Theorem telgsums 19861

Description: Telescoping finitely supported group sum ranging over nonnegative integers, using explicit substitution. (Contributed by AV, 24-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
telgsums.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
telgsums.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
telgsums.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
telgsums.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
telgsums.f	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵)
telgsums.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
telgsums.u	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ))

Assertion

Ref	Expression
telgsums	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶))) = ⦋0 / 𝑘⦌𝐶)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑘   𝐶,𝑖   𝑖,𝐺   𝑆,𝑖,𝑘   0 ,𝑖,𝑘   𝜑,𝑖   − ,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐺(𝑘)   − (𝑘)

Proof of Theorem telgsums

Step	Hyp	Ref	Expression
1		telgsums.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		telgsums.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		telgsums.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
4		ablcmn 19655	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
6		ablgrp 19653	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
7	3, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
8	7	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Grp)
9		simpr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
10		telgsums.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵)
11	10	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵)
12		rspcsbela 4436	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵)
13	9, 11, 12	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵)
14		peano2nn0 12512	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
15		rspcsbela 4436	. . . . . 6 ⊢ (((𝑖 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵)
16	14, 10, 15	syl2anr 598	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵)
17		telgsums.m	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝐺)
18	1, 17	grpsubcl 18903	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵) → (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶) ∈ 𝐵)
19	8, 13, 16, 18	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶) ∈ 𝐵)
20	19	ralrimiva 3147	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ0 (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶) ∈ 𝐵)
21		telgsums.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
22		telgsums.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ))
23		rspsbca 3875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 )) → [𝑖 / 𝑘](𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ))
24		sbcimg 3829	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ V → ([𝑖 / 𝑘](𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ) ↔ ([𝑖 / 𝑘]𝑆 < 𝑘 → [𝑖 / 𝑘]𝐶 = 0 )))
25		sbcbr2g 5207	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ V → ([𝑖 / 𝑘]𝑆 < 𝑘 ↔ 𝑆 < ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝑘))
26		csbvarg 4432	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ V → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝑘 = 𝑖)
27	26	breq2d 5161	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ V → (𝑆 < ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝑘 ↔ 𝑆 < 𝑖))
28	25, 27	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ V → ([𝑖 / 𝑘]𝑆 < 𝑘 ↔ 𝑆 < 𝑖))
29		sbceq1g 4415	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ V → ([𝑖 / 𝑘]𝐶 = 0 ↔ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
30	28, 29	imbi12d 345	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ V → (([𝑖 / 𝑘]𝑆 < 𝑘 → [𝑖 / 𝑘]𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < 𝑖 → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 = 0 )))
31	24, 30	bitrd 279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ V → ([𝑖 / 𝑘](𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < 𝑖 → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 = 0 )))
32	31	elv 3481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ([𝑖 / 𝑘](𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < 𝑖 → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
33	23, 32	sylib 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 )) → (𝑆 < 𝑖 → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
34	33	expcom 415	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ) → (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑆 < 𝑖 → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 = 0 )))
35	22, 34	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑆 < 𝑖 → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 = 0 )))
36	35	imp31 419	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 = 0 )
37	21	nn0red 12533	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
38	37	adantr 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ ℝ)
39	38	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → 𝑆 ∈ ℝ)
40		nn0re 12481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → 𝑖 ∈ ℝ)
41	40	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → 𝑖 ∈ ℝ)
42	14	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
43	42	nn0red 12533	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
44		simpr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → 𝑆 < 𝑖)
45	41	ltp1d 12144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → 𝑖 < (𝑖 + 1))
46	39, 41, 43, 44, 45	lttrd 11375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → 𝑆 < (𝑖 + 1))
47	46	ex 414	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑆 < 𝑖 → 𝑆 < (𝑖 + 1)))
48		rspsbca 3875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑖 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 )) → [(𝑖 + 1) / 𝑘](𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ))
49		ovex 7442	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 + 1) ∈ V
50		sbcimg 3829	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ V → ([(𝑖 + 1) / 𝑘](𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ) ↔ ([(𝑖 + 1) / 𝑘]𝑆 < 𝑘 → [(𝑖 + 1) / 𝑘]𝐶 = 0 )))
51		sbcbr2g 5207	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ V → ([(𝑖 + 1) / 𝑘]𝑆 < 𝑘 ↔ 𝑆 < ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝑘))
52		csbvarg 4432	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ V → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝑘 = (𝑖 + 1))
53	52	breq2d 5161	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ V → (𝑆 < ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝑘 ↔ 𝑆 < (𝑖 + 1)))
54	51, 53	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ V → ([(𝑖 + 1) / 𝑘]𝑆 < 𝑘 ↔ 𝑆 < (𝑖 + 1)))
55		sbceq1g 4415	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ V → ([(𝑖 + 1) / 𝑘]𝐶 = 0 ↔ ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
56	54, 55	imbi12d 345	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ V → (([(𝑖 + 1) / 𝑘]𝑆 < 𝑘 → [(𝑖 + 1) / 𝑘]𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < (𝑖 + 1) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 )))
