Theorem telgsums 19872

Description: Telescoping finitely supported group sum ranging over nonnegative integers, using explicit substitution. (Contributed by AV, 24-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
telgsums.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
telgsums.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
telgsums.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
telgsums.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
telgsums.f	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵)
telgsums.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
telgsums.u	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ))

Assertion

Ref	Expression
telgsums	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶))) = ⦋0 / 𝑘⦌𝐶)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑘   𝐶,𝑖   𝑖,𝐺   𝑆,𝑖,𝑘   0 ,𝑖,𝑘   𝜑,𝑖   − ,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐺(𝑘)   − (𝑘)

Proof of Theorem telgsums

Step	Hyp	Ref	Expression
1		telgsums.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		telgsums.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		telgsums.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
4		ablcmn 19666	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
6		ablgrp 19664	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
7	3, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
8	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Grp)
9		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
10		telgsums.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵)
11	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵)
12		rspcsbela 4389	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵)
13	9, 11, 12	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵)
14		peano2nn0 12424	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
15		rspcsbela 4389	. . . . . 6 ⊢ (((𝑖 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵)
16	14, 10, 15	syl2anr 597	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵)
17		telgsums.m	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝐺)
18	1, 17	grpsubcl 18899	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵) → (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶) ∈ 𝐵)
19	8, 13, 16, 18	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶) ∈ 𝐵)
20	19	ralrimiva 3121	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ0 (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶) ∈ 𝐵)
21		telgsums.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
22		telgsums.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ))
23		rspsbca 3832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 )) → [𝑖 / 𝑘](𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ))
24		sbcimg 3791	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ V → ([𝑖 / 𝑘](𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ) ↔ ([𝑖 / 𝑘]𝑆 < 𝑘 → [𝑖 / 𝑘]𝐶 = 0 )))
25		sbcbr2g 5150	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ V → ([𝑖 / 𝑘]𝑆 < 𝑘 ↔ 𝑆 < ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝑘))
26		csbvarg 4385	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ V → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝑘 = 𝑖)
27	26	breq2d 5104	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ V → (𝑆 < ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝑘 ↔ 𝑆 < 𝑖))
28	25, 27	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ V → ([𝑖 / 𝑘]𝑆 < 𝑘 ↔ 𝑆 < 𝑖))
29		sbceq1g 4368	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ V → ([𝑖 / 𝑘]𝐶 = 0 ↔ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
30	28, 29	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ V → (([𝑖 / 𝑘]𝑆 < 𝑘 → [𝑖 / 𝑘]𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < 𝑖 → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 = 0 )))
31	24, 30	bitrd 279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ V → ([𝑖 / 𝑘](𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < 𝑖 → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 = 0 )))
32	31	elv 3441	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ([𝑖 / 𝑘](𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < 𝑖 → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
33	23, 32	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 )) → (𝑆 < 𝑖 → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
34	33	expcom 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ) → (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑆 < 𝑖 → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 = 0 )))
35	22, 34	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑆 < 𝑖 → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 = 0 )))
36	35	imp31 417	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 = 0 )
37	21	nn0red 12446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ ℝ)
39	38	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → 𝑆 ∈ ℝ)
40		nn0re 12393	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → 𝑖 ∈ ℝ)
41	40	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → 𝑖 ∈ ℝ)
42	14	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
43	42	nn0red 12446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
44		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → 𝑆 < 𝑖)
45	41	ltp1d 12055	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → 𝑖 < (𝑖 + 1))
46	39, 41, 43, 44, 45	lttrd 11277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → 𝑆 < (𝑖 + 1))
47	46	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑆 < 𝑖 → 𝑆 < (𝑖 + 1)))
48		rspsbca 3832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑖 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 )) → [(𝑖 + 1) / 𝑘](𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ))
49		ovex 7382	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 + 1) ∈ V
50		sbcimg 3791	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ V → ([(𝑖 + 1) / 𝑘](𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ) ↔ ([(𝑖 + 1) / 𝑘]𝑆 < 𝑘 → [(𝑖 + 1) / 𝑘]𝐶 = 0 )))
51		sbcbr2g 5150	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ V → ([(𝑖 + 1) / 𝑘]𝑆 < 𝑘 ↔ 𝑆 < ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝑘))
52		csbvarg 4385	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ V → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝑘 = (𝑖 + 1))
53	52	breq2d 5104	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ V → (𝑆 < ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝑘 ↔ 𝑆 < (𝑖 + 1)))
54	51, 53	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ V → ([(𝑖 + 1) / 𝑘]𝑆 < 𝑘 ↔ 𝑆 < (𝑖 + 1)))
55		sbceq1g 4368	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ V → ([(𝑖 + 1) / 𝑘]𝐶 = 0 ↔ ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
56	54, 55	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ V → (([(𝑖 + 1) / 𝑘]𝑆 < 𝑘 → [(𝑖 + 1) / 𝑘]𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < (𝑖 + 1) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 )))
