MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supicc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supicc 13538
Description: Supremum of a bounded set of real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
supicc.1 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
supicc.2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
supicc.3 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
supicc.4 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
supicc (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,]𝐶))

Proof of Theorem supicc
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supicc.3 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
2 supicc.1 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 supicc.2 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
4 iccssre 13466 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
52, 3, 4syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
61, 5sstrd 4006 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
7 supicc.4 . . 3 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
82adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
98rexrd 11309 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
103adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
1110rexrd 11309 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
121sselda 3995 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))
13 iccleub 13439 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝑥𝐶)
149, 11, 12, 13syl3anc 1370 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐶)
1514ralrimiva 3144 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝑥𝐶)
16 brralrspcev 5208 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥𝐶) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑦)
173, 15, 16syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑦)
18 suprcl 12226 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑦) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
196, 7, 17, 18syl3anc 1370 . 2 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
206sselda 3995 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
211adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
22 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
23 iccsupr 13479 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑦))
248, 10, 21, 22, 23syl211anc 1375 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑦))
2524, 18syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
26 iccgelb 13440 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝐵𝑥)
279, 11, 12, 26syl3anc 1370 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑥)
28 suprub 12227 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
2924, 22, 28syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
308, 20, 25, 27, 29letrd 11416 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
3130ralrimiva 3144 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
32 r19.3rzv 4505 . . . 4 (𝐴 ≠ ∅ → (𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < )))
337, 32syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < )))
3431, 33mpbird 257 . 2 (𝜑𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
35 suprleub 12232 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥𝐶))
366, 7, 17, 3, 35syl31anc 1372 . . 3 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥𝐶))
3715, 36mpbird 257 . 2 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐶)
38 elicc2 13449 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐶)))
392, 3, 38syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐶)))
4019, 34, 37, 39mpbir3and 1341 1 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,]𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  wss 3963  c0 4339   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  supcsup 9478  cr 11152  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  [,]cicc 13387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-icc 13391
This theorem is referenced by:  supicclub2  13541  hoidmv1lelem1  46547  hoidmvlelem1  46551
  Copyright terms: Public domain W3C validator