Theorem brralrspcev 5165

Description: Restricted existential specialization with a restricted universal quantifier over a relation, closed form. (Contributed by AV, 20-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
brralrspcev	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝐴𝑅𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝐴𝑅𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝑅(𝑦)   𝑋(𝑦)   𝑌(𝑦)

Proof of Theorem brralrspcev

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5107	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴𝑅𝑥 ↔ 𝐴𝑅𝐵))
2	1	ralbidv 3185	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝑌 𝐴𝑅𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝐴𝑅𝐵))
3	2	rspcev 3576	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝐴𝑅𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝐴𝑅𝑥)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   class class class wbr 5103

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104

This theorem is used by:  axpre-sup  11211  fimaxre2  12217  supaddc  12239  supadd  12240  supmul1  12241  supmullem2  12243  supmul  12244  rpnnen1lem2  13060  iccsupr  13528  supicc  13587  supiccub  13588  supicclub  13589  flval3  13909  fsequb  14072  01sqrexlem3  15364  caubnd2  15478  caubnd  15479  lo1bdd2  15644  lo1bddrp  15645  climcnds  15973  ruclem12  16362  maxprmfct  16833  prmreclem1  17041  prmreclem6  17046  ramz  17150  pgpssslw  19775  gexex  20014  icccmplem2  25090  icccmplem3  25091  reconnlem2  25094  cnllycmp  25224  cncmet  25590  ivthlem2  25720  ivthlem3  25721  cniccbdd  25729  ovolunlem1  25765  ovoliunlem1  25770  ovoliun2  25774  ioombl1lem4  25829  uniioombllem2  25851  uniioombllem6  25856  mbfinf  25933  mbflimsup  25934  itg1climres  25982  itg2i1fseq  26023  itg2i1fseq2  26024  itg2cnlem1  26029  plyeq0lem  26476  ulmbdd  26674  mtestbdd  26681  iblulm  26683  emcllem6  27277  lgambdd  27313  ftalem3  27351  ubthlem2  31392  ubthlem3  31393  htthlem  31438  rge0scvg  34500  esumpcvgval  34629  oddpwdc  34906  mblfinlem3  38491  ismblfin  38493  itg2addnc  38506  ubelsupr  45952  rexabslelem  46344  limsupubuz  46639  liminfreuzlem  46728  dvdivbd  46849  sge0supre  47315  sge0rnbnd  47319  meaiuninc2  47408  hoidmvlelem1  47521  hoidmvlelem4  47524  smfinflem  47743