MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supicc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supicc 12883
Description: Supremum of a bounded set of real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
supicc.1 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
supicc.2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
supicc.3 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
supicc.4 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
supicc (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,]𝐶))

Proof of Theorem supicc
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supicc.3 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
2 supicc.1 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 supicc.2 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
4 iccssre 12811 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
52, 3, 4syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
61, 5sstrd 3928 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
7 supicc.4 . . 3 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
82adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
98rexrd 10684 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
103adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
1110rexrd 10684 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
121sselda 3918 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))
13 iccleub 12784 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝑥𝐶)
149, 11, 12, 13syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐶)
1514ralrimiva 3152 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝑥𝐶)
16 brralrspcev 5093 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥𝐶) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑦)
173, 15, 16syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑦)
18 suprcl 11592 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑦) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
196, 7, 17, 18syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
206sselda 3918 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
211adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
22 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
23 iccsupr 12824 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑦))
248, 10, 21, 22, 23syl211anc 1373 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑦))
2524, 18syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
26 iccgelb 12785 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝐵𝑥)
279, 11, 12, 26syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑥)
28 suprub 11593 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
2924, 22, 28syl2anc 587 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
308, 20, 25, 27, 29letrd 10790 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
3130ralrimiva 3152 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
32 r19.3rzv 4405 . . . 4 (𝐴 ≠ ∅ → (𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < )))
337, 32syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < )))
3431, 33mpbird 260 . 2 (𝜑𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
35 suprleub 11598 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥𝐶))
366, 7, 17, 3, 35syl31anc 1370 . . 3 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥𝐶))
3715, 36mpbird 260 . 2 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐶)
38 elicc2 12794 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐶)))
392, 3, 38syl2anc 587 . 2 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐶)))
4019, 34, 37, 39mpbir3and 1339 1 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,]𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084  wcel 2112  wne 2990  wral 3109  wrex 3110  wss 3884  c0 4246   class class class wbr 5033  (class class class)co 7139  supcsup 8892  cr 10529  *cxr 10667   < clt 10668  cle 10669  [,]cicc 12733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-icc 12737
This theorem is referenced by:  supicclub2  12886  hoidmv1lelem1  43223  hoidmvlelem1  43227
  Copyright terms: Public domain W3C validator