Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccsupr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccsupr 12645
 Description: A nonempty subset of a closed real interval satisfies the conditions for the existence of its supremum (see suprcl 11401). (Contributed by Paul Chapman, 21-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
iccsupr (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝑆) → (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem iccsupr
StepHypRef Expression
1 iccssre 12633 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
2 sstr 3861 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) → 𝑆 ⊆ ℝ)
32ancoms 451 . . . 4 (((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑆 ⊆ ℝ)
41, 3sylan 572 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑆 ⊆ ℝ)
543adant3 1113 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝑆) → 𝑆 ⊆ ℝ)
6 ne0i 4181 . . 3 (𝐶𝑆𝑆 ≠ ∅)
763ad2ant3 1116 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝑆) → 𝑆 ≠ ∅)
8 simplr 757 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
9 ssel 3847 . . . . . . . 8 (𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (𝑦𝑆𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
10 elicc2 12616 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
1110biimpd 221 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
129, 11sylan9r 501 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦𝑆 → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
1312imp 398 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵))
1413simp3d 1125 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦𝐵)
1514ralrimiva 3127 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵)) → ∀𝑦𝑆 𝑦𝐵)
16 brralrspcev 4986 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑆 𝑦𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥)
178, 15, 16syl2anc 576 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥)
18173adant3 1113 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝑆) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥)
195, 7, 183jca 1109 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶𝑆) → (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   ∧ w3a 1069   ∈ wcel 2051   ≠ wne 2962  ∀wral 3083  ∃wrex 3084   ⊆ wss 3824  ∅c0 4173   class class class wbr 4926  (class class class)co 6975  ℝcr 10333   ≤ cle 10474  [,]cicc 12556 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-cnex 10390  ax-resscn 10391  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-op 4443  df-uni 4710  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-id 5309  df-po 5323  df-so 5324  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-er 8088  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478  df-le 10479  df-icc 12560 This theorem is referenced by:  supicc  12701  hoidmv1lelem1  42334  hoidmv1lelem3  42336  hoidmvlelem1  42338
 Copyright terms: Public domain W3C validator