𝜑,𝑖   ,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐺(𝑘)   (𝑘)

Proof of Theorem telgsums
StepHypRef Expression
1 telgsums.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 telgsums.0 . . 3 0 = (0g𝐺)
3 telgsums.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
4 ablcmn 19576 . . . 4 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
53, 4syl 17 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
6 ablgrp 19574 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
73, 6syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
87adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Grp)
9 simpr 486 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
10 telgsums.f . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵)
1110adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵)
12 rspcsbela 4400 . . . . . 6 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵) → 𝑖 / 𝑘𝐶𝐵)
139, 11, 12syl2anc 585 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 / 𝑘𝐶𝐵)
14 peano2nn0 12460 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
15 rspcsbela 4400 . . . . . 6 (((𝑖 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶𝐵)
1614, 10, 15syl2anr 598 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶𝐵)
17 telgsums.m . . . . . 6 = (-g𝐺)
181, 17grpsubcl 18834 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑖 / 𝑘𝐶𝐵(𝑖 + 1) / 𝑘𝐶𝐵) → (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶) ∈ 𝐵)
198, 13, 16, 18syl3anc 1372 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶) ∈ 𝐵)
2019ralrimiva 3144 . . 3 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ0 (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶) ∈ 𝐵)
21 telgsums.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
22 telgsums.u . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ))
23 rspsbca 3841 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 )) → [𝑖 / 𝑘](𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ))
24 sbcimg 3795 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ V → ([𝑖 / 𝑘](𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ) ↔ ([𝑖 / 𝑘]𝑆 < 𝑘[𝑖 / 𝑘]𝐶 = 0 )))
25 sbcbr2g 5168 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ V → ([𝑖 / 𝑘]𝑆 < 𝑘𝑆 < 𝑖 / 𝑘𝑘))
26 csbvarg 4396 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ V → 𝑖 / 𝑘𝑘 = 𝑖)
2726breq2d 5122 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ V → (𝑆 < 𝑖 / 𝑘𝑘𝑆 < 𝑖))
2825, 27bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ V → ([𝑖 / 𝑘]𝑆 < 𝑘𝑆 < 𝑖))
29 sbceq1g 4379 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ V → ([𝑖 / 𝑘]𝐶 = 0𝑖 / 𝑘𝐶 = 0 ))
3028, 29imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ V → (([𝑖 / 𝑘]𝑆 < 𝑘[𝑖 / 𝑘]𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < 𝑖𝑖 / 𝑘𝐶 = 0 )))
3124, 30bitrd 279 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ V → ([𝑖 / 𝑘](𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < 𝑖𝑖 / 𝑘𝐶 = 0 )))
3231elv 3454 . . . . . . . . . . 11 ([𝑖 / 𝑘](𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < 𝑖𝑖 / 𝑘𝐶 = 0 ))
3323, 32sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 )) → (𝑆 < 𝑖𝑖 / 𝑘𝐶 = 0 ))
3433expcom 415 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ) → (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑆 < 𝑖𝑖 / 𝑘𝐶 = 0 )))
3522, 34syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑆 < 𝑖𝑖 / 𝑘𝐶 = 0 )))
3635imp31 419 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → 𝑖 / 𝑘𝐶 = 0 )
3721nn0red 12481 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
3837adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ ℝ)
3938adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → 𝑆 ∈ ℝ)
40 nn0re 12429 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℝ)