57	50, 56	bitrd 279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ V → ([(𝑖 + 1) / 𝑘](𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < (𝑖 + 1) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 )))
58	49, 57	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ([(𝑖 + 1) / 𝑘](𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < (𝑖 + 1) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
59	48, 58	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑖 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 )) → (𝑆 < (𝑖 + 1) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
60	14, 22, 59	syl2anr 597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑆 < (𝑖 + 1) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
61	47, 60	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑆 < 𝑖 → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
62	61	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 )
63	36, 62	oveq12d 7367	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶) = ( 0 − 0 ))
64	8	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → 𝐺 ∈ Grp)
65	1, 2	grpidcl 18844	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
66	1, 2, 17	grpsubid 18903	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 0 ∈ 𝐵) → ( 0 − 0 ) = 0 )
67	64, 65, 66	syl2anc2 585	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → ( 0 − 0 ) = 0 )
68	63, 67	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶) = 0 )
69	68	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑆 < 𝑖 → (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶) = 0 ))
70	69	ralrimiva 3121	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑖 → (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶) = 0 ))
71	1, 2, 5, 20, 21, 70	gsummptnn0fz 19865	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶))) = (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑆) ↦ (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶))))
72		fzssuz 13468	. . . . . 6 ⊢ (0...(𝑆 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘0)
73	72	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑆 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘0))
74		nn0uz 12777	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
75	73, 74	sseqtrrdi 3977	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑆 + 1)) ⊆ ℕ0)
76		ssralv 4004	. . . 4 ⊢ ((0...(𝑆 + 1)) ⊆ ℕ0 → (∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵 → ∀𝑘 ∈ (0...(𝑆 + 1))𝐶 ∈ 𝐵))
77	75, 10, 76	sylc 65	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(𝑆 + 1))𝐶 ∈ 𝐵)
78	1, 3, 17, 21, 77	telgsumfz0s 19870	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑆) ↦ (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶))) = (⦋0 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝐶))
79		peano2nn0 12424	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ0 → (𝑆 + 1) ∈ ℕ0)
80	21, 79	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 + 1) ∈ ℕ0)
81	37	ltp1d 12055	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 < (𝑆 + 1))
82		rspsbca 3832	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 )) → [(𝑆 + 1) / 𝑘](𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ))
83		ovex 7382	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 + 1) ∈ V
84		sbcimg 3791	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 + 1) ∈ V → ([(𝑆 + 1) / 𝑘](𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ) ↔ ([(𝑆 + 1) / 𝑘]𝑆 < 𝑘 → [(𝑆 + 1) / 𝑘]𝐶 = 0 )))
85		sbcbr2g 5150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 + 1) ∈ V → ([(𝑆 + 1) / 𝑘]𝑆 < 𝑘 ↔ 𝑆 < ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝑘))
86		csbvarg 4385	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 + 1) ∈ V → ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝑘 = (𝑆 + 1))
87	86	breq2d 5104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 + 1) ∈ V → (𝑆 < ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝑘 ↔ 𝑆 < (𝑆 + 1)))
88	85, 87	bitrd 279	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 + 1) ∈ V → ([(𝑆 + 1) / 𝑘]𝑆 < 𝑘 ↔ 𝑆 < (𝑆 + 1)))
89		sbceq1g 4368	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 + 1) ∈ V → ([(𝑆 + 1) / 𝑘]𝐶 = 0 ↔ ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
90	88, 89	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 + 1) ∈ V → (([(𝑆 + 1) / 𝑘]𝑆 < 𝑘 → [(𝑆 + 1) / 𝑘]𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < (𝑆 + 1) → ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 )))
91	84, 90	bitrd 279	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 + 1) ∈ V → ([(𝑆 + 1) / 𝑘](𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < (𝑆 + 1) → ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 )))
92	83, 91	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ([(𝑆 + 1) / 𝑘](𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < (𝑆 + 1) → ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
93	82, 92	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 )) → (𝑆 < (𝑆 + 1) → ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
94	93	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 + 1) ∈ ℕ0 → (∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ) → (𝑆 < (𝑆 + 1) → ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 )))
95	80, 22, 81, 94	syl3c 66	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 )
96	95	oveq2d 7365	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⦋0 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝐶) = (⦋0 / 𝑘⦌𝐶 − 0 ))
97		0nn0 12399	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
98	97	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
99		rspcsbela 4389	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵) → ⦋0 / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵)
100	98, 10, 99	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⦋0 / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵)
101	1, 2, 17	grpsubid1 18904	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ⦋0 / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵) → (⦋0 / 𝑘⦌𝐶 − 0 ) = ⦋0 / 𝑘⦌𝐶)
102	7, 100, 101	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⦋0 / 𝑘⦌𝐶 − 0 ) = ⦋0 / 𝑘⦌𝐶)
103	96, 102	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → (⦋0 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝐶) = ⦋0 / 𝑘⦌𝐶)
104	71, 78, 103	3eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶))) = ⦋0 / 𝑘⦌𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3436  [wsbc 3742  ⦋csb 3851   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5173  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℝcr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   < clt 11149  ℕ₀cn0 12384  ℤ_≥cuz 12735  ...cfz 13410  Basecbs 17120  0_gc0g 17343   Σ_g cgsu 17344  Grpcgrp 18812  -_gcsg 18814  CMndccmn 19659  Abelcabl 19660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-hash 14238  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-submnd 18658  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-sbg 18817  df-mulg 18947  df-cntz 19196  df-cmn 19661  df-abl 19662

This theorem is referenced by:  telgsum  19873