Theorem telgsums 18834

Description: Telescoping finitely supported group sum ranging over nonnegative integers, using explicit substitution. (Contributed by AV, 24-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
telgsums.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
telgsums.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
telgsums.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
telgsums.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
telgsums.f	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵)
telgsums.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
telgsums.u	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ))

Assertion

Ref	Expression
telgsums	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶))) = ⦋0 / 𝑘⦌𝐶)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑘   𝐶,𝑖   𝑖,𝐺   𝑆,𝑖,𝑘   0 ,𝑖,𝑘   𝜑,𝑖   − ,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐺(𝑘)   − (𝑘)

Proof of Theorem telgsums

Step	Hyp	Ref	Expression
1		telgsums.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		telgsums.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		telgsums.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
4		ablcmn 18643	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
6		ablgrp 18642	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
7	3, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
8	7	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Grp)
9		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
10		telgsums.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵)
11	10	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵)
12		rspcsbela 4308	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵)
13	9, 11, 12	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵)
14		peano2nn0 11791	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
15		rspcsbela 4308	. . . . . 6 ⊢ (((𝑖 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵)
16	14, 10, 15	syl2anr 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵)
17		telgsums.m	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝐺)
18	1, 17	grpsubcl 17940	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵) → (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶) ∈ 𝐵)
19	8, 13, 16, 18	syl3anc 1364	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶) ∈ 𝐵)
20	19	ralrimiva 3151	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ0 (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶) ∈ 𝐵)
21		telgsums.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
22		telgsums.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ))
23		rspsbca 3797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 )) → [𝑖 / 𝑘](𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ))
24		sbcimg 3754	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ V → ([𝑖 / 𝑘](𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ) ↔ ([𝑖 / 𝑘]𝑆 < 𝑘 → [𝑖 / 𝑘]𝐶 = 0 )))
25		sbcbr2g 5026	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ V → ([𝑖 / 𝑘]𝑆 < 𝑘 ↔ 𝑆 < ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝑘))
26		csbvarg 4304	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ V → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝑘 = 𝑖)
27	26	breq2d 4980	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ V → (𝑆 < ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝑘 ↔ 𝑆 < 𝑖))
28	25, 27	bitrd 280	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ V → ([𝑖 / 𝑘]𝑆 < 𝑘 ↔ 𝑆 < 𝑖))
29		sbceq1g 4292	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ V → ([𝑖 / 𝑘]𝐶 = 0 ↔ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
30	28, 29	imbi12d 346	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ V → (([𝑖 / 𝑘]𝑆 < 𝑘 → [𝑖 / 𝑘]𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < 𝑖 → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 = 0 )))
31	24, 30	bitrd 280	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ V → ([𝑖 / 𝑘](𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < 𝑖 → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 = 0 )))
32	31	elv 3445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ([𝑖 / 𝑘](𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < 𝑖 → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
33	23, 32	sylib 219	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 )) → (𝑆 < 𝑖 → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
34	33	expcom 414	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ) → (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑆 < 𝑖 → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 = 0 )))
35	22, 34	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑆 < 𝑖 → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 = 0 )))
36	35	imp31 418	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 = 0 )
37	21	nn0red 11810	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ ℝ)
39	38	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → 𝑆 ∈ ℝ)