4140ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → 𝑖 ∈ ℝ)
4214ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
4342nn0red 12481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
44 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → 𝑆 < 𝑖)
4541ltp1d 12092 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → 𝑖 < (𝑖 + 1))
4639, 41, 43, 44, 45lttrd 11323 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → 𝑆 < (𝑖 + 1))
4746ex 414 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑆 < 𝑖𝑆 < (𝑖 + 1)))
48 rspsbca 3841 . . . . . . . . . . 11 (((𝑖 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 )) → [(𝑖 + 1) / 𝑘](𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ))
49 ovex 7395 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 + 1) ∈ V
50 sbcimg 3795 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑖 + 1) ∈ V → ([(𝑖 + 1) / 𝑘](𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ) ↔ ([(𝑖 + 1) / 𝑘]𝑆 < 𝑘[(𝑖 + 1) / 𝑘]𝐶 = 0 )))
51 sbcbr2g 5168 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 + 1) ∈ V → ([(𝑖 + 1) / 𝑘]𝑆 < 𝑘𝑆 < (𝑖 + 1) / 𝑘𝑘))
52 csbvarg 4396 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 + 1) ∈ V → (𝑖 + 1) / 𝑘𝑘 = (𝑖 + 1))
5352breq2d 5122 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 + 1) ∈ V → (𝑆 < (𝑖 + 1) / 𝑘𝑘𝑆 < (𝑖 + 1)))
5451, 53bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 + 1) ∈ V → ([(𝑖 + 1) / 𝑘]𝑆 < 𝑘𝑆 < (𝑖 + 1)))
55 sbceq1g 4379 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 + 1) ∈ V → ([(𝑖 + 1) / 𝑘]𝐶 = 0(𝑖 + 1) / 𝑘𝐶 = 0 ))
5654, 55imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑖 + 1) ∈ V → (([(𝑖 + 1) / 𝑘]𝑆 < 𝑘[(𝑖 + 1) / 𝑘]𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < (𝑖 + 1) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶 = 0 )))
5750, 56bitrd 279 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 + 1) ∈ V → ([(𝑖 + 1) / 𝑘](𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < (𝑖 + 1) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶 = 0 )))
5849, 57ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ([(𝑖 + 1) / 𝑘](𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < (𝑖 + 1) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶 = 0 ))
5948, 58sylib 217 . . . . . . . . . 10 (((𝑖 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 )) → (𝑆 < (𝑖 + 1) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶 = 0 ))
6014, 22, 59syl2anr 598 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑆 < (𝑖 + 1) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶 = 0 ))
6147, 60syld 47 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑆 < 𝑖(𝑖 + 1) / 𝑘𝐶 = 0 ))
6261imp 408 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶 = 0 )
6336, 62oveq12d 7380 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶) = ( 0 0 ))
648adantr 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → 𝐺 ∈ Grp)
651, 2grpidcl 18785 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → 0𝐵)
661, 2, 17grpsubid 18838 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 0𝐵) → ( 0 0 ) = 0 )
6764, 65, 66syl2anc2 586 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → ( 0 0 ) = 0 )
6863, 67eqtrd 2777 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶) = 0 )
6968ex 414 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑆 < 𝑖 → (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶) = 0 ))
7069ralrimiva 3144 . . 3 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑖 → (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶) = 0 ))
711, 2, 5, 20, 21, 70gsummptnn0fz 19770 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑆) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))))
72 fzssuz 13489 . . . . . 6 (0...(𝑆 + 1)) ⊆ (ℤ‘0)
7372a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (0...(𝑆 + 1)) ⊆ (ℤ‘0))
