Theorem supicc 13561

Description: Supremum of a bounded set of real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
supicc.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
supicc.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
supicc.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
supicc.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
supicc	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,]𝐶))

Proof of Theorem supicc

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supicc.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
2		supicc.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		supicc.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4		iccssre 13489	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
5	2, 3, 4	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
6	1, 5	sstrd 4019	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
7		supicc.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
8	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8	rexrd 11340	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
10	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
11	10	rexrd 11340	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
12	1	sselda 4008	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))
13		iccleub 13462	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝑥 ≤ 𝐶)
14	9, 11, 12, 13	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≤ 𝐶)
15	14	ralrimiva 3152	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝐶)
16		brralrspcev 5226	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝐶) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
17	3, 15, 16	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
18		suprcl 12255	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
19	6, 7, 17, 18	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
20	6	sselda 4008	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
21	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
22		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
23		iccsupr 13502	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
24	8, 10, 21, 22, 23	syl211anc 1376	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
25	24, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
26		iccgelb 13463	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝐵 ≤ 𝑥)
27	9, 11, 12, 26	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝑥)
28		suprub 12256	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
29	24, 22, 28	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
30	8, 20, 25, 27, 29	letrd 11447	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
31	30	ralrimiva 3152	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
32		r19.3rzv 4522	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < )))
33	7, 32	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < )))
34	31, 33	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
35		suprleub 12261	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝐶))
36	6, 7, 17, 3, 35	syl31anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝐶))
37	15, 36	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐶)
38		elicc2 13472	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐶)))
39	2, 3, 38	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐶)))
40	19, 34, 37, 39	mpbir3and 1342	1 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,]𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  supcsup 9509  ℝcr 11183  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325  [,]cicc 13410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-icc 13414

This theorem is referenced by:  supicclub2  13564  hoidmv1lelem1  46512  hoidmvlelem1  46516