40		nn0re 11760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → 𝑖 ∈ ℝ)
41	40	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → 𝑖 ∈ ℝ)
42	14	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
43	42	nn0red 11810	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
44		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → 𝑆 < 𝑖)
45	41	ltp1d 11424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → 𝑖 < (𝑖 + 1))
46	39, 41, 43, 44, 45	lttrd 10654	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → 𝑆 < (𝑖 + 1))
47	46	ex 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑆 < 𝑖 → 𝑆 < (𝑖 + 1)))
48		rspsbca 3797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑖 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 )) → [(𝑖 + 1) / 𝑘](𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ))
49		ovex 7055	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 + 1) ∈ V
50		sbcimg 3754	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ V → ([(𝑖 + 1) / 𝑘](𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ) ↔ ([(𝑖 + 1) / 𝑘]𝑆 < 𝑘 → [(𝑖 + 1) / 𝑘]𝐶 = 0 )))
51		sbcbr2g 5026	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ V → ([(𝑖 + 1) / 𝑘]𝑆 < 𝑘 ↔ 𝑆 < ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝑘))
52		csbvarg 4304	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ V → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝑘 = (𝑖 + 1))
53	52	breq2d 4980	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ V → (𝑆 < ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝑘 ↔ 𝑆 < (𝑖 + 1)))
54	51, 53	bitrd 280	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ V → ([(𝑖 + 1) / 𝑘]𝑆 < 𝑘 ↔ 𝑆 < (𝑖 + 1)))
55		sbceq1g 4292	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ V → ([(𝑖 + 1) / 𝑘]𝐶 = 0 ↔ ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
56	54, 55	imbi12d 346	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ V → (([(𝑖 + 1) / 𝑘]𝑆 < 𝑘 → [(𝑖 + 1) / 𝑘]𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < (𝑖 + 1) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 )))
57	50, 56	bitrd 280	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ V → ([(𝑖 + 1) / 𝑘](𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < (𝑖 + 1) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 )))
58	49, 57	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ([(𝑖 + 1) / 𝑘](𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < (𝑖 + 1) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
59	48, 58	sylib 219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑖 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 )) → (𝑆 < (𝑖 + 1) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
60	14, 22, 59	syl2anr 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑆 < (𝑖 + 1) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
61	47, 60	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑆 < 𝑖 → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
62	61	imp 407	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 )
63	36, 62	oveq12d 7041	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶) = ( 0 − 0 ))
64	8	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → 𝐺 ∈ Grp)
65	1, 2	grpidcl 17893	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
66	1, 2, 17	grpsubid 17944	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 0 ∈ 𝐵) → ( 0 − 0 ) = 0 )
67	64, 65, 66	syl2anc2 585	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → ( 0 − 0 ) = 0 )
68	63, 67	eqtrd 2833	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶) = 0 )
69	68	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑆 < 𝑖 → (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶) = 0 ))
70	69	ralrimiva 3151	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑖 → (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶) = 0 ))
71	1, 2, 5, 20, 21, 70	gsummptnn0fz 18827	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶))) = (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑆) ↦ (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶))))
72		fzssuz 12802	. . . . . 6 ⊢ (0...(𝑆 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘0)
73	72	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑆 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘0))
74		nn0uz 12133	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
75	73, 74	syl6sseqr 3945	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑆 + 1)) ⊆ ℕ0)
76		ssralv 3960	. . . 4 ⊢ ((0...(𝑆 + 1)) ⊆ ℕ0 → (∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵 → ∀𝑘 ∈ (0...(𝑆 + 1))𝐶 ∈ 𝐵))
77	75, 10, 76	sylc 65	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(𝑆 + 1))𝐶 ∈ 𝐵)
78	1, 3, 17, 21, 77	telgsumfz0s 18832	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑆) ↦ (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶))) = (⦋0 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝐶))
79		peano2nn0 11791	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ0 → (𝑆 + 1) ∈ ℕ0)
80	21, 79	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 + 1) ∈ ℕ0)
