MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccsupr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccsupr 13454
Description: A nonempty subset of a closed real interval satisfies the conditions for the existence of its supremum (see suprcl 12207). (Contributed by Paul Chapman, 21-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
iccsupr (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝑆) → (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem iccsupr
StepHypRef Expression
1 iccssre 13441 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
2 sstr 3985 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) → 𝑆 ⊆ ℝ)
32ancoms 457 . . . 4 (((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑆 ⊆ ℝ)
41, 3sylan 578 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑆 ⊆ ℝ)
543adant3 1129 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝑆) → 𝑆 ⊆ ℝ)
6 ne0i 4334 . . 3 (𝐶𝑆𝑆 ≠ ∅)
763ad2ant3 1132 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝑆) → 𝑆 ≠ ∅)
8 simplr 767 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
9 ssel 3970 . . . . . . . 8 (𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (𝑦𝑆𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
10 elicc2 13424 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
1110biimpd 228 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
129, 11sylan9r 507 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦𝑆 → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
1312imp 405 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵))
1413simp3d 1141 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦𝐵)
1514ralrimiva 3135 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵)) → ∀𝑦𝑆 𝑦𝐵)
16 brralrspcev 5209 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑆 𝑦𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥)
178, 15, 16syl2anc 582 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥)
18173adant3 1129 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝑆) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥)
195, 7, 183jca 1125 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝑆) → (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084  wcel 2098  wne 2929  wral 3050  wrex 3059  wss 3944  c0 4322   class class class wbr 5149  (class class class)co 7419  cr 11139  cle 11281  [,]cicc 13362
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-icc 13366
This theorem is referenced by:  supicc  13513  hoidmv1lelem1  46117  hoidmv1lelem3  46119  hoidmvlelem1  46121
  Copyright terms: Public domain W3C validator