57	50, 56	bitrd 279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ V → ([(𝑖 + 1) / 𝑘](𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < (𝑖 + 1) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 )))
58	49, 57	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ([(𝑖 + 1) / 𝑘](𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < (𝑖 + 1) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
59	48, 58	sylib 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑖 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 )) → (𝑆 < (𝑖 + 1) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
60	14, 22, 59	syl2anr 598	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑆 < (𝑖 + 1) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
61	47, 60	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑆 < 𝑖 → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
62	61	imp 408	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 )
63	36, 62	oveq12d 7427	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶) = ( 0 − 0 ))
64	8	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → 𝐺 ∈ Grp)
65	1, 2	grpidcl 18850	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
66	1, 2, 17	grpsubid 18907	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 0 ∈ 𝐵) → ( 0 − 0 ) = 0 )
67	64, 65, 66	syl2anc2 586	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → ( 0 − 0 ) = 0 )
68	63, 67	eqtrd 2773	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 < 𝑖) → (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶) = 0 )
69	68	ex 414	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑆 < 𝑖 → (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶) = 0 ))
70	69	ralrimiva 3147	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑖 → (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶) = 0 ))
71	1, 2, 5, 20, 21, 70	gsummptnn0fz 19854	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶))) = (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑆) ↦ (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶))))
72		fzssuz 13542	. . . . . 6 ⊢ (0...(𝑆 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘0)
73	72	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑆 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘0))
74		nn0uz 12864	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
75	73, 74	sseqtrrdi 4034	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑆 + 1)) ⊆ ℕ0)
76		ssralv 4051	. . . 4 ⊢ ((0...(𝑆 + 1)) ⊆ ℕ0 → (∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵 → ∀𝑘 ∈ (0...(𝑆 + 1))𝐶 ∈ 𝐵))
77	75, 10, 76	sylc 65	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(𝑆 + 1))𝐶 ∈ 𝐵)
78	1, 3, 17, 21, 77	telgsumfz0s 19859	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑆) ↦ (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶))) = (⦋0 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝐶))
79		peano2nn0 12512	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ0 → (𝑆 + 1) ∈ ℕ0)
80	21, 79	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 + 1) ∈ ℕ0)
81	37	ltp1d 12144	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 < (𝑆 + 1))
82		rspsbca 3875	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 )) → [(𝑆 + 1) / 𝑘](𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ))
83		ovex 7442	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 + 1) ∈ V
84		sbcimg 3829	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 + 1) ∈ V → ([(𝑆 + 1) / 𝑘](𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ) ↔ ([(𝑆 + 1) / 𝑘]𝑆 < 𝑘 → [(𝑆 + 1) / 𝑘]𝐶 = 0 )))
85		sbcbr2g 5207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 + 1) ∈ V → ([(𝑆 + 1) / 𝑘]𝑆 < 𝑘 ↔ 𝑆 < ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝑘))
86		csbvarg 4432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 + 1) ∈ V → ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝑘 = (𝑆 + 1))
87	86	breq2d 5161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 + 1) ∈ V → (𝑆 < ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝑘 ↔ 𝑆 < (𝑆 + 1)))
88	85, 87	bitrd 279	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 + 1) ∈ V → ([(𝑆 + 1) / 𝑘]𝑆 < 𝑘 ↔ 𝑆 < (𝑆 + 1)))
89		sbceq1g 4415	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 + 1) ∈ V → ([(𝑆 + 1) / 𝑘]𝐶 = 0 ↔ ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
90	88, 89	imbi12d 345	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 + 1) ∈ V → (([(𝑆 + 1) / 𝑘]𝑆 < 𝑘 → [(𝑆 + 1) / 𝑘]𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < (𝑆 + 1) → ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 )))
91	84, 90	bitrd 279	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 + 1) ∈ V → ([(𝑆 + 1) / 𝑘](𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < (𝑆 + 1) → ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 )))
92	83, 91	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ([(𝑆 + 1) / 𝑘](𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < (𝑆 + 1) → ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
93	82, 92	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 )) → (𝑆 < (𝑆 + 1) → ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
94	93	ex 414	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 + 1) ∈ ℕ0 → (∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ) → (𝑆 < (𝑆 + 1) → ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 )))
95	80, 22, 81, 94	syl3c 66	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝐶 = 0 )
96	95	oveq2d 7425	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⦋0 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝐶) = (⦋0 / 𝑘⦌𝐶 − 0 ))
97		0nn0 12487	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
98	97	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
99		rspcsbela 4436	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵) → ⦋0 / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵)
100	98, 10, 99	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⦋0 / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵)
101	1, 2, 17	grpsubid1 18908	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ⦋0 / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵) → (⦋0 / 𝑘⦌𝐶 − 0 ) = ⦋0 / 𝑘⦌𝐶)
102	7, 100, 101	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⦋0 / 𝑘⦌𝐶 − 0 ) = ⦋0 / 𝑘⦌𝐶)
103	96, 102	eqtrd 2773	. 2 ⊢ (𝜑 → (⦋0 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝐶) = ⦋0 / 𝑘⦌𝐶)
104	71, 78, 103	3eqtrd 2777	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶))) = ⦋0 / 𝑘⦌𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  Vcvv 3475  [wsbc 3778  ⦋csb 3894   ⊆ wss 3949   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ℝcr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   < clt 11248  ℕ₀cn0 12472  ℤ_≥cuz 12822  ...cfz 13484  Basecbs 17144  0_gc0g 17385   Σ_g cgsu 17386  Grpcgrp 18819  -_gcsg 18821  CMndccmn 19648  Abelcabl 19649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-abl 19651

This theorem is referenced by:  telgsum  19862