Theorem supicc 13462

Description: Supremum of a bounded set of real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
supicc.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
supicc.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
supicc.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
supicc.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
supicc	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,]𝐶))

Proof of Theorem supicc

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supicc.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
2		supicc.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		supicc.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4		iccssre 13390	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
6	1, 5	sstrd 3957	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
7		supicc.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
8	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8	rexrd 11224	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
10	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
11	10	rexrd 11224	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
12	1	sselda 3946	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))
13		iccleub 13362	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝑥 ≤ 𝐶)
14	9, 11, 12, 13	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≤ 𝐶)
15	14	ralrimiva 3125	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝐶)
16		brralrspcev 5167	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝐶) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
17	3, 15, 16	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
18		suprcl 12143	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
19	6, 7, 17, 18	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
20	6	sselda 3946	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
21	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
22		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
23		iccsupr 13403	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
24	8, 10, 21, 22, 23	syl211anc 1378	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
25	24, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
26		iccgelb 13363	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝐵 ≤ 𝑥)
27	9, 11, 12, 26	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝑥)
28		suprub 12144	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
29	24, 22, 28	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
30	8, 20, 25, 27, 29	letrd 11331	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
31	30	ralrimiva 3125	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
32		r19.3rzv 4462	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < )))
33	7, 32	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < )))
34	31, 33	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
35		suprleub 12149	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝐶))
36	6, 7, 17, 3, 35	syl31anc 1375	. . 3 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝐶))
37	15, 36	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐶)
38		elicc2 13372	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐶)))
39	2, 3, 38	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐶)))
40	19, 34, 37, 39	mpbir3and 1343	1 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,]𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  supcsup 9391  ℝcr 11067  ℝ^*cxr 11207   < clt 11208   ≤ cle 11209  [,]cicc 13309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-icc 13313

This theorem is referenced by:  supicclub2  13465  hoidmv1lelem1  46589  hoidmvlelem1  46593