MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supicc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supicc 12736
Description: Supremum of a bounded set of real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
supicc.1 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
supicc.2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
supicc.3 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
supicc.4 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
supicc (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,]𝐶))

Proof of Theorem supicc
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supicc.3 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
2 supicc.1 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 supicc.2 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
4 iccssre 12668 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
52, 3, 4syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
61, 5sstrd 3899 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
7 supicc.4 . . 3 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
82adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
98rexrd 10537 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
103adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
1110rexrd 10537 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
121sselda 3889 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))
13 iccleub 12642 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝑥𝐶)
149, 11, 12, 13syl3anc 1364 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐶)
1514ralrimiva 3149 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝑥𝐶)
16 brralrspcev 5022 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥𝐶) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑦)
173, 15, 16syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑦)
18 suprcl 11449 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑦) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
196, 7, 17, 18syl3anc 1364 . 2 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
206sselda 3889 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
211adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
22 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
23 iccsupr 12680 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑦))
248, 10, 21, 22, 23syl211anc 1369 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑦))
2524, 18syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
26 iccgelb 12643 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝐵𝑥)
279, 11, 12, 26syl3anc 1364 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑥)
28 suprub 11450 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
2924, 22, 28syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
308, 20, 25, 27, 29letrd 10644 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
3130ralrimiva 3149 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
32 r19.3rzv 4358 . . . 4 (𝐴 ≠ ∅ → (𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < )))
337, 32syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < )))
3431, 33mpbird 258 . 2 (𝜑𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
35 suprleub 11455 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥𝐶))
366, 7, 17, 3, 35syl31anc 1366 . . 3 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥𝐶))
3715, 36mpbird 258 . 2 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐶)
38 elicc2 12651 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐶)))
392, 3, 38syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐶)))
4019, 34, 37, 39mpbir3and 1335 1 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,]𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080  wcel 2081  wne 2984  wral 3105  wrex 3106  wss 3859  c0 4211   class class class wbr 4962  (class class class)co 7016  supcsup 8750  cr 10382  *cxr 10520   < clt 10521  cle 10522  [,]cicc 12591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-op 4479  df-uni 4746  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-id 5348  df-po 5362  df-so 5363  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-sup 8752  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-icc 12595
This theorem is referenced by:  supicclub2  12739  hoidmv1lelem1  42435  hoidmvlelem1  42439
  Copyright terms: Public domain W3C validator