MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supicc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supicc 13482
Description: Supremum of a bounded set of real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
supicc.1 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
supicc.2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
supicc.3 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
supicc.4 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
supicc (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,]𝐶))

Proof of Theorem supicc
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supicc.3 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
2 supicc.1 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 supicc.2 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
4 iccssre 13410 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
52, 3, 4syl2anc 582 . . . 4 (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
61, 5sstrd 3991 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
7 supicc.4 . . 3 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
82adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
98rexrd 11268 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
103adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
1110rexrd 11268 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
121sselda 3981 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))
13 iccleub 13383 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝑥𝐶)
149, 11, 12, 13syl3anc 1369 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐶)
1514ralrimiva 3144 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝑥𝐶)
16 brralrspcev 5207 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥𝐶) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑦)
173, 15, 16syl2anc 582 . . 3 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑦)
18 suprcl 12178 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑦) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
196, 7, 17, 18syl3anc 1369 . 2 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
206sselda 3981 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
211adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
22 simpr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
23 iccsupr 13423 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑦))
248, 10, 21, 22, 23syl211anc 1374 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑦))
2524, 18syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
26 iccgelb 13384 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝐵𝑥)
279, 11, 12, 26syl3anc 1369 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑥)
28 suprub 12179 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
2924, 22, 28syl2anc 582 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
308, 20, 25, 27, 29letrd 11375 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
3130ralrimiva 3144 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
32 r19.3rzv 4497 . . . 4 (𝐴 ≠ ∅ → (𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < )))
337, 32syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < )))
3431, 33mpbird 256 . 2 (𝜑𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
35 suprleub 12184 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥𝐶))
366, 7, 17, 3, 35syl31anc 1371 . . 3 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥𝐶))
3715, 36mpbird 256 . 2 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐶)
38 elicc2 13393 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐶)))
392, 3, 38syl2anc 582 . 2 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐶)))
4019, 34, 37, 39mpbir3and 1340 1 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,]𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1085  wcel 2104  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  wss 3947  c0 4321   class class class wbr 5147  (class class class)co 7411  supcsup 9437  cr 11111  *cxr 11251   < clt 11252  cle 11253  [,]cicc 13331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-icc 13335
This theorem is referenced by:  supicclub2  13485  hoidmv1lelem1  45605  hoidmvlelem1  45609
  Copyright terms: Public domain W3C validator