74 nn0uz 12812 . . . . 5 0 = (ℤ‘0)
7573, 74sseqtrrdi 4000 . . . 4 (𝜑 → (0...(𝑆 + 1)) ⊆ ℕ0)
76 ssralv 4015 . . . 4 ((0...(𝑆 + 1)) ⊆ ℕ0 → (∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵 → ∀𝑘 ∈ (0...(𝑆 + 1))𝐶𝐵))
7775, 10, 76sylc 65 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(𝑆 + 1))𝐶𝐵)
781, 3, 17, 21, 77telgsumfz0s 19775 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑆) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = (0 / 𝑘𝐶 (𝑆 + 1) / 𝑘𝐶))
79 peano2nn0 12460 . . . . . 6 (𝑆 ∈ ℕ0 → (𝑆 + 1) ∈ ℕ0)
8021, 79syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 + 1) ∈ ℕ0)
8137ltp1d 12092 . . . . 5 (𝜑𝑆 < (𝑆 + 1))
82 rspsbca 3841 . . . . . . 7 (((𝑆 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 )) → [(𝑆 + 1) / 𝑘](𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ))
83 ovex 7395 . . . . . . . 8 (𝑆 + 1) ∈ V
84 sbcimg 3795 . . . . . . . . 9 ((𝑆 + 1) ∈ V → ([(𝑆 + 1) / 𝑘](𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ) ↔ ([(𝑆 + 1) / 𝑘]𝑆 < 𝑘[(𝑆 + 1) / 𝑘]𝐶 = 0 )))
85 sbcbr2g 5168 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 + 1) ∈ V → ([(𝑆 + 1) / 𝑘]𝑆 < 𝑘𝑆 < (𝑆 + 1) / 𝑘𝑘))
86 csbvarg 4396 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 + 1) ∈ V → (𝑆 + 1) / 𝑘𝑘 = (𝑆 + 1))
8786breq2d 5122 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 + 1) ∈ V → (𝑆 < (𝑆 + 1) / 𝑘𝑘𝑆 < (𝑆 + 1)))
8885, 87bitrd 279 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 + 1) ∈ V → ([(𝑆 + 1) / 𝑘]𝑆 < 𝑘𝑆 < (𝑆 + 1)))
89 sbceq1g 4379 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 + 1) ∈ V → ([(𝑆 + 1) / 𝑘]𝐶 = 0(𝑆 + 1) / 𝑘𝐶 = 0 ))
9088, 89imbi12d 345 . . . . . . . . 9 ((𝑆 + 1) ∈ V → (([(𝑆 + 1) / 𝑘]𝑆 < 𝑘[(𝑆 + 1) / 𝑘]𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < (𝑆 + 1) → (𝑆 + 1) / 𝑘𝐶 = 0 )))
9184, 90bitrd 279 . . . . . . . 8 ((𝑆 + 1) ∈ V → ([(𝑆 + 1) / 𝑘](𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < (𝑆 + 1) → (𝑆 + 1) / 𝑘𝐶 = 0 )))
9283, 91ax-mp 5 . . . . . . 7 ([(𝑆 + 1) / 𝑘](𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < (𝑆 + 1) → (𝑆 + 1) / 𝑘𝐶 = 0 ))
9382, 92sylib 217 . . . . . 6 (((𝑆 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 )) → (𝑆 < (𝑆 + 1) → (𝑆 + 1) / 𝑘𝐶 = 0 ))
9493ex 414 . . . . 5 ((𝑆 + 1) ∈ ℕ0 → (∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ) → (𝑆 < (𝑆 + 1) → (𝑆 + 1) / 𝑘𝐶 = 0 )))
9580, 22, 81, 94syl3c 66 . . . 4 (𝜑(𝑆 + 1) / 𝑘𝐶 = 0 )
9695oveq2d 7378 . . 3 (𝜑 → (0 / 𝑘𝐶 (𝑆 + 1) / 𝑘𝐶) = (0 / 𝑘𝐶 0 ))
97 0nn0 12435 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
9897a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
99 rspcsbela 4400 . . . . 5 ((0 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵) → 0 / 𝑘𝐶𝐵)
10098, 10, 99syl2anc 585 . . . 4 (𝜑0 / 𝑘𝐶𝐵)
1011, 2, 17grpsubid1 18839 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 0 / 𝑘𝐶𝐵) → (0 / 𝑘𝐶 0 ) = 0 / 𝑘𝐶)
1027, 100, 101syl2anc 585 . . 3 (𝜑 → (0 / 𝑘𝐶 0 ) = 0 / 𝑘𝐶)
10396, 102eqtrd 2777 . 2 (𝜑 → (0 / 𝑘𝐶 (𝑆 + 1) / 𝑘𝐶) = 0 / 𝑘𝐶)
10471, 78, 1033eqtrd 2781 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 / 𝑘𝐶 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐶))) = 0 / 𝑘𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3065  Vcvv 3448  [wsbc 3744  csb 3860  wss 3915   class class class wbr 5110  cmpt 5193  cfv 6501  (class class class)co 7362  cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   < clt 11196  0cn0 12420  cuz 12770  ...cfz 13431  Basecbs 17090  0gc0g 17328   Σg cgsu 17329  Grpcgrp 18755  -gcsg 18757  CMndccmn 19569  Abelcabl 19570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-hash 14238  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-abl 19572
This theorem is referenced by:  telgsum  19778
  Copyright terms: Public domain W3C validator