Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdleme20.v |
. . 3
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
2 | 1 | oveq1i 7368 |
. 2
β’ (π β¨ π·) = (((π β¨ π) β§ π) β¨ π·) |
3 | | simp1l 1198 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β πΎ β HL) |
4 | | simp1r 1199 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π β π») |
5 | | simp22 1208 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
6 | | simp23 1209 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β Β¬ π β€ π) |
7 | | simp21 1207 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π
β π΄) |
8 | | simp33 1212 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π
β€ (π β¨ π)) |
9 | | simp32 1211 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β Β¬ π β€ (π β¨ π)) |
10 | | cdleme19.l |
. . . . . 6
β’ β€ =
(leβπΎ) |
11 | | cdleme19.j |
. . . . . 6
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
12 | | cdleme19.m |
. . . . . 6
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
13 | | cdleme19.a |
. . . . . 6
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
14 | | cdleme19.h |
. . . . . 6
β’ π» = (LHypβπΎ) |
15 | | cdleme19.d |
. . . . . 6
β’ π· = ((π
β¨ π) β§ π) |
16 | 10, 11, 12, 13, 14, 15 | cdlemeda 38807 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π· β π΄) |
17 | 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16 | syl223anc 1397 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π· β π΄) |
18 | | simp31 1210 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
19 | | eqid 2733 |
. . . . . 6
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
20 | 19, 11, 13 | hlatjcl 37875 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
21 | 3, 5, 18, 20 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
22 | 19, 14 | lhpbase 38507 |
. . . . 5
β’ (π β π» β π β (BaseβπΎ)) |
23 | 4, 22 | syl 17 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
24 | 3 | hllatd 37872 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β πΎ β Lat) |
25 | 19, 11, 13 | hlatjcl 37875 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β (π
β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
26 | 3, 7, 5, 25 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π
β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
27 | 19, 10, 12 | latmle2 18359 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ (π
β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((π
β¨ π) β§ π) β€ π) |
28 | 24, 26, 23, 27 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β ((π
β¨ π) β§ π) β€ π) |
29 | 15, 28 | eqbrtrid 5141 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π· β€ π) |
30 | 19, 10, 11, 12, 13 | atmod4i1 38375 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π· β π΄ β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β§ π· β€ π) β (((π β¨ π) β§ π) β¨ π·) = (((π β¨ π) β¨ π·) β§ π)) |
31 | 3, 17, 21, 23, 29, 30 | syl131anc 1384 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (((π β¨ π) β§ π) β¨ π·) = (((π β¨ π) β¨ π·) β§ π)) |
32 | 10, 11, 12, 13, 14, 15 | cdleme10 38763 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π
β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π β¨ π·) = (π β¨ π
)) |
33 | 3, 4, 7, 5, 6, 32 | syl212anc 1381 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π β¨ π·) = (π β¨ π
)) |
34 | 33 | oveq1d 7373 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ π·) β¨ π) = ((π β¨ π
) β¨ π)) |
35 | 11, 13 | hlatj32 37880 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π· β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π·) β¨ π) = ((π β¨ π) β¨ π·)) |
36 | 3, 5, 17, 18, 35 | syl13anc 1373 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ π·) β¨ π) = ((π β¨ π) β¨ π·)) |
37 | 34, 36 | eqtr3d 2775 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ π
) β¨ π) = ((π β¨ π) β¨ π·)) |
38 | 37 | oveq1d 7373 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (((π β¨ π
) β¨ π) β§ π) = (((π β¨ π) β¨ π·) β§ π)) |
39 | 31, 38 | eqtr4d 2776 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (((π β¨ π) β§ π) β¨ π·) = (((π β¨ π
) β¨ π) β§ π)) |
40 | 2, 39 | eqtrid 2785 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π β¨ π·) = (((π β¨ π
) β¨ π) β§ π)) |