Theorem telgsums 19902

Description: Telescoping finitely supported group sum ranging over nonnegative integers, using explicit substitution. (Contributed by AV, 24-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
telgsums.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
telgsums.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
telgsums.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
telgsums.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
telgsums.f	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵)
telgsums.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
telgsums.u	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ))

Assertion

Ref	Expression
telgsums	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶))) = ⦋0 / 𝑘⦌𝐶)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑘   𝐶,𝑖   𝑖,𝐺   𝑆,𝑖,𝑘   0 ,𝑖,𝑘   𝜑,𝑖   − ,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐺(𝑘)   − (𝑘)

Proof of Theorem telgsums

Step	Hyp	Ref	Expression
1		telgsums.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		telgsums.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		telgsums.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
4		ablcmn 19696	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
6		ablgrp 19694	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
7	3, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
8	7	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Grp)
9		simpr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
10		telgsums.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵)
11	10	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵)
12		rspcsbela 4434	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵)
13	9, 11, 12	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵)
14		peano2nn0 12516	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
15		rspcsbela 4434	. . . . . 6 ⊢ (((𝑖 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵)
16	14, 10, 15	syl2anr 595	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵)
17		telgsums.m	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝐺)
18	1, 17	grpsubcl 18939	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵) → (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶) ∈ 𝐵)
19	8, 13, 16, 18	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶) ∈ 𝐵)
20	19	ralrimiva 3144	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ0 (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶) ∈ 𝐵)
21		telgsums.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
22		telgsums.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ))
23		rspsbca 3873	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 )) → [𝑖 / 𝑘](𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ))
24		sbcimg 3827	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ V → ([𝑖 / 𝑘](𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ) ↔ ([𝑖 / 𝑘]𝑆 < 𝑘 → [𝑖 / 𝑘]𝐶 = 0 )))
25		sbcbr2g 5205	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ V → ([𝑖 / 𝑘]𝑆 < 𝑘 ↔ 𝑆 < ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝑘))
26		csbvarg 4430	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ V → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝑘 = 𝑖)
27	26	breq2d 5159	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ V → (𝑆 < ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝑘 ↔ 𝑆 < 𝑖))
28	25, 27	bitrd 278	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ V → ([𝑖 / 𝑘]𝑆 < 𝑘 ↔ 𝑆 < 𝑖))
29		sbceq1g 4413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ V → ([𝑖 / 𝑘]𝐶 = 0 ↔ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
30	28, 29	imbi12d 343	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ V → (([𝑖 / 𝑘]𝑆 < 𝑘 → [𝑖 / 𝑘]𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < 𝑖 → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 = 0 )))
31	24, 30	bitrd 278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ V → ([𝑖 / 𝑘](𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < 𝑖 → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 = 0 )))
32	31	elv 3478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ([𝑖 / 𝑘](𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < 𝑖 → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
33	23, 32	sylib 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 )) → (𝑆 < 𝑖 → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
34	33	expcom 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ) → (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑆 < 𝑖 → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 = 0 )))
35	22, 34	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑆 < 𝑖 → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 = 0 )))
36	35	imp31 416	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 = 0 )
37	21	nn0red 12537	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
38	37	adantr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ ℝ)
39	38	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → 𝑆 ∈ ℝ)
40		nn0re 12485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → 𝑖 ∈ ℝ)
41	40	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → 𝑖 ∈ ℝ)
42	14	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
43	42	nn0red 12537	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
44		simpr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → 𝑆 < 𝑖)
45	41	ltp1d 12148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → 𝑖 < (𝑖 + 1))
46	39, 41, 43, 44, 45	lttrd 11379	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → 𝑆 < (𝑖 + 1))
47	46	ex 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑆 < 𝑖 → 𝑆 < (𝑖 + 1)))
48		rspsbca 3873	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑖 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 )) → [(𝑖 + 1) / 𝑘](𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ))
49		ovex 7444	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 + 1) ∈ V
50		sbcimg 3827	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ V → ([(𝑖 + 1) / 𝑘](𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ) ↔ ([(𝑖 + 1) / 𝑘]𝑆 < 𝑘 → [(𝑖 + 1) / 𝑘]𝐶 = 0 )))
51		sbcbr2g 5205	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ V → ([(𝑖 + 1) / 𝑘]𝑆 < 𝑘 ↔ 𝑆 < ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝑘))
52		csbvarg 4430	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ V → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝑘 = (𝑖 + 1))
53	52	breq2d 5159	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ V → (𝑆 < ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝑘 ↔ 𝑆 < (𝑖 + 1)))
54	51, 53	bitrd 278	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ V → ([(𝑖 + 1) / 𝑘]𝑆 < 𝑘 ↔ 𝑆 < (𝑖 + 1)))
55		sbceq1g 4413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ V → ([(𝑖 + 1) / 𝑘]𝐶 = 0 ↔ ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