81	37	ltp1d 11424	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 < (𝑆 + 1))
82		rspsbca 3797	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 )) → [(𝑆 + 1) / 𝑘](𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ))
83		ovex 7055	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 + 1) ∈ V
84		sbcimg 3754	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 + 1) ∈ V → ([(𝑆 + 1) / 𝑘](𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ) ↔ ([(𝑆 + 1) / 𝑘]𝑆 < 𝑘 → [(𝑆 + 1) / 𝑘]𝐶 = 0 )))
85		sbcbr2g 5026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 + 1) ∈ V → ([(𝑆 + 1) / 𝑘]𝑆 < 𝑘 ↔ 𝑆 < ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝑘))
86		csbvarg 4304	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 + 1) ∈ V → ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝑘 = (𝑆 + 1))
87	86	breq2d 4980	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 + 1) ∈ V → (𝑆 < ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝑘 ↔ 𝑆 < (𝑆 + 1)))
88	85, 87	bitrd 280	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 + 1) ∈ V → ([(𝑆 + 1) / 𝑘]𝑆 < 𝑘 ↔ 𝑆 < (𝑆 + 1)))
89		sbceq1g 4292	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 + 1) ∈ V → ([(𝑆 + 1) / 𝑘]𝐶 = 0 ↔ ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
90	88, 89	imbi12d 346	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 + 1) ∈ V → (([(𝑆 + 1) / 𝑘]𝑆 < 𝑘 → [(𝑆 + 1) / 𝑘]𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < (𝑆 + 1) → ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 )))
91	84, 90	bitrd 280	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 + 1) ∈ V → ([(𝑆 + 1) / 𝑘](𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < (𝑆 + 1) → ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 )))
92	83, 91	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ([(𝑆 + 1) / 𝑘](𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < (𝑆 + 1) → ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
93	82, 92	sylib 219	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 )) → (𝑆 < (𝑆 + 1) → ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
94	93	ex 413	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 + 1) ∈ ℕ0 → (∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ) → (𝑆 < (𝑆 + 1) → ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 )))
95	80, 22, 81, 94	syl3c 66	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 )
96	95	oveq2d 7039	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⦋0 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝐶) = (⦋0 / 𝑘⦌𝐶 − 0 ))
97		0nn0 11766	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
98	97	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
99		rspcsbela 4308	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵) → ⦋0 / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵)
100	98, 10, 99	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⦋0 / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵)
101	1, 2, 17	grpsubid1 17945	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ⦋0 / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵) → (⦋0 / 𝑘⦌𝐶 − 0 ) = ⦋0 / 𝑘⦌𝐶)
102	7, 100, 101	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⦋0 / 𝑘⦌𝐶 − 0 ) = ⦋0 / 𝑘⦌𝐶)
103	96, 102	eqtrd 2833	. 2 ⊢ (𝜑 → (⦋0 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝐶) = ⦋0 / 𝑘⦌𝐶)
104	71, 78, 103	3eqtrd 2837	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶))) = ⦋0 / 𝑘⦌𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1525   ∈ wcel 2083  ∀wral 3107  Vcvv 3440  [wsbc 3711  ⦋csb 3817   ⊆ wss 3865   class class class wbr 4968   ↦ cmpt 5047  ‘cfv 6232  (class class class)co 7023  ℝcr 10389  0cc0 10390  1c1 10391   + caddc 10393   < clt 10528  ℕ₀cn0 11751  ℤ_≥cuz 12097  ...cfz 12746  Basecbs 16316  0_gc0g 16546   Σ_g cgsu 16547  Grpcgrp 17865  -_gcsg 17867  CMndccmn 18637  Abelcabl 18638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-fal 1538  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-iin 4834  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-se 5410  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-isom 6241  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-of 7274  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-supp 7689  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-oadd 7964  df-er 8146  df-map 8265  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-fsupp 8687  df-oi 8827  df-card 9221  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-2 11554  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-fz 12747  df-fzo 12888  df-seq 13224  df-hash 13545  df-ndx 16319  df-slot 16320  df-base 16322  df-sets 16323  df-ress 16324  df-plusg 16411  df-0g 16548  df-gsum 16549  df-mre 16690  df-mrc 16691  df-acs 16693  df-mgm 17685  df-sgrp 17727  df-mnd 17738  df-submnd 17779  df-grp 17868  df-minusg 17869  df-sbg 17870  df-mulg 17986  df-cntz 18192  df-cmn 18639  df-abl 18640

This theorem is referenced by:  telgsum  18835