Theorem supicc 12887

Description: Supremum of a bounded set of real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
supicc.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
supicc.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
supicc.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
supicc.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
supicc	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,]𝐶))

Proof of Theorem supicc

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supicc.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
2		supicc.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		supicc.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4		iccssre 12819	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
5	2, 3, 4	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
6	1, 5	sstrd 3977	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
7		supicc.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
8	2	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8	rexrd 10691	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
10	3	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
11	10	rexrd 10691	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
12	1	sselda 3967	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))
13		iccleub 12793	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝑥 ≤ 𝐶)
14	9, 11, 12, 13	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≤ 𝐶)
15	14	ralrimiva 3182	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝐶)
16		brralrspcev 5126	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝐶) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
17	3, 15, 16	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
18		suprcl 11601	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
19	6, 7, 17, 18	syl3anc 1367	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
20	6	sselda 3967	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
21	1	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
22		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
23		iccsupr 12831	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
24	8, 10, 21, 22, 23	syl211anc 1372	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
25	24, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
26		iccgelb 12794	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝐵 ≤ 𝑥)
27	9, 11, 12, 26	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝑥)
28		suprub 11602	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
29	24, 22, 28	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
30	8, 20, 25, 27, 29	letrd 10797	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
31	30	ralrimiva 3182	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
32		r19.3rzv 4444	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < )))
33	7, 32	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < )))
34	31, 33	mpbird 259	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
35		suprleub 11607	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝐶))
36	6, 7, 17, 3, 35	syl31anc 1369	. . 3 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝐶))
37	15, 36	mpbird 259	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐶)
38		elicc2 12802	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐶)))
39	2, 3, 38	syl2anc 586	. 2 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐶)))
40	19, 34, 37, 39	mpbir3and 1338	1 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,]𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  ∃wrex 3139   ⊆ wss 3936  ∅c0 4291   class class class wbr 5066  (class class class)co 7156  supcsup 8904  ℝcr 10536  ℝ^*cxr 10674   < clt 10675   ≤ cle 10676  [,]cicc 12742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-sup 8906  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-icc 12746

This theorem is referenced by:  supicclub2  12890  hoidmv1lelem1  42893  hoidmvlelem1  42897