56	54, 55	imbi12d 343	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ V → (([(𝑖 + 1) / 𝑘]𝑆 < 𝑘 → [(𝑖 + 1) / 𝑘]𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < (𝑖 + 1) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 )))
57	50, 56	bitrd 278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ V → ([(𝑖 + 1) / 𝑘](𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < (𝑖 + 1) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 )))
58	49, 57	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ([(𝑖 + 1) / 𝑘](𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < (𝑖 + 1) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
59	48, 58	sylib 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑖 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 )) → (𝑆 < (𝑖 + 1) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
60	14, 22, 59	syl2anr 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑆 < (𝑖 + 1) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
61	47, 60	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑆 < 𝑖 → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
62	61	imp 405	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 )
63	36, 62	oveq12d 7429	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶) = ( 0 − 0 ))
64	8	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → 𝐺 ∈ Grp)
65	1, 2	grpidcl 18886	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
66	1, 2, 17	grpsubid 18943	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 0 ∈ 𝐵) → ( 0 − 0 ) = 0 )
67	64, 65, 66	syl2anc2 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → ( 0 − 0 ) = 0 )
68	63, 67	eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶) = 0 )
69	68	ex 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑆 < 𝑖 → (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶) = 0 ))
70	69	ralrimiva 3144	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑖 → (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶) = 0 ))
71	1, 2, 5, 20, 21, 70	gsummptnn0fz 19895	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶))) = (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑆) ↦ (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶))))
72		fzssuz 13546	. . . . . 6 ⊢ (0...(𝑆 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘0)
73	72	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑆 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘0))
74		nn0uz 12868	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
75	73, 74	sseqtrrdi 4032	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑆 + 1)) ⊆ ℕ0)
76		ssralv 4049	. . . 4 ⊢ ((0...(𝑆 + 1)) ⊆ ℕ0 → (∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵 → ∀𝑘 ∈ (0...(𝑆 + 1))𝐶 ∈ 𝐵))
77	75, 10, 76	sylc 65	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(𝑆 + 1))𝐶 ∈ 𝐵)
78	1, 3, 17, 21, 77	telgsumfz0s 19900	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑆) ↦ (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶))) = (⦋0 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝐶))
79		peano2nn0 12516	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ0 → (𝑆 + 1) ∈ ℕ0)
80	21, 79	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 + 1) ∈ ℕ0)
81	37	ltp1d 12148	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 < (𝑆 + 1))
82		rspsbca 3873	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 )) → [(𝑆 + 1) / 𝑘](𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ))
83		ovex 7444	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 + 1) ∈ V
84		sbcimg 3827	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 + 1) ∈ V → ([(𝑆 + 1) / 𝑘](𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ) ↔ ([(𝑆 + 1) / 𝑘]𝑆 < 𝑘 → [(𝑆 + 1) / 𝑘]𝐶 = 0 )))
85		sbcbr2g 5205	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 + 1) ∈ V → ([(𝑆 + 1) / 𝑘]𝑆 < 𝑘 ↔ 𝑆 < ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝑘))
86		csbvarg 4430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 + 1) ∈ V → ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝑘 = (𝑆 + 1))
87	86	breq2d 5159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 + 1) ∈ V → (𝑆 < ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝑘 ↔ 𝑆 < (𝑆 + 1)))
88	85, 87	bitrd 278	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 + 1) ∈ V → ([(𝑆 + 1) / 𝑘]𝑆 < 𝑘 ↔ 𝑆 < (𝑆 + 1)))
89		sbceq1g 4413	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 + 1) ∈ V → ([(𝑆 + 1) / 𝑘]𝐶 = 0 ↔ ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
90	88, 89	imbi12d 343	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 + 1) ∈ V → (([(𝑆 + 1) / 𝑘]𝑆 < 𝑘 → [(𝑆 + 1) / 𝑘]𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < (𝑆 + 1) → ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 )))
91	84, 90	bitrd 278	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 + 1) ∈ V → ([(𝑆 + 1) / 𝑘](𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < (𝑆 + 1) → ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 )))
92	83, 91	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ([(𝑆 + 1) / 𝑘](𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < (𝑆 + 1) → ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
93	82, 92	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 )) → (𝑆 < (𝑆 + 1) → ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
94	93	ex 411	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 + 1) ∈ ℕ0 → (∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ) → (𝑆 < (𝑆 + 1) → ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 )))
95	80, 22, 81, 94	syl3c 66	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 )
96	95	oveq2d 7427	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⦋0 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝐶) = (⦋0 / 𝑘⦌𝐶 − 0 ))
97		0nn0 12491	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
98	97	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
99		rspcsbela 4434	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵) → ⦋0 / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵)
100	98, 10, 99	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⦋0 / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵)
101	1, 2, 17	grpsubid1 18944	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ⦋0 / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵) → (⦋0 / 𝑘⦌𝐶 − 0 ) = ⦋0 / 𝑘⦌𝐶)
102	7, 100, 101	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⦋0 / 𝑘⦌𝐶 − 0 ) = ⦋0 / 𝑘⦌𝐶)
103	96, 102	eqtrd 2770	. 2 ⊢ (𝜑 → (⦋0 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝐶) = ⦋0 / 𝑘⦌𝐶)
104	71, 78, 103	3eqtrd 2774	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶))) = ⦋0 / 𝑘⦌𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∀wral 3059  Vcvv 3472  [wsbc 3776  ⦋csb 3892   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252  ℕ₀cn0 12476  ℤ_≥cuz 12826  ...cfz 13488  Basecbs 17148  0_gc0g 17389   Σ_g cgsu 17390  Grpcgrp 18855  -_gcsg 18857  CMndccmn 19689  Abelcabl 19690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692

This theorem is referenced by:  telgsum  19903